Spiegele einen Punkt an einer Ebene (Normalenform) - MatheNexus

Vorgehensweise:
−n ⋅ ( p − ap)
=> σ
n 2
=
Man erhält S, indem man das berechnete σ in die Gleichnung der Hilsgeraden einsetzt.
Man erhält P', indem man das 2 ⋅ σ in die Gleichnung der Hilsgeraden einsetzt: ps = p + 2 ⋅ σ ⋅ n
Bsp.: E:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
9
−12
−14
Hilfsgerade h( σ)
Schnitt σ :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
9
−12
−14
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
:=
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡⎛
⎢⎜
⎢⎜
⎢⎜
⎣⎝
x 1
⋅ x2 − 5 = 0 P: p :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎡
⎢
⎛
⎜
⎢⎜
⎢⎜
⎣⎝
39
x 3
−40
−55
39
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
+ σ ⋅
−1
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎞⎤
⎥
⎟⎥
⎟
⎠
⎥
⎦
9
−12
−14
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
39
−40
−55
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⋅ −40
+ σ ⋅ −12
− 5 = 0 vereinfachen → 1684 + 421 ⋅ σ = 0 auflösen , σ → −4
−55
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
9
−14
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
S: s := h( σ)
→ 8 P' : ps := h( 2σ)
→
1
⎞ ⎟⎟⎟⎠
1
⎟
⎞⎤
⎥⎥⎥⎦
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−33
56
57
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
MK 4.3.2009 SpiegelPunktEbene_Normform.mcd
Spiegele einen Punkt an einer Ebene (Normalenform)
Ebene: n ⋅ ( x − ap)
= 0
Punkt P Spiegelpunkt P'
Normalenvektor Ebene: n
Hilfsgerade: x = p + σ ⋅ n
Schnittpunkt Hilfsgerade - Ebene: S
Hilfsgerade: x = p + σ ⋅ n Schneide die Hilfsgerade mit der Ebene: n ⋅ ( p + σ ⋅ n − ap)
= 0
Nach σ auflösen: n ⋅ ( p − ap)
σ n 2
+ ⋅ =
0

Rechenautomat Spiegle Punkt-Ebene:
Vorschlag:
Eingabe:
Ebene E:
Ebene 132
Berechnung:
Ausgabe:
n =
n :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
h( σ)
:= p + σ ⋅ n
Punkt S:
6
−13
−15
9
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
−12
−14
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
ap =
ap :=
s := h( σ)
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
σ := n ⋅ ( h( σ)
− ap)
= 0 auflösen , σ → −4
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
8
1
4
−4
−8
−1
5
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Punkt P:
p =
p :=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−27
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
114
78
39
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−40
−55
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠
Punkt P' : ps := h( 2σ)
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−33
56
57
⎟
⎞
⎟
⎟
⎠