Photonenrakete Barometrische Höhenformel - MatheNexus
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Zugspitze<br />
Mount Everest<br />
Wasserburg<br />
Aufgabe 1:<br />
(1) Stellen Sie die Formel nach p um.<br />
(2) Berechnen Sie für alle Orte den herrschenden Luftdruck und das Verhältnis zum Normaldruck<br />
p0 := 101308Pa<br />
(3) Skizzieren Sie den Druckverlauf über der Höhe für die Temperatur T0 := 293K<br />
Nehmen Sie an, man hätte den Photonenantrieb zur Gebrauchsfertigkeit entwickelt. Die überdimensionale<br />
Taschenlampe habe eine Masse von 100t und setze innerhalb eines Jahres 1kg Photonen(treibstoff) ein.<br />
Man erhält dadurch eine geringe, fast gleichmäßige Beschleunigung.<br />
Zur selben Zeit startet man eine konventionelle Rakete, die einen großen Teil ihrer Masse innerhalb von 60s als<br />
Treibstoff verbrennt und dadurch eine kurze heftige Beschleunigung erfährt. Danach bleibt die Geschwindigkeit<br />
konstant.<br />
⎛<br />
⎝<br />
Höhe<br />
über NN<br />
T3 := ( 273 + 10)K<br />
T4 := ( 273 + 0)K<br />
T5 := ( 273 − 20)K<br />
T6 := ( 273 − 3)K<br />
⎞<br />
⎠<br />
<strong>Barometrische</strong> <strong>Höhenformel</strong><br />
T 101308Pa<br />
h = 18400m ⋅ ⋅ log10⎜ ⎟ Dekadischer log<br />
273K<br />
p<br />
Umrechenfaktor<br />
Temp.<br />
in K<br />
h3 := 800m<br />
h4 := 2963m<br />
h5 := 8848m<br />
h6 := 427m<br />
<strong>Photonenrakete</strong><br />
vE c ln m0<br />
= ⋅ ⎜ ⎟ Raketengleichung - Endgeschwindigkeit<br />
mE<br />
MK 2.6.2003AnwendExpLogFun_BaroPhoton.mcd<br />
Daten: Anfangsmasse Endmasse (nach 1Jahr oder 60s) Ausstoßgeschwindigkeit<br />
<strong>Photonenrakete</strong> m0P := 100 ⋅ 1000kg<br />
mEP := 100 ⋅ 1000kg<br />
− 1kg cP 3 10 8 m<br />
:= ⋅<br />
s<br />
Konv. Rakete m0k := 250kg mEk := 200kg<br />
ck 3000 m<br />
:=<br />
s<br />
Aufgabe 2:<br />
Skizzieren Sie t-s-Diagramme für beide Raketen.<br />
Wie lange dauert es, bis die <strong>Photonenrakete</strong> die konventionelle einholt?<br />
⎛<br />
⎝<br />
Druck<br />
in Pa<br />
Mit Hilfe der bormetrischen <strong>Höhenformel</strong> ließ sich in den Anfängen der Luftfahrt über die Messung von Druck und<br />
Temperatur die Höhe feststellen.<br />
Wir wollen die Formel benutzen, um den Luftdruck an einigen exponierten Stellen zu berechnen.<br />
Mittelmeer T1 := ( 273 + 15)K<br />
h1 := 0m<br />
München T2 := ( 273 + 20)K<br />
h2 := 500m<br />
Walchensee<br />
⎞<br />
⎠
<strong>Barometrische</strong> <strong>Höhenformel</strong><br />
T<br />
h = 18400m ⋅ ⋅ log10 273K<br />
Auflösen nach p:<br />
Mittelmeer<br />
München<br />
Walchensee<br />
Zugspitze<br />
Mount Everest<br />
Wasserburg<br />
T0 := 293K<br />
p( T0 , h)<br />
1 .10 5<br />
8 . 10 4<br />
6 . 10 4<br />
4 .10 4<br />
2 . 10 4<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
101308Pa<br />
p<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
p( T , h)<br />
:= 101308Pa ⋅ 10<br />
p( T1 , h1)<br />
1.013 10 5<br />
= × Pa<br />
p( T2 , h2)<br />
9.557 10 4<br />
= × Pa<br />
p( T3 , h3)<br />
9.198 10 4<br />
= × Pa<br />
p( T4 , h4)<br />
6.992 10 4<br />
= × Pa<br />
p( T5 , h5)<br />
3.067 10 4<br />
= × Pa<br />
p( T6 , h6)<br />
9.598 10 4<br />
= × Pa<br />
h := 0m , 10m .. 10000m<br />
−<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
273K h<br />
⋅<br />
T 18400m<br />
p( T1 , h1)<br />
p( T2 , h2)<br />
p( T3 , h3)<br />
p( T4 , h4)<br />
p( T5 , h5)<br />
p( T6 , h6)<br />
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1 . 10 4<br />
0<br />
p0<br />
p0<br />
p0<br />
p0<br />
p0<br />
p0<br />
h<br />
⎞ ⎟⎠<br />
= 1<br />
= 0.943<br />
= 0.908<br />
= 0.69<br />
= 0.303<br />
= 0.947
<strong>Photonenrakete</strong><br />
<strong>Photonenrakete</strong>:<br />
Geschwindigkeit<br />
nach 1 Jahr:<br />
Gleichmäßige<br />
Beschleunigung:<br />
Bewegungsgleichung:<br />
Bewegungsgleichung:<br />
tt 0s , 1000s 2 10 7 :=<br />
.. ⋅ s<br />
sP( tt)<br />
sk( tt)<br />
also:<br />
1.5 . 10 10<br />
1 . 10 10<br />
5 .10 9<br />
vEP cP ln m0P<br />
:= ⋅ ⎜ vEP 3.00002 10<br />
mEP<br />
3 m<br />
= ×<br />
s<br />
vEk<br />
ak :=<br />
60s<br />
sk1( t)<br />
1<br />
2 ak := ⋅ ⋅ t2<br />
sk2( t)<br />
:= sk1( 60s)<br />
+ vEk ⋅ t<br />
sk( t)<br />
:= wenn( t < 60s , sk1( t)<br />
, sk2( t)<br />
)<br />
0 5 . 10 6<br />
1<br />
2 aP ⋅ ⋅ t2 + 0.2m = 20082.9 ⋅ m + vEk ⋅ t<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞ ⎟⎠<br />
vEP<br />
aP := aP 9.513 10<br />
365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60s<br />
5 − m<br />
×<br />
s 2<br />
=<br />
sP( t)<br />
Konventionelle Rakete:<br />
Geschwindigkeit<br />
nach 60s:<br />
Gleichmäßige<br />
Beschleunigung:<br />
1<br />
2 aP := ⋅ ⋅ t2<br />
sP( 60s)<br />
= 0.171m<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎠<br />
vEk ck ln m0k<br />
:= ⋅ ⎜ ⎟ vEk 669.43065<br />
mEk<br />
m<br />
=<br />
s<br />
ak 11.157 m<br />
s 2<br />
=<br />
t :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
für t < 60s<br />
für t > 60s<br />
1 . 10 7<br />
tt<br />
−29.99961 ⋅ s<br />
1.407407 10 7<br />
⋅ ⋅ s<br />
⎞ ⎟⎟⎠<br />
1.5 . 10 7<br />
sk1( 60s)<br />
2.00829 10 4<br />
= × m<br />
1.407407 10 7<br />
⋅ + 60<br />
24 ⋅ 60 ⋅ 60<br />
2 . 10 7<br />
= 162.895<br />
(Tage)
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