3. Stegreifaufgabe aus der Mathematik 12SA 10.3.2008 - MatheNexus
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M. Knobel<br />
<strong>3.</strong> <strong>Stegreifaufgabe</strong> <strong>aus</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> <strong>12SA</strong> 10.<strong>3.</strong>2008<br />
1.0 Berechnen Sie die folgenden, evtl. von einem reellen Parameter abhängenden unbestimmten Integrale.<br />
Vereinfachen Sie soweit wie möglich.<br />
1.1 5BE<br />
1.2 4BE<br />
1.3 5BE<br />
2.0 Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.<br />
2.1 5BE<br />
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
a ≠ 0<br />
b > 2<br />
( x − 3)<br />
2<br />
2<br />
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
2<br />
3<br />
4x x<br />
4<br />
− 2<br />
x2<br />
⌠<br />
⎮ − d<br />
⎮<br />
⌡<br />
<strong>3.</strong>1 Berechnen Sie die schraffierte Fläche auf mindestens eine Nachkommastelle genau. 5BE<br />
6<br />
− 1<br />
2<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
+ dx<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
x<br />
a<br />
3<br />
+ 3 a<br />
a + 1<br />
2<br />
+ ⋅ d<br />
b<br />
x<br />
2 x2<br />
3 b<br />
x +<br />
+ ( b − 2)<br />
x<br />
+ ⋅ d<br />
5<br />
2 1 0 1 2 3<br />
E3_A8_<strong>12SA</strong>_A80310.mcd
Musterlösung:<br />
1.0 Berechnen Sie die folgenden, evtl. von einem reellen Parameter abhängenden unbestimmten Integrale.<br />
Vereinfachen Sie soweit wie möglich.<br />
( x − 3)<br />
1.1 5BE x<br />
2<br />
⌠<br />
⎮<br />
1 x<br />
⎮<br />
+ d x<br />
⎮ 2 2<br />
⌡<br />
2<br />
⌠<br />
⎮ − 6x + 9 1 x<br />
= ⎮<br />
+ d<br />
⎮ 2 2<br />
⌡<br />
3<br />
3<br />
6 2 x2<br />
9<br />
−<br />
2 x +<br />
1<br />
2 x +<br />
=<br />
x 3<br />
3<br />
6 2 x2<br />
= − + 5x "+C"<br />
1BE 1BE 1BE 1BE 1BE<br />
x<br />
1.2 4BE a ≠ 0<br />
x<br />
2<br />
x<br />
a<br />
3<br />
+ 3 a<br />
a + 1<br />
2<br />
⌠<br />
⎮<br />
x<br />
⎮<br />
+ ⋅ d<br />
⎮<br />
⌡<br />
3<br />
x<br />
3 ⋅ a<br />
4<br />
+ 3 a<br />
4 ⋅ ( a + 1)<br />
2<br />
= + ⋅ ⋅ x "+C"<br />
2.0 Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.<br />
2.1 5BE<br />
2<br />
3<br />
4x x<br />
4<br />
− 2<br />
2<br />
x2<br />
⌠<br />
⎮ − d = [ 2x<br />
⎮<br />
⌡<br />
2 x 3<br />
− ] 4<br />
−2<br />
= 8 − 2 − ( 8 + 2)<br />
= −4<br />
2BE 1BE 1BE 1BE<br />
<strong>3.</strong>1 Berechnen Sie die schraffierte Fläche auf mindestens eine Nachkommastelle genau. 5BE<br />
6<br />
− 1<br />
2 f( x)<br />
x<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
→ + 1 2BE<br />
2<br />
⌠<br />
⎮ f( x)<br />
d x = [ ⌡<br />
− 1<br />
2<br />
x3<br />
+ x]<br />
3<br />
= 8<br />
−1<br />
⎛ −1<br />
⎞<br />
+ 2 − ⎜ − 1⎟<br />
= 6<br />
3 ⎝ 3 ⎠<br />
1BE<br />
1BE 1BE<br />
2<br />
1<br />
2 1 0 1 2 3<br />
1BE 1BE 1BE 1BE<br />
1.2 5BE b > 2<br />
b<br />
x<br />
2 x2<br />
3 b<br />
x +<br />
+ ( b − 2)<br />
x<br />
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
b<br />
+ ⋅ d<br />
5 6 x3 ⋅<br />
1 4 b<br />
x<br />
4 + b<br />
+<br />
+ ⋅<br />
b − 2<br />
x<br />
10<br />
2<br />
= + ⋅ "+C"<br />
1BE 2BE 1BE 1BE<br />
Alternativ:<br />
1<br />
⋅ [ 2 + 2 ⋅ ( 1 + 2)<br />
+ 5]<br />
= 6.5<br />
2<br />
1<br />
2 ⋅ 2<br />
usw.<br />
⋅ [ 2 + 2 ⋅ ( 1.25 + 1 + 1.25 + 2 + <strong>3.</strong>25)<br />
+ 5]<br />
= 6.125
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
⌠<br />
⎮<br />
⎮<br />
⎮<br />
⌡<br />
( x − 3)<br />
2<br />
2<br />
1<br />
+ dx vereinfachen →<br />
2<br />
⎡<br />
1<br />
6 x3 ⋅<br />
3<br />
2 x2<br />
9<br />
− ⋅ + 5 ⋅ x −<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
x<br />
a<br />
3<br />
+ 3 a<br />
a + 1<br />
2 x<br />
+ ⋅ d<br />
3<br />
x<br />
3 ⋅ a<br />
4<br />
+ 3 a<br />
4 ⋅ ( a + 1)<br />
2<br />
− ⎢<br />
+ ⋅ ⋅ x vereinfachen → 0<br />
⎣<br />
⎛<br />
⎝<br />
b<br />
x<br />
2 x2<br />
3 b<br />
x +<br />
+ ( b − 2)<br />
x b<br />
+ ⋅ d<br />
5 6 x3<br />
1 4 b<br />
⋅<br />
x<br />
4 + b<br />
+ b − 2<br />
+ ⋅<br />
x<br />
10<br />
2<br />
− ⎜<br />
+ ⋅ vereinfachen → 0<br />
2<br />
3<br />
4x x<br />
4<br />
− 2<br />
x2<br />
⌠<br />
⎮ − d vereinfachen → −4<br />
⎮<br />
⌡<br />
2<br />
⌠<br />
⎮<br />
⌡<br />
− 1<br />
f( x)<br />
dx =<br />
6<br />
⎤ ⎥⎦<br />
⎞ ⎟⎠