3. Stegreifaufgabe aus der Mathematik 12SA 10.3.2008 - MatheNexus

M. Knobel
3. Stegreifaufgabe aus der Mathematik 12SA 10.3.2008
1.0 Berechnen Sie die folgenden, evtl. von einem reellen Parameter abhängenden unbestimmten Integrale.
Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
1.1 5BE
1.2 4BE
1.3 5BE
2.0 Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
2.1 5BE
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
a ≠ 0
b > 2
( x − 3)
2
2
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
2
3
4x x
4
− 2
x2
⌠
⎮ − d
⎮
⌡
3.1 Berechnen Sie die schraffierte Fläche auf mindestens eine Nachkommastelle genau. 5BE
6
− 1
2
5
4
3
2
1
1
+ dx
2
x
x
2
x
a
3
+ 3 a
a + 1
2
+ ⋅ d
b
x
2 x2
3 b
x +
+ ( b − 2)
x
+ ⋅ d
5
2 1 0 1 2 3
E3_A8_12SA_A80310.mcd

Musterlösung:
1.0 Berechnen Sie die folgenden, evtl. von einem reellen Parameter abhängenden unbestimmten Integrale.
Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
( x − 3)
1.1 5BE x
2
⌠
⎮
1 x
⎮
+ d x
⎮ 2 2
⌡
2
⌠
⎮ − 6x + 9 1 x
= ⎮
+ d
⎮ 2 2
⌡
3
3
6 2 x2
9
−
2 x +
1
2 x +
=
x 3
3
6 2 x2
= − + 5x "+C"
1BE 1BE 1BE 1BE 1BE
x
1.2 4BE a ≠ 0
x
2
x
a
3
+ 3 a
a + 1
2
⌠
⎮
x
⎮
+ ⋅ d
⎮
⌡
3
x
3 ⋅ a
4
+ 3 a
4 ⋅ ( a + 1)
2
= + ⋅ ⋅ x "+C"
2.0 Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
2.1 5BE
2
3
4x x
4
− 2
2
x2
⌠
⎮ − d = [ 2x
⎮
⌡
2 x 3
− ] 4
−2
= 8 − 2 − ( 8 + 2)
= −4
2BE 1BE 1BE 1BE
3.1 Berechnen Sie die schraffierte Fläche auf mindestens eine Nachkommastelle genau. 5BE
6
− 1
2 f( x)
x
5
4
3
2
→ + 1 2BE
2
⌠
⎮ f( x)
d x = [ ⌡
− 1
2
x3
+ x]
3
= 8
−1
⎛ −1
⎞
+ 2 − ⎜ − 1⎟
= 6
3 ⎝ 3 ⎠
1BE
1BE 1BE
2
1
2 1 0 1 2 3
1BE 1BE 1BE 1BE
1.2 5BE b > 2
b
x
2 x2
3 b
x +
+ ( b − 2)
x
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
b
+ ⋅ d
5 6 x3 ⋅
1 4 b
x
4 + b
+
+ ⋅
b − 2
x
10
2
= + ⋅ "+C"
1BE 2BE 1BE 1BE
Alternativ:
1
⋅ [ 2 + 2 ⋅ ( 1 + 2)
+ 5]
= 6.5
2
1
2 ⋅ 2
usw.
⋅ [ 2 + 2 ⋅ ( 1.25 + 1 + 1.25 + 2 + 3.25)
+ 5]
= 6.125

⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
( x − 3)
2
2
1
+ dx vereinfachen →
2
⎡
1
6 x3 ⋅
3
2 x2
9
− ⋅ + 5 ⋅ x −
2
x
x
2
x
a
3
+ 3 a
a + 1
2 x
+ ⋅ d
3
x
3 ⋅ a
4
+ 3 a
4 ⋅ ( a + 1)
2
− ⎢
+ ⋅ ⋅ x vereinfachen → 0
⎣
⎛
⎝
b
x
2 x2
3 b
x +
+ ( b − 2)
x b
+ ⋅ d
5 6 x3
1 4 b
⋅
x
4 + b
+ b − 2
+ ⋅
x
10
2
− ⎜
+ ⋅ vereinfachen → 0
2
3
4x x
4
− 2
x2
⌠
⎮ − d vereinfachen → −4
⎮
⌡
2
⌠
⎮
⌡
− 1
f( x)
dx =
6
⎤ ⎥⎦
⎞ ⎟⎠