Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern ... - MatheNexus
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AUFGABENSTELLUNG:<br />
1.2 Nun werden folgende Ereignisse betrachtet:<br />
E 1 : "E<strong>in</strong>e zufällig ausgewählte Marke hat m<strong>in</strong>destens zwei Fehler oder e<strong>in</strong>en<br />
Zähnungsfehler."<br />
E 2 : "E<strong>in</strong>e zufällig ausgewählte Marke hat genau e<strong>in</strong>en Fehler."<br />
2.0 Die Druckmasch<strong>in</strong>e wird korrigiert. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der<br />
Fehlerarten <strong>an</strong>, die bei e<strong>in</strong>er zufällig ausgewählten Briefmarke des neuen Drucks<br />
auftreten. Die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsverteilung der Zufallsgröße X k<strong>an</strong>n mithilfe e<strong>in</strong>es<br />
geeigneten Parameters a € R so dargestellt werden:<br />
x<br />
P(X = x)<br />
0.4a<br />
0.025a 2<br />
2.1 Berechnen Sie den Parameter a. (4 BE)<br />
Für die Teilaufgaben 2.2 bis 2.4 gilt: a = 2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0.05<br />
Alex<strong>an</strong>dra Ste<strong>in</strong>er 17.5.2005 A2_12NT_S1_AS_Loes.mcd<br />
<strong>Abschlussprüfung</strong> <strong>an</strong> <strong>Fachoberschulen</strong> <strong>in</strong> <strong>Bayern</strong><br />
Mathematik 2002, Stochastik S I<br />
Nichttechnische Ausbildungsrichtung<br />
1.0 Die Post e<strong>in</strong>es kle<strong>in</strong>eren L<strong>an</strong>des gibt den Druck e<strong>in</strong>er neuen Sonderbriefmarke<br />
<strong>in</strong> Auftrag. Beim ersten Probedruck e<strong>in</strong>er größeren Menge dieser Marken werden<br />
noch Fehler bei der Zähnung, beim Farbton sowie bei der Grafik festgestellt.<br />
Es k<strong>an</strong>n davon ausgeg<strong>an</strong>gen werden, dass diese Fehlerarten unabhängig<br />
vone<strong>in</strong><strong>an</strong>der auftreten und dass die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit ihres Auftretens während<br />
des Probedrucks konst<strong>an</strong>t bleiben.<br />
Folgende Bezeichnungen seien vorgegeben:<br />
Z: Bei e<strong>in</strong>er zufällig ausgewählten Marke ist die Zähnung <strong>in</strong> Ordnung.<br />
F: Bei e<strong>in</strong>er zufällig ausgewählten Marke ist die Farbe <strong>in</strong> Ordnung.<br />
G: Bei e<strong>in</strong>er zufällig ausgewählten Marke ist die Grafik <strong>in</strong> Ordnung.<br />
_<br />
Die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für e<strong>in</strong>en Farbfehler beträgt P({ F })= 0.3,<br />
_<br />
diejenige für e<strong>in</strong>en Fehler bei der Zähnung P({ Z })=0.5.<br />
1.1 E<strong>in</strong>e zufällig ausgewählte Briefmarke wird h<strong>in</strong>sichtlich der Merkmale Z, F und G<br />
untersucht.<br />
Ver<strong>an</strong>schaulichen Sie alle möglichen Ergebnisse dieser Untersuchung mithilfe<br />
e<strong>in</strong>es Baumdiagramms. Begründen Sie, dass die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für e<strong>in</strong>en<br />
__<br />
Fehler <strong>in</strong> der Grafik P({ G }) = 0.2 beträgt, wenn bek<strong>an</strong>nt ist, dass e<strong>in</strong>e fehlerfreie<br />
Briefmarke mit der Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit P({ ZFG }) = 0.28 auftritt. Bestimmen Sie<br />
<strong>an</strong>schließend die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten aller acht Elementarereignisse. (8 BE)<br />
Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Ereignisse E 1 und E 2 stochastisch<br />
unabhängig s<strong>in</strong>d. (5 BE)<br />
2.2 Berechnen Sie die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße<br />
<strong>in</strong>nerhalb der zweifachen St<strong>an</strong>dardabweichung um den Erwartungswert liegt. (4 BE)<br />
3<br />
0.05
2.3 Bestimmen Sie die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit dafür, dass von 200 zufällig ausgewählten<br />
Briefmarken des neuen Drucks m<strong>in</strong>destens 150 und höchstens 170 fehlerfei s<strong>in</strong>d. (2 BE)<br />
2.4 Geben Sie die Wertetabelle der zugehörigen kumulativen Verteilungsfunktion F <strong>an</strong><br />
und zeichnen Sie deren Graph farbig <strong>in</strong> e<strong>in</strong> geeignetes Koord<strong>in</strong>atensystem.<br />
Bestimmen Sie ferner den Wert k = 1 - F(2.3) und <strong>in</strong>terpretieren Sie ihn im S<strong>in</strong>ne<br />
der vorliegenden Thematik. (4 BE)<br />
3.0 Durch weitere Verbesserungen <strong>an</strong> der Druckmasch<strong>in</strong>e ist es gelungen, die Anzahl<br />
der fehlerhaften Briefmarken weiter zu verr<strong>in</strong>gern. Bei den nachfolgenden<br />
Untersuchungen k<strong>an</strong>n aufgrund der großen Stückzahlen davon ausgeg<strong>an</strong>gen<br />
werden, dass die Anzahl der fehlerhaften Briefmarken e<strong>in</strong>er Druckreihe<br />
b<strong>in</strong>om<strong>in</strong>al verteilt ist.<br />
Bei e<strong>in</strong>er Druckreihe von 90 000 Sondermarken wird e<strong>in</strong>e St<strong>an</strong>dardabweichung<br />
von σ = 90 festgestellt.<br />
3.1 Berechnen Sie, für welche Werte der Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit p e<strong>in</strong>e zufällig<br />
herausgegriffene Marke dieser Druckreihe fehlerhaft ist. Welcher dieser Werte trifft<br />
zu, wenn <strong>in</strong>sgesamt mehr fehlerfreie als fehlerhafte Briefmarken gedruckt werden?<br />
(Mögliches Zwischenergebnis: 100p 2 -100p + 9 =0) (5 BE)<br />
3.2 Mit wie vielen fehlerhaften Marken ist <strong>in</strong> dieser Druckreihe zu rechnen, wenn die<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für e<strong>in</strong>en Fehler 0.1 beträgt? (2 BE)<br />
4 Vor Beg<strong>in</strong>n des endgültigen Drucks behauptet die Post gegenüber der<br />
Druckerei, dass der Anteil fehlerhafter Briefmarken immer noch mehr als 5%<br />
beträgt (Gegenhypothese). E<strong>in</strong>e Prüfkommission führt daher e<strong>in</strong>en Signifik<strong>an</strong>ztest<br />
mit 200 zufällig ausgewählten Briefmarken des letzten großen Druckes durch.<br />
Geben Sie die Testgröße, die Art des Tests sowie die Nullhypothese <strong>an</strong> und<br />
ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem<br />
1%-Niveau. (6 BE)<br />
------------<br />
(40 BE)
LÖSUNG:<br />
1.1 Es gilt: P({ZFG})= 0.28<br />
__<br />
P({ F }) = 0.3 => P({ F }) = 1 − 0.3 = 0.7<br />
__<br />
P({ Z }) = 0.5 => P({ Z }) = 1 − 0.5 = 0.5<br />
P({ZFG}) = P({Z }) * P({F }) * P({G })<br />
=> 0.28 = 0.5 * 0.7 * P({G})<br />
=> P( G)<br />
:=<br />
0.28<br />
0.5⋅0.7 P( G)<br />
= 0.8<br />
Bitte beachten, dass "P({G })"<br />
<strong>in</strong> diesem Fall, zur besseren<br />
__<br />
__<br />
Darstellung <strong>in</strong> Mathcad als<br />
=> P({ G }) = 1 − 0.8 → .2 P({ G }) = 0.2<br />
"P(G)" bezeichnet wird.<br />
1.2 Aus der Angabe:<br />
E1 = { Z FG ⎯ Z ⎯ , FG Z ⎯ F G ⎯<br />
, ZF ⎯ , G ZFG ⎯<br />
, }<br />
E2 = { Z F G ⎯ Z F ⎯ , G Z ⎯ , FG }<br />
E 1 ∩ E 2 = { Z ⎯ FG }<br />
0.5 * 0.3 * 0.2 = 0.03<br />
0.5 * 0.7 * 0.8 = 0.28<br />
0.5 * 0.7 * 0.2 = 0.07<br />
0.5 * 0.3 * 0.8 = 0.12<br />
0.5 * 0.3 * 0.2 = 0.03<br />
Mit Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten:<br />
___ _ _ _ __ ____<br />
P(E 1 ) = P({ ZFG }) + P({ ZFG }) + P({ ZFG }) + P({ ZFG }) + P({ ZFG })<br />
P(E 1 ) = 0.03 + 0.28 + 0.07 + 0.12 + 0.03<br />
P(E 1 ) = 0.53<br />
_ _ _<br />
P(E 2 ) = P({ ZFG }) + P({ ZFG }) + P({ ZFG })<br />
P(E 2 ) = 0.07 + 0.12 + 0.28<br />
P(E 2 ) = 0.47<br />
( ωi)<br />
P( ωi)<br />
0.5 * 0.7 * 0.8 = 0.28<br />
0.5 * 0.7 * 0.2 = 0.07<br />
0.5 * 0.3 * 0.8 = 0.12
P (E 1 ∩ E 2 ) = P({ Z ⎯ F G })<br />
P (E 1 ∩ E 2 ) = P({ 0.28 })<br />
P(E1 ) * P(E2 ) = 0.53 * 0.47 = 0.25 ≠ 0.28<br />
d.h. P(E1 ) * P E2 ≠ (E1 ∩ E2 )<br />
Daraus lässt sich schließen, dass E1 und E2 stochastisch abhängig s<strong>in</strong>d.<br />
2.1 Es muss gelten:<br />
0.025a 2<br />
=><br />
x 0 1 2 3<br />
P(X = x) 0.8 0.1 0.05 0.05<br />
Erwartungswert µ = E(X): µ := 0⋅0.8 + 1⋅0.1 + 2⋅0.05 + 3⋅0.05 → .35<br />
Vari<strong>an</strong>z Var(X): σ 2<br />
σ 2<br />
a1 :=<br />
a2 :=<br />
( ) P<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
−2<br />
Mit a 2 = - 18 wäre P(X = 0) =<br />
0.4a 0.025a 2<br />
+ + 0.05 + 0.05 = 1<br />
+ 0.4a − 0.9 = 0 vere<strong>in</strong>fachen<br />
5<br />
5<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0.4⋅( −18)<br />
= −7.2<br />
2.2 Für a = 2 ist die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsverteilung der Zufallsgröße X:<br />
2 = Var(X) = E(X 2 ) - (E(X)) 2<br />
2 = Var( X)<br />
0 2 ⋅0.8 1 2 + ⋅0.1<br />
2 2 + ⋅0.05<br />
3 2 + ⋅0.05<br />
0.35 2<br />
:=<br />
− → .6275<br />
St<strong>an</strong>dardabweichung: σ = 0.6275 = 0.79<br />
Aus Formelsammlung: X − µ < 2⋅σ +<br />
2 1<br />
⋅<br />
40<br />
−<br />
2 1<br />
⋅<br />
40<br />
X − 0.35 < 2⋅0.79 X − 0.35 < 1.58<br />
−1.58 < X − 0.35 < 1.58<br />
−1.23 < X < 1.93<br />
=> P( X − µ < 2⋅σ ) = P(X = 0) + P(X = 1)<br />
=> P( X − µ < 2⋅σ ) = ( 0.8 + 0.1)<br />
= 0.9<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
→<br />
1<br />
40 a2 ⋅<br />
D :=<br />
vere<strong>in</strong>fachen → 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
vere<strong>in</strong>fachen → −18<br />
2<br />
5 a ⋅<br />
9<br />
+ − = 0<br />
10<br />
2<br />
5<br />
2<br />
⎞<br />
⎟⎠<br />
4 1 9<br />
− ⋅ ⋅⎜−<br />
40 10<br />
---><br />
---><br />
⎛<br />
⎝<br />
a1 = 2<br />
a 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
→<br />
= −18<br />
< 0 Also kommt a 2 nicht <strong>in</strong> Frage.<br />
1<br />
4<br />
> 0
2.3 B<strong>in</strong>om<strong>in</strong>alverteilte Zufallsgröße, n = 200, p = 0.8<br />
P(E) = P( 150 ≤ X ≤ 170)<br />
Durch das Tafelwerk: P(E) = F200 (170) - F200<br />
0.8 0.8 (149)<br />
P( E)<br />
:= 0.971272 − 0.03450<br />
2.4 Zugehörige kumulative Verteilungsfunktion<br />
x<br />
F(x)<br />
Details zur Zeichnung<br />
Gegeben: k = 1 - F(2.3)<br />
Aus der Wertetabelle: 2.3 € [2;3[ => F(2.3) = 0.95<br />
=><br />
my<br />
py<br />
qy<br />
] -oo ; 0[<br />
0<br />
k := 1 − 0.95<br />
[ 0 ;1[<br />
0.8<br />
1.1<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
1 0 1 2 3 4 5 6<br />
0.1<br />
[ 1 ;2 [<br />
0.9<br />
k = 0.05<br />
P( E)<br />
→ .936772<br />
[ 2 ; 3[<br />
0.95<br />
mx , px , qx<br />
[ 3 ; +oo[<br />
F(2.3) ist die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für höchstens 2 Fehler,<br />
also ist k die Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für 3 Fehler<br />
1
3.1 Für e<strong>in</strong>e b<strong>in</strong>omialverteilte Zufallsgröße gilt: Var( X)<br />
= n⋅p ⋅q<br />
= n⋅p ⋅(<br />
1 − p)<br />
σ 2<br />
=<br />
Gegeben σ = 90 und n = 90000 : 90 2<br />
= 90000 p( 1 − p)<br />
p := 0.1<br />
=> E( X)<br />
= 90000⋅0.1 = 9000 M<strong>an</strong> muss mit 9 000 fehlerhaften Marken rechnen.<br />
4 Testgröße T: Die Anzahl der fehlerhaften Briefmarken bei 200 zufällig ausgewählten.<br />
n = 200 p = 0.05 α = 0.01<br />
Teststart: E<strong>in</strong>seitiger (rechtsseitiger) Signifik<strong>an</strong>ztest<br />
Nullhypothese:<br />
H 0 : p = 0.05 Annahmebereich von H 0 : A = {0; 1; 2; ...; k} k € N 0<br />
Gegenhypothese:<br />
H 1 : p > 0.05 Ablehnungsbereich von H 0 : A = {k+1; ...; 200} k € N 0<br />
H0 wird verworfen, falls P A ⎯<br />
( ) ≤ α = 0.01<br />
( ) 1 P A<br />
Auszug aus dem Tafelwerk: k := 15.. 20 k<br />
8100 90000 p p 2<br />
= −<br />
100p 2<br />
P A ⎯<br />
= − ( ) ≤ 0.01 => P( A)<br />
≥ 1 − 0.01 = 0.99<br />
= SPB<strong>in</strong>_h( 200 , 0.05,<br />
k)<br />
=<br />
15<br />
16<br />
17<br />
18<br />
19<br />
20<br />
( )<br />
− 100p + 9 = 0 D ( −100)<br />
2<br />
:= − 4⋅100⋅9 → 6400 > 0<br />
100 − 6400<br />
1<br />
=> p1 := vere<strong>in</strong>fachen →<br />
---> p<br />
2⋅100 10<br />
1 = 0.1<br />
100 + 6400<br />
9<br />
p2 := vere<strong>in</strong>fachen →<br />
---> p<br />
2⋅100 10<br />
2 = 0.9<br />
Da mehr fehlerfreie Briefmarken gedruckt werden kommt nur p 1 = 0.1 <strong>in</strong> Frage.<br />
3.2 Für e<strong>in</strong>e b<strong>in</strong>omialverteilte Zufallsgröße gilt: E( X)<br />
= µ = n⋅p Gegeben: n := 90000 und<br />
0.95564<br />
0.9762<br />
0.98791<br />
0.99418<br />
0.99734<br />
0.99884<br />
Der größtmögliche Ablehnungsbereich von H 0 ist also: A ⎯ = {19; 20; 21; ...; 200}<br />
0.99<br />
Literaturverzeichnis:<br />
FOS/BOS, 2005 FOS/BOS, "Abschluss-Prüfungsaufgaben mit Lösungen..." 2005<br />
Mathematik, Ausbildungsrichtung Nichttechnik, <strong>Bayern</strong><br />
STARK Verlag, 25. ergänzte Auflage 2004, S. 2002-17 bis 2002-22
Fachreferat von Alex<strong>an</strong>dra Ste<strong>in</strong>er, Klasse 12 Sb, Schuljahr 2004/2005<br />
B<strong>in</strong>omialkoeffizient:<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit nach Bernoulli:<br />
n: Anzahl der Versuche<br />
p: Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit für e<strong>in</strong>en Treffer<br />
k: Anzahl der Treffer<br />
Summenwahrsche<strong>in</strong>lichkeit, höchstens z Treffer:<br />
Summenwahrsche<strong>in</strong>lichkeit, m<strong>in</strong>destens z Treffer:<br />
F(n,p) <strong>in</strong> Tabellenform, für große n :<br />
⎛<br />
⎝<br />
n<br />
bk( n , k)<br />
wenn k < 1 , 1 bk n − 1 k 1<br />
k − , ( )<br />
⋅ ,<br />
:= ⎜<br />
PB<strong>in</strong>ver( n , p , k)<br />
bk( n , k)<br />
p k n k<br />
⋅ ( 1 − p)<br />
−<br />
:=<br />
⋅<br />
Bsp.: PB<strong>in</strong>ver( 25, 0.4 , 9)<br />
= 0.151085568<br />
z<br />
SPB<strong>in</strong>_h( n , p , z)<br />
:= PB<strong>in</strong>ver( n , p , k)<br />
∑<br />
k = 0<br />
Bsp.: SPB<strong>in</strong>_h( 25, 0.4 , 9)<br />
= 0.424617018<br />
n<br />
SPB<strong>in</strong>_m( n , p , z)<br />
:= PB<strong>in</strong>ver( n , p , k)<br />
∑<br />
k = z<br />
Bsp.: SPB<strong>in</strong>_m( 25, 0.4 , 9)<br />
= 0.72646855<br />
1 − SPB<strong>in</strong>_h( 25, 0.4 , 8)<br />
= 0.72646855<br />
SPB<strong>in</strong>Tabelle( n , p)<br />
:= k ← 0<br />
b ( 1 − p)<br />
n<br />
←<br />
m0 ← b<br />
while<br />
s ← 0<br />
for<br />
k < n<br />
k ← k + 1<br />
b⋅p ⋅(<br />
n − k + 1)<br />
b ←<br />
( 1 − p)<br />
⋅k<br />
mk ← b<br />
k ∈ 0 .. n − 1<br />
s ← s + mk<br />
mk ← s<br />
mn ← 1<br />
m<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Bsp.:<br />
bk( 10, 3)<br />
= 120