Rechenregeln für Brüche - MatheNexus

a,b,c,d sind Terme und außerdem gilt b ≠ 0 ≠ c
(1) Multiplikation von Brüchen
(4) Kürzen:
Bsp: 2
7
a a ÷ c " Dividiere Zähler
= Bsp:
b b ÷ c und Nenner durch
das Gleiche "
6
=
9
Bsp:
(5) Addition und Subtraktion von Brüchen
a
b
+
d
c
=
Bsp: 1
16
Bsp:
Bsp:
Bsp:
a ⋅ c
b ⋅ c
+
d ⋅ b
b ⋅ c
a ⋅ c + d ⋅ b
=
b ⋅ c
2 3 32 35
+ = + =
3 48 48 48
2y 1 −
3y
4x 2 +
2 − 3x
+
−
z − 3
2y
y + 1
x − 4
11
=
=
( z − 1)
⋅ ( 2z − 3)
2y − 1
3y
⋅
y + 1
y + 1
+
=
2 ⋅ 5
7 ⋅ 5
6 ÷ 3
9 ÷ 3
( x − 3)
( x − 1)
10
= Bsp:
35
3x 3 − ( ) x 2 + ( ) ⋅
=
3x 2 −
x − 3
2
= Bsp:
3
x2 − x − 6
4x − 12
3( x − 1)
⋅ ( x + 2)
( x − 3)
( x − 1)
⋅
x − 1
x − 1
=
3x 2
− 5x + 2
x 2
=
− 4x + 3
( x + 2)
⋅ ( x − 3)
3 ⋅ ( x + 2)
=
x − 1
4 ⋅ ( x − 3)
" Gleichnamig machen: Brüche so erweitern, dass alle den
gleichen Nenner haben. Damit ist der Nenner gefunden
Die Zähler werden addiert (subtrahiert) zum Gesamtzähler. "
2y
y + 1
( 4x + 2)
⋅ 11 − ( x − 4)
⋅ ( 2 − 3x)
( 2 − 3x)
⋅ 11
( 4x + 2)
⋅ 11 − ( x − 4)
⋅ ( 2 − 3x)
+
5z
( 2 − 3x)
⋅ 11
( z − 1)
⋅ ( 2 + z)
Rechenregeln für Brüche
a d a ⋅ d " Zähler * Zähler "
⋅ = Bsp:
b c b ⋅ c
3 2 6
⋅ = Bsp:
" Nenner * Nenner "
7 5 35
(2) Division von Brüchen, d ≠ 0
a
b
÷
d
c
(3) Erweitern:
a
=
b
a ⋅ c
a c a ⋅ c " Multipliziere mit
= ⋅ = Bsp:
b d b ⋅ d dem Kehrbruch "
4 3 4 5 20
÷ = ⋅ =
7 5 7 3 21
b ⋅ c
" Multipliziere Zähler
und Nenner mit
dem Gleichen "
=
Bsp:
3y 2y
⋅
3y
2
+ y − 1 6y 2
+ 8y
=
3y ⋅ ( y + 1)
2
+ y − 1
=
3y ⋅ ( y + 1)
=
13x 2 −
y + 1
3y
÷ =
4x
" Übers Kreuz
multipliziert "
−3 x 2
⋅ + 30 ⋅ x + 30
22 − 33 ⋅ x
( z − 3)
⋅ ( 2 + z)
+ 5z ⋅ ( 2z − 3)
( z − 1)
⋅ ( 2z − 3)
⋅ ( 2 + z)
MK 30.9.03 RegelnBrueche.mcd
2 x −
8
13x − 2
y + 1
⋅
5
x + 1
=
11z 2
− 16z − 6
2z 3
z 2
=
− − 7z + 6
10 − 5x
8x + 8
4x 13x
⋅
3y
2
− 8x
3y 2
=
+ 3y
=
x + 2
4

(5) Addition und Subtraktion von mehreren Brüchen, Hauptnenner
" Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner "
Bsp: 1 7 4
+ + = ?
6 4 3
Bsp: 2 3 1 5
+ + − = ?
5 4 12 6
Bsp:
2 ⋅ 12
60
3
x − 1
3
+
−
x − 1
3 ⋅ 15
60
2 ⋅ x
2 ⋅ x − 2
1 ⋅ 5
60
2 ⋅ ( x + 1)
⋅
−
2 ⋅ ( x + 1)
1
x 2
+ = ?
− 1
2 ⋅ x
2 ⋅ x − 2
= 6x 6 + − 2x2 − 2x + 2
2x 2
=
− 2
+
−
6 = 2 ⋅ 3
Bsp: 1 7 4 2 21 16 39 13
+ + = + + = =
6 4 3 12 12 12 12 4
4 = 2 ⋅ 2
Hauptnenner: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60
5 ⋅ 10
60
=
⋅
24 + 45 + 5 − 50
x + 1
x + 1
−2x 2
+ 4x + 8
2x 2
− 2
4 = 2 ⋅ 2
12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3
60
2x − 2 = 2 ⋅ ( x − 1)
Hauptnenner: 2 ⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
2x 2
= − 2
1
x 2
2
+ ⋅ =
2
− 1
=
3 = 3
24 2
= =
60 5
x 2
− + 2x + 4
x 2
− 1
Hauptnenner: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
6 = 2 ⋅ 3
x 2
− 1 = ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
6( x + 1)
2x 2
− − 2x + 2
2x 2
− 2
5 = 5

Aufgabe: Ordnen Sie die Brüche ihrer Größe nach!
13
=
20
17
=
36
11
=
24
33
=
72
23
=
40
13
20
(a) Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner: kgV( 20, 36,
24,
72,
40)
= 360 (nachrechnen!)
(b) Machen Sie alle Brüche gleichnamig (mit dem Hauptnenner)
13 ⋅ 18
20 ⋅ 18
17 ⋅ 10
36 ⋅ 10
11 ⋅ 15
24 ⋅ 15
33 ⋅ 5
72 ⋅ 5
23 ⋅ 9
40 ⋅ 9
17
36
234
=
360
170
=
360
165
=
360
165
=
360
207
=
360
Aufgabe: Kürzen Sie soweit als möglich:
Primfaktorzerlegung:
11
24
33
72
23
40
1. Methode: Rechnen Sie mit dem Taschenrechner alle Brüche in Dezimalzahlen um:
13
= 0.65
20
17
= 0.47222
36
11
= 0.45833
24
Hier gilt tatsächlich
1351350
2187900
11 33
=
24 72
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 1351350
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 = 2187900
33
= 0.45833
72
Platz 1 3 ? ? 2
Genauigkeit ?
Diese Methode ist schnell, ungenau und für diese Übung ungeeignet.
2. Methode Machen Sie alle Brüche gleichnamig
23
= 0.575
40
1351350 21
=
2187900 34

Eine weitere Aufgabe:
11
18
18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3
70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7
35 = 5 ⋅ 7
20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
⇒ Hauptnenner: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1260 , also kgV( 18, 70,
35,
20,
36)
= 1260
11 11 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 770
=
=
18 18 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 1260
33 33 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 594
=
=
70 70 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 1260
19 19 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 684
=
=
35 35 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 1260
11 11 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 693
=
=
20 20 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 1260
19
=
36
33
70
19 ⋅ 5 ⋅ 7
36 ⋅ 5 ⋅ 7
19
35
665
=
1260
11
20
19
36
sollen der Größe nach geordnet werden