Rechenregeln für Brüche - MatheNexus
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a,b,c,d sind Terme und außerdem gilt b ≠ 0 ≠ c (1) Multiplikation von Brüchen (4) Kürzen: Bsp: 2 7 a a ÷ c " Dividiere Zähler = Bsp: b b ÷ c und Nenner durch das Gleiche " 6 = 9 Bsp: (5) Addition und Subtraktion von Brüchen a b + d c = Bsp: 1 16 Bsp: Bsp: Bsp: a ⋅ c b ⋅ c + d ⋅ b b ⋅ c a ⋅ c + d ⋅ b = b ⋅ c 2 3 32 35 + = + = 3 48 48 48 2y 1 − 3y 4x 2 + 2 − 3x + − z − 3 2y y + 1 x − 4 11 = = ( z − 1) ⋅ ( 2z − 3) 2y − 1 3y ⋅ y + 1 y + 1 + = 2 ⋅ 5 7 ⋅ 5 6 ÷ 3 9 ÷ 3 ( x − 3) ( x − 1) 10 = Bsp: 35 3x 3 − ( ) x 2 + ( ) ⋅ = 3x 2 − x − 3 2 = Bsp: 3 x2 − x − 6 4x − 12 3( x − 1) ⋅ ( x + 2) ( x − 3) ( x − 1) ⋅ x − 1 x − 1 = 3x 2 − 5x + 2 x 2 = − 4x + 3 ( x + 2) ⋅ ( x − 3) 3 ⋅ ( x + 2) = x − 1 4 ⋅ ( x − 3) " Gleichnamig machen: Brüche so erweitern, dass alle den gleichen Nenner haben. Damit ist der Nenner gefunden Die Zähler werden addiert (subtrahiert) zum Gesamtzähler. " 2y y + 1 ( 4x + 2) ⋅ 11 − ( x − 4) ⋅ ( 2 − 3x) ( 2 − 3x) ⋅ 11 ( 4x + 2) ⋅ 11 − ( x − 4) ⋅ ( 2 − 3x) + 5z ( 2 − 3x) ⋅ 11 ( z − 1) ⋅ ( 2 + z) Rechenregeln für Brüche a d a ⋅ d " Zähler * Zähler " ⋅ = Bsp: b c b ⋅ c 3 2 6 ⋅ = Bsp: " Nenner * Nenner " 7 5 35 (2) Division von Brüchen, d ≠ 0 a b ÷ d c (3) Erweitern: a = b a ⋅ c a c a ⋅ c " Multipliziere mit = ⋅ = Bsp: b d b ⋅ d dem Kehrbruch " 4 3 4 5 20 ÷ = ⋅ = 7 5 7 3 21 b ⋅ c " Multipliziere Zähler und Nenner mit dem Gleichen " = Bsp: 3y 2y ⋅ 3y 2 + y − 1 6y 2 + 8y = 3y ⋅ ( y + 1) 2 + y − 1 = 3y ⋅ ( y + 1) = 13x 2 − y + 1 3y ÷ = 4x " Übers Kreuz multipliziert " −3 x 2 ⋅ + 30 ⋅ x + 30 22 − 33 ⋅ x ( z − 3) ⋅ ( 2 + z) + 5z ⋅ ( 2z − 3) ( z − 1) ⋅ ( 2z − 3) ⋅ ( 2 + z) MK 30.9.03 RegelnBrueche.mcd 2 x − 8 13x − 2 y + 1 ⋅ 5 x + 1 = 11z 2 − 16z − 6 2z 3 z 2 = − − 7z + 6 10 − 5x 8x + 8 4x 13x ⋅ 3y 2 − 8x 3y 2 = + 3y = x + 2 4
- Seite 2 und 3: (5) Addition und Subtraktion von me
- Seite 4: Eine weitere Aufgabe: 11 18 18 = 2
a,b,c,d sind Terme und außerdem gilt b ≠ 0 ≠ c<br />
(1) Multiplikation von <strong>Brüche</strong>n<br />
(4) Kürzen:<br />
Bsp: 2<br />
7<br />
a a ÷ c " Dividiere Zähler<br />
= Bsp:<br />
b b ÷ c und Nenner durch<br />
das Gleiche "<br />
6<br />
=<br />
9<br />
Bsp:<br />
(5) Addition und Subtraktion von <strong>Brüche</strong>n<br />
a<br />
b<br />
+<br />
d<br />
c<br />
=<br />
Bsp: 1<br />
16<br />
Bsp:<br />
Bsp:<br />
Bsp:<br />
a ⋅ c<br />
b ⋅ c<br />
+<br />
d ⋅ b<br />
b ⋅ c<br />
a ⋅ c + d ⋅ b<br />
=<br />
b ⋅ c<br />
2 3 32 35<br />
+ = + =<br />
3 48 48 48<br />
2y 1 −<br />
3y<br />
4x 2 +<br />
2 − 3x<br />
+<br />
−<br />
z − 3<br />
2y<br />
y + 1<br />
x − 4<br />
11<br />
=<br />
=<br />
( z − 1)<br />
⋅ ( 2z − 3)<br />
2y − 1<br />
3y<br />
⋅<br />
y + 1<br />
y + 1<br />
+<br />
=<br />
2 ⋅ 5<br />
7 ⋅ 5<br />
6 ÷ 3<br />
9 ÷ 3<br />
( x − 3)<br />
( x − 1)<br />
10<br />
= Bsp:<br />
35<br />
3x 3 − ( ) x 2 + ( ) ⋅<br />
=<br />
3x 2 −<br />
x − 3<br />
2<br />
= Bsp:<br />
3<br />
x2 − x − 6<br />
4x − 12<br />
3( x − 1)<br />
⋅ ( x + 2)<br />
( x − 3)<br />
( x − 1)<br />
⋅<br />
x − 1<br />
x − 1<br />
=<br />
3x 2<br />
− 5x + 2<br />
x 2<br />
=<br />
− 4x + 3<br />
( x + 2)<br />
⋅ ( x − 3)<br />
3 ⋅ ( x + 2)<br />
=<br />
x − 1<br />
4 ⋅ ( x − 3)<br />
" Gleichnamig machen: <strong>Brüche</strong> so erweitern, dass alle den<br />
gleichen Nenner haben. Damit ist der Nenner gefunden<br />
Die Zähler werden addiert (subtrahiert) zum Gesamtzähler. "<br />
2y<br />
y + 1<br />
( 4x + 2)<br />
⋅ 11 − ( x − 4)<br />
⋅ ( 2 − 3x)<br />
( 2 − 3x)<br />
⋅ 11<br />
( 4x + 2)<br />
⋅ 11 − ( x − 4)<br />
⋅ ( 2 − 3x)<br />
+<br />
5z<br />
( 2 − 3x)<br />
⋅ 11<br />
( z − 1)<br />
⋅ ( 2 + z)<br />
<strong>Rechenregeln</strong> <strong>für</strong> <strong>Brüche</strong><br />
a d a ⋅ d " Zähler * Zähler "<br />
⋅ = Bsp:<br />
b c b ⋅ c<br />
3 2 6<br />
⋅ = Bsp:<br />
" Nenner * Nenner "<br />
7 5 35<br />
(2) Division von <strong>Brüche</strong>n, d ≠ 0<br />
a<br />
b<br />
÷<br />
d<br />
c<br />
(3) Erweitern:<br />
a<br />
=<br />
b<br />
a ⋅ c<br />
a c a ⋅ c " Multipliziere mit<br />
= ⋅ = Bsp:<br />
b d b ⋅ d dem Kehrbruch "<br />
4 3 4 5 20<br />
÷ = ⋅ =<br />
7 5 7 3 21<br />
b ⋅ c<br />
" Multipliziere Zähler<br />
und Nenner mit<br />
dem Gleichen "<br />
=<br />
Bsp:<br />
3y 2y<br />
⋅<br />
3y<br />
2<br />
+ y − 1 6y 2<br />
+ 8y<br />
=<br />
3y ⋅ ( y + 1)<br />
2<br />
+ y − 1<br />
=<br />
3y ⋅ ( y + 1)<br />
=<br />
13x 2 −<br />
y + 1<br />
3y<br />
÷ =<br />
4x<br />
" Übers Kreuz<br />
multipliziert "<br />
−3 x 2<br />
⋅ + 30 ⋅ x + 30<br />
22 − 33 ⋅ x<br />
( z − 3)<br />
⋅ ( 2 + z)<br />
+ 5z ⋅ ( 2z − 3)<br />
( z − 1)<br />
⋅ ( 2z − 3)<br />
⋅ ( 2 + z)<br />
MK 30.9.03 RegelnBrueche.mcd<br />
2 x −<br />
8<br />
13x − 2<br />
y + 1<br />
⋅<br />
5<br />
x + 1<br />
=<br />
11z 2<br />
− 16z − 6<br />
2z 3<br />
z 2<br />
=<br />
− − 7z + 6<br />
10 − 5x<br />
8x + 8<br />
4x 13x<br />
⋅<br />
3y<br />
2<br />
− 8x<br />
3y 2<br />
=<br />
+ 3y<br />
=<br />
x + 2<br />
4
(5) Addition und Subtraktion von mehreren <strong>Brüche</strong>n, Hauptnenner<br />
" Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner "<br />
Bsp: 1 7 4<br />
+ + = ?<br />
6 4 3<br />
Bsp: 2 3 1 5<br />
+ + − = ?<br />
5 4 12 6<br />
Bsp:<br />
2 ⋅ 12<br />
60<br />
3<br />
x − 1<br />
3<br />
+<br />
−<br />
x − 1<br />
3 ⋅ 15<br />
60<br />
2 ⋅ x<br />
2 ⋅ x − 2<br />
1 ⋅ 5<br />
60<br />
2 ⋅ ( x + 1)<br />
⋅<br />
−<br />
2 ⋅ ( x + 1)<br />
1<br />
x 2<br />
+ = ?<br />
− 1<br />
2 ⋅ x<br />
2 ⋅ x − 2<br />
= 6x 6 + − 2x2 − 2x + 2<br />
2x 2<br />
=<br />
− 2<br />
+<br />
−<br />
6 = 2 ⋅ 3<br />
Bsp: 1 7 4 2 21 16 39 13<br />
+ + = + + = =<br />
6 4 3 12 12 12 12 4<br />
4 = 2 ⋅ 2<br />
Hauptnenner: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60<br />
5 ⋅ 10<br />
60<br />
=<br />
⋅<br />
24 + 45 + 5 − 50<br />
x + 1<br />
x + 1<br />
−2x 2<br />
+ 4x + 8<br />
2x 2<br />
− 2<br />
4 = 2 ⋅ 2<br />
12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3<br />
60<br />
2x − 2 = 2 ⋅ ( x − 1)<br />
Hauptnenner: 2 ⋅ ( x − 1)<br />
⋅ ( x + 1)<br />
2x 2<br />
= − 2<br />
1<br />
x 2<br />
2<br />
+ ⋅ =<br />
2<br />
− 1<br />
=<br />
3 = 3<br />
24 2<br />
= =<br />
60 5<br />
x 2<br />
− + 2x + 4<br />
x 2<br />
− 1<br />
Hauptnenner: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12<br />
6 = 2 ⋅ 3<br />
x 2<br />
− 1 = ( x − 1)<br />
⋅ ( x + 1)<br />
6( x + 1)<br />
2x 2<br />
− − 2x + 2<br />
2x 2<br />
− 2<br />
5 = 5
Aufgabe: Ordnen Sie die <strong>Brüche</strong> ihrer Größe nach!<br />
13<br />
=<br />
20<br />
17<br />
=<br />
36<br />
11<br />
=<br />
24<br />
33<br />
=<br />
72<br />
23<br />
=<br />
40<br />
13<br />
20<br />
(a) Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner: kgV( 20, 36,<br />
24,<br />
72,<br />
40)<br />
= 360 (nachrechnen!)<br />
(b) Machen Sie alle <strong>Brüche</strong> gleichnamig (mit dem Hauptnenner)<br />
13 ⋅ 18<br />
20 ⋅ 18<br />
17 ⋅ 10<br />
36 ⋅ 10<br />
11 ⋅ 15<br />
24 ⋅ 15<br />
33 ⋅ 5<br />
72 ⋅ 5<br />
23 ⋅ 9<br />
40 ⋅ 9<br />
17<br />
36<br />
234<br />
=<br />
360<br />
170<br />
=<br />
360<br />
165<br />
=<br />
360<br />
165<br />
=<br />
360<br />
207<br />
=<br />
360<br />
Aufgabe: Kürzen Sie soweit als möglich:<br />
Primfaktorzerlegung:<br />
11<br />
24<br />
33<br />
72<br />
23<br />
40<br />
1. Methode: Rechnen Sie mit dem Taschenrechner alle <strong>Brüche</strong> in Dezimalzahlen um:<br />
13<br />
= 0.65<br />
20<br />
17<br />
= 0.47222<br />
36<br />
11<br />
= 0.45833<br />
24<br />
Hier gilt tatsächlich<br />
1351350<br />
2187900<br />
11 33<br />
=<br />
24 72<br />
2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 1351350<br />
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 = 2187900<br />
33<br />
= 0.45833<br />
72<br />
Platz 1 3 ? ? 2<br />
Genauigkeit ?<br />
Diese Methode ist schnell, ungenau und <strong>für</strong> diese Übung ungeeignet.<br />
2. Methode Machen Sie alle <strong>Brüche</strong> gleichnamig<br />
23<br />
= 0.575<br />
40<br />
1351350 21<br />
=<br />
2187900 34
Eine weitere Aufgabe:<br />
11<br />
18<br />
18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3<br />
70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7<br />
35 = 5 ⋅ 7<br />
20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5<br />
36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3<br />
⇒ Hauptnenner: 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1260 , also kgV( 18, 70,<br />
35,<br />
20,<br />
36)<br />
= 1260<br />
11 11 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 770<br />
=<br />
=<br />
18 18 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 1260<br />
33 33 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 594<br />
=<br />
=<br />
70 70 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 1260<br />
19 19 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 684<br />
=<br />
=<br />
35 35 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 1260<br />
11 11 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 693<br />
=<br />
=<br />
20 20 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 1260<br />
19<br />
=<br />
36<br />
33<br />
70<br />
19 ⋅ 5 ⋅ 7<br />
36 ⋅ 5 ⋅ 7<br />
19<br />
35<br />
665<br />
=<br />
1260<br />
11<br />
20<br />
19<br />
36<br />
sollen der Größe nach geordnet werden