Trägergraph - MatheNexus
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1<br />
Au ( ) 2 ( u)<br />
⋅hu<br />
( )<br />
2 hu ( ) 2 u − ( ) ⋅ [ ]<br />
⋅ +<br />
⋅⎢ ⎥ 2u ⋅ ⋅ →<br />
:=<br />
Zielfunktion:<br />
Bestimmung des Extremums:<br />
−3<br />
4 u2 ⋅ − u + 1 = 0 auflösen , u<br />
Vergleich mit den Randwerten:<br />
Linker Wert:<br />
lim<br />
+<br />
u → −2<br />
⎡<br />
⎣<br />
Au ( )<br />
Au ( )<br />
→ 0<br />
:=<br />
−1<br />
4 u3 ⋅<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2<br />
2<br />
3<br />
Extremwertaufgaben<br />
Aufgabe:<br />
Unten stehende Abbildung zeigt den Querschnitt eines "auf dem Kopf"<br />
stehenden Schiffsrumpfes. Er soll durch ein Trapez aus Balken stabilisiert<br />
werden. Der genannte Querschnitt wird durch den Graphen der Funktion<br />
hx ( ) −0.25 x 2<br />
= ⋅ + 1 mit IDh = [ − 2 ; 2 ] sehr gut beschrieben.<br />
Berechnen Sie die Abszisse u ∈ ] − 2 ; 2 [ des Punktes P(u / h(u)) so, dass<br />
der Flächeninhalt sein absolutes Maximum annimmt.<br />
[ Mögliches Zwischenergebnis: Au ( )<br />
<strong>Trägergraph</strong>:<br />
Extremwertaufgabe Schiffsrumpf<br />
- aus der Abschlussprüfung Nachtermin 2001 -<br />
hx ( )<br />
Zielfunktion Trapezfläche (mit der Achsensymmetrie folgt):<br />
:=<br />
1<br />
− u<br />
4<br />
3 1<br />
⋅<br />
2 u2<br />
= − ⋅ + u + 2 ]<br />
−1<br />
4 x2 ⋅ + 1<br />
⎤<br />
⎦<br />
1<br />
2 u2 − ⋅ + u + 2<br />
⎞<br />
⎠<br />
Funktionswert:<br />
⎛<br />
⎝<br />
A 2<br />
⎜<br />
3<br />
Au( u)<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎠<br />
−1<br />
4 u2 ⋅ + 1<br />
u Au<br />
d<br />
:= ( ) →<br />
d<br />
keine Lösung<br />
64<br />
→ = 2.37<br />
27<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
GS - 20.05.06 - Schiffsrumpf.mcd<br />
⎞<br />
⎠<br />
−1<br />
4 u2 ⋅ + 1 2 u − ( ) ⋅<br />
−3<br />
4 u2 ⋅ − u + 1<br />
2<br />
umax :=<br />
3<br />
Rechter Wert:<br />
lim<br />
−<br />
u → 2<br />
Au ( )<br />
→ 0<br />
1 / 2 20.05.2006
⎛<br />
⎞<br />
Extremwertaufgaben<br />
Der relative HP 2 64<br />
⎜ , ist auch absoluter Hochpunkt.<br />
⎝ 3 27 ⎠<br />
Das Trapez nimmt seinen größten Flächeninhalt bei dem HP an.<br />
Wähle:<br />
u = 0.50 Au ( ) = 2.344<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
aufgeteilte Flächen<br />
umax = 0.667<br />
Amax = 2.37<br />
u max<br />
Schiffsrumpf mit Trapez<br />
− u<br />
u<br />
Flächenmaßzahl<br />
A max<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3<br />
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