Mathcad - Sekantenverfahren.mcd - MatheNexus

Am Beispiel: Sei f( x)
−0.1x 3
0.2x 2
:= + + 2x − 1 und x0 := −2
und x1 := −0.5
1. Näherungsberechnung:
Start: x0 = −2
y0 := f x0 x1 = −0.5
y1 := f x1 x1 − x0
x2 := x1 − ⋅ y1 x2 = 1.487 y2 := f x2 y1 − y0
2. Näherungsberechnung:
x2 − x1
x3 := x2 − ⋅ y2 x3 = 0.4565 y3 := f x3 y2 − y1
2. Näherungsberechnung:
Das Sekantenverfahren
x3 − x2
x4 := x3 − ⋅ y3 x4 = 0.48288 y4 := f x4 y3 − y2
"Sekantenverfahren"
( ) → −3.4
( ) → −1.9375
MK 4.6.2003 Sekantenverfahren.mcd
Ähnlich: Regula Falsi von EL
Statt der exakten Nullstelle einer Kurve wird die Nullstelle einer Sekante von zwei Startpunkten aus berechnet.
Sekantenverfahren_1.gxt
Sekante: y =
Punkt 1 einsetzen:
ergibt y =
y1 − y0
x1 − x0
t = y1 −
Nulstelle bei x2:
0 =
y1 − y0
x1 − x0
y1 − y0
x1 − x0
x2 = x1 −
⋅ x + t
y1 − y0
x1 − x0
⋅ x1
⋅ x + y1
y1 − y0
x1 − x0
( ) → 2.0877796321583303830
( ) 5.484503823034177350 10 -2
→ −
⋅
( ) 1.1301951274916515 10 -3
→
⋅
−
⋅ x2 + y1
x1 − x0
y1 − y0
Um eine verbesserte Genauigkeit zu erhalten wird ein weiterer Näherungsschritt ausgeführt:
x3 = x2 −
Allgemein ergibt sich folgender Algorithmus:
xi+ 2
=
xi+ 1
x2 − x1
y2 − y1
−
xi+ 1
yi+ 1
⋅ y2
− xi
⋅
− yi
yi+ 1
−
⋅ y1
y1 − y0
x1 − x0
⋅ x1
⋅ x1

xx := −2.1 , −2.05
.. 1.6
f( xx)
y
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
xx , x
Weitere Beispiele lassen sich mit dem Sekanten-Rechenblatt bearbeiten.
2
1
1
2
3