Übung: Kurvendiskussion mit ln-Funktionen - MatheNexus

Lösungen:
(1) Definitionsmenge: D = R +
(2) Nullstellen: Keine, siehe (6)
(3) Symmetrie: Keine, schon aus D ersichtlich.
(4) Grenzverhalten: x > 0
fa( x)
= 0
x---> ∞ x---> 0
ln( x)
-------------> ∞ ln( x)
-------------> −∞
fa( x)
1
2 x :=
− 1
2 1
−
x
fa( x)
:=
1
⋅
x
1
2 x
1
2
= − 1 x = 2 xe := 4
x > 0
x---> ∞ x---> 0
x − ln( x)
-------------> ∞ x − ln( x)
-------------> ∞
(Wurzel steigt schneller)
(5) Monotoniebereiche:
d
fa( x)
:=
f( x)
dx
>0
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2 x
1
2
− 1
f ist streng monoton abnehmend für 0 < x ≤ 4
f ist streng monoton zunehmend für 4 ≤ x
2
(6) Extrempunkte: Aus der Monotonie: fallen auf steigen bei 4 ⇒ Minimum bei 4 f( 4)
→ 4 − ln( 4)
= 0.614
f( 4)
> 0 Das Minimum bei 4 ist ein absolutes Minimum. Daher kann es keine Nullstellen geben.
(7) Krümmungsverhalten:
d
faa( x)
:= fa( x)
dx
faa( x)
−1
4 x
− 3
2
x 2 −
:= + faa( x)
x 2 −
:= ⋅
>0
−1
faa( x)
= 0
4 x
1
2
= + 1 x = 4 xw := 16
Nullstelle bei xw und keine Unstetigkeiten ⇒ f ist konkav für 0 < x ≤ 16
f ist konvex für 16 ≤ x
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞ ⎟⎟⎠
−1
4 x
1
2
+ 1
(8) Wendepunkte: Aus dem Krümmungsverhalten: VZW bei 16 ⇒ Wendepunkt
1
⎞
⎟
⎟
⎠
2
f( xw)
→ 16 − ln( 16)
= 1.227
f( x)
:= x − ln( x)
1