Übung: Kurvendiskussion mit ln-Funktionen - MatheNexus

Übung: Kurvendiskussion mit ln-Funktionen
Gegeben sei die Funktion f( x)
:= x − ln( x)
. Bestimmen Sie
(1) Definitionsmenge
(2) Nullstellen
(3) Symmetrie
(4) Grenzverhalten (und das Verhalten am Rande des Definiftionsbereiches)
(5) Monotoniebereiche
(6) Extrempunkte
(7) Krümmungsverhalten
(8) Wendepunkte
(9) Graph
(10) Berechnen Sie die Nullstelle der Wendetangente.
MK 3.6.2003 Kurvdiskussion_ln_Ueb_1.mcd

Lösungen:
(1) Definitionsmenge: D = R +
(2) Nullstellen: Keine, siehe (6)
(3) Symmetrie: Keine, schon aus D ersichtlich.
(4) Grenzverhalten: x > 0
fa( x)
= 0
x---> ∞ x---> 0
ln( x)
-------------> ∞ ln( x)
-------------> −∞
fa( x)
1
2 x :=
− 1
2 1
−
x
fa( x)
:=
1
⋅
x
1
2 x
1
2
= − 1 x = 2 xe := 4
x > 0
x---> ∞ x---> 0
x − ln( x)
-------------> ∞ x − ln( x)
-------------> ∞
(Wurzel steigt schneller)
(5) Monotoniebereiche:
d
fa( x)
:=
f( x)
dx
>0
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2 x
1
2
− 1
f ist streng monoton abnehmend für 0 < x ≤ 4
f ist streng monoton zunehmend für 4 ≤ x
2
(6) Extrempunkte: Aus der Monotonie: fallen auf steigen bei 4 ⇒ Minimum bei 4 f( 4)
→ 4 − ln( 4)
= 0.614
f( 4)
> 0 Das Minimum bei 4 ist ein absolutes Minimum. Daher kann es keine Nullstellen geben.
(7) Krümmungsverhalten:
d
faa( x)
:= fa( x)
dx
faa( x)
−1
4 x
− 3
2
x 2 −
:= + faa( x)
x 2 −
:= ⋅
>0
−1
faa( x)
= 0
4 x
1
2
= + 1 x = 4 xw := 16
Nullstelle bei xw und keine Unstetigkeiten ⇒ f ist konkav für 0 < x ≤ 16
f ist konvex für 16 ≤ x
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞ ⎟⎟⎠
−1
4 x
1
2
+ 1
(8) Wendepunkte: Aus dem Krümmungsverhalten: VZW bei 16 ⇒ Wendepunkt
1
⎞
⎟
⎟
⎠
2
f( xw)
→ 16 − ln( 16)
= 1.227
f( x)
:= x − ln( x)
1

(9) Graph x := 0.001 , 0.01 .. 20
f( x)
f( xe)
f( xw)
5
4
3
2
1
0 5 10 15 20
x , xe , xw
(10) Berechnen Sie die Nullstelle der Wendetangente.
wt( x)
= m ⋅ x + t mit dem Wendepunkt: f( xw)
= fa( xw)
⋅ xw + t
1
fa( xw)
32 16
1
1
4 − ln( 16)
16
2 1
→ ⋅ −
16
16 ⋅ t + =
wt( x)
1
16 x ⋅ 3 ln( 16)
− ( )
+ :=
xwt := −5 , −4.99
.. 20
f( x)
f( xe)
f( xw)
wt( xwt)
4
2
t := 3 − ln( 16)
1
16 x ⋅ 3 ln( 16)
− + ( ) 0 =
xnwt := −48 + 16 ⋅ ln( 16)
xnwt = −3.639
5 0 5 10 15 20
x , xe , xw ,
xwt

x
ln( x)
x---> ∞
------------->
1
2
x---> ∞
x
− 1
2
1
x
1
2 x
L´Hospital
1
2
= -------------> ∞