Vermessen in der Geometrie
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8.2 Vermessen mit der Bussole 8.2.1 Die Höhenvermessung SS2004 Vermessen in der Geometrie Der zu messende Turm ist nicht unmittelbar begehbar. Die Strecke x ist ein Fluss, ein See, ein Dickicht, ... und stellt für die Geometer ein Hindernis dar. Es kann zum Beispiel keine Schattenmethode angewandt werden, da das Maßband nirgends ausgelegt werden kann. Es wird aus diesem Grund hinter dem Hindernis eine Standlinie [AB] festgelegt und ihre Länge gemessen. Es wird danach mit der Bussole von Punkt A und von Punkt B aus die Spitze des Turmes (Turmkreuz der Basilika) anvisiert und die Winkel α und β ermittelt. In der 7. Klasse wird das Dreieck ABC maßstabsgetreu gezeichnet (WSW). Die fragliche Höhe wird abgelesen und umgerechnet. Da in der 10. Klasse die Trigonometrie behandelt wird, ist hier auch eine trigonometrische Lösung möglich. α, β und s können gemessen werden. Unbekannt ist die Strecke BF. Aus der Skizze ergibt sich: H H = tanα ⇒ s + x = s + x tanα H x H = tan β ⇒ x = tan β 47 F
Gleichgesetzt: H H = s + tanα tan β ⎛ 1 1 ⎞ s = H ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ tanα tan β ⎠ s H = 1 1 − tanα tan β tanα ⋅ tan β H = s ⋅ tan β − tanα SS2004 Vermessen in der Geometrie 8.2.2 Entfernung zu einem bestimmten Punkt, der völlig unzugänglich ist Es werden wieder zwei Punkte A und B als Endpunkte einer Standlinie, deren Länge gemessen wird, bestimmt. Zunächst wird der Punkt P von Punkt A aus anvisiert und der Winkel gemessen, anschließend auch noch von Punkt B aus. Die Strecke s und die Winkel α und β sind nun bekannt, der Winkel γ kann über die Winkelsumme im Dreieck errechnet werden. Somit können die SuS der Klasse 7 das Dreieck ABP maßstabsgetreu zeichnen (WSW). Aus der Zeichnung können sie jetzt die Entfernungen d und q zu Punkt P ablesen und umrechnen. Für die SuS der Klasse 10 gibt es eine trigonometrische Lösung: 48
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Gleichgesetzt:<br />
H H<br />
= s +<br />
tanα<br />
tan β<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
s = H ⋅ ⎜ − ⎟<br />
⎝ tanα<br />
tan β ⎠<br />
s<br />
H =<br />
1 1<br />
−<br />
tanα<br />
tan β<br />
tanα<br />
⋅ tan β<br />
H = s ⋅<br />
tan β − tanα<br />
SS2004<br />
<strong>Vermessen</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Geometrie</strong><br />
8.2.2 Entfernung zu e<strong>in</strong>em bestimmten Punkt, <strong>der</strong> völlig unzugänglich ist<br />
Es werden wie<strong>der</strong> zwei Punkte A<br />
und B als Endpunkte e<strong>in</strong>er<br />
Standl<strong>in</strong>ie, <strong>der</strong>en Länge<br />
gemessen wird, bestimmt.<br />
Zunächst wird <strong>der</strong> Punkt P von<br />
Punkt A aus anvisiert und <strong>der</strong><br />
W<strong>in</strong>kel gemessen, anschließend<br />
auch noch von Punkt B aus. Die<br />
Strecke s und die W<strong>in</strong>kel α und β<br />
s<strong>in</strong>d nun bekannt, <strong>der</strong> W<strong>in</strong>kel γ<br />
kann über die W<strong>in</strong>kelsumme im<br />
Dreieck errechnet werden. Somit<br />
können die SuS <strong>der</strong> Klasse 7 das<br />
Dreieck ABP maßstabsgetreu<br />
zeichnen (WSW). Aus <strong>der</strong> Zeichnung können sie jetzt die Entfernungen d und q zu<br />
Punkt P ablesen und umrechnen. Für die SuS <strong>der</strong> Klasse 10 gibt es e<strong>in</strong>e<br />
trigonometrische Lösung:<br />
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