Mitschrift - Mathematik

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1 = 1·1 f (1) = f (1·1) = f (1) · f (1) | : f (1) 1 = f (1) Oder: f -1 (1) · f (1) = f -1 (1) · f (1) · f (1) 1 = 1· f (1) Invarianz der negativen Elemente. Das heißt jeder Automorphismusf eines beliebigen Körpers K erfüllt f(-a)=-f(a) Beweis: z.Z. f(-a)+f(a)=0 f(-a)+f(a)=f((-a)+a)=f(0)=0 q.e.d Invarianz der ganzen Zahlen in Q. jder Automorphismus f von Q lässt jede ganze Zahl fest. Beweis: n= 1+1+1+1+1+. . . .+1 Da f(1)=1 ergibt sich daraus. f(n)= f(1+1+1+1…+1)=f(1)+ f(1)+ . . .+f(1)=1+1+1. . . .=n -n= (-1)+(-1) + . . . . aus f(-1)= -f(1) = -1 folgt f(-n)= f((-1)+(-1)+(-1)+(-1)…+(-1))=f(-1)+ f(-1)+ . . .+f(-1)=(-1)+(-1)+(-1). . . .=-n jetzt noch: jede rationale Zahl q bleibt fest. F(q)=f(r/s)=f(r*s -1 )= f(r)*f(s -1 )=r*s -1 =q Also bleibt jede Zahl in Q fest man kann auch beweisen, dass jede Zahl in R fest bleibt. GF (2) hat nur die Identität (Id.) als Automorphismus: f (0) = 0, f (1) = 1 GF (3) : f (0) = 0 f (1) = 1 ⇒ 1 Automorphismus (Id.) f (2) = 2 Aufgabe: Sei f: K → L ein Homomorphismus des Körpers K in den Körper L. Zeigen Sie: a) Das Element 0 ∈ K ist das einzige Element, welches auf 0 ∈L abgebildet wird. □
Beweis: Ann.: Es gibt ein zweites Element N ≠ 0 mit f (N) = 0, N ∈K Da N ≠ 0 gibt es ein N -1 ∈K mit N·N -1 = 1 f (1) = f (N·N -1 ) = f (N) · f (N -1 ) = 0· f (N -1 ) = 0 Widerspruch ! ⇒ f (N) ≠ 0 (Widerspruch zur Annahme)
Seite 1 und 2: Mitschrieb vom 01.06.06 2) Nullteil
Seite 3: 2.4 Automorphismen 2.4.1 Definition

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