Mitschrift - Mathematik

1 = 1·1
f (1) = f (1·1) = f (1) · f (1) | : f (1)
1 = f (1)
Oder: f -1 (1) · f (1) = f -1 (1) · f (1) · f (1)
1 = 1· f (1)
Invarianz der negativen Elemente. Das heißt jeder Automorphismusf eines beliebigen
Körpers K erfüllt f(-a)=-f(a)
Beweis: z.Z. f(-a)+f(a)=0 f(-a)+f(a)=f((-a)+a)=f(0)=0 q.e.d
Invarianz der ganzen Zahlen in Q. jder Automorphismus f von Q lässt jede ganze
Zahl fest.
Beweis: n= 1+1+1+1+1+. . . .+1
Da f(1)=1 ergibt sich daraus. f(n)= f(1+1+1+1…+1)=f(1)+ f(1)+ . . .+f(1)=1+1+1. . . .=n
-n= (-1)+(-1) + . . . .
aus f(-1)= -f(1) = -1 folgt
f(-n)= f((-1)+(-1)+(-1)+(-1)…+(-1))=f(-1)+ f(-1)+ . . .+f(-1)=(-1)+(-1)+(-1). . . .=-n
jetzt noch: jede rationale Zahl q bleibt fest.
F(q)=f(r/s)=f(r*s -1 )= f(r)*f(s -1 )=r*s -1 =q
Also bleibt jede Zahl in Q fest man kann auch beweisen, dass jede Zahl in R fest
bleibt.
GF (2) hat nur die Identität (Id.) als Automorphismus: f (0) = 0, f (1) = 1
GF (3) : f (0) = 0
f (1) = 1 ⇒ 1 Automorphismus (Id.)
f (2) = 2
Aufgabe: Sei f: K → L ein Homomorphismus des Körpers K in den Körper L.
Zeigen Sie:
a) Das Element 0 ∈ K ist das einzige Element, welches auf 0 ∈L
abgebildet wird.
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