Mitschrift - Mathematik

2.4 Automorphismen
2.4.1 Definition: Ein Homomorphismus von K nach L ist eine Abbildung von K
nach L für die gilt:
f (x + y) = f (x) + f (y)
auf f (x·y) = f (x) · f (y) und folgende Eigenschaft erfüllt ist
f (1) ≠ 0.
• Die arithmetische Struktur von K wird durch f auf die arithmetische Struktur von L
also f (x) + f (y); f (x) · f (y) übertragen.
• Jeder Homomorphismus ist automatisch injektiv.
• Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, falls er bijektiv ist.
• Ein Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst heißt Automorphismus.
Jede Struktur hat mindestens einen Automorphismus. Nämlich die Identität.
A: R → R
A (x) = x
A (x + y) = x + y = A (x) + A (y)
A (x·y) = x·y = A (x) · A (y)
Ist auch f (x) = 2x ein Automorphismus?
f (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f (x) + f (y)
f (x·y) = 2·x·y & f (x) · f (y) = 2x · 2y = 4xy ⇒ kein Automorphismus
Wenn ein Körper nur einen Automorphismus besitzt, nennt man ihn starr.
Wir wollen zeigen, das Q starr ist.
Beweis: Invarianz der Neutralen Elemente
z.z.: f (0) = 0, f (1) = 1
0 = 0 + 0
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) | - f (0)
0 = f (0)