Mitschrift - Mathematik
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Mitschrieb vom 01.06.06<br />
2) Nullteilerfreiheit<br />
Sind x, y ∈ K und gilt x ≠ 0, y ≠ 0 so ist auch x·y ≠ 0<br />
Beweis (Widerspruchsbeweis):<br />
Ann.: Sei x ≠ 0, y ≠ 0 und x·y = 0<br />
Da x ≠ 0 gibt es ein x -1 ∈ K mit x·x -1 = 1<br />
y = 1·y = (x· x -1 )·y = x -1 ·x·y = x -1 ·0 = 0<br />
⇒ y = 0 Widerspruch zur Voraussetzung<br />
⇒ Annahme falsch, dass x·y = 0 ist.<br />
d) Abgeschlossenheit<br />
Verknüpfungen von zwei Elementen in K sind Abbildungen von K x K in K.<br />
A: K x K→ K M: K x K → K<br />
A: (x, y) → x + y M: (x, y) → x·y<br />
2.2 Besondere Körper<br />
R und Q sind Körper.<br />
N und Z sind keine Körper.<br />
In N : kein additives Inverses<br />
∀ a ∈ N und a≠0 gilt: es gibt kein a -1 ∈ N mit a + a -1 = 0<br />
In Z : keine multiplikativen Inversen<br />
-1 -1<br />
∀z ∈Z, (z ≠± 1) gilt: es gibt kein z ∈ Z mit z· z = 1<br />
2.3 Der endliche Körper GF (2)<br />
K = {0, 1}<br />
+ 0 1<br />
0 0 1<br />
1 1 0<br />
. 0 1<br />
0 0 0<br />
1 0 1<br />
□
Die ausgefüllten Tabellen zeigen: Es liegt Kommutativität vor.<br />
Es gibt Inverse bzgl. Der Addition und der Multiplikation. Es gibt sowohl ein<br />
neutrales Element für die Addition wie für die Multuiplikation<br />
Distributivgesetz: 1 = 1· (0+1) = 1·0 + 1·1 = 1<br />
0 = 1· (1+1) = 1·1 + 1·1 = 0<br />
Der Körper mitr drei Elementen GF (3) = {0, 1, 2}<br />
+ 0 1 2<br />
0 0 1 2<br />
1 1 2 0<br />
2 2 0 1<br />
+ 0 1 2<br />
0 0 0 0<br />
1 0 1 2<br />
2 0 2 1<br />
Auch hier werden alle Körperaxiome erfüllt.<br />
GF (4) = {0, 1, a, a+1}<br />
+ 0 1 a a + 1<br />
0 0 1 a a + 1<br />
1 1 0 a + 1 a<br />
a a a + 1 0 1<br />
a +1 a + 1 a 1 0<br />
Jedes Element ist zu sich selbst additive invers<br />
(a + 1) + (a + 1) = 0<br />
da a² + a + a + 1 = a<br />
(a + 1) + a + (a + 1) = a<br />
⇒ (a + 1) + (a + 1) = 0<br />
· 0 1 a a + 1<br />
0 0 0 0 0<br />
1 0 1 a a + 1<br />
a 0 a a + 1 1<br />
a +1 0 a + 1 1 a
2.4 Automorphismen<br />
2.4.1 Definition: Ein Homomorphismus von K nach L ist eine Abbildung von K<br />
nach L für die gilt:<br />
f (x + y) = f (x) + f (y)<br />
auf f (x·y) = f (x) · f (y) und folgende Eigenschaft erfüllt ist<br />
f (1) ≠ 0.<br />
• Die arithmetische Struktur von K wird durch f auf die arithmetische Struktur von L<br />
also f (x) + f (y); f (x) · f (y) übertragen.<br />
• Jeder Homomorphismus ist automatisch injektiv.<br />
• Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, falls er bijektiv ist.<br />
• Ein Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst heißt Automorphismus.<br />
Jede Struktur hat mindestens einen Automorphismus. Nämlich die Identität.<br />
A: R → R<br />
A (x) = x<br />
A (x + y) = x + y = A (x) + A (y)<br />
A (x·y) = x·y = A (x) · A (y)<br />
Ist auch f (x) = 2x ein Automorphismus?<br />
f (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f (x) + f (y)<br />
f (x·y) = 2·x·y & f (x) · f (y) = 2x · 2y = 4xy ⇒ kein Automorphismus<br />
Wenn ein Körper nur einen Automorphismus besitzt, nennt man ihn starr.<br />
Wir wollen zeigen, das Q starr ist.<br />
Beweis: Invarianz der Neutralen Elemente<br />
z.z.: f (0) = 0, f (1) = 1<br />
0 = 0 + 0<br />
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) | - f (0)<br />
0 = f (0)
1 = 1·1<br />
f (1) = f (1·1) = f (1) · f (1) | : f (1)<br />
1 = f (1)<br />
Oder: f -1 (1) · f (1) = f -1 (1) · f (1) · f (1)<br />
1 = 1· f (1)<br />
Invarianz der negativen Elemente. Das heißt jeder Automorphismusf eines beliebigen<br />
Körpers K erfüllt f(-a)=-f(a)<br />
Beweis: z.Z. f(-a)+f(a)=0 f(-a)+f(a)=f((-a)+a)=f(0)=0 q.e.d<br />
Invarianz der ganzen Zahlen in Q. jder Automorphismus f von Q lässt jede ganze<br />
Zahl fest.<br />
Beweis: n= 1+1+1+1+1+. . . .+1<br />
Da f(1)=1 ergibt sich daraus. f(n)= f(1+1+1+1…+1)=f(1)+ f(1)+ . . .+f(1)=1+1+1. . . .=n<br />
-n= (-1)+(-1) + . . . .<br />
aus f(-1)= -f(1) = -1 folgt<br />
f(-n)= f((-1)+(-1)+(-1)+(-1)…+(-1))=f(-1)+ f(-1)+ . . .+f(-1)=(-1)+(-1)+(-1). . . .=-n<br />
jetzt noch: jede rationale Zahl q bleibt fest.<br />
F(q)=f(r/s)=f(r*s -1 )= f(r)*f(s -1 )=r*s -1 =q<br />
Also bleibt jede Zahl in Q fest man kann auch beweisen, dass jede Zahl in R fest<br />
bleibt.<br />
GF (2) hat nur die Identität (Id.) als Automorphismus: f (0) = 0, f (1) = 1<br />
GF (3) : f (0) = 0<br />
f (1) = 1 ⇒ 1 Automorphismus (Id.)<br />
f (2) = 2<br />
Aufgabe: Sei f: K → L ein Homomorphismus des Körpers K in den Körper L.<br />
Zeigen Sie:<br />
a) Das Element 0 ∈ K ist das einzige Element, welches auf 0 ∈L<br />
abgebildet wird.<br />
□
Beweis:<br />
Ann.: Es gibt ein zweites Element N ≠ 0 mit f (N) = 0, N ∈K<br />
Da N ≠ 0 gibt es ein N -1 ∈K mit N·N -1 = 1<br />
f (1) = f (N·N -1 ) = f (N) · f (N -1 ) = 0· f (N -1 ) = 0 Widerspruch !<br />
⇒ f (N) ≠ 0 (Widerspruch zur Annahme)