Mitschrift - Mathematik

Mitschrieb vom 01.06.06
2) Nullteilerfreiheit
Sind x, y ∈ K und gilt x ≠ 0, y ≠ 0 so ist auch x·y ≠ 0
Beweis (Widerspruchsbeweis):
Ann.: Sei x ≠ 0, y ≠ 0 und x·y = 0
Da x ≠ 0 gibt es ein x -1 ∈ K mit x·x -1 = 1
y = 1·y = (x· x -1 )·y = x -1 ·x·y = x -1 ·0 = 0
⇒ y = 0 Widerspruch zur Voraussetzung
⇒ Annahme falsch, dass x·y = 0 ist.
d) Abgeschlossenheit
Verknüpfungen von zwei Elementen in K sind Abbildungen von K x K in K.
A: K x K→ K M: K x K → K
A: (x, y) → x + y M: (x, y) → x·y
2.2 Besondere Körper
R und Q sind Körper.
N und Z sind keine Körper.
In N : kein additives Inverses
∀ a ∈ N und a≠0 gilt: es gibt kein a -1 ∈ N mit a + a -1 = 0
In Z : keine multiplikativen Inversen
-1 -1
∀z ∈Z, (z ≠± 1) gilt: es gibt kein z ∈ Z mit z· z = 1
2.3 Der endliche Körper GF (2)
K = {0, 1}
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
. 0 1
0 0 0
1 0 1
□

Die ausgefüllten Tabellen zeigen: Es liegt Kommutativität vor.
Es gibt Inverse bzgl. Der Addition und der Multiplikation. Es gibt sowohl ein
neutrales Element für die Addition wie für die Multuiplikation
Distributivgesetz: 1 = 1· (0+1) = 1·0 + 1·1 = 1
0 = 1· (1+1) = 1·1 + 1·1 = 0
Der Körper mitr drei Elementen GF (3) = {0, 1, 2}
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
+ 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
Auch hier werden alle Körperaxiome erfüllt.
GF (4) = {0, 1, a, a+1}
+ 0 1 a a + 1
0 0 1 a a + 1
1 1 0 a + 1 a
a a a + 1 0 1
a +1 a + 1 a 1 0
Jedes Element ist zu sich selbst additive invers
(a + 1) + (a + 1) = 0
da a² + a + a + 1 = a
(a + 1) + a + (a + 1) = a
⇒ (a + 1) + (a + 1) = 0
· 0 1 a a + 1
0 0 0 0 0
1 0 1 a a + 1
a 0 a a + 1 1
a +1 0 a + 1 1 a

2.4 Automorphismen
2.4.1 Definition: Ein Homomorphismus von K nach L ist eine Abbildung von K
nach L für die gilt:
f (x + y) = f (x) + f (y)
auf f (x·y) = f (x) · f (y) und folgende Eigenschaft erfüllt ist
f (1) ≠ 0.
• Die arithmetische Struktur von K wird durch f auf die arithmetische Struktur von L
also f (x) + f (y); f (x) · f (y) übertragen.
• Jeder Homomorphismus ist automatisch injektiv.
• Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, falls er bijektiv ist.
• Ein Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst heißt Automorphismus.
Jede Struktur hat mindestens einen Automorphismus. Nämlich die Identität.
A: R → R
A (x) = x
A (x + y) = x + y = A (x) + A (y)
A (x·y) = x·y = A (x) · A (y)
Ist auch f (x) = 2x ein Automorphismus?
f (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f (x) + f (y)
f (x·y) = 2·x·y & f (x) · f (y) = 2x · 2y = 4xy ⇒ kein Automorphismus
Wenn ein Körper nur einen Automorphismus besitzt, nennt man ihn starr.
Wir wollen zeigen, das Q starr ist.
Beweis: Invarianz der Neutralen Elemente
z.z.: f (0) = 0, f (1) = 1
0 = 0 + 0
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) | - f (0)
0 = f (0)

1 = 1·1
f (1) = f (1·1) = f (1) · f (1) | : f (1)
1 = f (1)
Oder: f -1 (1) · f (1) = f -1 (1) · f (1) · f (1)
1 = 1· f (1)
Invarianz der negativen Elemente. Das heißt jeder Automorphismusf eines beliebigen
Körpers K erfüllt f(-a)=-f(a)
Beweis: z.Z. f(-a)+f(a)=0 f(-a)+f(a)=f((-a)+a)=f(0)=0 q.e.d
Invarianz der ganzen Zahlen in Q. jder Automorphismus f von Q lässt jede ganze
Zahl fest.
Beweis: n= 1+1+1+1+1+. . . .+1
Da f(1)=1 ergibt sich daraus. f(n)= f(1+1+1+1…+1)=f(1)+ f(1)+ . . .+f(1)=1+1+1. . . .=n
-n= (-1)+(-1) + . . . .
aus f(-1)= -f(1) = -1 folgt
f(-n)= f((-1)+(-1)+(-1)+(-1)…+(-1))=f(-1)+ f(-1)+ . . .+f(-1)=(-1)+(-1)+(-1). . . .=-n
jetzt noch: jede rationale Zahl q bleibt fest.
F(q)=f(r/s)=f(r*s -1 )= f(r)*f(s -1 )=r*s -1 =q
Also bleibt jede Zahl in Q fest man kann auch beweisen, dass jede Zahl in R fest
bleibt.
GF (2) hat nur die Identität (Id.) als Automorphismus: f (0) = 0, f (1) = 1
GF (3) : f (0) = 0
f (1) = 1 ⇒ 1 Automorphismus (Id.)
f (2) = 2
Aufgabe: Sei f: K → L ein Homomorphismus des Körpers K in den Körper L.
Zeigen Sie:
a) Das Element 0 ∈ K ist das einzige Element, welches auf 0 ∈L
abgebildet wird.
□

Beweis:
Ann.: Es gibt ein zweites Element N ≠ 0 mit f (N) = 0, N ∈K
Da N ≠ 0 gibt es ein N -1 ∈K mit N·N -1 = 1
f (1) = f (N·N -1 ) = f (N) · f (N -1 ) = 0· f (N -1 ) = 0 Widerspruch !
⇒ f (N) ≠ 0 (Widerspruch zur Annahme)