2 Der Körper der komplexen Zahlen - Mathematik

Skript zu Komplexe Zahlen SS2004 M. Ludwig
2 Der Körper der komplexen Zahlen
2.1 Der Körper
Die Menge der Brüche Q hat gegenüber den Natürlichen Zahlen IN und den ganzen
Zahlen ZZ eine erweiterte Struktur.
So gibt es in IN kein Inverses der Addition und in ZZ kein Inverses der Multiplikation.
Beides existiert in Q. Außerdem gelten in Q das Distributiv-, Kommutativ- und das
Assoziativgesetz.
Definition: eine algebraische Struktur (K;+; ·) nennt man Körper, wenn gilt:
(K1) Bezüglich der Addition (+) gelten das Assoziativgesetz und das
Kommutativgesetz.
Außerdem gibt es zu jedem a∈K ein b∈K mit a+b=0 ;0∈K.
(K2) Bezüglich der Multiplikation (·) gelten das Assoziativgesetz und das
Kommutativgesetz.
Außerdem gibt es zu jedem a∈K ein b∈K mit a·b=1; 1∈ K.
(K3) Es gelten die Distributivgesetze.
Beispiele: 1) Q ist ein Körper
2) IR ist ein Körper
3) Q[ 2 ] ist ein Körper (Q adjungiert (=dazufügen) 2 )
z.B. sind −
1 1
2 ; ; −
3 27
2 ∈ Q[ 2 ]
bzgl. "+" gibt es ein Inverses zu jedem a ∈ Q[ 2 ]
⇒ a 2 ∈ Q[ 2 ]
-a 2 ∈ Q[ 2 ]
⇒ a 2 + (-a 2 ) = 0
Gibt es bzgl. "·" ein Inverses zu a 2 ?
a 2 · x = 1 x∈ Q[ 2 ]?
a 2 ·
a
2
⋅ 2
=1
a
2
⋅ 2
∈ Q[ 2 ]
⇒ Zu jedem a 2 ∈ Q[ 2 ] gibt es ein Inverses bzgl.
der Multiplikation.
4) Es sei die Menge IR × IR = IR 2 gegeben.
(x,y)∈ IR 2 ist die Menge der reellen Zahlenpaare.
- 6 -

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Wir definieren folgende innere Verknüpfungen:
Addition « + » (x1,y1 ) + (x2,y2 ) = (x1+x2 ,y1+y2)
Multiplikation « · » (x1,y1) ·( x2,y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2+ x2 y1)
- Man erkennt, dass bezüglich der Addition das Assoziativgesetz und
das Kommutativgesetz gelten. Außerdem ist (0,0) das Neutrale
Element und es existiert ein inverses Element.
- Bei der Multiplikation gelten das Assoziativgesetz und das
Kommutativgesetz.
Es gibt das neutrale Element (1,0),
denn (1,0) · (x,y) = (x-0, 0·x + y) q.e.d.
- Auch die Distributivgesetze gelten. Übung
(x·a - y·b, xb + ya) !
= (1,0)
wir suchen a und b so, dass (a,b) invers zu (x,y) ist.
I. x·a - y·b = 1 Lineares Gleichungssystem
⇒ II. xb + ya = 0
Zuerst eliminieren wir a.
x
II. · - I.
y
y ≠ 0
2
x b
+ xa − xa + yb = −1
y
2
x b
+ yb = −1
y
b(
x
2
b in I.
xa +
x
xa =
+ y
x
2
2
ax =
x
a =
x
2
2
2
) = −y
− y
b = 2
x + y
y
x
2
+ y
+ y
x
x
2
2
2
2
+ y
+ y
+ y
2
2
= 1
− y
⇒ zu z=(x,y) ist z -1 =
2
2
für (x,y) ≠ 0 .
2
y
·
y
: x≠ 0
⎛
⎜
⎝ x
2
- 7 -
x
+ y
2
y ≠ 0
− y ⎞
;
⎟ das multiplikativ Inverse
2 2
x + y ⎠

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⇒ (IR 2 ,+, ·) ist bezüglich der oben genannten inneren
Verknüpfung ein Körper!
Genau diese inneren Verknüpfungen fand 1572 Bombelli in
seiner L’Algebra, als er sich mit den Rechenregeln für diese
mystischen Zahl befasste (Kapitel 1 S. 5).
(IR 2 ,+, ·) ist mit obiger Verknüpfung deshalb der Körper C der
Komplexen Zahlen.
Definition: ein Körper heißt angeordnet, wenn folgende Axiome gelten:
1. Trichotomie: ∀ a,b∈K ist genau eine von drei Dingen eins der 3 Relationen
wichtig. a>b a=b ab und b>c folgt a>c
3. Monotonie der Addition:
Aus a>b folgt c>0 ac > bc
∀
2.2 IR als Teilkörper von C
Wir haben C aus R konstruiert. Es liegt also nahe, dass R ⊂ C.
Es gibt eine eindeutige Abbildung von 3 a ∀ mit f : x a ( x,
0)
x ∈3
(x,
0)
∈C.
( x,
y)
Es gilt:
f ( 1)
= ( 1,
0)
f ( 5 ⋅ 8)
= f
( 5)
⋅ f
( 8)
=
( 5,
0)
( 8,
0)
(x, 0)
∈C
x ∈R
8,
0)
( 40,
0)
f ( a + b)
= f ( a)
+ f ( b)
= ( a,
0)
+ ( b,
0)
= ( a + b,
0)
⋅
=
( 5
⋅
=
=
f
( 40)
C ist eine Körpererweiterung von R. Allerdings ist C nicht mehr angeordnet.
Beweis (Widerspruch): Annahme: C ist angeordnet
Zunächst machen wir uns klar das gilt: (0,1) · (0,1)=(-1,0) = -1∈R
Aus Trichotomie folgt, da (0,1) ≠ 0: (0,1) > 0 oder (0,1) < 0.
Jede dieser Annahmen führt zum Widerspruch.
1) (0,1) · (0,1) > (0,1) · 0 ⇒ - (0,1)=(0,-1) > 0
2) (0,1) < 0 ⇒ - (0,1) > 0
-(0,1) · - (0,1) > - (0,1) · 0
-1 > 0 =
- 8 -
·

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2.3 Besonderheiten der Multiplikation in C
Rechenregeln aus 2.1:
1) (3,0) · ( 5,0) = (3·5-0·0, 3·0+0·5) =(15,0)
2) (0,3) · ( 0,5) = (0·0-3·5, 0·5+3·0)= ( -15,0) ∈R
3) (0,7) · ( 0,7) = (0· 0-7·7, 0· 7+7· 0)= (-49,0) ∈R
Die Beispiele 2) und 3) zeigen, dass es möglich ist, durch Multiplikation von zwei
Zahlen aus C wieder in R zu landen.
−
⇒ ∀z = ( 0,
z)
∈C
gilt z · z ∈ R
Das hat weitreichende Folgen!
2
Die einfache quadratische Gleichung x + 1 = 0 hat jetzt eine Lösung.
Man definiert:
Beispiel:
x
x
x
x
2
1/
2
1/
2
1/
2
⇒ x
( 0,
+ 1)
=
( 0,
−1)
= −
+ 2x
+ 2 = 0
x
1
=
2
1
=
2
= −1
±
1
2
−1
−1
( − 2 ± 4 − 8)
( − 2 ± 2 −1)
= ( −1,
1)
−1
= ( −1,
−1)
Die Gleichung hat in C zwei Lösungen.
Probe für (-1,-1):
(-1,-1)² + 2(-1,-1) + 2
= (1-1,1+1) +2(-1,-1) + (2,0)
= (0,2) + (-2,-2) + (2,0)
= (0,0) = 0 q.e.d.
x
x
x
2
1
2
= −1
= ( 0,
1)
= ( 0,
−1)
Die Probe für (-1,1) bleibt dem Leser überlassen.
- 9 -
denn
denn
( 0,
1)
⋅ ( 0,
1)
= ( −1,
0)
= −1
( 0,
−1)
⋅ ( 0,
−1)
=
( 0
−1,
0)
= −1

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2.4 Die imaginäre Einheit
−1 = ( 0,
1)
wird abgekürzt mit i .
i bezeichnet man als imaginäre Einheit.
i = − 1
i = (0,1)
=ˆ i
⇒ (a, b) a + b ∈C
Die komplexen Zahlen haben nun die Form
z = a + i b a, b∈R;
z∈C
↑
↑
Realteil Imaginärteil
Summe und Produkt zweier Zahlen aus C
zu beachten: i · i = -1
z + z
1
2
z 1=
(a + bi ) z 2 = (c + d i )
(a + b i ) + (c + di ) = a + c + i · (b + d)
1 2 z z ⋅
(a + b i ) · (c + d i ) = ac + i ad + i bc +i ² bd
= ac + i · (ad + bc) - bd
= ac – bd + i · (ad + bc)
*
Mit z wird die Konjugierte von z bezeichnet!
*
z = (a - bi ), wenn z = a + b i die Bezeichnung ist.
*
Manchmal findet man für z auch z .
2.5 Rechnen im Körper der komplexen Zahlen
*
z ⋅ z = (a + b i ) · (a - bi )
*
z ⋅ z = a² - i ab + i ab – i ² b²
*
z ⋅ z = a² + b²
*
z ⋅ z
⇒ = 1
2 2
a + b
* ⎛ z ⎞
⇒ z ⋅ ⎜ = 1 = z ⋅ z
2 2
a b ⎟
⎝ + ⎠
⇒ z
−1
*
z
=
z ⋅ z *
−1
−1
Mit z wird das Inverse von z bezeichnet.
- 10 -

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Beispielaufgaben:
1) z = (3 - 4i )
u = (-2+3i )
z·u = (3 - 4i )(-2+3 i )
= -6 +9i +8 i +12
= 6 + 17 i
2) z = (7 – 2 i ) gesucht ist
3)
iz
z
z
1
2
−1
2
1/
2
z
*
z
=
z ⋅ z
− 6 ±
=
= 3i
− 4
*
+ 6z
− 25i
= 0
−1
z
7 + 2i
7 + zi
= =
49 + 4 53
36 − 4i
2i
− 6 ± 36 −100
=
2i
− 6 ± 8i
⎛ i ⎞
=
⋅⎜
⎟
2i
⎝ i ⎠
− 6i
± 8
= = 3i
± 4
− 2
= 3i
+ 4
1/
2
z
1/
2
z
1/
2
z
z
( − 25i)
)
- 11 -

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4) z = i gesucht ist z
z = a + ib = i
⇒ ( a + ib)
⋅ ( a + ib)
= i
2
⇒ a
2
+ 2abi
− b = i
I.
2 2
a − b = 0 Realteil
⇒ II. 2 ab = 1 Imaginärteil
2 2
aus I. a = b I.‘
2 1
2
aus II. a = II.‘⇒ 2 a aus I.‘ in II.‘
4b
⇒
⇒ b
⇒ b
⇒ b
2 2
2
i = + i oder i = − − i
2 2
2
5) zu zeigen: (z1·z2) * = z1 * ·z2 *
(z1+z2) * = z1 * +z2 *
Linearität der Konjugation
[(a+ )(x+i y)] *
ib
[ax - by+i (bx+ay)] * =
ax – by - i (bx+ay)
i i
ax – by - i (bx+ay) q.e.d
2
4
2
⇒ b = ±
⇒ a = ±
(a + i b) * ·(x + y) * = (a - b) (x - i y)=
- 12 -
2
2
1
= 2
4b
1
=
4
1
= nur diepositive
Lösung ist möglich
2
2
2
2
2