Kapitel 3 - Mathematik
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Skript zu Komplexe Zahlen M. Ludwig<br />
c) Spezialfälle<br />
E( ϕ ) ⋅ E(<br />
− ϕ ) = E(<br />
0)<br />
= 1<br />
<br />
n ( E(<br />
ϕ ) ) = E(<br />
ϕ ) ⋅ ⋅ E(<br />
ϕ ) = E(<br />
nϕ<br />
)<br />
<br />
…<br />
n−<br />
fach<br />
Das erinnert alles ein wenig an das Rechnen mit der Exponentialfunktion.<br />
⇒ Es gilt:<br />
!<br />
!<br />
iϕ<br />
( ϕ ) e = cosϕ<br />
+ i sinϕ<br />
E = Eulersche Formel<br />
Daraus folgt sofort für j = p der Topsatz unter den Top Ten der schönsten<br />
mathematischen Sätze.<br />
iπ<br />
oder e + 1 = 0<br />
Grundlegende Erklärung für die Eulersche Formel:<br />
2 3<br />
x x<br />
e = 1 + x + + + …<br />
2!<br />
3!<br />
x<br />
Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion<br />
2<br />
3<br />
4<br />
ϕ ( iϕ<br />
) ( iϕ<br />
) ( iϕ)<br />
e = 1 + iϕ<br />
+ + + + …<br />
2!<br />
3!<br />
4!<br />
i<br />
2 4 6<br />
3 5<br />
ϕ ϕ ϕ ⎛ ϕ ϕ ⎞<br />
= 1 − + − … + i ⎜<br />
⎜ϕ<br />
− + … ⎟<br />
2! 4!<br />
6<br />
! ⎝ 3!<br />
5!<br />
⎠<br />
C<br />
S<br />
'<br />
'<br />
iπ<br />
e<br />
= C<br />
= −1<br />
( ϕ ) + iS(<br />
ϕ )<br />
( ϕ ) = −S(<br />
ϕ )<br />
3 5<br />
ϕ ϕ<br />
= −ϕ<br />
+ − + …<br />
3! 6!<br />
2<br />
ϕ<br />
4<br />
ϕ<br />
2!<br />
4!<br />
( ϕ ) = C(<br />
ϕ ) = 1 − + + …<br />
zu zeigen: e = const = 1<br />
iϕ<br />
2<br />
d e<br />
iϕ<br />
dϕ<br />
=<br />
=<br />
( ) '<br />
2 2<br />
C + S<br />
' '<br />
( 2CC<br />
+ 2SS<br />
)<br />
= 2<br />
( − CS + CS )<br />
= 0<br />
⇒ Der Betrag ändert sich nicht!<br />
⇒ e const!<br />
q.<br />
e.<br />
d.<br />
i ϕ<br />
=<br />
denn wir wissen, dass cos ϕ + i sinϕ<br />
= 1<br />
Ableitung des Betragsquadrates<br />
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