Übung 7 - Mathematik

16.
Besprechung des 7. Übungsblatts
Heron’sches Näherungsverfahren zur Quadratwurzelbestimmung
Nach Wahl eines geeigneten Startwertes x 0 liefert die wiederholte
Berechnung (Iteration) nach der Vorschrift
1 ⎛ a ⎞
xn
1 xn
( a ≥ 0;
n ∈ N)
2 ⎜
x ⎟
+ = +
⎝ n ⎠
eine Folge von immer genaueren Näherungswerten für a !
Heron von Alexandria (65-125 n. Chr.): griechischer Mathematiker
Iterationsformel: iterare (lat.): wiederholen
1. Lösungsweg: graphische Lösung
Die näherungsweise Berechnung von a führt auf das gleiche Problem, wie die
Bestimmung der Seitenlänge eines Quadrates mit gegebenem Flächeninhalt.
Um die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt A zu berechnen,
betrachtet man eine Folge von Rechtecken, die alle den Flächeninhalt A haben und
sich dem gesuchten Quadrat annähern.
1. Es wird eine beliebige Seitenlänge des Rechtecks gewählt.
Bsp.: A = 2cm²
x = 2cm
(→ Berechnung von 2 )
2. Die andere Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich nun aus der
Flächeninhaltsformel
A
A = x ⋅ y zu y =
x
Bsp.:
2cm²
y =
2cm
⇒ y = 1cm
3. Um ein Rechteck zu erhalten, welches dem Quadrat angenähert ist, bildet man
aus den beiden Seitenlängen das arithmetische Mittel:
1
xneu = ( x + y)
2
Bsp.:
1
xneu = ( 2cm
+ 1cm)
2
3
⇒ xneu
= cm
2
4. Damit das neue Rechteck wieder den Flächeninhalt A hat, muss die andere
Seitenlänge des neuen Rechtecks
A
y neu =
xneu
sein.
Bsp.:
2cm²
yneu =
3
cm
2
4
⇒ yneu
= cm
3
x
y

5. Die Schritte 3 und 4 können mit den neuen Rechteckseitenlängen beliebig oft
wiederholt werden. Die Folge der dabei errechneten Rechteckseitenlängen nähert
sich immer mehr der gesuchten Quadratseitenlänge.
A
x0
6. Iterationsformel:
A = x ⋅ y ⇒ y =
x neu
1
= ( x + y)
2
( I) in ( II)
: xneu
=
A
x
1 ⎛
⎜ x +
2 ⎝
(I )
( II)
A ⎞
⎟
x ⎠
A
…
x1
→ Dadurch, dass immer das arithmetische Mittel von den neuen Werten gebildet
wird, nähert man sich immer näher der Seitenlänge des Quadrates:
2. Lösungsweg: rechnerische Lösung
n
1 ⎛ a ⎞
xn
=
⎜ xn
+
x ⎟
2 ⎝ n ⎠
2x
² = x ² + a
x ² = a
n
n
⇒ x
n
x
→ ∞ : n+
1
=
n
a
= x
3. Lösungsweg:
Ausgang: Funktion:
n
⋅ 2x
n
a
y =
x
Ein Quadrat entsteht dann, wenn y = x .
→ Für welchen Wert von x bzw. y stimmt die
Funktionsgleichung, wenn y = x gelten soll?
→ x = a ∧ y = a
⇒
a
a a
a = ⇔ a =
⇔ a =
a
a a
⇒ Für x = a und y = a entsteht ein Quadrat!
a
y3
a
y2
y1
y
a
A
xn
x3 a x2 x1

Warum liefert die Heronformel ⎟ 1 ⎛ a
x n + 1 = ⎜ x n +
2 ⎝ x n
1. Markiere ein beliebiges x auf der x-Achse
⎞
den Wert
⎠
a ?
2. Bestimme den Funktionswert von x (Senkrechte nach oben schneidet Graph
im y-Wert)
3. Übertrage den y-Wert auf die x-Achse (Zirkel, Addition von x und a/x)
4. Halbiere (x + a/x)
5. Dieser Wert ist der neue x-Wert
6. Beginne wieder bei Punkt 2
Ergebnis: x „pendelt sich ein“ bei a !
17. & 18. siehe Skript (Kapitel 1.3. und 2.3.)!