Kapitel 3 - Mathematik

Didaktik der Algebra M. Ludwig
III. Variablen und Terme
1. Was sind Variablen und Terme?
Um 800 n. Chr. führte Al-Khwarizmi das Wort „al-dschabr“ ein (bedeutet so viel
wie ’rückversetzen’ oder auch ’gleichstellen’).
Im 14. Jahrhundert wurde es lateinisch übersetzt: ’algebra’ (Aussprache: ’aldschebra’).
Heute heißt „algebrista“ im Spanischen „Wundarzt“ („Knocheneinrenker“)
(also: Knochen in den Ursprung ’rückversetzen’)
„Variablen“ stammen aus dem lateinischen Wort ’variablis’ = veränderlich.
Erstmals verwendete EUKLID Buchstaben für Variablen.
Ca. 1200 verwendet Fibonacci (am Hofe Friedrich des II.) Variablen.
Vietas (1540-1603) Rechenkunst heißt ’algebra nova’ (=neue Algebra). Er
schreibt für die Summe ’A+B’ (er verwendet nur Großbuchstaben für Variablen).
„Term“ stammt auch aus dem Lateinischen: ’Terminus = Ende, Grenzstein.
(Heute heißt ’Terminal’ im Englischen Endstation).
In früheren Konzilsakten steht der Begriff ’Terminus’ für Glieder eines Aggregats/
Rechenausdrucks.
Funktion stammt aus dem Lateinischen: fungi = ausführen, verrichten.
1962 wurde der Begriff von LEIBNIZ in die Mathematik eingeführt.
Aspekte des Variablenbegriffs:
a) Einzelzahlaspekt: Variable als eine feste Zahl
Variablen sind Platzhalter für Zahlen: 2+⊂=5 (schon Inhalt der Grundschule)
z.B. Denke dir eine Zahl, addiere 3,…
→ x+3…
b) Bereichsaspekt:
α) Simultanaspekt: z.B. ∀ a , b ∈ R gilt : a + b = b + a
β) Veränderlichenaspekt: y = x + 3 → funktionale Betrachtung
(z.B. bei zeitabhängigen Funktionen: s = v ⋅ t
Terme sind aus Zahlen und Variablen gebildete zulässige Rechenausdrücke oder
Rechenvorschriften.
z.B. x + y
+
keine Terme: x − ⋅5
; x + 5 = y (→Gleichung)
2. Die Schwierigkeiten einer formalen Sprache
Mit der Algebra lernt man eine neue Sprache; eine Formelsprache.
Die Syntax legt fest, welche Rechenausdrücke zulässig sind (z.B. nicht: x+÷2).
1

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Die Semantik ist die Bedeutung der einzelnen Ausdrücke.
Nicht nur die Syntax, sondern auch die Semantik muss richtig angewandt werden.
Die kleinste Schreibänderung kann Grundlegendes ändern.
Es werden häufig folgende Fehler gemacht:
falsches Quadrieren von Summen
2
z.B. ( a + b)
= a²
+ b²
falsches Ausmultiplizieren
x − 3 x − 5 = x − 3x
−
z.B. ( ) 5
Verwechseln von 2 x und x ²
Verwechseln von ( ) 2
³
x und x³ ⋅ x²
Dividieren statt radizieren
z.B. aus x ² = 36 folgt x = 18
Falscher Gebrauch des „=“
z.B. 7 x − 4 = 13 = 13 + 4 = 17 (Kettenrechungen
Fehler)
beim Kopfrechen suggerieren diesen
0
Unsicherheit bei a ,
a
,
0
0
→ Definition, die man lernen muss
a
Warum werden Fehler gemacht?
1. Trennung von Syntax und Semantik → Verlust inhaltlicher Bedeutungen von
Formeln, Schüler sehen Algebra als (sinnloses) Spiel mit Buchstaben.
z.B. Hintergrund der binomischen Formeln
2. Aufgabendrill, Überbetonung formaler Regeln, „Dressur des Unverstandenen“
(WAGENSCHEIN (Didaktiker))
Es werden keine (oder wenig) Begründungen gegeben und von den Schülern
0
verlangt; z.B. Warum ist „minus mal minus = plus“?, Warum ist a = 1?
3. Zu viel stupides Üben – Üben stumpft ab, verfestigt Fehler und gibt keine
Erklärungen.
Und: Es wird zu sehr nach dem Prinzip der Isolation der Schwierigkeiten
unterrichtet.
4. In Zeiten der ’Neuen Mathematik’ wurde eine Vielfalt an verschiedener Namen mit
unterschiedlicher Bedeutung verwendet:
‚Allgemeine Zahlen’: a + b = b + a
‚Variablen’: y = x²
‚Unbekannte’: x² = 2 …
→ Die Schüler sind mit den vielen verschiedenen Ausdrücken überfördert.
5. Variablenbindungen werden nicht deutlich:
2

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Für alle a,
b gilt : a + b = b + a
Es gibt ein x mit : 2 + x = 4
Für alle x gilt : y = x²
: x → y = x²
(y ist eine gebundene Variable, x eine
ungebundene (für x beliebige Werte, die dann
y bestimmen))
6. Fehlender Umweltbezug (FREUDENTHAL) → siehe PISA-Studie
http://www.mpib-berlin.mpg.de/pisa/
3. Wozu sind Terme da?
a) Beschreibung innermathematischer Prozesse:
z.B. 3 − 27 ⋅ 4 ; 2 ;
3
5 → Darstellung wird ohne Worte verstanden
b) Beschreibung außermathematischer Vorgänge:
z.B.
Benzinpreis: P = p ⋅ l
l = Anzahl der Liter
p = Preis/Liter
Die Entwicklung eines Farbfilms kostet 2€. Jede Vergrößerung kostet 30ct.
Wie viel kosten 5, 6, 7,… Bilder?
P = E + p ⋅ B E = Entwicklungspreis
p = Preis/Bild
B = Anzahl der Bilder
Taxifahrt, Telefongebühren sind auch Beispiele zum Funktionstyp y = m ⋅ x + t
Galileo Galilei: Formel für den freien Fall:
1
s = gt²
2
→ Je länger die Zeitdauer, desto tiefer fällt man.
(z.B.: Man wirft einen Stein in einen Brunnen und stoppt, wie lange es dauert, bis man den
Aufprall hört. Hier der Fehler: Vernachlässigung der Schallgeschwindigkeit)
⇒ Mit Formeln können Vorgänge oder Umweltsituationen allgemein beschrieben
werden.
c) Formeln und Terme geben Einblicke in Situationen
z.B.
v²
sBrems =
2a
sBrems = Bremsweg v = Geschwindigkeit
a = Bremsbeschleunigung
→ geringe Geschwindigkeitserhöhung verlängert den Bremsweg sehr
4
VKugel =
r³
π
3
3

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→ doppelter Radius → 8-faches Volumen
Frage: Wie viel muss man den Radius vergrößern, um den doppelten Preis
verlangen zu können?
3 → 2 ≈ 26%
d) Mit Formeln kann man Probleme lösen
z.B.
Eine Weinflasche kostet mit Korken 2,10€. Die Flasche kostet 2€ mehr als der
Korken. Was kostet der Korken?
Gleichung: F + K = 210
F = K + 200
⇒ ( K + 200)
+ K = 210
K = 5
→ Der Korken kostet 5ct.
e) Mit Formeln kann man Beweise führen
z.B.
Das Quadrat einer natürlichen Zahl n>1 ist um 1 größer als das Produkt der
beiden benachbarten Zahlen von n.
Beispiele: 7 ² > 8 ⋅ 6 ⇒ 49 > 48
10 ² > 9 ⋅11
⇒100
> 99
14 ² > 13⋅15
⇒ 196 > 195
allgemein: n ² > ( n −1)(
n + 1)
= n²
−1
graphisch:
5
3
4•4
1 „bleibt übrig“
Die Differenz zweier aufeinander folgenden Quadratzahlen ist eine gerade
Zahl.
Beispiele: 3 ² − 2²
= 9 − 4 = 5 → ungerade Zahl
7 ² − 6²
= 49 − 36 = 13 → ungerade Zahl
10 ² − 9²
= 100 − 81 = 19 → ungerade Zahl
allgemein: ( n + 1)²
− n²
= ( n²
+ 2n
+ 1)
− n²
= 2n
+ 1 n ∈ IN
3 │ n³ − n ∀n
∈ Ν
Verdeutlichung aller
ungeraden Zahlen
⇒ n ( n²
−1)
= n(
n + 1)(
n −1)
= ( n −1)
n(
n + 1)
→ Produkt 3 aufeinander folgender Zahlen
4

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f) Mit Formeln kann über die Landesgrenze hinweg kommuniziert werden
→ Wenn man im Ausland einen Mathematikunterricht besucht, versteht man
nicht, was der Lehrer spricht. Aber man weiß, was sie rechnen. (Die Begriffe
werden anders ausgesprochen; wie z.B. in England, China,… Die Variablen a, b,
c,… werden oft englisch ausgesprochen).
4. Der Zugang zu Termen – Aufstellen von Formeln
Wichtig: Variablen und Terme sind in sinnvollen Sachzusammenhängen
einzuführen, um den Sinn von Formeln deutlich werden zu lassen.
Es gibt verschiedene Zugänge zu Termen und Formeln:
a) mit Hilfe des Taschenrechners:
Terme sind zunächst Rechenvorschriften;
2x
z.B. T ( x)
= x ∈{
5;
6;
8;...}
x²
+ 4
12 3
T ( 6)
= = = 0,
3
40 10
→ Schüler lernen richtig einzusetzen und auszurechnen:
Regeln: - Punktrechnung vor Strichrechnung
- Was in der Klammer steht, wird zuerst berechnet
- Nenner muss im TR in Klammer gesetzt werden: 6 ( 6²
4)
2 ⋅ ÷ +
Anschließend muss ein Umweltbezug hergestellt werden (z.B. Berechnung des
Lohns nach 5h, 6h,…)
b) über Zahlenspiele:
„Denke dir eine Zahl,…“
c) über Umweltbeispiele:
z.B. Fahrt mit dem Zug: Pro km kostet es 32ct; der Höchstpreis beträgt
111€. Wie viel kosten x km?
Ab wie viel Kilometer ist der Preis konstant?
→ Term aufstellen!
d) über mathematische Beispiele:
→ Flächenberechnungen, Umfangsberechnung von Vielecken, Oberflächen- und
Volumenberechnung eines Würfels, Quader,…
Die ersten Terme, die die Schüler kennen lernen:
o Oberfläche des Würfels: O = 6a²
o Volumen des Würfels: V = a³
o Volumen des Quaders: V =
a ⋅ b ⋅ c
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→ Manchmal sind Formeln geschickt, um schneller etwas zu berechnen. Aber es
ist wichtig, dass die Schüler auch ohne Formel (durch Verstehen) auf die Lösung
kommen.
z.B.
Wenn c = 0 :
A Trapez
A Dreieck
( a + c)
⋅ h
=
2
a ⋅ h
=
2
Wenn c = a : = a ⋅ h
AParallelog ramm
1
z.B. ⋅ h(
G + G ⋅ g + g)
VPyramidens tumpf
= 3
1
Wenn g = 0 : VPyramide/ = ⋅ G ⋅ h
Kegel 3
Wenn g = G : = G ⋅ h
VPr isma /
Zylinder
5. Termumformungen
Bericht von einem Dozenten an der Uni in Halle: „Wie viel Termumformungen
braucht der Mensch?“
→ Termumformungen haben einige Vorteile (siehe unten). Aber je mehr
Termumformungen durch den Computer vorgegeben sind, desto höher muss der
Schwierigkeitsgrad sein. Also ist es für viele Schüler keine Erleichterung.
z.B. müssen/können Schüler mit Hilfe vom Computer folgende Aufgabe lösen (was
ohne Computer kaum möglich wäre):
Wie weit taucht eine Holzkugel ein, wenn man sie ins Wasser wirft?
Warum werden Terme umgeformt?
a) Umformungen entlasten das Gedächtnis: man muss nur eine Formel kennen
bzw. in der Formelsammlung nachschauen
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z.B. Trapez:
( a + c)
⋅ h
A =
2
b) Umformungen vereinfachen Formeln
z.B. Raumdiagonale des Würfels: d = a 3 ;
a
Höhe im gleichseitigen Dreieck: h =
2
3
c) Es können ’Nicht-Abhängigkeiten’ erkannt werden
z.B. Rätsel bei der „langen Mathenacht“: „Das Telefonbuch“: Ein Zuschauer wählt
eine Nummer aus; der Zauberer errät die ausgewählte Nummer. Sie ist natürlich
unabhängig von den ausgeführten Rechenoperationen. Der Zauberer wusste also
die Nummer von Anfang an.
d) Hilfsmittel zum Gleichungslösen
Beispiele für das Einführen von Termumformungen:
Es werden n Bäume im Quadrat gepflanzt. Wie viele Bäume braucht man?
n
•
•
n
• • • • •
n
• • • •
•
•
Fragen: - Wie viele Kreuze sind in der 12. Reihe? → 23 Kreuze
- Wie viele Kreuze sind es insgesamt nach der 12. Reihe? → 144 K.
allgemein: Kreuze in der n. Reihe: n ⋅ 2 −1
Kreuze insgesamt nach der n. Reihe: n ²
bzw.
Fragen: - Wie viele Kreuze sind in der 8. Reihe? → 8 Kreuze
- Wie viele Kreuze sind es insgesamt nach der 8. Reihe? → 36 Kreuze
allgemein: Kreuze in der n. Reihe: n
n
Kreuze insgesamt nach der n. Reihe:
6. Zum Lernen des Umgangs mit Termen
o n ² − ( n − 2)²
= 4n − 4
o 2n + 2(
n − 2)
= 4n − 4
o 4( n −1)
= 4n − 4
o 4 + 4(
n − 2)
= 4n − 4
→ Es gibt viele verschiedene Lösungsansätze, di
nach dem Ausmultiplizieren immer zur selben
Lösung führen.
n(
n + 1)
2
1) Syntaktische Regeln müssen immer wieder bewusst thematisiert werden:
7

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z.B.
- Warum ist x ⋅ −3
kein Term?
→ Wir verstoßen gegen die Rechenvorschriften und wissen dann nicht, wie wir rechnen sollen
→ Mit Klammersetzung wird es ein Term: x ⋅ (−3)
- Unterschied: x ÷ ( y ⋅ z)
und x ÷ y ⋅ z
→ Wichtig auch für das Rechnen mit Taschenrechner; Fehlerquellen v.a. auch bei Brüchen:
x
y ⋅
z
- Aufgabe: Setze bei folgender Aufgabe a ⋅ b − 2 ⋅ ( a + b)
÷ ( a ⋅ b)
möglichst viele
Klammern, so dass sich der Wert nicht ändert
- Klammereinsparungskonvention muss bewusst gemacht werden
…
2) Prinzip der Variation
z.B.
- statt ( a + b)²
auch andere Variablen verwenden; z.B. ( z + k)²;
[ 2xy
+ ( a + b)]²;
(klim+bim)²=klim² + 2 klim bim + bim²
- Substituieren von Termen
3) Prinzip des Kontrasts
z.B.
- ( x + y)²
≠ ( x ⋅ y)²
- 3⋅ ( a ⋅ b)
≠ 3⋅
( a + b)
x² ≠ x²
→ „Potenzen vor Klammern“ →
- ( ) 3
3
4) Umformungen immer wieder begründen lassen:
a) graphisch → Funktionen
b) rechnerisch: mit Gesetzen (in 2 Richtungen!)
→ Siehe Übung 14 (auf dem Übungsblatt 6)
5) Wichtige Formeln auf verschiedenen Ebenen erklären:
z.B.
- ( a + b)
⋅ ( c + d)
mit Hilfe von Rechtecken
- Binomische Formeln …
(→ auch auf der enaktiven Ebene: basteln,…)
6) Aufgaben variieren – alternative Aufgaben suchen:
z.B.
- Berechne: ( x + 1)(
x −1)
8
x ≠
x
6
8

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→ auf den ersten Blick sehen die Schüler anfangs noch nicht die 3. Bi.-Fo. → durch viele
Variationsaufgaben werden sie aufmerksam
Bsp. 9 ⋅ 11 = ( 10 −1)(
10 + 1)
= 100 −1
= 99 (→ bei großen Zahlen: Rechenerleichterung)
- durch Spiele: z.B. „Denke dir eine Zahl,…“; „Gegeben sind drei aufeinander folgende
Zahlen. Quadriere die Mittlere. Multipliziere die anderen beiden. Was fällt dir auf?“
7) Der Einsatz des Computers in der Algebra
Bei der Computerbenutzung bleiben folgende Anforderungen an den Schüler:
- Die Schüler müssen ihre (mathematischen) Gedanken in der Formelsprache
ausdrücken können.
- Sie müssen Vorstellungen über Ziele haben
- Sie müssen Wege zu diesen Zielen wissen, also Termumformungen
auswählen können.
- Sie müssen die Ergebnisse interpretieren können, die entscheidenden
Gedanken ausdrücken können.
…
Geringere Bedeutung: (Aufgaben, die der Computer übernimmt)
- Komplexe Terme umformen können
- Formeln auswendig wissen
- Doppelbruchakrobatik
- Polynomdivision
- Schwierige Bruchgleichungen
Gesteigerte Bedeutung:
- Termsyntax beherrschen
- Syntax des Programms beherrschen
- Terme aufstellen können
- Lösungen überprüfen können (z.B. durch Überschlagsrechnung)
⇒ Schüler müssen nur noch den Ansatz finden; Rechnen tut der Computer
Nachteil: sie können in Klassenarbeiten keine Punkte mehr sammeln für
„einfache“ Umformungen
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