Zahlenketten - Mathematik

Zahlenketten
Überblick
Was sind Zahlenketten?
Forschungsfragen und Ergebnisse
Wie komme ich möglichst nahe an 100?
Wie erreiche ich genau 100?
Wie erreiche ich die Zahlen 99 und 101?
Wie erreiche ich eine bestimmte Zielzahl?
Wie erreiche ich z gerade bzw. ungerade?
Was, wenn a und b gleich sind?
Was, wenn a und b Nachbarzahlen sind?
Vertauschen von a und b
Welche Zielzahlen kann man nicht erreichen?
Vertiefung
Zahlenketten: Die Vorschrift
1. Zwei Startzahlen a und b werden
nebeneinander geschrieben und addiert.
Das Ergebnis E1 wird daneben
geschrieben
2. Wird E1 mit b addiert, erhält man E2, das
daneben geschrieben und mit E1 addiert
wird
3. Die Zielzahl z ist das dritte Ergebnis E3
4. a und b sind natürliche Zahlen
Beispiel: 1 3 4 7 11

Allgemeine Formel
20 20 40 60 100
a b a+b a+2b 2a+3b
Z= 2a+3b
Wie erreiche ich ca. 100 und genau 100?
17 20 37 57 94
18 20 38 58 96
19 20 39 59 98
20 20 40 60 100
Beobachtung B1: Wenn die Startzahl a um
1 größer wird, wird die Zielzahl z um 2
größer
Begründung
B1: Wenn a+1, dann z+2
2(a+1)+3b=2a+2+3b
Beispiel: z=100 a=20=b
21 20 41 61 102

Wie erreiche ich 101?
19 19 38 57 95
19 20 39 59 98
19 21 40 61 101
Beobachtung B2: Wenn die Zahl b um 1
größer wird, wird z um drei größer
Begründung
B2: Wenn b+1, dann z+3
2a+3(b+1)= 2a+3b +3
Beispiel: z=100 a=20=b
20 21 41 62 103
Wie erreiche ich 99?
20 20 40 60 100
19 21 40 61 101
18 22 40 62 102
21 19 40 59 99
22 18 40 58 98
B3: Wenn a+1 und b-1, dann z-1.
B4: Wenn a-1 und b+1, dann z+1.

Begründung
B3: Wenn a+1 und b-1, dann z-1
2(a+1)+3(b-1)=2a+3b-1
Beispiel: z=100 a=20=b
21 19 40 59 99
Begründung
B4: Wenn a-1 und b+1, dann z+1
2(a-1)+3(b+1)=2a+3b+1
Beispiel: z=100 a=20=b
19 21 40 61 101
Wie erreiche ich n?
n=56
10 10 20 30 50
Anwendung von B4: Wenn a-1 und b+1,
dann z+1
4 16 20 36 56

Zusammenfassung der Ergebnisse
B1: Wenn die Startzahl a um 1 größer
wird, wird die Zielzahl z um 2 größer
B2: Wenn die Zahl b um 1 größer wird,
wird z um drei größer
B3: Wenn a+1 und b-1, dann z-1.
B4: Wenn a-1 und b+1, dann z+1.
Was passiert, wenn a und b vertauscht
werden?
10 30 40 70 110
30 10 40 50 90
11 2 13 15 28
2 11 13 24 37
Die Differenz zwischen z1 und z2 ist die
Differenz zwischen a und b
Wann ist die Zielzahl gerade/ ungerade?
Gerade a= 2 p, gerade b= 2q
Ungerade a= 2p-1, ungerade b= 2q-1
1. Fall: a und b gerade
2(2p)+3(2q)= 4p+6q= z, also ist z gerade
2. Fall: a und b ungerade
z=2a+3b= 4p+6q-7, also ist z ungerade

3. Fall: a gerade und b ungerade
4p+6q-3= z, also ist z ungerade
4. Fall: a ungerade und b gerade
4p-4+6q= z, also ist z gerade
Was, wenn a und b gleich sind?
2a+3b= z
a= b
2a+3a= 5a
Sind a und b gleich, ist die Zielzahl
durch fünf teilbar!
Sonderfall: a=o
O 1 1 2 3 5
Welche Zielzahlen können nicht erreicht
werden?
Vermutung:
Alle natürlichen Zahlen können erreicht
werden außer die 1.
0 1 1 2 3
1 0 1 1 2

Vertiefung
Zahlenraumerweiterung
Ganze Zahlen:
Hiermit ist auch die Zahl 1 erreichbar:
-1 1 0 1 1
Was, wenn a und b Nachbarzahlen sind?
1 2 3 5 8
10 11 21 32 53
13 14 27 41 68
b=a+1
2a+ 3(a+1)=5a+3
Die Zielzahl endet immer mit 3 oder 8
(Vielfaches von 5 +3)

Mehrgliedrige Zahlenketten
Allgemein:
a b a+b a+2b 2a+3b
Fortsetzung der Zahlenkette:
6: 3a+5b
7: 5a+8b
8: 8a+13b
Zahlenraumerweiterung
Bruchzahlen:
½ ½ 1 1 ½ 2 ½
½ 1 ½ 2 3 ½ 5 ½
Kommazahlen:
17,75 21,5 39,25 60,75 100
21,5 17,75 39,25 57 96,25
Unterschied: 3,75
Ende
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit