Zahlenkettengruppe 15 - Mathematik
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Zahlenketten 22.11.2005<br />
• Was passiert, wenn beide Startzahlen gleich sind?<br />
2 2 4 6 10<br />
__________________________________________________________<br />
a a (a+a) a+(a+a) (a+a)+(a+(a+a))<br />
a a 2a<br />
3a<br />
5a<br />
__________________________________________________________<br />
Wenn beide Startzahlen gleich sind, erhält man das 5- fache der Startzahl<br />
als Zielzahl.<br />
• Gibt es Zahlen, die man nicht als Zielzahl einer 5er- Zahlenkette<br />
erreichen kann?<br />
Die Zielzahl (Z), die sich aus den Startzahlen a und b ergibt, lässt sich<br />
auch schreiben als: Z = 2a + 3b<br />
1. Fall:<br />
Die Zielzahl ist durch 3 teilbar (Z ist eine 3er- Zahl).<br />
dann kann man Z in zwei 3er- Zahlen teilen und schreiben<br />
2×3er-Zahl + 3×beliebige Zahl = 3er-Zahl = Z<br />
man kann also alle Zielzahlen, die durch 3 teilbar sind, darstellen<br />
Bei der 3 gilt: 2×0 + 3×1 = 3<br />
(einfacher ist es, wenn man die 0 immer hinzunimmt: 2×0 + 3×Z/3 = Z)<br />
2. Fall:<br />
Bei Teilung der Zielzahl (Z) durch 3 erhält man den Rest 2 (Z ist um 2<br />
größer als eine 3er- Zahl).<br />
dann gilt:<br />
2×1 + 3×((Z-2)/3) = 2 + Z - 2 = Z<br />
man kann also alle Zielzahlen, bei denen bei Teilung durch 3 der Rest<br />
2 bleibt, darstellen<br />
Bei der 2 gilt: 2×1 + 3×0 = 2<br />
3. Fall:<br />
Bei Teilung der Zielzahl durch 3 erhält man den Rest 1 (Z ist um 1 bzw. 4<br />
größer als eine 3er- Zahl).<br />
dann gilt:<br />
2×2 + 3×((Z-4)/3) = 4 + Z - 4 = Z<br />
man kann also alle Zielzahlen, bei denen bei Teilung durch 3 der Rest<br />
1 bleibt, darstellen<br />
Erkenntnisse:<br />
damit kann man mit den natürlichen Zahlen (einschl. der 0) alle natürlichen<br />
Zahlen außer der 1 darstellen<br />
wenn man die 0 nicht dazu nimmt, kann man 1,2,3,4 und 6 nicht darstellen<br />
die 1 kann man nur durch eine Zahlbereichserweiterung hin zu den<br />
ganzen Zahlen darstellen<br />
-1 1 0<br />
1 1<br />
oder, was sich aus der Erkenntnis, dass bei gleichen Startzahlen die<br />
Zielzahl das 5- fache der Startzahl ist, ergeben würde: (Zahlbereichserweiterung<br />
hin zu den rationalen Zahlen)<br />
1/5 1/5 2/5 3/5 1
Wie verändert sich die Zielzahl, wenn du die …<br />
… 1. Startzahl um 1 vergrößerst?<br />
Beispiel:<br />
Reihe (allgemein):<br />
5 10 <strong>15</strong> 25 40<br />
<strong>15</strong><br />
6 10 <strong>15</strong> 16 26 42<br />
a b<br />
Z = 2a + 3b<br />
a+b<br />
a+1: Z = 2(a+1) + 3b = 2a + 3b + 2 Zielzahl wird um<br />
2 vergrößert<br />
… 1. Startzahl um n veränderst?<br />
Z = 2a + 3b<br />
ZIELZAHL (Z) = 2a+3b<br />
a+2b<br />
2a+3b<br />
a+n: Z = 2(a+n) + 3b = 2a + 3b + 2n Zielzahl wird um<br />
2n vergrößert<br />
a-n: Z = 2(a-n) + 3b = 2a + 3b – 2n Zielzahl wird um<br />
2n verkleinert<br />
+2<br />
… 2. Startzahl um n veränderst?<br />
Z = 2a + 3b<br />
b+n: Z = 2a + 3(b+n) = 2a + 3b + 3n Zielzahl wird um<br />
3n vergrößert<br />
b-n: Z = 2a + 3(b-n) = 2a + 3b – 3n Zielzahl wird um<br />
3n verkleinert<br />
… 1. und 2. Startzahl um n veränderst?<br />
Z = 2a + 3b<br />
a+n, b+n: Z = 2(a+n) + 3(b+n) = 2a + 3b + 5n Zielzahl wird um<br />
5n vergrößert<br />
a-n, b-n: Z = 2(a-n) + 3(b-n) = 2a + 3b – 5n Zielzahl wird um<br />
5n verkleinert<br />
… 1. Startzahl um n vergrößerst, 2. Startzahl um n verkleinerst?<br />
Z = 2a + 3b<br />
a+n, b-n: Z = 2(a+n) + 3(b-n) = 2a + 3b - n Zielzahl wird um<br />
n verkleinert<br />
… 1. Startzahl um n verkleinerst, 2. Startzahl um n vergrößerst?<br />
Z = 2a + 3b<br />
a-n, b+n: Z = 2(a-n) + 3(b+n) = 2a + 3b + n Zielzahl wird um<br />
n vergrößert
Wie verändert sich die Zielzahl, wenn du die Startzahlen<br />
vertauscht?<br />
Beispiel:<br />
5<br />
10<br />
<strong>15</strong><br />
10<br />
Allgemein:<br />
5<br />
<strong>15</strong><br />
<strong>15</strong><br />
a b A a+b<br />
b a<br />
a+b<br />
25<br />
25<br />
a+2b<br />
2a+b<br />
40<br />
35<br />
2a+3b<br />
3a+2b