Zahlenkettengruppe 15 - Mathematik

Zahlenketten 22.11.2005
• Was passiert, wenn beide Startzahlen gleich sind?
2 2 4 6 10
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a a (a+a) a+(a+a) (a+a)+(a+(a+a))
a a 2a
3a
5a
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Wenn beide Startzahlen gleich sind, erhält man das 5- fache der Startzahl
als Zielzahl.
• Gibt es Zahlen, die man nicht als Zielzahl einer 5er- Zahlenkette
erreichen kann?
Die Zielzahl (Z), die sich aus den Startzahlen a und b ergibt, lässt sich
auch schreiben als: Z = 2a + 3b
1. Fall:
Die Zielzahl ist durch 3 teilbar (Z ist eine 3er- Zahl).
dann kann man Z in zwei 3er- Zahlen teilen und schreiben
2×3er-Zahl + 3×beliebige Zahl = 3er-Zahl = Z
man kann also alle Zielzahlen, die durch 3 teilbar sind, darstellen
Bei der 3 gilt: 2×0 + 3×1 = 3
(einfacher ist es, wenn man die 0 immer hinzunimmt: 2×0 + 3×Z/3 = Z)
2. Fall:
Bei Teilung der Zielzahl (Z) durch 3 erhält man den Rest 2 (Z ist um 2
größer als eine 3er- Zahl).
dann gilt:
2×1 + 3×((Z-2)/3) = 2 + Z - 2 = Z
man kann also alle Zielzahlen, bei denen bei Teilung durch 3 der Rest
2 bleibt, darstellen
Bei der 2 gilt: 2×1 + 3×0 = 2
3. Fall:
Bei Teilung der Zielzahl durch 3 erhält man den Rest 1 (Z ist um 1 bzw. 4
größer als eine 3er- Zahl).
dann gilt:
2×2 + 3×((Z-4)/3) = 4 + Z - 4 = Z
man kann also alle Zielzahlen, bei denen bei Teilung durch 3 der Rest
1 bleibt, darstellen
Erkenntnisse:
damit kann man mit den natürlichen Zahlen (einschl. der 0) alle natürlichen
Zahlen außer der 1 darstellen
wenn man die 0 nicht dazu nimmt, kann man 1,2,3,4 und 6 nicht darstellen
die 1 kann man nur durch eine Zahlbereichserweiterung hin zu den
ganzen Zahlen darstellen
-1 1 0
1 1
oder, was sich aus der Erkenntnis, dass bei gleichen Startzahlen die
Zielzahl das 5- fache der Startzahl ist, ergeben würde: (Zahlbereichserweiterung
hin zu den rationalen Zahlen)
1/5 1/5 2/5 3/5 1

Wie verändert sich die Zielzahl, wenn du die …
… 1. Startzahl um 1 vergrößerst?
Beispiel:
Reihe (allgemein):
5 10 15 25 40
15
6 10 15 16 26 42
a b
Z = 2a + 3b
a+b
a+1: Z = 2(a+1) + 3b = 2a + 3b + 2 Zielzahl wird um
2 vergrößert
… 1. Startzahl um n veränderst?
Z = 2a + 3b
ZIELZAHL (Z) = 2a+3b
a+2b
2a+3b
a+n: Z = 2(a+n) + 3b = 2a + 3b + 2n Zielzahl wird um
2n vergrößert
a-n: Z = 2(a-n) + 3b = 2a + 3b – 2n Zielzahl wird um
2n verkleinert
+2
… 2. Startzahl um n veränderst?
Z = 2a + 3b
b+n: Z = 2a + 3(b+n) = 2a + 3b + 3n Zielzahl wird um
3n vergrößert
b-n: Z = 2a + 3(b-n) = 2a + 3b – 3n Zielzahl wird um
3n verkleinert
… 1. und 2. Startzahl um n veränderst?
Z = 2a + 3b
a+n, b+n: Z = 2(a+n) + 3(b+n) = 2a + 3b + 5n Zielzahl wird um
5n vergrößert
a-n, b-n: Z = 2(a-n) + 3(b-n) = 2a + 3b – 5n Zielzahl wird um
5n verkleinert
… 1. Startzahl um n vergrößerst, 2. Startzahl um n verkleinerst?
Z = 2a + 3b
a+n, b-n: Z = 2(a+n) + 3(b-n) = 2a + 3b - n Zielzahl wird um
n verkleinert
… 1. Startzahl um n verkleinerst, 2. Startzahl um n vergrößerst?
Z = 2a + 3b
a-n, b+n: Z = 2(a-n) + 3(b+n) = 2a + 3b + n Zielzahl wird um
n vergrößert

Wie verändert sich die Zielzahl, wenn du die Startzahlen
vertauscht?
Beispiel:
5
10
15
10
Allgemein:
5
15
15
a b A a+b
b a
a+b
25
25
a+2b
2a+b
40
35
2a+3b
3a+2b