AK_Geometrie_Tagungs.. - Mathematik - Pädagogische Hochschule ...

Basiskompetenzen in der Geometrie
Tagungsband der Herbsttagung 2009
des Arbeitskreises Geometrie
der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik
Matthias Ludwig, Reinhard Oldenburg
(Hrsg.)

Inhaltsverzeichnis
Matthias Ludwig
Editorial.......................................................................................... 1
Reinhard Oldenburg
Basiskompetenzen in der Geometrie – Versuch einer
Ortsbestimmung.............................................................................. 5
Michael Neubrand
Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-)
Geometrie: Versuch einer theoretischen Klärung........................ 11
Heinrich Winter
Würfel & Co –
Kunst und Natur in den Symmetrien von Körpern....................... 35
Swetlana Nordheimer
Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz .............................. 77
Eva-Maria Plackner
Die Weißblatterhebung – ein Instrument zur Erhebung des
Vorwissens von Kindern zu geometrischen Begriffen in der
Grundschule.................................................................................. 97
Markus Ruppert
Biometrische Erkennungssysteme – Ein geeignetes geometrisches
Thema zur Vermittlung von Basiskompetenzen im
Mathematikunterricht ................................................................. 109
Jan Wörler
Konkrete Kunst im Schülerprojekt geometrische Zusammenhänge
erkennen & weiterentwickeln...................................................... 125

Inhaltsverzeichnis
Michael Schneider
Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen ....................... 143
Jürgen Steinwandel
Förderung von geometriespezifischen Kompetenzen -
eine Bestandsaufnahme des Ist-Zustandes an Haupt- und
Realschulen................................................................................. 155
Autorenverzeichnis...................................................................... 175

Editorial
Matthias Ludwig
Was erwarten wir, was unsere Kinder nach dem Besuch der Sekundarstufe I auf
jeden Fall in Geometrie beherrschen sollen? Welche Fähigkeiten und Kompetenzen
im Bereich der Geometrie sollen sie unabhängig davon, ob sie eine
Hauptschule, Realschule oder Gymnasium besucht haben, erworben haben.
Welche Grundlegungen für das verstehensorientierte Lehren und Lernen im
Geometrieunterricht sind elementar? Für manche Schüler mag der korrekte und
sinnhafte Umgang mit Größen eine wichtige Grundlage für die Vorbereitung auf
den Weg im Beruf sein. Für andere wiederum sind geometrische Sätze Voraussetzungen
für das Weiterlernen in der Sekundarstufe II.
Alle Freunde des Geometrieunterrichts waren zur Herbsttagung 2009 in Königswinter
aufgerufen, sich darüber Gedanken zu machen, welche Inhalte wichtig
sind und warum es gilt, sie zu unterrichten. Schon auf der Jahrestagung der
Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Oldenburg im Frühjahr 2009 hat
sich der Arbeitskreis Geometrie mit der Neuauflage des Winter´schen Geometriekanons
(Winter 1999, 1996) befasst. Diesen Kanon kann man durchaus als
ersten Entwurf von Basiskompetenzen in Geometrie auffassen. Auch wenn die
Inhalte dieses Kanons damals schon und heute natürlich erst recht weit über das
hinausragen was in den derzeitigen Bildungsplänen bzw. Lehrpläne in Österreich,
Schweiz oder Deutschland zu finden ist.
Auf der Herbsttagung 2009 gab es neben den Vorträgen diesmal auch Arbeitsphasen
in denen die Teilnehmer versucht haben, ihre Sichtweisen und Meinungen
zu den Basiskompetenzen in Geometrie zu einer Position zu verdichten.
Reinhard Oldenburg hat diesen Versuch einer Ortsbestimmung im einleitenden
Beitrag zusammengefasst und festgestellt, dass sich der Basiskompetenzbegriff
einerseits auf die handwerkliche Nutzung von Werkzeugen aber auch auf
die formalen Begriffe der Formenlehre beziehen kann aber auch das geometrische
Problemlösen wurde als geometrische Basiskompetenz erkannt.
Heinrich Winter hat seinen Vortrag von der GDM 2009 zu einem Artikel ausgearbeitet,
der in seiner ihm typischen exemplarischen Arbeitsweise aufzeigt,
wie man den Begriff der Symmetrie am Beispiel des Würfels und seinen Verwandten
von einer Basiskompetenz bis zu tiefgreifender mathematischer Er-
Ludwig, M. (2010). Editorial. In: Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010).
Basiskompetenzen in der Geometrie, Hildesheim: Franzbecker, S.1-4

Editorial
kenntnis ausbauen kann. Dass dabei wirklich nur der Würfel notwendig lässt
den Leser immer wieder staunen.
Der Beitrag „Grundlegende Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der
(Schul-) Geometrie: Versuch einer theoretischen Klärung“ vom Hauptvortragenden
Michael Neubrand weist dagegen in eine andere Richtung. Neubrand
zeigt, dass man um die Fähigkeiten von Schülerinnen und Schüler in der Geometrie
zu erfassen theoretische Anhaltspunkte braucht. So zeigt er, dass vor der
Konstruktion von Aufgaben zu geometrischen Kompetenzen - übrigens erst
recht, wenn man auf "Basis"-Kompetenzen abzielt - eine gründliche fachdidaktisch
orientierte Analyse zu stehen hat.. Dazu gehört eben auch die Bestimmung
der grundlegenden Inhalte Für die Geometrie ist - wie alle wissen - dieses Problem
recht schwierig, einfach wegen der Komplexität und Multiperspektivität der
Geometrie.
Svetlana Nordheimer bringt mit ihrem Beitrag „Vernetzen als Basiskompetenz
im Geometrieunterricht“ eine ganz andere, aber genauso notwendige Sichtweise
in den Kompetenzbegriff. Somit geht es in diesem Artikel vor allem um die
Verzahnung der epistemischen und sozialen Ebene der Vernetzung im Mathematikunterricht.
Auf der epistemischen Ebene werden Inhalte von verschiedenen
Kapiteln als Knoten modelliert. Auf der sozialen Ebene erscheinen einzelne
Schüler als Knoten. Beim Lösen und Formulieren von mathematischen Aufgaben
in Gruppen sollten sowohl Inhalte wie auch Schüler miteinander in Beziehung
gesetzt werden. Die Autorin löst dieses Problem durch die Konstruktion
einer schülerzentrierten Unterrichtsmethode zur Vernetzung von mathematischem
Wissen in der SEK I liegt. Ergänzt wird der Beitrag durch die Darstellung
von zwei schulischen Erprobungen im Mathematikunterricht mit Schülern,
die diagnostizierte Lernschwierigkeiten aufweisen.
Das Erkennen, Benennen und Darstellen geometrischer Figuren ist eine der
wesentlichen geometrischen Kompetenzen, mit deren Erwerb bereits in der
Grundschule begonnen wird. Die von den Kindern bei der Begriffsbildung
durchlaufenen Zwischenphasen können beispielsweise durch Standortbestimmungen
erhoben werden. Dass die innovative Methode der Weißblatterhebung
sehr viel versprechend ist zeigt Eva-Maria Plackner in ihrem Beitrag „Die
Weißblatterhebung - ein Instrument zur Erhebung des Vorwissens von Kindern
zu geometrischen Begriffen in der Grundschule“.
2

3
Matthias Ludwig
Einen ähnlichen Vernetzungsansatz wie ihn Nordheimer postuliert versucht
auch Markus Ruppert an einem ganz konkreten Beispiel „Biometrie - Eine
Möglichkeit Basiskompetenzen im Geometrieunterricht zu vermitteln“ umzusetzen.
Ruppert verweist darauf, dass biometrische Erkennungssysteme immer
mehr Einzug in unseren Alltag erhalten. Die Grundprinzipien, die sich hinter der
Funktionsweise, insbesondere von Gesichtserkennungssystemen verbergen,
liefern dabei gute Möglichkeiten für geometrische Modellierungsprobleme, bei
denen auch neue Entwicklungen von dynamischer Geometrie-Software, etwa
die Integration eines Tabellenkalkulationsprogramms, ausgenutzt werden können.
Beschrieben wird anhand eines konkreten Projekts, welche Vernetzungsmöglichkeiten
von mathematischen und insbesondere geometrischen Basiskompetenzen
dieses Themenfeld bietet.
Jan Wörler zeigt mit seinem unterrichtspraktischen Beispiel einen konkreten
Versuch geometrische Basiskompetenzen vernetzend zu vermitteln. »Primzahlenbild
1-9216«, »Farbfraktal«, »Fibonacci-Reihe« – bereits die Titel vieler
Werke der Konkreten Kunst verweisen darauf, dass eine besonders enge Verbindung
dieser Kunstgattung zur Mathematik besteht. Diese Verbindungen
aufzudecken, zu untersuchen und dynamisch weiter zu entwickeln erfordert eine
Vielzahl mathematischer Fähigkeiten, aber auch Basiskompetenzen. Im Beitrag
„Konkrete Kunst im Geometrieunterricht“ wird neben theoretischen Aspekten
auch die praktische Umsetzung im Rahmen einer Schülerprojektwoche beleuchtet
Problemlösen wird explizit in den KMK-Bildungsstandards erwähnt. Michael
Schneider geht in seinem Artikel „Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen“
auf den Beitrag des Geometrieunterrichts zum Problemlösen ein und
fokussiert den Kontext auf die geometrischen Denkaufgaben von Paul Eigenmann.
Er stellt dabei den Bezug her zum Kontext der Basiskompetenzen her und
fragt ganz konkret in wieweit die Fähigkeit solche Denkaufgaben zu lösen zu
den geometrischen Basiskompetenzen gehört. Schneider schließt mit modifizierten
Eigenmann-Aufgaben für den Einsatz in der Schule.
Jürgen Steinwandel stellt sich in seinem Beitrag „Förderung von geometriespezifischen
Kompetenzen - eine Bestandsaufnahme des Ist-Zustandes an Realschulen“
die Frage, konstruktive Kompetenzen in der Sekundarstufe I mit dem
Lineal/Geodreieck und dem Zirkel aktuell an baden-württembergischen Schulen
gepflegt werden? Dieser Frage wird mit einer kleinen Untersuchung mit unterschiedlichen
Erhebungen nach gegangen. So werden Lehrpläne, Abschlussprü-

Editorial
fungen und Schulbücher analysiert. Eine kleine empirische Erhebung, erste
Ergebnisse einer wissenschaftlichen Untersuchung an einer Grund- und Realschule
bzw. eigene Erfahrungen werden anschließenden in einem Fazit gebündelt.
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass Basiskompetenzen jede Überlegungen
wert sind und wir nach dieser Tagung noch lange nict genau Beschreiben
können wir wie weit wir den Begriff der Basiskompetenzen fassen können
und vor allem wie diese Kompetenzen sinnvoll und zeitgemäß unterrichtet
werden können.
Literatur
Winter, H. (1996). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der
Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 1996 zum Download:
http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf
Winter, H. (1999). Ein Kanon für den Geometrieunterricht in den Sekundarstufen.
MNU(1), 1996, als Beilage. Download auf der MNU-Webseite:
http://www.mnu.de/index.php?option=com_content&view=article&id=137:kanongeometrieunterricht&catid=39:aktuelles&Itemid=40
4

Basiskompetenzen in der Geometrie – Versuch einer Ortsbestimmung
Teilnehmer der Arbeitsgruppen
Zusammengetragen von Reinhard Oldenburg
Zusammenfassung. Während der Herbsttagung 2009 wurde versucht, den Begriff Basiskompetenz
für die Geometrie zu spezifizieren. Dabei zeigte sich einerseits, dass ein
Blick auf Geometrieunterricht von der Kompetenzperspektive aus nützlich ist, dass dieser
Zugang aber auch charakteristische Probleme und Beschränkungen hat.
Zum Begriff Basiskompetenz
Der Begriff Basiskompetenz ist noch nicht eindeutig fixiert. Eine mögliche
Interpretation sieht ihn als die Kompetenz, die man erreichen muss, um den
Mindeststandards zu genügen. Eine andere Sichtweise betont den Aspekt der
Basis und sieht Basiskompetenzen, also solche Kompetenzen, auf die noch
aufgebaut wird, die also als Voraussetzung für spätere Lern- oder Handlungssituationen
notwendig sind. In diesem zweiten Sinne kann eine Basiskompetenz
auch kognitiv anspruchsvoll sein und insbesondere hängen sie von den Zukunftsplanungen
der Schüler ab.
Basiskompetenzen und Problemlösen
Problemlösen ist eine anspruchsvolle Tätigkeit und deswegen kann man zunächst
vermuten, es handle sich nicht um eine Basiskompetenz. Dem kann man
aber auf Grundlage beider obigen Begriffsformen widersprechen. Auch Schüler,
die nur den Mindeststandard erreichen, sollten über gewisse Problemlösefähigkeiten
verfügen und im Sinne des zweiten Verständnisses von Basiskompetenz
kann man viele Beispiele anführen, in denen kleine Problemlösefähigkeiten
Voraussetzung für erfolgreiches Agieren sind.
In der Gruppe wurde aber auch diskutiert, dass Problemlösen nicht zuerst eine
Kompetenz sondern eine Einstellung ist. Persönlichkeitsmerkmale wie Frustrationstoleranz
und Sackgassenakzeptanz bzw. Beharrlichkeit sind entscheidend
beim Problemlösen. Da Mathematik nicht nur aus Abarbeiten von Routineaufgaben
besteht, müssen die Schüler die Bereitschaft erwerben, Umwege zugehen.
Oldenburg, R. (2010). Basiskompetenzen in der Geometrie - Versuch einer
Ortsbestimmung. In: Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen
in der Geometrie, Hildesheim: Franzbecker, S.5-10

Basiskompetenzen in der Geometrie
Auf der Metaebene gehören auch gewisse Kenntnisse von Problemlöse-
Strategien zu Basiskompetenzen. Strategien wie Probieren und Variieren sind
auch außerhalb der Mathematik relevant. Ebenfalls hierhin gehört die Reflexionsfähigkeit
über das eigene Vorgehen. Beispielsweise sollte man sich klar
machen können, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Eine solche
Strukturierungsfähigkeit schafft Überblick. Dazu gehören, auch in der ersten
Interpretationsart:
• nützliche Hilfsmittel kennen
• bisheriges Wissen / Erfahrung durchgehen
• Teilfiguren / Teilprobleme erkennen
• Figuren erweitern/ergänzen
• einen Aspekt in einen größeren Zusammenhang stellen
• Identifizieren der gegebenen und benutzten Voraussetzungen
• Variieren mit Abschätzen der Folgen (Variationsfähigkeit)
Illustriert wurden diese Basiskompetenzen am Beispiel eines Rangierproblem
(2 Waggons, Lok, rangieren), das das mit "Bausteinen" spielen und kombinieren
exemplarisch vormacht. Ähnlich gelagert ist die Suche in einem Labyrinth.
Basiskompetenzen aus der Formenkunde
Es wurde versucht, zu definieren, was im Bereich der Formenkunde als Basiskompetenz
gelten könnte:
• Kompetenz, ebene und räumliche Körper (Gegenstände) wahrnehmen
und beschreiben können
• Begriffsapparat (von der Grundschule an)
• gerade, gekrümmt (später: Krümmung), glatt (später: differenzierbar),
senkrecht, parallel, schief….
• Übliche Kataloge von Relationsbegriffen
• Operationen mit Objekten in Bezug zu Eigenschaften
• Genau beschreiben: Messen, Messfehler
• Körper darstellen können
• Schrägbilder herstellen und interpretieren; Maße entnehmen
• Kompetenz Figuren und Körper herzustellen
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• Zusammenfügen, Schneiden,…, Basteln
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Reinhard Oldenburg
• Welche Körper können durch Rotation entstehen (Rotationskörper
nicht nur beim Integral)
• Katalog an interessanten Formen
• Parabolantennen, Kettenline, Spiralen, …
Basiskompetenzen wurden dabei im Sinne der zweiten Begriffsfassung verstanden,
und eine explizite Abhängigkeit von weiteren Anwendungen, zB von Modellbildungen,
und vom individuellen Lernprozess konstatiert.
Basiskompetenzen im Umgang mit geometrischen Werkzeugen
Kompetenzen
Fähigkeiten
Geodreieck /
Meterstab /
Maßband
Genauigkeitsrelevanter
Einsatz
des entsprechendenMessmittels
+ entsprechendes
Runden
Unter Beachtung
der Eigenschaftenzeichnen
folgender
Grundformen:
Dreiecke mit
Seitenvorgaben
und mit Winkelvorgaben
Vierecke
Zirkel DGS
Konstruktion
Senkrechte
Konstruktion
Mittelsenkrechte
Konstruktion
Winkelhalbierende
Schnittpunkte
zweier Kreisbögen
Streckenübertrag
Streckenübertrag
Senkrechte
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Zugmodus
Ortskurve
Algebrafenster
Umgang mit
grundsätzlichem
Funktionsumfang
und Programmphilosophie
Messen (Strecke,
Winkel)
Fenstertechnik
Umgang mit Maus
und Tastatur
Konstruktionen
ohne
Konstr.-
Werkzeug

Basiskompetenzen in der Geometrie
Fertigkeiten
Messen (Strecke,
Winkel)
Strecken zeichnen
Streckenmitte
bestimmen
Parallele im
Abstand s
Lotgerade,
Senkrechte
Kreisbogen
mit Radius
zeichnen
Basiskompetenzen zum Umgang mit Ortslinien
8
Gruppe Zeichnen
Gruppe Konstruieren
Gruppe Abbildung
Das Ortslinienwerkzeug von DGS ist ein mächtiges Werkzeug, das aber nur auf
der Basis bestimmter Kompetenzen voll genutzt werden kann:
• Handlungsalgorithmen verfolgen
• beobachten, beschreiben
• mathematisch (geometrisch) umsetzen, deuten
• in ein DGS übertragen
• Wahl eine Koordinatensystem
• Vernetzung von Gleichung und Graph
• Allgemeiner Abbildungs (Funktions-)begriff
• Kritische Haltung zu Computerergebnissen
Fazit zu Basiskompetenzen
Einsatz +
Beherrschung
der
Grund-
funktionen
Im Laufe der Diskussion wurde klar, wie schwierig der Begriff der Basiskompetenz
ist. Nicht zuletzt ist offen, zu welchem Zweck er verwendet werden soll. Im
Sinne der ersten Definition kann man an eine Evaluation des Schulsystems denken.
Wird das Ziel erreicht, bei allen Schülern die Basiskompetenzen zu erreichen?
Im Sinne der zweiten Definition könnte man als Schulbuchautor die Kompetenzentwicklung
strukturieren. Beispielsweise könnte zu Beginn eines Schuljah-

9
Reinhard Oldenburg
res geprüft werden, ob die jahrgangsstufenspezifischen Basiskompetenzen auch
wirklich vorhanden sind. Außerdem kann man sich fragen, ob man es schaffen
kann, die neuen Inhalte eines Schuljahres so zu strukturieren, dass möglichst
wenig Basis nötig ist.
Trotz aller offenen Fragen: Die Teilnehmer waren sich einig: der Begriff der
Basiskompetenz ist nützlich, weil er einen neuen Blick auf den Geometrieunterricht
ermöglicht und zu regen Diskussionen Anlass gibt – wie auf der Herbsttagung
bewiesen wurde.

Basiskompetenzen in der Geometrie
10

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie:
Versuch einer theoretischen Klärung
Michael Neubrand
Abstract: Der folgende Text ist eine nachträgliche Skizze des Einleitungsvortrags am
2. Oktober 2009 bei der Jahrestagung des Arbeitskreises Geometrie der Gesellschaft für
Didaktik der Mathematik in Königswinter. Die Tagung behandelte „Basiskompetenzen in
der Geometrie“, eine ebenso aktuelle wie traditionelle Thematik. Der Vortrag hatte sich
zum Ziel gesetzt, das Feld der Schulgeometrie in Hinblick auf Inhalte, Arbeitsweisen und
Kompetenzen abzustecken, aber weder der Vortrag noch jetzt diese nachträgliche Fassung
beanspruchen, diesbezüglich auch nur einigermaßen erschöpfend zu sein. Vortrag
und Text sind letztlich ein Plädoyer dafür, sich immer wieder einer offenen „Multiperspektivität“
der Geometrie zu stellen und diese nicht zu leichtfertig auf wenige Kompetenzen
zurückzuschneiden. Vortrag und Text plädieren aber umgekehrt ebenso dafür,
es nicht bei allgemeinen Desideraten zu belassen, sondern immer wieder auch nach dem
Faktischen und dem konkret Umsetzbaren zu fragen.
Motto
Der Vortrag stand unter diesem generellen Motto:
Auch und gerade, wenn man über „Basiskompetenzen“ nachdenkt, darf man
nicht nur in Kategorien von Stoffkatalogen und wünschenswerten Qualifikationen
denken. Vielmehr kann man sich beim Abstecken des Feldes „Schulgeometrie“
an diesen drei grundlegenden Aspekten orientieren:
• Alle Überlegungen sollen sich letztlich auf das Lehren und Lernen beziehen
lassen.
didaktischer Aspekt.
• Alle Überlegungen sollen der Multiperspektivität der Geometrie Rechnung
tragen.
epistemologischer Aspekt.
• Alle Überlegungen sollen sich auf einen sehr allgemeinen „literacy“-
Begriff stützen, der auch innerfachliche Aspekte einbezieht.
pädagogischer Aspekt.
Neubrand, N. (2010). Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-)
Geometrie: Versuch einer Theoretischen Klärung.. In: Ludwig, M., Oldenburg,
R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in der Geometrie, Hildesheim: Franzbecker,
S.11-34

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
Einstimmung: Was „braucht“ man eigentlich für die Tischler-Aufgabe?
Es ist allzu leicht – und falsch! – mit dem Begriff „Basiskompetenzen“ nur das
unmittelbar Anwendbare zu assoziieren. Schon die geometrischen Kompetenzen,
die tatsächlich „unmittelbar gebraucht“ werden, enthalten weit mehr als
bloße Fertigkeiten. Am folgenden Beispiel lässt sich das gut demonstrieren, der
„Tischler-Aufgabe“ (siehe J. & M. Neubrand, 2007):
Die Tischler-Aufgabe:
Ein Tischler will oft, dass eine Schublade, eine Türfüllung, der Rahmen
eines Schrankes oder Regals, eine Tischplatte, ... genau rechteckig zusammengebaut
werden.
Tischler gehen dafür so vor (Abbildung 1):
Zuerst sichern sie, dass sich je zwei gleich lange Seiten a und b gegenüber
liegen. Dies ist das leichtere Problem, denn man kann ja mit dem
Zollstock ziemlich genau abmessen.
Abb. 1: Werkstück des Tischlers
Aber nun kann sich das Werkstück „verziehen“.
a
b b
f e
a
Deshalb misst der Tischler auch die beiden Diagonalen e und f . Sind
diese ebenfalls gleich lang, dann ist das Werkstück tatsächlich „im
rechten Winkel“.
Man muss zu diesem Vorgehen des Tischlers noch nicht einmal explizit die
Frage stellen: „Stimmt das?“ Allein das Verwenden (noch nicht einmal das
„Verstehen“) des Vorgehens des Tischlers setzt schon Kompetenzen voraus, die
weit mehr sind als reduzierte „basics“:
12

Anwenden setzt zwar Basis-Wissen voraus:
Was ist ein rechter Winkel?
Was bedeutet Länge?
Was ist ein Rechteck?
13
Michael Neubrand
Aber erkennen, worum es geht, kann man nur bei einer Sicht auf die Figur (das
Werkstück), die mehr ist als ein statisches Abbild, mehr als das Benennen der
Figur selbst:
Wie kann sich die (eine) Figur verändern, wenn einige Größen festgehalten
werden, einige schwanken?
Innerhalb welcher Schar von Figuren ist das Rechteck anzusiedeln?
Was ändert sich, was bleibt erhalten, wenn sich das Werkstück „verzieht“,
wenn eine Figur systematisch verändert wird?
Sind das noch „Basiskompetenzen“? Ja, denn offenbar verlangt die Praxis die
Fähigkeit, solche Regeln sinnvoll zu verwenden. Aber die sinnvolle Verwendung
bedingt offenbar grundlegende Verständniselemente, die über das Lernen
von Rezepten hinausgehen. Kommen solche Fragestellungen in den Mathematikunterricht,
dann kann die mathematikdidaktische Stoßrichtung nur sein, vielfältige
Erfahrungen anstoßen, um die Tischler-Regel aus einem allzu engen
Praxis-Kontext zu holen. Diese Erfahrungen müssen einerseits konkret genug
bleiben, aber dennoch auf allgemeine Beziehungen zielen: Aus dem „Rezept“
soll eine verstandene „Strategie“ werden. 1 Dennoch hat es wenig Sinn, nun in
die „wirkliche“ Werkstatt zu gehen, aber Basteln und Experimentieren, sagen
wir mit Stäben, Gelenken, Gummibändern, ... , das ist wichtig.
Nicht einmal eine praxisnahe Regel für die konkrete Handwerkstätigkeit kann
somit verstanden werden, wenn nur isoliertes Wissen über einige Grundbegriffe
vorliegt. Auch und gerade auf einfachstem inhaltlichem Niveau sind Verknüpfungen
des Gewussten zu anderen Wissenselementen und zu reflektierten Erfahrungen
mit konkreten Gegenständen das Entscheidende. Solche Vernetzungen
herzustellen muss nicht mit „schwierig“ sein. Einfache Querverbindungen ge-
1 Das ist der „aufklärerische Impetus der Schule“, auf den Heinrich Winter immer wieder
hingewiesen hat (Winter, 1975, 1985, 1995).

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
nügen. Wichtig ist, auch elementarstes Wissen zusammen(!) mit seinen Einbettungen
zu thematisieren. 2
Schon bei diesem einfachen Beispiel werden unterschiedliche Funktionen und
Aspekte der Geometrie angesprochen:
• Praxis
• Begründung
• Begriffe
• Experimente
• ...
Das verlangt nach systematischer Erschließung des Feldes „(Schul-)Geometrie“,
wofür im folgenden Abschnitt ein Modell angeboten wird.
Die Multiperspektivität der Schulgeometrie:
Sichtweisen – Zugänge – Tätigkeiten
Nach drei Dimensionen (siehe Abbildung 2) kann man das Feld der Schulgeometrie
aufschließen (Neubrand, 1991; siehe auch Graumann & al., 1995; Mammana
& Villani, 1998):
Generelle Sichtweisen
von Geometrie
Zugänge („Approaches“)
zur Geometrie
Abb. 2: Drei Dimensionen des Feldes Schulgeometrie
2 In J. & M. Neubrand (2008) wird dazu ein für Schülerinnen und Schüler der Hauptschule
geeignetes Arbeitsblatt zur Tischleraufgabe vorgestellt, das die Einführung in die
Regel mit der Verknüpfung elementarer geometrischer Kenntnisse verbindet.
14
Tätigkeiten
in der Geometrie

Sichtweisen
15
Michael Neubrand
Schon die Geometrie als mathematisches Teilgebiet ist nicht uniform. Es gibt –
und das zeichnet die Geometrie unter den anderen mathematischen Teilgebieten
in besonderer Weise aus – die unterschiedlichsten Sichtweisen. Diese Vielfalt
von Aspekten ist durchaus erstaunlich. Sie macht den Geometrie-Unterricht
einerseits schwer und anspruchsvoll (Graumann & al., 1995); für die Analyse
von Unterricht bietet sie aber auch Chancen:
• Lehrerinnen und Lehrer können sich bei der Unterrichtsgestaltung daran
orientieren;
• die Einordnung und Bewertung von Unterricht kann anhand solcher
Sichtweisen substantiiert und präzisiert werden;
• schließlich müssen eine Reihe dieser Sichtweisen Bestandteil des bei
den Schülerinnen und Schülern zu erzeugenden Mathematikbildes
werden, das um so reichhaltiger wird, je ausgewogener diese Aspekte
im Unterricht vorkommen.
Eine ausführliche Liste von Sichtweisen der Geometrie hat Vollrath (1992)
zusammengestellt; an diese hält sich die folgende Aufzählung. Auch Schupp
(1991) hat ähnliche Beschreibung vorgelegt. Man kann demnach Geometrie
sehen …
• als „fertiges“ mathematisches Teilgebiet, als Vorrat verschiedener,
ausgearbeiteter mathematischer Theorien,
• als ein Feld, in dem Begriffe zu finden, Theorien zu entwickeln, logische
Abhängigkeiten aufzudecken, mathematischen Arbeitsweisen zu
realisieren sind,
• als Lieferant von mathematischen Problemen unterschiedlicher Art und
Schwierigkeit (die „Steinbruch“-Idee),
• als ein Vorrat von Theorien, die die Planung und Konstruktion von
technischen Geräten verschiedener Art ermöglichen (besonders eindringlich,
gerade durch die historische Distanziertheit Adams
(1985/1795)),
• als Bereitstellung von Theorien über den uns umgebenden Raum; d.h.
Geometrie erwachsend aus naturwissenschaftlichen Erfahrungen und
diese deutend,
• als ein Produkt der Geistesgeschichte, als kulturelle Leistung,

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
Zugänge
• als einen Vorrat von Formen, die es zu beobachten, zu interpretieren,
zu erzeugen gilt, und die man außerhalb der Geometrie nutzen kann.
Nicht uniform sind ebenso die Möglichkeiten, im Mathematikunterricht (und
auch darüber hinaus) zu geometrischen Fragestellungen zu kommen. Auch hierbei
zeichnet sich die Geometrie gegenüber anderen mathematischen Teildisziplinen
durch eine besondere Multiperspektivität aus.
Man kann zur Geometrie kommen …
• von Realitätsbezügen her:
Dann aber sollte man deren Vielfalt ausnützen: Technik, Geographie,
Sonne-Mond-und-Sterne, Kunst, etc.. Im Mathematikunterricht werden
Realitätsbezüge oft leider nur zum Motivieren oder zum Anregen benutzt;
zentral ist aber, dass man sie auch zur Begriffsbildung einsetzt
(vgl. Winter, 1995).
• vom Interesse an und der Erschließung von inneren Zusammenhängen
her.
Dann steht im Mathematikunterricht oft das (nachträgliche) Erklären
im Vordergrund, die Darstellung und Begründung von Sachverhalten.
Man kann das Erschließen innerer Zusammenhänge aber auch für aktive
Zugänge zu neuem mathematischem Wissen nützen, etwa indem logisches
Ordnen neue Begriffe, Sätze, Beweise etc. erzeugt (vgl. Neubrand,
1981; 1990).
• vom Wunsch etwas zu beherrschen her.
Dann sieht man im Mathematikunterricht oft nur das Üben. Auch dieses
kann aber „produktiv“ sein, wenn es operativ aufgefasst wird und
zu vielfältigen selbstgesteuerten Aktivitäten Anlass gibt. Solche Übungsformen
sind in der Geometrie gut realisierbar, etwa mit dieser
Aufgabe: In einen Kreis werden ein gleichseitiges Dreieck und ein
Quadrat einbeschrieben (siehe Abbildung 3); durch Überschneidungen
entstehen zahlreiche Stecken, die alle untereinander im Zusammenhang
stehen und die man berechnen kann:
16

Abb. 3: Kreis, gleichseitiges Dreieck und Quadrat
• vom Material her (auch: Computer) und von Messgeräten her.
17
Michael Neubrand
Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, die Geräte zu benutzen,
die Erfahrungen zu ordnen, aus den Beobachtungen Schlüsse zu ziehen.
Auch hier gilt es, die in der Geometrie gegebene Vielfalt auszunutzen.
• von der Neugierde nach Erforschen, Entdecken, Problemlösen her.
• vom Wunsch nach „Verstehen“ (über das Gelernte reflektieren) her.
Gerade zu diesen beiden Punkten gibt es in der Geometrie vielfältige Möglichkeiten.
Tätigkeiten und Kompetenzen
Schließlich kann man die Geometrie auch unter dem Aspekt der in ihr ausgeführten
mathematischen Tätigkeiten betrachten. Solche Tätigkeiten sollen dann
zu Kompetenzen führen. Auch hier gilt: Die Geometrie bietet ein reichhaltiges
Potential für solche Tätigkeiten und mithin ein breites Reservoir an Möglichkeiten,
geometrische Kompetenzen auszubilden. Voraussetzung diese Vielfalt auszunützen
ist die Bewusstheit darüber.
Die Geometrie kennt als mathematische Aktivitäten …
• reflektierte(!) konkrete Tätigkeiten: Falten, schneiden, kleben, rollen,
zusammensetzen, bewegen, etc.,
• diese konkreten Tätigkeiten – nach gemachten Erfahrungen – auch
symbolisch auszuführen,
• die spezifische Tätigkeit des Zeichnens mit ausgewählten (und entsprechend
reflektierten) Zeichengeräten: Zirkel & Lineal, aber auch andere,
incl. DGS,

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
• die spezifische Tätigkeit des „Sehens“ und des Operierens mit dem Gesehenen,
• alle Tätigkeiten, die mit dem „Visualisieren“ zu tun haben (vgl. z.B.
die zahlreichen Anregungen aus den Klagenfurter Visualierungs-
Workshops (etwa Kautschitsch, 1989) oder das folgende Beispiel eines
„visuellen Beweises“ – Abbildung 4).
Abb. 4:“The rolling circle squares itself” (Nelsen, 1993)
Es gibt aber in der Geometrie noch eine besondere Art, mathematische Tätigkeiten
in den Unterricht einzubauen. Das liegt daran, dass gerade in der Geometrie
– mehr, expliziter und leichter elementar zugänglich zu machen als in anderen
mathematischen Teilgebieten – einige allgemeine mathematische Arbeitsweisen
authentisch zum Ausdruck kommen. Benno Artmann hat sogar von Geometrie
als „Vorbild für Mathematik“ (Artmann, 1978) gesprochen. Zu diesen in der
Geometrie authentisch und dennoch elementar darstellbaren Tätigkeiten gehören
…
• das Aufklären von Phänomenen,
• das Ordnen von Chaos,
• das Herstellen von Beziehungen zwischen verschiedenen Aussagen, oft
sogar schärfer: das Aufdecken verborgener Beziehungen,
• die Präzisierung qualitativer Beziehungen,
18

19
Michael Neubrand
• das Hinausgehen über Bekanntes, das Erweitern des Horizonts, das
Verallgemeinern,
• das Umschlagen einer Fragestellung, die beantwortet scheint, in ein
neues Problem (oft ausgelöst durch neue „Mittel“),
• die Suche nach einem aufklärenden Gedanken für ein ganzes Gebiet.
Vgl. Neubrand (1991) für Hinweise auf Beispiele sowohl aus dem „elementaren“
geometrischen Bereich wie auch parallel dazu aus der „höheren“ Mathematik.
Geometrie in den Bildungsstandards, in den US-„Principles & Standards“
und im britischen Geometry-Report
In die deutschen Bildungsstandards geht die Geometrie vorwiegend unter der
Leitidee „Raum und Form“ ein. Es heißt dort (KMK, 2003, 2004):
(L 3) Leitidee Raum und Form
Schülerinnen und Schüler ...
• erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt,
• operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern,
• stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar,
• stellen Körper (z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen
Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen,
• analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene und des
Raumes,
• beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer
Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen)
und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse
von Sachzusammenhängen,
• wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen
und Beweisen an, insbesondere den Satz des Pythagoras und den
Satz des Thales,
• zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung
angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische
Geometriesoftware,

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
• untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben
und formulieren diesbezüglich Aussagen,
• setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen
ein.
Die einzelnen Kompetenzen bleiben allerdings – wie bei einer solchen summarischen
Übersicht zunächst nicht anders zu erwarten – relativ unverbunden nebeneinander
stehen. Nähere Begründungen und Strukturierungen fehlen; Prinzipien,
wie „gedanklich operieren“ oder „begründen“ (nach unterschiedlichen
Systematiken wie Kongruenz oder Symmetrie) stehen unvermittelt neben stofflichen
Elementen wie den extra erwähnten Sätzen von Pythagoras und Thales.
Der Informationsgehalt der Bildungsstandards wird zu den Lehrerinnen und
Lehrern hauptsächlich über Aufgabenbeispiele transportiert (Blum & al., 2006).
Das kann durchaus – worauf implizit bereits in Blum & al. (2006, vgl. S. 33-35)
hingewiesen wird – bedenkliche Einschränkungen nach sich ziehen. Zum Lehren
und Lernen gehören nämlich neben dem stofflichen Kanon und den prozessbezogenen
Kompetenzen auch allgemeine mathematische Denkweisen und eine
Einbindung des Stoffes in größere, auch für die Lernenden sichtbare Zusammenhänge
(vgl. Neubrand, 2009).
Wie real die Gefahr der Einschränkung der Ideen der Bildungsstandards beim
Übergang zum konkreten und realen Mathematikunterricht ist, zeigen Aufgabenbeispiele
wie das obige (siehe Abbildung 5), das – wenn es bei solchen Aufgaben
bleibt – eine große Einengung der Ideenwelt der Geometrie anzeigt, indem
nämlich nur noch auf Rechnerisches und Außermathematisches Bezug
genommen wird und keinerlei Ansatzmöglichkeiten zur Reflexion (Form der
Pyramide, Eigenarten der Formeln, etc.) mehr erkennbar sind.
20

Abb. 5: aus: Stark-Verlag, 2009 a
21
Michael Neubrand
Die US-amerikanischen „Principles & Standards“ (NCTM, 2000) gehen weitaus
strukturierter vor. Wörtlich heißt es (NCTM, 2000):
Geometry Standard
Instructional programs from prekindergarten through grade 12
should enable all students to …
• analyze characteristics and properties of two- and three-dimensional
geometric shapes and develop mathematical arguments about
geometric relationships;
• specify locations and describe spatial relationships using coordinate
geometry and other representational systems;
• apply transformations and use symmetry to analyze mathematical
situations;
• use visualization, spatial reasoning, and geometric modeling to solve
problems.
Man kann klar die vier zentralen Denkweisen unterscheiden, die durch die Geometrie
im Mathematikunterricht in besonderer Weise ausgebildet werden sollen.
Es sind dies allgemeine Funktionen des Mathematikunterrichts, die aber
jeweils spezifisch geometrisch realisiert werden können:
• analytisch denken:
Formen – Figuren – innere Eigenschaften von Figuren.

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
• darstellen und beschreiben:
Raum – Orientierung – Darstellung durch Koordinaten und andere Verfahren.
• beweglich denken:
Beweglichkeit – Beziehungen im Großen – Symmetrien.
• die geometrischen Möglichkeiten nutzen:
Sehen – Erkennen – Veranschaulichen.
Ein Vergleich der beiden Ansätze zeigt, dass die Bildungsstandards relativ ungeordnet
bestimmte Kompetenzen aneinander reihen. Unterschiedliche Ebenen
werden nicht auseinandergehalten; Beispiele stehen neben allgemeinen Überlegungen;
eine gemeinsame Klammer fehlt. Der Hintergedanke, warum die Leitidee
„Raum & Form“ und nicht „Geometrie“ genannt wird, bleibt recht vage. Es
fehlt der Hinweis, was geometrisches Denken als Grundlage für Visualisierungen
über die Geometrie hinaus leisten kann. Somit besteht vor allem die Gefahr
der Verengung bei der konkreten Umsetzung. Im Begleitbuch zu den Bildungsstandards
(Blum & al., 2006) kommt keine explizite Gesamtbeschreibung von
„Raum und Form“ vor, wie es etwa bei Daten & Zufall geschieht.
Die “Principles & Standards” hingegen definieren vier klare Funktionen der
Geometrie. Diese immer gleichen „Standards“ werden dann systematisch nach
Klassenstufen ausdifferenziert, so dass allein von daher eine größere Breite
angesprochen (auch realisiert??) werden kann. Eindeutig liegt der Fokus der
„Principles & Standards“ auf „understanding“ im Sinne einer Vernetzung der
einzelnen Gegenstände der Geometrie über größere curriculare und gedankliche
Distanzen hinweg.
Dass es gerade in der Geometrie auf die fachimmanenten Randbedingungen
ankommt, betont auch der „Report“ der britischen Royal Society von 2001. Drei
Grundprobleme, die sich zwar auch in anderen mathematischen Teilgebieten
stellen, sind in der Geometrie besonders virulent (Royal Society, 2001):
• abundance:
Der große Facettenreichtum der Geometrie kann zu Eklektizismus oder
zur Auswahl eines allzu engen Lehrgangs führen.
• coherence:
Beides, Breite und Tiefe sind im mathematischen und im didaktischen
Sinn zu sichern. Geometrie kann also nicht beliebig ausgedünnt werden.
• progression:
Geometrie im Unterricht ist als Einheit und im gesamten curricularen
Zusammenhang zu konzipieren.
22

23
Michael Neubrand
Gerade die letzten beiden Punkte scheinen mir in den deutschen Bildungsstandards
viel zu kurz zu kommen, so dass wir tatsächlich mit der zuerst genannten
Gefahr der Verengung real konfrontiert sind. Übrigens empfiehlt die Royal
Society abschließend: „We recommend that the title of the attainment target
Ma3 of the National Curriculum be changed from ‘Shape, space and measures’
to ‘Geometry’.“ (Royal Society, 2001).
Umsetzung von geometrischen Basiskompetenzen in der deutschen Option
von PISA-2003
Will man die aufgezeigte Breite der geometrischen Kompetenzen konkret in
Aufgaben umsetzen, z.B. in Leistungsuntersuchungen wie PISA, aber auch in
zentralen Prüfungen in den Bundesländern, in Vergleichsarbeiten, ja selbst in
Ansätzen auch noch in Klassenarbeiten und schulischen Leistungsüberprüfungen,
steht man vor recht konkreten Problemen. Einerseits soll die soeben umrissene
kognitive Breite vorhanden sein. Anderseits sind aber „Test“-Aufgaben zu
konstruieren, die von den Schülerinnen und Schüler nicht „geniale“ Ideen verlangen
können, auch keine allzu langen Argumentationsketten, keine aufwendigen
Zeichnungen etc., die aber dennoch auf Wissen und Fähigkeiten zurückschließen
lassen. Es kann also nicht mehr nur um realitätsorientierte Berechnungsaufgaben,
wie im obigen Beispiel (Abbildung 3) gehen; auch das innermathematische
Potential der Geometrie muss angemessen zur Geltung kommen,
denn auch das ist „grundbildungsrelevant“, wie die eingangs diskutierte Tischler-Aufgabe
zeigte.
Mit im Kern analogen Ideen, nämlich die inhaltliche Breite der Geometrie auszunutzen,
geht Wittmann (1999) an die Konstruktion eines Geometrie-
Curriculums heran. Zu den Grundideen der Elementargeometrie zählt er dabei
nicht nur innergeometrische Stoffbereiche, sondern er betont, dass die Geometrie
nicht nur ein Zweig der Mathematik sei, sondern auch vom Standpunkt der
Allgemeinbildung aus wichtig: Geometrie ist „fundamental“, indem sie in vielfachen
Zusammenhängen auftritt, gerade auch im Zusammenhang mit dem
allgemeinen Lernziel Mathematisieren. Mathematisieren ist aber bei ihm nicht
Selbstzweck sondern sowohl Zugang (zu Begriffen) wie auch Bewährung (der
inneren Konsistenz).
In der deutschen Zusatzstudie zu PISA-2003 (Prenzel & al., 2004) wurde u.a.
eine umfangreiche Sammlung an geometrischen Aufgaben gestellt. Die Ergebnisse
zu diesen Aufgaben sind bisher nicht öffentlich dargestellt, so dass im
Folgenden lediglich ein kurzer Einblick gegeben wird. Vor der Aufgaben-
Konstruktion standen systematische Überlegungen, die verschiedenen Dimensionen
der Geometrie im Aufgabenmaterial anzusprechen. Im Folgenden werden

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
– ohne hier auf das volle Aufgaben-Spektrum einzugehen – Beispiele zu ausgewählten
Aspekten angegeben und kurz diskutiert:
• Aufgaben zum Grundwissen.
Beispielaufgabe: „Rechteckeigenschaften“
• Aufgaben zum Erkennen von Zusammenhängen als Vorstufe zum Beweisen.
Beispielaufgabe: „Trapezfläche“
• Aufgaben zu Berechnungen, mit Modellierungscharakter.
Beispielaufgaben: „L-Fläche“, „Wandfläche“ (siehe Ulfig, 2007),
„Tischdecke“
Schließlich folgt ein Beispiel außerhalb von PISA:
• Aufgaben außerhalb der üblichen Berechnungs-Aufgaben, hier mit
Anknüpfung an die „zentrale Idee“ (Bender, 1983) des „Passens“.
Beispielaufgabe: „Beregnete Fläche“
Aufgabenbeispiel zum Grundwissen (aus PISA-2003-Deutschland)
Rechteckeigenschaften
Schreibe möglichst viele Eigenschaften von Rechtecken auf:
Es ist bemerkenswert 3 , dass immerhin knapp 10 % der deutschen Schülerinnen
und Schüler zu dieser elementaren Frage keine, über 10 % nur falsche Antworten
geben können. ¾ der Schülerinnen und Schüler beschränken sich ausschließlich
auf Eigenschaften von Winkeln und Seiten. Unter 10 % nennen auch Eigenschaften
von Diagonalen, Mittelinien und/oder Symmetrien.
3 Es werden hier nur grobe Orientierungszahlen – ohne Schulformen, Gewichtungen,
Differenzierungen – angegeben. Es ist dies also keine Auswertung der PISA-Ergebnisse!
24

25
Michael Neubrand
Aufgabenbeispiel zum Erkennen von Zusammenhängen als Vorstufe zum Beweisen
(aus PISA-2003-Deutschland)
A
Trapezfläche
In einem Schulbuch steht:
Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines
Trapezes ergibt sich aus der folgenden Zeichnung:
D C
h
Erkläre, wie man aus dieser Zeichnung erkennen kann, dass die Formel für die
Berechnung der Trapezfläche A = m ⋅ h lautet.
Selbst bei großzügiger Codierung kommt man hier nur noch auf ca. ¼ der Schülerinnen
und Schüler, die eine hinreichende Erklärung abgeben können. Die
Hälfte der Schülerinnen und Schüler lässt diese Aufgabe aus, kann der Fragestellung
also nicht wirklich einen Sinn abgewinnen. Dennoch sind solche
„Schulbuchseiten“ ja nicht frei erfunden; sie sind sogar nahe an dem, was üblicherweise
im Mathematikunterricht präsentiert wird.
Aufgabenbeispiele zu Berechnungen mit Modellierungscharakter (aus PISA-
2003-Deutschland)
Solche Beispiele hat Frauke Ulfig bereits vor zwei Jahren beim AK Geometrie
vorgetragen (Ulfig, 2007). Eines der herauszuhebenden Ergebnisse ist, dass
Fehllösungen von (Haupt-) Schülerinnen und Schülern oft nicht allein auf lokalem
Nicht-Wissen beruhen, sondern auf sehr allgemeinen Fehlvorstellungen,
z.B. darüber, was in der Geometrie eine „Figur“ sei.
Eine bereits mehrfach diskutierte Aufgabe (siehe Prenzel & al., 2004, S. 59 f),
hinter der letztlich ein sehr einfacher (Teilaufgabe a)) und ein recht verwickelter
(Teilaufgabe b)) Modellierungsprozess stehen, ist die Aufgabe „Tischdecke“:
m
B

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
Tischdecke
Auf einem quadratischen Tisch liegt eine quadratische Tischdecke.
An allen vier Kanten hängt die Decke 10 cm so über, wie es die Zeichnung zeigt:
80 cm
a) Wie groß ist die Tischfläche?
b) Wie groß ist die Tischdecke? Gib ihren Flächeninhalt an.
26
10 cm
(Zeichnung nicht maßgenau)
Teilaufgabe a) wird bei PISA in Deutschland erwartungsgemäß von der Hälfte
der Schülerinnen und Schüler richtig gelöst. Mehr als die Hälfte der Schülerinnen
und Schüler überspringen hingegen die sehr viel komplexere Teilaufgabe
b). Selbst von denen, die die Aufgabe bearbeitet haben, bekommen nur noch ca.
15% korrekte Lösungen zustande. Davon gehen 2/3 über die Diagonale der
Tischdecke, 1/3 über die Kantenlänge der Tischdecke. Eine genauere Inspektion
der PISA-Daten kann also auch Strategien und bevorzugte Lösungswege aufdecken.
Beispielaufgabe zum „Passen“ außerhalb der üblichen Berechnungs-Aufgaben
Die folgende Aufgabe stammt aus der zentralen Prüfung ZP-10 von 2008 für
Gymnasien in Nordrhein-Westfalen (siehe Stark-Verlag 2009 b oder
www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/zp10/pruefungsaufgaben/).
Die Aufgabe zeigt einerseits deutlich auf, wie gut man mit geometrischen Themen
anspruchsvolle und dennoch durch den Kontext relativ einfach zugängliche
Aufgaben konstruieren kann. Hinter dem dominierenden außermathematischen
Kontext steht nämlich letztlich das Erkennen der geometrischen Konfiguration,
die sich gegenseitig berührende Kreise gleichen Durchmessers einnehmen. Diese
Konfiguration zu durchschauen (Idee: „Passen“) ist die eigentliche kognitive
Leistung hinter der Aufgabe. Andererseits zeigt die Aufgabe aber auch, wie
schwer es ist, dieses Potential der Geometrie wirklich so umzusetzen, dass
Schülerinnen und Schüler damit in geometrisches Denken hineingeführt werden.

27
Michael Neubrand
Abb. 6: Aufgabe aus den zentralen Prüfungen Mathematik 2008, Klasse 10,
Gymnasium, Nordrhein-Westfalen.
Die Umsetzung der genannten Ideen in die Aufgabe ist tatsächlich problematisch
4 , sowohl von der Formulierung her, wie vom Erkenntnisgewinn aus den
Lösungsquoten. So ergeben sich sowohl die in der Zeichnung angebenden
1416 m als auch h aus der Kreiskonfiguration selbst; warum soll nur das eine
bestätigt werden? Das „Sehen“ und die Form-Analyse selbst werden nicht wirklich
ernst genommen; der Berechnungsgedanke dominiert. Ob die 60°-
Konfiguration der Kreise erkannt wird, kann aus der Bearbeitung nicht entnommen
werden, es genügt ja, wenn die Schülerinnen und Schüler den Pythagoras
anwenden. Die Aufgabe verdient also durchaus ein Nachdenken über alternative
Ideen, die man in diese Situation einbringen könnte, z.B.: Wo treten (versteckt)
60°-Winkel auf? Und warum?
4 An anderer Stelle werde ich in Kürze ausführliche Analysen zu dieser Aufgabe vorle-
gen

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
Basiskompetenzen und das Problem der Mindeststandards:
Ein in der GDM diskutierter Katalog, Kritik daran, Ausblick
Natürlich verweist das Tagungsthema „Basiskompetenzen“ auch auf die aktuelle
Diskussion um Mindeststandards. Diese Diskussion scheint keineswegs abgeschlossen.
Vielmehr gibt es m.E. eine ganze Reihe von ungelösten und noch
nicht einmal tief und breit diskutierten Problemen. Es kann hier also nur um
einige weitere Impulse zu dieser Thematik gehen.
Im Duktus eines „Absteckens des Feldes der Schulgeometrie“, worum es in
diesem Beitrag gehen soll, ist vor allem zu bedenken:
(a) Die Problematik der Mindeststandards sollte – man vergleiche zur Begründung
etwa wieder die eingangs angesprochene Tischler-Aufgabe – nicht zu eng
diskutiert werden. Am umfassendsten scheint das Positionspapier der Gesellschaft
für Fachdidaktik (GfD, 2009) vorzugehen, indem es auf diese vier zentralen
Gesichtspunkte einer Befähigung zur aktiven Beteiligung am beruflichen
und öffentlichen Leben sowie zur Gestaltung des privaten Lebens hinweist:
• Identitätsbildung (reflektierter Zugang zur Welt)
• Alltagsbewältigung (mehr als „Alltagswissen“)
• Ausbildungsreife
• Partizipation (am gesellschaftlichen Diskurs teilzuhaben).
Ähnlich breite Perspektiven werden auch in den Beiträgen des einschlägigen
Themenheftes der Zeitschrift „Lernchancen“ (Reiss, 2007; darin auch J. & M
Neubrand, 2007) eingenommen und dennoch bis zu unterrichtstauglichen Arbeitsvorschlägen
herunter gebrochen.
(b) Stets ist man in dieser Diskussion mit der Spannung zwischen deskriptiven
Beschreibungen und normativen Projektionen konfrontiert, wie sie z.B. Alexander
Wynands in seinem Diskussionspapier (Wynands, 2009) aufzeigt. Will man
deskriptiv zum Ende kommen, sind Stoffkataloge wie in den Arbeiten von
Hans-Dieter Sill in all ihrer Detailliertheit durchzugehen und zu diskutieren (Sill
u.a., 2005 a, b; 2007).
(c) Vom technischen Standpunkt aus kann man 5 über das Erreichen von Mindeststandards
auch so diskutieren: Ein bestimmter „cutpoint“ soll auf einer Ska-
5 … und wird man schließlich auch auf die eine oder andere Weise tun müssen, wenn es
um die Definition des bildungspolitischen Handlungsbedarfs geht.
28

29
Michael Neubrand
la der mathematischen Leistungsfähigkeit mindestens erreicht werden. Doch
inwieweit ist dies der richtige Weg? Wie wird dann damit im öffentlichen Raum
umgegangen? Solche Definitionen beinhalten politische Probleme, die man
offensiv diskutieren muss. Andererseits ist klar: Ohne empirisch untermauerte
Daten geht es im politischen Feld nicht.
(d) Das eigentliche Problem steckt im Nachweis, dass es für Schülerinnen und
Schüler tatsächlich ein „Risiko“ ist, bestimmte Kenntnisse nicht zu einem bestimmten
Zeitpunkt zu haben? Hier besteht durchaus auch fach-didaktischer
Forschungsbedarf, denn man muss die aus den 1970-er-Jahren bekannten
Schwierigkeiten mit dem „lernzielorientierten Ansatz“ überwinden.
(e) Eines aber haben die Betrachtungen in den voranstehenden Paragraphen
ergeben: Nicht nur in der Geometrie (aber da vielleicht besonders) erreicht man
Mindeststandards nur, wenn nicht nur Aufgaben-Beispiele trainiert und nicht
nur Stoffrahmen definiert werden, sondern auch die Art der Mathematik bedacht
und prozessbezogene Kompetenzen mit einbezogen werden. Das ist die mathematikdidaktische
Herausforderung! (vgl. Neubrand, 2009).
Auf diesen Grundlagen (a-e) sollen abschließend zwei Vorlagen aus der aktuellen
Diskussion gegenübergestellt werden, obwohl noch kein abschließendes
Urteil gefällt werden kann.
In einer GDM-internen, aber offenen Arbeitsgruppe haben Andreas Pallack u.a.
eine Liste zu den Mindeststandards bei der Leitidee „Raum und Form“ der Bildungsstandards
vorgelegt. Diese Liste enthält:
• Bekannte ebene Figuren (Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis) – auch
anhand von Gegenständen oder Abbildungen aus der Umwelt – benennen
• Deckungsgleiche Figuren identifizieren
• Bekannte ebene Figuren (Quadrat, Rechteck, Kreis) anhand einer vorgegebenen
Skizze oder anhand konkreter Angaben mit angemessenen
Hilfsmitteln (Geodreieck, Zirkel) zeichnen
• Bekannte Körper (Würfel, Quader, Pyramide) anhand ihrer Schrägbilder
oder anhand gegenständlicher Abbildungen aus der Umwelt identifizieren
• Achsen-und Punktsymmetrien – auch in der Umwelt – identifizieren
• Zueinander parallele bzw. zueinander senkrechte Geraden identifizieren

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
• Einfache Beziehungen zwischen bekannten Polyedern (Würfel, Quader,
Prisma, Pyramide oder daraus zusammengesetzter Körper) und deren
Netzen herstellen
• Die Koordinaten eines Punktes ablesen sowie zu vorgegebenen Koordinaten
den entsprechenden Punkt im Koordinatensystem eintragen
(ganzzahlig)
• Planquadrate aufgrund von Spalten- und Zeilenangaben in Landkarten
identifizieren
Betrachtet man die in dieser Liste vorkommenden Verben („Tätigkeiten“?), so
findet man benennen - identifizieren - zeichnen – ablesen; Beziehung“ kommt
nur zwischen Netz und Polyeder vor. Wir finden also keinen Bezug zu den prozessbezogenen
Kompetenzen der Bildungsstandards. Es kommt auch kein noch
so einfaches Begründen vor. Alles ist (implizit oder explizit) mit Umweltbezug
versehen, was die Sache aber u.U. komplexer macht und von mathematischen
Tätigkeiten und vom mathematischen Wissen – die selbstverständlich situativ
aufgebaut werden müssen, aber eben das Situative übersteigen – eher ablenkt.
In der gleichen Arbeitsgruppe kursiert auch eine von Alexander Wynands und
Siegbert Schmidt erstellte Liste von Basisqualifikationen zur Leitidee „Messen“
– nach dem oben Gesagten durchaus mit großen geometrischen Anteilen:
• Maßangaben (für Geldwerte, Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen,
Zeitspannen, Winkel) realen Dingen zuordnen.
• zu Alltagskontexten passende Größenangaben (zu wesentlichen Einheiten:
mm, cm, m, km; cm², m² ; l, m³, g, kg, t) schätzen und angeben.
• Längen, Entfernungen und Winkel (mit dem Geodreieck) messen.
• Winkel in einfachen Fällen berechnen.
• Werte von Messskalen (auf Zollstock/Maßband, Messbecher, Waagen,
Temperaturskalen, Tank-Inhalt-Anzeige, …) ablesen (und sinnvoll
runden).
• Größen (Längen, Flächeninhalte, Volumina, Gewichte, Geldwerte,
Zeitspannen) vergleichen und umrechnen.
• Flächeninhalts- und Umfangsberechnungen einfacher Figuren (Quadrat,
Rechteck, Dreieck, Kreis) sowie einfacher zusammengesetzter Figuren
durchführen.
• Unter Beachtung des Maßstabs Entfernungen auf Landkarten bestimmen.
30

31
Michael Neubrand
• Oberflächeninhalts- und Volumenberechnungen bei Würfeln, Quadern
und Zylindern durchführen.
Wir finden hier weit mehr Aktivitäten, die dem kognitiven Vernetzen zuspielen
können. Die Diskussion um Mindeststandards in der Geometrie (in der Mathematik)
scheint also keineswegs abgeschlossen. Die Frage der Sicherung von
Multiperspektivität auch bei den Basiskompetenzen ist offenbar das zentrale
Problem, das weiter zu diskutieren ist.
Von der „Tischler-Aufgabe“ zur Ausbildung von Basiskompetenzen
Die Tischler-Aufgabe zu Anfang hat gezeigt, dass nicht einmal eine praxisnahe
Regel verstanden kann werden, wenn nur isoliertes Wissen über einige Grundbegriffe
vorliegt. Stets ist daher bei der Ausbildung von Basiskompetenzen
darauf zu achten, dass Verknüpfungen, auch des elementarsten Wissens, zur
Regel im Mathematikunterricht werden. Solche Vernetzungen herzustellen kann
mit einfachsten Querverbindungen initiiert werden, wie diese Beispiele aufzeigen
können:
• Begriffsbildung:
Quadrat und Rechteck sind bekannt als Basisfiguren, aber auch: Ein
Quadrat ist auch ein Rechteck, nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
• Begriffsbildung:
Umfang und Fläche sind Basisbegriffe, aber auch: Es kann bei einer
Figur (Rechteck) der Umfang größer und dennoch die Fläche kleiner
werden.
• Begriffsbildung:
Eine Pyramide sieht „so wie in Ägypten“ aus, aber auch: Die Basisfläche
könnte auch ein Fünfeck sein und man kann dann immer noch von
einer Pyramide sprechen.
• Berechnungstypen, Umgehen mit Formeln:
Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks geht man nach
der Regel Grundlinie x Höhe vor (… und warum?), aber auch: beim
Parallelogramm, aber nicht: bei einem Drachenviereck (… und warum?).
• Berechnungstypen:
Bei der Berechnung des Volumens eines Quaders gilt Grundfläche x
Höhe, aber auch, wenn ein Prisma mit einer nicht mehr rechteckigen
Grundfläche vorliegt.

Inhalte, Arbeitsweisen und Kompetenzen in der (Schul-) Geometrie
• Erkennen und Analysieren von Körpern:
Zusammengesetzte Körper kommen als Figuren vor, aber auch: es gibt
Strategien, einen Standardkörper in Stücke zu zerlegen, und für diese
Zerlegungen gibt es mehr als nur eine Möglichkeit.
• Netze von Körpern:
Dies ist ein Netz, aber auch: Gibt es noch ein anderes?
Man muss es sich somit zur Regel machen, von jedem Basisgegenstand aus
„lokale“ Schritte ins Verwandte, Analoge oder Konträre zu gehen und erste
kleine Ansätze ins Allgemeine aufzuzeigen.
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Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Heinrich Winter
Vortrag auf der Sitzung des Arbeitskreises Geometrie, März 2009
Herrn Kollegen LUTZ FÜHRER zum 65. Geburtstag gewidmet
Vorbemerkung. Ich habe LUTZ FÜHRER für zahlreiche wertvolle Anregungen zum
Geometrieunterricht ebenso zu danken wie für Ermunterungen, die meine Bemühungen
betrafen. Vor allem aber hat er mich davon überzeugt, dass der Mathematikunterricht nur
dann von Bedeutung sein kann, wenn der Lehrer ein lebendiges Verhältnis zur Mathematik
(einschließlich ihrer Geschichte und ihrer vielfältigen Anwendungen) besitzt und
wenn er seine erzieherischen Aufgaben, die über das Stoffliche hinausgehen, ernst
nimmt. Dazu gehört die Einbettung des Stoffes in die Gesamtheit der menschlichen
Kultur. Dieser Aufsatz ist ein Versuch dazu.
Der Spielwürfel
Symmetrie, ob man ihre Bedeutung weit oder eng
fasst, ist eine Idee, vermöge derer der Mensch
durch die Jahrtausende seiner Geschichte versucht
hat, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu
begreifen und zu schaffen.
HERMANN WEYL
Er dürfte wohl die weltweit bekannteste Erscheinungsform des Würfels sein.
Und der Würfel ist unter den Polyedern zweifellos der Primus und ein ausgesprochener
Glücksfall für die Didaktik, da er vom Kindergarten bis zur Universität
ein Faszinosum darstellt, das immer wieder zu neuen Fragen und Spielen
verführt und neue Sichtweisen eröffnet.
Einfach nur Würfeln
Warum würfeln wir heute durchweg mit dem Spielwürfel, wenn wir ein handliches
Zufallsgerät brauchen? Die nächst gelegenen Konkurrenten wären die vier
anderen Platonischen Körper. Aber das Tetraeder rollt gar nicht auf der ebenen
horizontalen Unterlage, hat nur vier Ausfälle, die zudem noch auf der Unterseite
Winter, H.(2010). Würfel & Co – Kunst und Natur in den Symmetrien von
Körpern. In: Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in
der Geometrie, Hildesheim: Franzbecker, S.35-76

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
liegen. Das Ikosaeder auf der anderen Seite rollt zu lange, bis es zum Stehen
kommt und hat zwanzig Ausfälle, die man jedoch auf zehn reduzieren kann, was
große Vorteile hat. Die beiden anderen Polyeder, das Oktaeder und das Dodekaeder,
kämen schon eher als Spielwürfel in Betracht (jedenfalls im Stochastikunterricht),
aber bezüglich Schnelligkeit in der Wahrnehmung des Wurfergebnisses
und vor allem bezüglich der unmittelbaren Überzeugung der Gleichwahrscheinlichkeit
der Elementarereignisse, in der sich die Symmetrien des Würfels
ausdrücken, ist der Würfel als Spielwürfel wohl nicht zu schlagen. Möglicherweise
sind wir aber auch auf Grund der eigenen Erfahrungen unbewusst voreingenommen.
Betrachten wir die obige Fragestellung mit mathematischen Augen, so taucht in
der Frage nach dem Rollvermögen das Kippen als Einzelakt auf und damit die
Aufgabe: Wie groß ist der Kippwinkel der Platonischen Polyeder? Das erfordert
zunächst die Definition des Schnittwinkels zweier sich schneidender Ebenen. In
Abb.1 ist der heuristische Kernpunkt erkennbar: die Rückführung der räumlichen
Situation auf die analoge in der Ebene. Ist g die Schnittgerade der beiden
Ebenen E1 und E2, dann liefert eine auf g senkrecht stehende Ebene E3 in den
beiden Schnittgeraden s1 und s2 die Schenkel des gesuchten Winkels α (Abb.1).
Abb. 1: Schnittwinkel zwischen
Ebenen
Abb. 2: Kippwinkelϕ des Tetraeders
Die Bestimmung der Größe der Kippwinkel kann praktisch über Zeichnen und
Messen erfolgen, wozu jeder direkt imstande ist, oder rechnerisch-theoretisch,
36

37
Heinrich Winter
was Vorwissen voraussetzt: Satz des Pythagoras, Trigonometrie, u.a. (Abb.2).
Hier seien nur die Ergebnisse (gerundet auf Hundertstelgrad) mitgeteilt:
Körper Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder
Kippwinkel 109,47° 90° 70,53° 63,43° 41,82°
Diese Kippwinkel sind in allen Fällen die Supplementwinkel der zugehörigen
Flächenwinkel, also der Winkel zweier benachbarter Flächen der Polyeder
(Wittmann 1987, 266ff.). Die Gleichheit der sog. Flächenwinkel war das erste
Gesetz über Kristalle, das die Kristallkunde von mythisch-mysteriöser Betrachtung
zur Wissenschaft aufsteigen ließ, formuliert vom Dänen Nicolaus Steno im
Jahre 1669 (Bohm 1977, 7f.).
Falls es jemandem auffällt, dass sich die Kippwinkel von Tetraeder und Oktaeder
zu 180° ergänzen, könnte ein Vorausblick auf einen sehr interessanten Satz
erfolgen: Mit Tetraedern und Oktaedern im Verbund kann man den ganzen
Raum überlappungsfrei und restlos füllen (parkettieren). Wie macht man das?
(Bender / Schreiber S. 136f). Außer dem Würfel schafft das kein Platonischer
Körper allein.
Ein bescheideneres, aber auch reizvolles Problem: Kann man Flächennetze des
Würfels auf einem passenden ebenen quadratischen Gitter allein durch Kippbewegungen
(ohne abzusetzen!) erzeugen? (Bauersfeld u.a. 1973, 58f.)
Darüber hinaus ist je ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt
des Würfels als Ursprung installiert, so dass wir nach allgemeinem Gebrauch in
der Mathematik den rechts stehenden Würfel als Rechtsdreher, den linken als
Linksdreher bezeichnen können. Die mögliche Existenz von zwei Typen ist
vielen Würfelspielern gar nicht bekannt, auch Verkäufer in Spielläden haben oft
keine Ahnung, sogar manchen Würfelherstellern ist es neu. Nach meinem Eindruck
nimmt die Anzahl der Rechtsdreher in der fabrikmäßigen Herstellung zu.
Ob die Existenz zweier Typen von irgendeiner Bedeutung für den Würfelspieler
ist, wage ich nicht zu sagen. Jedenfalls kenne ich keine Literatur über entsprechende
Untersuchungen, z.B.: Werden Rechtshänder durch Linksdreher benachteiligt?
Reichhaltig jedoch ist die Literatur darüber, wie man im MU den Spielwürfel
nicht als Zufallsmaschine nutzt, sondern als einen Gegenstand, mit dem
sich interessante geometrisch-arithmetische Lernumgebungen organisieren lassen.

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Die Siebener-Regel
Im Alltag wird sie als etwas Selbstverständliches
einfach hingenommen. Werden
aber Spielwürfel aus Pappe selbst
hergestellt, so wird – in der Regel mit
Erstaunen – festgestellt, dass es zwei
Typen von Würfeln gibt, die Siebener-
Regel also nicht den Spielwürfel eindeutig
festlegt. Ein allgemeiner Beweis ist in
Abb.3 zu erkennen. Dass der eine Würfel
das Spiegelbild des anderen ist, zeigt
Abb.4.
Abb. 3: 2 Typen von Spielwürfeln Abb. 4: Rechtsdreher und Linksdreher
Hier nur einige Beispiele (viele Anregungen in Degner/Kühl 1988; Bauersfeld
u.a. 1973; Gardner 1973):
• Setze 8 (gleichartige) Würfel zu einem großen Würfel zusammen.
a) Welches ist die höchste/niedrigste Augensumme, die der große Würfel
auf allen sechs Seitenflächen insgesamt vorweisen kann?
b) Auf wie viele Arten lässt sich die Augensumme 49 (und 50) erreichen?
c) Versuche, so zusammen zu setzen, dass jede Seitenfläche des großen
Würfels aus vier gleichen Seitenflächen der kleinen Würfels besteht.
• Setze 27 (gleichartige) Würfel zu einem großen Würfel zusammen und
beantworte entsprechende Fragen wie oben.
• Baue aus 12 (gleichartigen) Spielwürfeln alle möglichen Quader und
bestimme jeweils ihre minimal und maximal mögliche Augensumme
der sichtbaren Oberfläche. In Abb. 5 ist ein Lösungsweg für den
4x3x1-Quader zu sehen.
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Abb. 5: Minimale und maximale Augensumme des 4x3x1-Quaders
39
Heinrich Winter
Hier sollte das Niveau des freien Probierens überschritten werden zugunsten
verallgemeinerter Vorgehensweisen, z.B. die Klassifizierung der 12 Würfel in
drei Typen und das Benutzen einer klärenden ikonischen Symbolik. Lösung:
Minimale Augenzahl: 102, maximale Augenzahl: 164.
• Es gibt acht verschiedene Würfelvierlinge (Figuren aus vier gleich großen
Spielwürfeln). Finde sie auf und baue sie so zusammen, dass jeweils
das Maximum (Minimum) der sichtbaren Augensummen erzielt
wird. Spielt es eine Rolle, ob die Würfel von demselben Typ sind?
• Wie viele Typen von Würfeln gäbe es, wenn die Siebener-Regel als
Zwangsregel aufgehoben würde? Spielte das eine Rolle für den Spielwürfel
als Zufallsmaschine?
Bilaterale Symmetrie – rechts und links
Bilaterale Symmetrie im Sinne von H. Weyl
Von bilateraler (zweiseitiger) Symmetrie eines räumlichen Gegenstandes sprechen
wir, wenn er eine Spiegelungsebene besitzt, also eine Ebene, die den Gegenstand
in zwei Teile (Hälften) so zerlegt, dass die eine Hälfte als Spiegelbild
der anderen gedeutet werden kann und die Hälften nicht durch Drehungen ineinander
überführbar sind. Der doppelte Spielwürfel, der gemäß der Domino-
Regel aus einem Rechtsdreher und einem Linksdreher zusammengesetzt wird,
ist unser erstes Beispiel für bilaterale Symmetrie und damit zusammenhängend
auch für das Rechts-Links-Thema. Da ist freilich noch nicht zu ahnen, welche
Rolle in Kunst und Natur unser Thema spielt. Zunächst erinnern wir uns an die
räumliche Spiegelung an einer Ebene (vgl. noch einmal Abb.4, in der die Spiegelungsebene
Σ senkrecht auf der Zeichenebene steht). Σ teilt den Raum in zwei
Halbräume. Ist nun P irgendein Punkt des Raumes, so gilt: Ist P (Urpunkt) aus
Σ, so ist sein Bildpunkt P'=P; also ist Σ Fixpunktebene. Ist P nicht aus Σ, vielmehr
aus dem Inneren einer der beiden Halbräume, dann liegt sein Bildpunkt P'
auf dem Lot von P auf die Spiegelungsebene Σ, und Σ halbiert die Strecke PP ' .

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Die so definierte Ebenenspiegelung hat viele gute Eigenschaften: Vor allem ist
es eine involutorische (identisch mit ihrer Umkehrabbildung) Kongruenzabbildung
(Isometrie), die die Händigkeit wechselt. Es sollte hier auch untersucht
werden, welche Bilder gerichtete Geraden besitzen, welche Bilder ebene Polygone
mit gegebenem Umlaufsinn sind. Eine Spiegelungsebene kann mit einer
getönten Glasscheibe vor Augen geführt werden. Überhaupt ist das Thema
Spiegel hochinteressant und beziehungsreich (Wittmann 1984).
Als erstes wirklich wichtiges Phänomen der bilateralen Symmetrie nennen wir
den Körper des Menschen: So unterschiedlich wir gebaut sein mögen, unsere
von außen sichtbare Gestalt ist normalerweise in erstaunlicher Präzision spiegelsymmetrisch:
Eine (natürlich unsichtbare) Ebene parallel zu den Feldlinien der
Erdgravitation und parallel zu unserer Hauptlaufrichtung spaltet uns in eine
rechte und linke Hälfte. Wir sind insofern Paarwesen: Zu jedem Teil einer Körperhälfte,
z. B. einem Bein oder einem Ohr, gibt es einen spiegelgleichen in der
anderen Hälfte, und ist der Teil genau in der Mitte gelegen, wie z.B. die Nase
oder der Mund, dann besteht er aus zwei zueinander spiegelgleichen Hälften.
Was wäre, wenn wir doppelzüngig wären?
Diese bilaterale Symmetrie unseres Körpers ist sehr einfach (nur eine Symmetrieebene),
aber von großem Nutzen. Auf einem Bein könnten wir nur mit Mühe
und nur kurzzeitig stehen, und mit vier Beinen müssten wir auf die aufrechte
Haltung verzichten und damit auf einen höheren Grad an Übersicht. Wenn ein
Bein kürzer ist als das andere, muss für Gehen und Stehen mehr Energie eingesetzt
werden. Mit zwei Augen und zwei Ohren sehen und hören wir mehr und
besser.
Speziell besitzen wir (normalerweise) eine rechte und eine linke Hand (Abb.6),
und wir lernen vom Kindesalter an, diese Hände für vielerlei Tätigkeiten (greifen,
festhalten, pressen, reißen, streicheln u.v.m.) in Gebrauch zu nehmen.
Abb. 6: Rechte und linke Hand
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41
Heinrich Winter
Darüber hinaus können wir mit den Händen allgemein Rechts- und Linksdrehung
unterscheiden und haben damit eine lebendige Basis für das Verständnis
von mathematisch positiven vs. mathematisch negativen Koordinatensystemen.
Es ist natürlich gleichgültig, welche Körperhälfte wir rechts bzw. links nennen,
es gibt da keine Qualitätsunterschiede an sich (etwa rechts als richtig und gut,
links als abwegig und linkisch). Deshalb können wir uns ohne Skrupel der mathematischen
Konvention anschließen.
Mehr noch als die Hände wird das Gesicht des Menschen auf seine bilaterale
Symmetrie geprüft; das Gesicht ist ja in unserem Kulturkreis die beständig offene
Partie unseres Körpers. Kleine Abweichungen werden in aller Regel sofort
bemerkt und oft als Fehler betrachtet, man selbst möchte eben möglichst ein
reguläres, schönes Antlitz vorweisen (koste es, was es wolle). Jedenfalls werden
(erstaunlicherweise?) in einschlägigen empirischen Untersuchungen konstruierte
symmetrische Gesichter ganz deutlich höher geschätzt als Darstellungen noch so
schöner realer Personen. Da wundert es nicht, wenn Maler, Graphiker und Bildhauer
regelrechte Konstruktionsleitlinien für das Gesicht entwickelten; ein Beispiel
zeigt Abb.7.
Abb. 7: Geometrische Konstruktion eines Kopfes nach der Beuroner Malerschule
Andererseits weiß jedermann, dass kleine Abweichungen von der „Norm“ nicht
abstoßen müssen, sondern im Gegenteil das Aussehen interessanter machen
können. Früher geschah das u.a. durch den Gebrauch von Schönheitspflästerchen
und anderen eher harmlosen Eingriffen, und schon im alten Ägypten

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
schminkten sich die Damen. Heute haben wir Schönheitschirurgen, Kosmetikpharmazeuten,
Stilisten, Schönheitsfarmen, Gymnastikstudios, Ernährungsberater
u.v.m., um die Natur zu „korrigieren“. Bald werden auch die Gentechniker
aufmarschieren. Jedenfalls leben ganze Industriezweige von unserer Sorge um
ein schönes Aussehen. Hat jemand gar kein eindeutig bilateralsymmetrisches
Gebiss (z.B. eine Zahnlücke), dann wird das sogleich mit unserem Gesundheitssystem
in Verbindung gebracht.
Warum treiben so viele Menschen diesen Aufwand zur Verbesserung des Aussehens?
Für die meisten Biologen ist das klar: Schönheit ist ein positiver Faktor
im Kampf ums Dasein und im Kampf um die eigene Fortpflanzung, sie hilft im
Streben um Beliebtheit, Einfluss und Macht. Das ist aber sicher nicht die ganze
Wahrheit, noch nicht einmal im Reich der Tiere, wo ja auch die bilaterale Symmetrie
beherrschend ist. Wir Menschen heute sind nicht allein instinktgeleitete
Tiere, auch nicht allein mit höherer Intelligenz ausgestattete und zum Symbolgebrauch
fähige Wesen, sondern Personen (lat. personare: widerhallen, ertönen,
eine Rolle spielen), die Werturteile fällen und begründen können, die Verantwortung
übernehmen und sowohl im privaten wie auch im öffentlichen Leben
an der Verbesserung der Zustände in dieser Welt aktiv arbeiten. Dabei fällt das
Streben nach mehr Schönheit keineswegs (etwa als blanker Luxus) unter den
Tisch, im Gegenteil: Dieses Streben ist das Mittel, um vom Naturkind zur Person
aufzusteigen. Dazu lese man noch einmal Schillers Briefe über die ästhetische
Erziehung des Menschengeschlechts. Um es kurz zu fassen: Wahre Schönheit
ist der Glanz von Wahrheit, also vernunftorientiert.
Anders als unsere bilateralsymmetrische Hülle sieht unser Körperinneres aus.
Da gibt es neben bilateraler Symmetrie (wie z.B. das Knochengerüst) zahlreiche
Asymmetrien; am bekann-testen ist wahrscheinlich das Herz, das „links schlägt“
(wie Oskar zu Recht verkündet), und das selbst verschraubt aussieht (vgl. Weyl
1955, 34). Ziemlich symmetrisch ist auch der komplizierte Verdauungskanal
(vom Mund bis zum After). Vor allem der etwa 4m lange Dünndarm und der
sich anschließende 1,5 m bis 2 m lange Dickdarm sind vielfältig geschlängelt
(Abb.8).
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Abb.8: Blick ins Innere des Menschen
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Heinrich Winter
Die Asymmetrien in unserem Körper sind durch unsere phylogenetische Entwicklung
entstanden. In einer sehr frühen Zeit gab es einen im Prinzip geradlinigen
Kanal vom Mund zum After (Biologen verstehen unter Bilateria niedere
Tiere vom Schlage des Blutegels). Im Zuge der Entwicklung änderten sich Inhalte
und Formen der Nahrungsaufnahme in der Weise, dass der Verdauungsvorgang
länger andauerte, was eine Verlängerung des Darms erzwang und dies
nur zustande kommen konnte, wenn der Kanal „geschlängelt“ wurde.
Bilaterale Symmetrie weisen in großer Fülle auch Gegenstände des täglichen
Lebens auf, es sind gewissermaßen „Fortsetzungen“ der menschlichen Gestalt:
Messer, Gabel, Löffel, Zangen, Stühle, Schränke u.v.a.m., nicht zu vergessen
unser Lieblingsgegenstand, das Auto.
Bilaterale Symmetrie in der Kunst
Die Geschichte der Malerei und Bildhauerei hat von den Anfängen bis heute
u.a. ein beherrschendes Sujet: den menschlichen Körper. Es kann dabei offen
bleiben, ob eine altgriechische Statue einer Göttin als Nachbild realer Frauen
entstand (deskriptive Genese) oder ob die Statue nach Regeln konstruiert wurde
und als nachzuahmendes Ideal fungieren könnte (normative Genese) oder
eine Mischung von beidem. Ein berühmtes Beispiel ist die Aphrodite von Knidos
(Abb.9), ursprünglich von Praxiteles um 340 v.Chr. geschaffen; hier eine

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
römische Nachbildung, die in den Vatikanischen Museen zu sehen ist. Interessant
für uns sind Gerüchte (oder mehr?), wonach die schöne Phryne für Praxiteles
Modell gestanden habe, dann aber habe Praxiteles sein Werk (vielleicht
nach dem Kanon des Polyklet) gründlich überarbeitet. Anschließend habe er
zum Vergleich Phryne neben seine Statue gestellt, und seine Skulptur habe
größeren Beifall bei den Besuchern erfahren als die leibhaftige Phryne. Immerhin
schreibt Plinius d. Ä., dass viele Menschen eigens nach Knidos reisten, um
die Frauengestalt mit dem vollendeten Körper zu bewundern (Herzog 1990, 56).
Und die Frage nach der „Schönsten im ganzen Land“ ist bis heute aktuell. Seit
dem Mittelalter gilt vielen die UTA im Naumburger Dom als die schönste Frau
aller Zeiten.
Bilaterale Symmetrie finden wir auch in reichem Umfang in der Architektur.
Hervorragende Beispiele sind sakrale Gebäude (Kirchen, Tempel, Klöster usw.)
und weltliche Großbauten (Paläste, Schlösser, Rathäuser, Museen, Tore usw.).
Wir beschränken uns hier auf je ein Beispiel. Die Kathedrale Notre-Dame in
Paris wurde zwischen 1200 und 1240 errichtet, und ihre beiden Westtürme sind
bis heute leider unvollendet geblieben. Sie gilt (neben weiteren Kathedralen u.a.
in Chartres, Reims) als eines der prächtigsten und zur Nachahmung führenden
Sakralbauten der frühen Gotik. Im Gegensatz zur vorausgehenden Romanik ist
nicht mehr die Vierung (Schnittfläche zwischen Längs- und Querschiff) mit
dem aufgesetzten Dachreiter von zentraler Bedeutung, vielmehr die Westfassade,
die unsere Abb.10 zeigt, mit ihrem Paar mächtiger Glockentürme. Diese
Fassade (lat. facies: Gesicht, Vorderseite) ist reich, vielleicht überreich gegliedert
und alles andere als eine einheitliche geschlossene Wandfläche (vielleicht
nur mit einigen Schießscharten unterbrochen). Von besonderem Interesse sind
für uns diejenigen Teile der Fassade, die selbst wieder bilaterale Symmetrie
aufweisen, vor allem die drei Portale, die von Wimpergen (giebelförmige Bekrönungen
von Türen und Fenstern) hauptsächlich aus menschlichen Figuren so
gerahmt sind, dass sie als in Stein gehauene religiöse Unterweisungen gelten. So
sind im Tympanon (Bogenfeld über dem Portal) des Haupteingangs die Krönung
und das Sterben Mariens dargestellt
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Heinrich Winter
Abb. 9: APHRODITE VON KNIDOS. Foto der römischen Nachbildung
. Ansonsten bietet die bilaterale Symmetrie des ganzen Baues nur einen Rahmen,
der gefüllt werden kann mit Figuren, die für sich betrachtet wesentlich
höher mit Symmetrien ausgestattet sind. Am auffälligsten ist hier die große
Westrose (Durchmesser 9,60m), eine Einheit von Arkade, Rad und Rose, in
zwei Ringe gefasst, innen 12, außen 24 Glassegmente, die die Helligkeit im
Gebäude vergrößert und durch ihre Schönheit die Menschen vor der Kathedrale
zum Besuch einlädt. Die Seitenwände der Kathedrale, die wir im Bild nicht
sehen, sind durch hohe und hochstrebende Fenster reich gegliedert, so dass das
Innere voller Licht ist und der Blick der Menschen nach oben gerichtet wird.

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
(Letztlich wird man den Bau nur verstehen können, wenn man seinen religiösen
Hintergrund versteht.)
Abb. 10: Kathedrale Notre-
Dame in Paris
Abb. 11: Schloss Charlottenburg in Berlin
Als Beispiel für bilaterale Symmetrie in der Profanarchitektur habe ich das
Schloss Charlottenburg von Berlin gewählt (Abb.11). Es ist benannt nach Sophie
Charlotte (1668-1705), Herzogin von Braunschweig-Lüneburg, als 16-
Jährige durch Heirat Kurfürstin von Brandenburg, ab 1701 Königin in Preußen.
Ihr Mann, Kurfürst Friedrich Wilhelm III., Sohn des Großen Kurfürsten, setzte
sich 1701 in Königsberg selbst die Königskrone auf (nach Abstimmung u.a. mit
dem Habsburger Kaiser) und nannte sich fortan Friedrich I., König in Preußen.
Danach bemühten sich die schöne junge Königin und ihr Mann nach Kräften
und jeder auf seine Weise, das Leben durch und durch königlich zu gestalten, so
wie es in den Zeiten des Absolutismus üblich war. Dabei entstand und wuchs
das später so genannte Schloss Charlottenburg (aus einem relativ kleinen einfachen
Sommerlustschlösschen Lietzenburg): der fast 50m hohe Kuppelturm,
gekrönt von der Göttin Fortuna, als Blickfang und Wahrzeichen des Schlosses,
die im ganzen 505 m langen Seitenflügel, zunächst nur Räume für das Personal,
später dann prächtige Rokoko-Festsäle, die zu den schönsten Deutschlands
zählen, weiterhin Säle mit Sammlungen, eine Orangerie und ein Theater und
natürlich fürstlich ausgestattete Wohnräume (trotz calvinistischer Konfession).
Die besten Baumeister und Gärtner wurden engagiert: u.a. Eosand, Schinkel,
von Knobelsdorf, Langhans, Godeau. Auf dem beachtlich großen Ehrenhof steht
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Heinrich Winter
(erst seit 1951) das Reiterbild des Großen Kurfürsten von Schlüter, ein viel
gepriesenes Kunstwerk des Barock. Für heutige Besucher ist eine Besichtigung
sicher ein seltenes ästhetisches Erlebnis, aber es sollte dabei nicht übersehen
werden, dass das alles vom Hochadel (allen voran Sopie Charlotte) für den
Hochadel errichtet worden ist. Normale Bürger wurden zu den z.T. ausgelassenen
Festen und Feiern nicht nur nicht eingeladen, sondern sollten von der äußeren
Pracht des Schlosses so eingeschüchtert werden, dass sie von der Gottähnlichkeit
(König von Gottes Gnaden!) der herrschenden Oberschicht geradezu
überwältigt wurden und dankbare Habenichtse blieben. Immerhin hat Sophie
Charlotte (und ihr erstes Kammerfräulein Henriette Charlotte von Pöllnitz) mit
Leibniz korrespondiert und sein Anliegen, die Gründung einer Societät der
Wissenschaften (heute noch Berlin-Brandenburgische Akademie) nach den
Vorbildern in Paris und London nach langen Kämpfen im Jahre 1700 durchgesetzt.
Das muss als Ruhmesblatt gewürdigt werden.
Eine letzte Bemerkung: Man kann das Schloss Charlottenburg als eine Art Gegenstück
zum weltweit noch bekannteren Brandenburger Tor ansehen. Dank der
Quadriga haben wir es wieder mit bilateraler Symmetrie zu tun, aber nicht in
barocker Pracht sondern in klassizistischer Einfachheit nach dem Vorbild der
Propyläen der Akropolis (was Kritiker bestreiten). Die Französische Revolution
und die Aufklärung haben ihre Spuren hinterlassen.
Links und rechts in der lebenden Natur
Glanzpunkte sind die wirklich schönen Schmetterlinge, bunten Vögel und Fische.
Von wenigen Ausnahmen abgesehen, sind nahezu alle unsere Tiere bilateral
symmetrisch gebaut, und wir wissen auch warum. Besondere Bewunderung
finden die gewundenen Geweihe von Hirschen, Schafen, Elchen usf., die in aller
Regel exakt spiegelsymmetrisch sind. Das Nonplusultra könnte der große Kudu
(„König der Antilopen“) sein, dessen beide korkenzieherartigen Hörner bis zu
1,80m lang werden können (Abb.12).
Die Bedeutung der Schraubenlinie (wie auch der Schraubenfläche und Spiralen
verschiedener Art) für das Erfassen räumlicher Beziehungen kann nicht überschätzt
werden. Sie ist neben dem Kreis und der Geraden die einzige Linie, die
so in sich bewegt werden kann, dass dabei kein Punkt außerhalb von ihr berührt
wird. Dabei denken wir uns die Schraubenlinie (wie auch die Gerade) nach
beiden Seiten unbeschränkt ausgedehnt. Es ist schon eindrucksvoll, dass wir mit
den Augen nicht feststellen können, ob eine Schraube geschraubt wird, oder sich
gar nicht bewegt. Über die Bedeutung von Schraubenlinien in Alltag und Technik
(Warum heißen sie auch Eichhörnchenlinien?) findet man eine Fülle von
Beispielen und von luziden Analysen in Bender/Schreiber (1985). Das Buch ist

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
überhaupt eine unverzichtbare Lektüre für alle, die Geometrie lernen oder lehren.
Für die Erweiterung der Thematik auf Spiralen verschiedener Art empfehle
ich wärmstens Heitzer (1998).
Dieses Beispiel legt es nahe, sich
mit der Schraubenlinie (als der
einfachsten räumlichen Spirale) zu
befassen: Eine Schraubenlinie
entsteht (als eine Spur), wenn ein
Punkt sich gleichmäßig um eine
Gerade (Achse) dreht und gleichzeitig
ebenso gleichmäßig eine
Schiebung (Translation) parallel
zur Achse ausführt (Abb.13). Sie
windet sich auf der Oberfläche
eines Zylinders.
Abb. 12: Der große Kudu Abb. 13: Schraubenlinie in Grund- und
Aufriss
Hier interessiert uns in erster Linie die Tatsache, dass es zwei Typen von
Schraubenlinien gibt, die nicht mittels einer eigentlichen Bewegung ineinander
überführt werden können sondern nur durch eine Ebenenspiegelung (Abb.13):
Ich bewege mich auf einer Rechtsschraube, wenn ich mich parallel zur Achse in
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Heinrich Winter
deren Richtung bewege und dabei die Achse im Gegensinn des Uhrzeigers umkreise.
Kürzer: Bei der Rechtsschraubung ist die Achse immer links von mir.
Noch anders: Die Rechtsschraube geht von unten links nach oben rechts. Für die
Linksschraube gilt das spiegelverkehrt Gleiche. Eine der schönsten linksgewendelten
Treppen können wir in einem Treppenturm des Schlosses in Blois bewundern;
hier soll sich ja auch die berühmte Ballade Der Handschuh von
SCHILLER zugetragen haben. Der Spiralweg in der Kuppel des Reichstagsgebäudes
ist rechtsgewendelt. Über die Gründe für die Entscheidung Rechts- oder
Linkstreppe ist viel spekuliert worden, wobei es eine große Rolle spielt, dass
eine Rechtstreppe (Linkstreppe) von unten nach oben als Linkstreppe (Rechtstreppe)
erfahren wird, wenn man die selbe Treppe von oben nach unten benutzt.
Da Schraublinien nur immer als Rechts- oder Linkschrauben in selbständigen
Körpern auftreten, spricht man anstelle von Spiegelgleichheit von Enantiomorphie
(gr. enantios: entgegengesetzt). Werden Körper auf ihre mögliche Kristallform
untersucht, so gehört die Frage, ob es eine Links- und eine Rechtsrealisierung
gibt, zum Standard. In den 32 Kristallklassen gibt es elf, in denen Enantiomorphie
auftritt.
Es gibt auch rechts- und linkswindende Pflanzen, Pflanzen also, die sich um
andere Pflanzen oder um Stangen so oder so herumwinden (oder auch um sich
selbst). Das Besondere dabei ist, dass beide Typen in der Natur vorkommen,
dass aber die Entscheidung für rechts oder links innerhalb einer Pflanzenart
immer (oder fast immer) dieselbe ist. So ist der Hopfen, der zum Bierbrauen
gebraucht wird, (vielleicht zum Verdruss der bayrischen Brauer) durchgehend
linksdrehend, dagegen ist die Stangenbohne beharrlich rechtsdrehend (Abb.
14.1: Hopfen; Abb.14.2: Stangenbohne).
Auf den ersten Blick mag diese Artbindung der Händigkeit allenfalls (vorwissenschaftliche)
Gartenfreunde interessieren. In der Technik ist die Angelegenheit
klar: Damit kein Chaos ausbricht, muss man normieren, sich gesetzlich
einigen, etwa bei Glühbirnen nur eine Sorte Schraubgewinde an der Birne und
gleichzeitig in der Fassung, etwa Rechtsgewinde, zu produzieren. Auch andere
technische Schrauben sind rechtshändig, nur in begründbaren Ausnahmefällen
linkshändig. Die überwiegende Rechtshändigkeit hängt natürlich damit zusammen,
dass die Menschen in ihrer Majorität Rechtshänder sind, also verschiedenste
„Handarbeiten“ von Geburt an vorzugsweise mit der rechten Hand erledigen.
Hier könnte man wieder in die Falle „rechts = richtig = normal“ und
„links = fehlerhaft = abnorm“ tappen. Aber erstens ist der Anteil der Linkshänder
nicht (vernachlässigbar?!) klein, man spricht von 25%, und zweitens konnte
bisher niemand beweisen, dass Linkshänder in irgendeiner Hinsicht weniger
leistungsfähig seien als Rechtshänder. (Obama ist Linkshänder!). Wie sollen
Linkshänder erzogen werden und wie müsste sich die Umwelt eventuell ändern?

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Wir üben m.W. heute zwar nicht mehr den Zwang aus, auf jeden Fall rechtshändig
schreiben zu lernen, aber gleichzeitig geschieht zu wenig, um alltägliche
Lebensumstände für Linkshänder erträglicher zu machen. Das müsste etwas
mehr sein als eine Schnabeltasse für Linkshänder im Altersheim. Am überzeugendsten
wäre aber in meinen Augen die Erziehung zur Beidhändigkeit in Freiheit,
wie sie in Japan betrieben wurde und vielleicht noch wird. Auch ganz große
Geister wie Leonardo da Vinci , ursprünglich Linkshänder wurde beidhändig.
Abb. 14: Hopfen linksdrehend und Stangenbohne rechtsdrehend
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51
Heinrich Winter
Und unter den Tennisspielern gibt es nicht nur Rechts – und Linkshänder (letztere
gefürchtet, besonders von Linkshändern!), sondern auch (zunehmend)
Beidhänder. (Einer meiner früheren Tennispartner war imstande, bei Bedarf sein
Rakett blitzschnell von der rechten in die linke Hand zu wechseln, um so meine
wohl zu kümmerlichen Angriffsbälle doch noch zu erreichen, was er in der
Regel auch schaffte).
Es gibt indes wesentlich ernsthaftere Probleme in der Rechts-Links-Thematik,
die allerdings zunächst nicht mit blankem Auge zu erkennen sind, weil sie in der
Mikrowelt der Moleküle oder gar Atome angesiedelt sind, in der Welt der Kristallographie.
Links und rechts in der Kristallographie
Der berühmte Arzt und Forscher Louis Pasteur (1822-1895) – ja, der mit der
lange haltbaren Milch – entdeckte (im Alter von 25 Jahren), dass die Weinsäure
(Weinstein) in zwei Formen auftritt, nämlich in der Rechts- und in der Linksform.
Die beiden Formen unterscheiden sich in chemischer und physikalischer
Hinsicht nicht. Beide sind optisch aktiv, jedoch – und das ist der einzige aber
wichtige Unterschied – dreht die eine Form die Polarisation des Lichts nach
rechts, die andere nach links. Daraus schloss Pasteur, dass auch die Moleküle
„entgegengesetzt“ gebaut, nämlich Spiegelbilder voneinander sein müssten, so
wie rechter und linker Handschuh. Das war eine geniale Idee, die später auch
exakt bewiesen wurde. Das Besondere dieser Jahrhundertentdeckung war ihr
konstruktiver Charakter:
Abb. 15: Links- und rechtsgerichtete Weinsäure-Enantiomorphie
Die Linksform stellte er nämlich gewissermaßen selbst her, indem er unter dem
Mikroskop eine Sammlung von Kristallen untersuchte, die aus alten Weinfässern
stammten und nicht optisch aktiv waren. Nach der Kristallisierung in einer
Lösung sortierte er mit der Pinzette die Kristalle in zwei Sorten. Beide Sorten

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
erwiesen sich als optisch aktiv, jedoch mit entgegen gesetzter Windung. Die
optisch rechtsdrehende Weinsäure war die, die in den gärenden Trauben vorkam,
die andere war offenbar noch nie in der Natur aufgetreten. Darunter hat
bestimmt niemand leiden müssen, aber jetzt wurde die Frage nach den Gründen
für die Handlungsweise der Natur gestellt. Woher „weiß“ der Hopfen, dass er
links drehen muss? Warum produziert die Natur nur (oder fast nur) optisch
rechtsdrehende Weinsäure? Und warum ist das Haus der Weinbergschnecken
fast immer rechts gewunden? Die rationalste Antwort, was die Philogenese
angeht, ist stochastischer Natur. Bei sonst gleichen Bedingungen „entscheiden
gewisse schwer zu kontrollierende Zufälligkeiten“ (Weyl 1955, 36) das Geschehen.
Die Ontogenese wird dann von den Genen gesteuert.
Geradezu um Leben und Tod kann es in der Frage gehen, inwieweit die beiden
Formen zweier zugehöriger Gegenstände zueinander passen (wie Schuhpaar
zum Fußpaar, wo es immerhin Schmerzen und Wunden gibt, wenn der rechte
Fuß in den linken Schuh gezwängt wird). Gewichtiger ist es bei der Ernährung.
Die natürlichen Aminosäuren in unsrem Körper sind durchweg links gewendet.
Man kann rechtsgewendete Aminosäuren herstellen und in Nahrungsmitteln
unterbringen. Aber der Körper verdaut sie nicht. Analoges geschieht mit dem
Zucker, der im Körper rechtsgewendet ist. Also: „Würden wir statt der natürlichen
Aminosäuren und Zucker ihre Spiegelbilder zu uns nehmen, müssten wir
verhungern.“ (REIN 1993, 22) Ein ganz heikles Kapitel ist die Händigkeit bei
Medikamenten. Am bekanntesten und tragischsten war die Contergan-
Katastrophe in den Jahren 1956 bis 1961, deren schreckliche Folgen bis heute
nicht ausgestanden sind. Details findet man in Brunner (1999, 120ff.).
Symmetrien des Würfels – Einführung in die Gruppentheorie
In sich selbst überführen
Bekanntlich ist der Höhepunkt in Euklids Elementen (Buch XIII) die Lehre von
den regulären Polyedern, die wir heute Platonische Körper nennen, weil sie in
PLATOs Timaios besprochen und auf eine kosmologische Art ausgedeutet wurden.
Damit haben wir es mit einem Thema zu tun, das mindestens seit 2500
Jahren Lehrgut in Schulen und Hochschulen ist (eine gute Übersicht findet man
bei Toepel 1991). Adam/Wyss (1984, 65) unterscheiden irdische (Tetraeder,
Hexaeder, Oktaeder) von goldenen (Dodekaeder, Ikosaeder) Platonischen Polyedern,
eine nicht nur ästhetische Zweiteilung. Das Wort Symmetrie (gr. symmetros:
abgemessen, verhältnismäßig, gleichmäßig) kommt bei Eulid im heutigen
Verständnis nicht vor, vielmehr werden Konstruktionen begründet ausge-
52

53
Heinrich Winter
führt und Größen (Winkel, Streckenlängen, Flächeninhalte, Volumina) verglichen
und berechnet.
Es hat erstaunlich lange gedauert, bis der Symmetriegehalt eines Gegenstandes
mit Bewegungen des Gegenstandes auf sich selbst beschrieben wurde. Erst im
19. Jahrhundert und im Zusammenhang mit der aufblühenden Gruppentheorie,
Darstellenden und Analytischen Geometrie, Topologie und Kristallographie
geschah der Wandel hin zu einer dynamischen Sicht.
Kommen wir also zur Sache. Hängt man einen Würfel (ein Modell, nicht zu
klein, etwa aus Holz) mit einem Faden so auf, dass es „gleichmäßig und schön“
aussieht, so kann entdeckt werden, dass es drei verschiedene Möglichkeiten
gibt, den Würfel in Gleichgewichtslage zu bringen (Abb.16): Anknüpfungspunkt
des Fadens ist a) der Mittelpunkt einer Seitenfläche, b) eine Ecke und c)
der Mittelpunkt einer Kante.
Abb. 16: Hängender (und stehender) Würfel im Gleichgewicht
Das reizt zu mancherlei Aktivitäten, die nicht nur experimenteller Natur sind,
etwa: Wie viele Seitenflächen, Ecken und Kanten man mindestens/höchstens
sehen? Oder: Wie kann man die Gleichgewichtslagen erklären? (Denkt an Hebelwaagen.)
Besonders reizvoll sind Drehungen. Bei langsamem Drehen kann
beobachtet werden, dass sich immer wieder dieselben Ansichten wiederholen.
Eine ganz andere Beobachtung kann bei schnellem Drehen des in einer Ecke
befestigten Würfels gemacht werden: Sein Schatten an der Wand zeigt die Silhouette
eines Körpers, der aussieht wie manche Schornsteine oder Papierkörbe
(einschaliges Hyperboloid; Steinhaus 1957, 180).

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Um die Wiederholungen genauer zu studieren, gehen wir zum stehenden Würfel
über (Abb.16), ein Übergang vom Kontinuierlichen ins Diskrete. Im Falle a) ist
das sehr einfach, man markiert auf einem waagechten Brett ein Quadrat, kongruent
zu den Quadraten des Würfels. Im Fall b) müssen wir eine Vorrichtung
mit einem kleinen gleichseitigen Dreieck, etwa aus Leisten, die wir auf dem
Brett befestigen, bauen. Im Fall c) genügen zwei zueinander parallele Leisten
auf dem Brett, die den Würfel aufrecht auf einer Kante stehend halten. Jetzt
gelangen wir rasch zu einem ersten Ergebnis, die Anzahl der Drehsymmetrielagen
betreffend. Im Falle a) sieht das so aus: Aufstellen des Würfels mit irgendeiner
seiner 6 Seitenflächen auf die markierte Unterlage. Das geht mit derselben
Seite auf 4 Arten. Das führt zum Ergebnis: Es gibt 4•6 = 24 Möglichkeiten, den
Würfel in sich selbst zu überführen. Ganz analog kann man in den Fällen b) und
c) vorgehen. Bei b) erhalten wir 3•8 = 24, bei c) 2•12 = 24 Bewegungen. Es gibt
noch weitere Varianten, z. B. mit Flächendiagonalen. Und vor allem können wir
mit derselben Methode auch die vier anderen Platonischen Körper untersuchen.
Wir erhalten dann die kleine Liste:
Körper Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder
Anzahl der
Bewegungen
12 24 24 60 60
Drehachsen als Symmetrieorgane
Die gerade ausgeübte Methode zur Bestimmung der Anzahl der Bewegungen
des Würfels bedarf dringend der Ergänzung, da die Symmetrieorgane als Agenten
der Bewegungen kaum in Erscheinung treten. Die hängenden Würfel helfen
uns weiter, indem wir den Faden zu einer (unendlichen) Geraden im Raum idealisieren
und als Drehachse ansehen. Jeder Punkt dieser Geraden geht bei jeder
Drehung in sich selbst über, d.h. jeder ihrer Punkte ist ein Fixpunkt.
Abb. 17: Zähligkeit der Achsen des Würfels
54

55
Heinrich Winter
Wie viele Drehachsen gibt es? Zunächst einmal gibt es drei Typen von Drehachsen,
nämlich a) 4-zählige, b) 3-zählige, c) 2-zählige, die in der Abb.17 nur
als (Dreh-) Punkte erscheinen. Eine Achse ist dabei n-zählig, wenn der Vollwinkel
(Winkel einer vollen Umdrehung, also 360°-Drehung) aus n gleichgroßen
Teilwinkeln besteht, wenn n ein Teiler von 360 ist. Wir haben somit in a)
Vierteldrehungen, in b) Dritteldrehungen, in c) Halbdrehungen.
Wie viele Drehachsen gibt es von jeder Sorte? Das ist leicht zu finden, nämlich
von a) 3, von b) 4 und von c) 6 Drehachsen. Damit gilt:
Der Würfel besitzt 13 Drehachsen.
Mit diesem Ergebnis können wir noch einmal und anders die Anzahl der Drehungen
bestimmen. Achtung: Die Ruheabbildung D0 wird nur einmal gezählt.
Bringen wir nun die Drehachsen nach Typen geordnet ins Bild wie in Abb. 18,
so können wir die 24 Drehungen bezeichnen, um auf einfache Weise über sie
sprechen zu können:
Typ a : D , D , D
Typ b :
Typ c :
D
0
a1
r
x1
, D
a2
s
t
x2
, D
, D
b1
u
x3
, D
b2
, D
v
y1
, D
c1
, D
D , D , D , D , D , D
w
, D
y2
c2
, D
, D
y3
d1
, D
, D
z1
d 2
, D
,
z 2
, D
Dabei lesen wir D als Drehung, D 0 als Ruhebewegung oder Identität, kurz
id, D x1
als Drehung (mit rechtem Drehsinn) um die x-Achse um 90° usw.
Abb. 18: Lage der Drehachsen des Würfels, nach Zähligkeit geordnet
Alle 13 Drehachsen schneiden sich im Mittelpunkt M des Würfels, der also bei
jeder der 24 Drehungen in sich ruht, Fixpunkt ist. Jede Strecke durch M, die
zwei Punkte der Oberfläche verbindet, wird in M halbiert, speziell die 4 Raumdiagonalen.
Jeder Punkt der Oberfläche hat einen Antipoden, der ihm gegenüber
liegt. Das ist eine bedeutsame Symmetrieaussage: Der Würfel ist räumlich
z3
,

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
punktsymmetrisch. In der Ebene ist die Punktsymmetrie gleichwertig mit einer
Halbdrehung. Hier im Raum ist es aber nicht möglich, die Punktspiegelung
durch Drehungen im Raum darzustellen. Da brauchten wir schon den 4dimensionalen
Hyperraum.
Vom Mittelpunkt zu reden, bedeutet auch, von Kugeln zu reden, die bei Euklid
eine so große Rolle spielen. Hier können wir gleich 3 Kugeln um M herum
auszeichnen: Die Umkugel geht durch alle 8 Ecken, die Kantenmittenkugel
durch alle 12 Kantenmitten, die Inkugel durch die Mittelpunkte aller 6 Seitenflächen.
(Aussage eines 10-jährigen Schülers: „ Der Würfel ist eine Kugel mit 8
Ecken, die Kugel ist ein Würfel ohne Ecken“). Daraus könnte u.a. die Aufgabe
erwachsen: Schmücke einen kahlen Würfel so aus, dass die Symmetrie nicht
gestört wird, der Würfel aber kugeliger aussieht, als er in Wirklichkeit ist.
Auch die 4 anderen Platonischen Körper besitzen diese 3 Kugeln. Es ist die
Gelegenheit, über Kepler und seine frühen astronomischen Deutungen zu sprechen
und natürlich auch vielerlei Rechnungen anzustellen.
Drehungen als Abbildungen
Einen tieferen Einblick in die Symmetrie können wir erwarten, wenn wir Drehungen
als Abbildungen, als Funktionen im 3-dim. Raum verstehen. Eine Drehung
an einer Achse ist danach eine Abbildung des Raumes auf sich. Die Achse
ist Fixpunktgerade: Jeder Punkt auf ihr ist sein eigener Bildpunkt. Jeder andere
Punkt (Urpunkt) des Raumes besitzt einen (durch die Drehvorschrift ) eindeutig
bestimmten Bildpunkt, und jeder Punkt des Raumes ist Bildpunkt eines eindeutig
bestimmten Urpunktes, d.h. die Abbildung ist bijektiv. Sie hat weitere gute
Eigenschaften, vor allem die Abstandstreue (Isometrie, Kongruenz): Ist f die
Drehabbildung, so gilt für alle Punktepaare X, Y die Gleichung f ( X ) f ( Y)
= XY . Man kann viele weitere Eigenschaften von f untersuchen, etwa längs
solcher Fragen: Was ist das f-Bild einer Ebene, die auf der Achse senkrecht
steht, die parallel zur Achse verläuft, die von der Achse in einem Punkt geschnitten
wird?
Fokussieren wir uns nun auf die 8 Ecken des Würfels, wobei die Ecken standardmäßig
in der Anfangslage mit den Buchstaben A bis H benannt worden
sind.
In Abb.19a handelt es sich um die 90°-Drehung um die x-Achse, kurz 1
x
D .
Jeder der 8 Pfeile repräsentiert ein (Ur)Punkt- Bildpunkt – Paar. So bedeutet der
56

57
Heinrich Winter
Pfeil AB , dass bei der Abbildung D x1
A der Urpunkt und B der Bildpunkt
von A ist. Suggestiver sind die Sprechweisen „A wird in B überführt“ oder „A
wandert nach B“. Unabhängig von der ja zufälligen Namensgebung müssten wir
sagen. „Der Punkt vorn, links, unten hat als Bildpunkt den Punkt vorn, rechts,
unten.“
Wir erkennen zwei voneinander getrennte Vierer-Zyklen, und das bringt zum
Ausdruck, dass die beiden auf der Achse senkrecht stehenden Seitenflächen als
Ganzes gesehen je in sich selbst übergehen, mithin Fixfiguren sind. Die 4 anderen
Seitenflächen, die einen Mantel bilden, tauschen nachbarlich fortschreitend
ihre Plätze aus, und der Mantel als eine Figur betrachtet ist wiederum eine Fix-
figur. Der ganze Würfel ist Fixfigur der Drehung. x1
außerhalb der x-Achse, jede Ecke geht in eine andere über.
Abb. 19: Drehungen des Würfels in der Pfeilsprache
D hat keine Fixpunkte
Diese Zeichnung sollten durch symbolische Darstellungen ergänzt werden, etwa
durch Schemata mit zwei Zeilen, in denen jeweils die acht Eckenbezeichnungen
vorkommen, oben die Namen der Urpunkte und jeweils darunter die Namen der
Bildpunkte. Das Beispiel in Abb.19a sieht dann so aus:

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
D x1
⎛ A
= ⎜
⎝ B
B
F
C
G
D
C
E
A
F
E
G
H
58
H ⎞
⎟
D ⎠
Da wird besonders deutlich, dass eine solche Abbildung als eine Umtauschhandlung
von acht Symbolen angesehen werden kann, als eine Permutation (lat.
permutatio: Austausch, Umstellung).
Analog kann man die Beispiele der Abb.19b (zwei Dreier-Zyklen und zwei
Fixpunkte) und Abb.19c (vier Zweier-Zyklen, kein Fixpunkt) bearbeiten. Die
weiteren Beispiele (Abb.19d,e,f) dürften ausreichen, alle 24 Deckdrehungen des
Würfels möglicherweise in Partnerarbeit zu zeichnen und aufzuschreiben. Die
Pfeildiagramme stellen neue Erkenntnisse in Aussicht, wenn wir etwa fragen:
Wie lautet die Umkehrabbildung einer gegebenen Deckdrehung? Welches sind
die erzeugenden Abbildungen eines Zyklus? Die Besonderheit der identischen
Abbildung („Ruhebewegung“) tritt fast spektakulär ins Auge, es gibt keine eigentlichen
Pfeile, sondern nur Ringe. Der gesamte Raum ist erstarrt.
Deckdrehungen als Rechenobjekte
Deckdrehungen beschreiben Symmetrieeigenschaften des Würfels, nun sollen
diese Deckdrehungen als Gegenstände betrachtet werden und auf Beziehungen
untereinander untersucht werden. Das bedeutet, es wird eine höhere semantische
Stufe angestrebt.
Der Schlüssel dazu ist wiederum ein dynamisches Moment. So wie es in der
Grundschule nicht ausreicht, wenn die Kinder nur Zahlen der Reihe nach aufsagen
und bebildern können, vielmehr Beziehungen in der Menge der Zahlen
lernen müssen, insbesondere Verknüpfungen und deren Gesetzmäßigkeiten, so
wollen wir hier jetzt die Menge W = {D0, Dx1, …, Dw} der 24 Deckdrehungen
des Würfels nach einer Verknüpfungsstruktur hin untersuchen.
Die fast natürliche Verknüpfung von Abbildungen ist die Verkettung (Hintereinanderausführung),
motiviert auch durch ganz durchsichtige Beispiele in einem
Zyklus, da bleiben wir ja in einer Ebene. So sollte es keine Mühe machen,
den Vierer-Zyklus der Drehungen um die z-Achse zu strukturieren: zuerst Dz1,
dann anschließend Dz2 ergibt zusammen Dz3, die Drehwinkel werden addiert
90°+180° = 270°. Oder: zuerst Dz2, dann anschließend Dz3 ergibt Dz1. Man kann
die vier Drehungen um die z-Achse als eine Teilstruktur erfahren: Zwei beliebige
Drehungen hintereinander geschaltet, ergibt stets wieder eine von den vier
Drehungen (vgl. Abb.17).
Das Hintereinanderschalten wird in der Pfeilsprache durchsichtig: An die Spitzen
der ersten Drehung wird der Anfang der zweiten angeschlossen und dadurch

59
Heinrich Winter
der Pfeil der Ergebnisdrehung bestimmt (Abb.20). In Abb.20a ist das Resultat
der Hintereinanderschaltung von Dx1 und Da1 (in dieser Reihenfolge) dargestellt,
wir schreiben dazu kurz: Dx1 ○ Da1 = Dr. Der Kringel ○ ist das Verknüpfungszeichen,
so wie das Pluszeichen + das Addieren von Zahlen symbolisiert.
Abb. 20: Drei Ergebnisse von Verknüpfungen zweier Deckdrehungen des
Würfels
In der Sprache der 2-Zeilen Schemata sieht das Beispiel in Abb.20a so aus:
Dx1 o a1
⎛
⎜ A
D =
⎜
⎝ B
=
⎛ A
⎜
⎝ E
B
H
B
F
C
G
C
G
D
C
D
F
E
A
E
A
F
E
F
D
G
H
G
C
H ⎞ ⎛ A
⎟ ⎜
⎟
o
D
⎜
⎠ ⎝ A
H ⎞
⎟
B ⎠
B
E
C
F
D
B
E
D
F
H
G
G
H ⎞
⎟
C ⎠
Beispiel: Was ist letztlich das Bild von B? Antwort: B wird zunächst nach F
überführt und F dann weiter nach H, also ist H letztlich das Bild von B. Schematisch:
B a F a H (in 2 Abbildungsschritten); B
Schritt)
a H (in einem
Aber Achtung: Es handelt sich hier nicht um die Matrizenmultiplikation, wie sie
in der Analyt. Geometrie mit Zahlen üblich ist.
Man kann auf diese Weise jede Abbildung aus W mit jeder Abbildung aus W
verketten und bekommt immer wieder eine Abbildung aus W. Es ist aber unnötig,
alle 24•24 = 576 Verkettungen auszurechnen und aufzuschreiben (etwa in
einer Gruppentafel). Wichtiger sind hier Bemühungen um allgemeine Einsichten,
die von Problemaufgaben ausgehen, etwa:

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
• Was ist das Ergebnis, wenn man irgendeine Drehung um eine 4-zählige
Drehachse mit irgendeiner Drehung um eine 3-zählige Achse verkettet
(und andere Kombinationen)?
• Untersucht die Frage nach der Kommutativität des Verkettens. Beachte:
(W, ○) ist dann und nur dann kommutativ, wenn bei jeder Verkettung
die Reihenfolge der Abbildungen vertauscht werden dürfte.
• Untersucht Dreierverkettungen, z.B. zuerst Dx1, dann Da1, dann Dt. Was
kann man allgemein über die Assoziativität von vermuten?
• Mit welcher Drehung muss man Dy3 verketten, wenn das Ergebnis Db2
sein soll? Es soll also die Gleichung Dy3 ○ x = Db2 gelöst werden.
• Was ergibt sich, wenn man irgendeine der Drehungen, z.B. Dw mit allen
24 Abbildungen von W verkettet, also Dw○W bildet? Bitte, zunächst
nicht einzeln aufschreiben, sondern begründen, dass die Lösung
W heißen muss.
• Begründet, dass es zu jeder Deckdrehung aus W eine Deckdrehung aus
W gibt, die die erste rückgängig macht.
Wir können hinsichtlich der Struktur (in der üblichen Funktionensprache) zusammenfassen:
1. Abgeschlossenheit: Für alle Drehungen f und g aus W gilt: f○g ist auch aus
W, ebenso g○f.
2. Neutrales Element: D0 = Id ist einziges neutrales Element mit f○D0 = D0○f = f
für alle f aus W.
3. Inverse Elemente: Zu jeder Deckdrehung f aus W gibt es genau eine inverse
Deckabbildung f -1 mit f –1 ○f = f○f –1 = D0 = Id
4. Assoziativität: Man kann mehr als zwei Deckdrehungen aus W verketten und
braucht sich um Klammern nicht zu scheren: f○(g○h) = f○ (g○h) = f○g○h.
A: „Das ist aber reichlich abstrakt“ B: „Das ist gut! Nur, wer sich
mit Abstraktionen befasst kann auch konkrete Zusammenhänge
verstehen.“
Die Struktur von W mit der Rechenvorschrift heißt Gruppe. Da W 24 Elemente
enthält, ist es eine endliche Gruppe von der Ordnung 24. Es gibt auch unendliche
Gruppen, so z.B. die Menge aller Drehungen um eine räumliche Achse mit
der Verkettung als Rechenoperation, oder die Menge aller ganzen Zahlen mit
der Addition als Verknüpfung.
60

61
Heinrich Winter
Wir haben oben die Deckdrehungen mit Hilfe der Ecken des Würfels beschrieben.
Man kann aber andere Teile des Würfels heranziehen, etwa seine vier
Raumdiagonalen. Wir nummerieren sie (AG = 1, BH = 2, CE = 3 und DF = 4)
und fragen uns, auf wie viele Arten sich die vier Diagonalen permutieren lassen.
Beispiele:
D 0
⎛1
= ⎜
⎝1
2
2
3
3
4⎞
⎟
4⎠
D x1
⎛
= ⎜
⎝
1
2
2
3
3
4
4⎞
⎟
1⎠
D a1
⎛1
= ⎜
⎝1
Das ist mühselig, wenn auch gut zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens.
Aber zum Beweis der Vermutung, dass man so alle 24 Drehungen
auffinden kann, überlegen wir, wie viele der Diagonalenpermutationen a) keine ,
b) eine, c) zwei und d) mehr als zwei Fixdiagonale(n) enthalten. Für d) (3 oder 4
Fixdiagonalen) kommt nur Id in Frage. Keine Fixdiagonale enthalten die neun
echten Drehungen um die 4-zähligen Achsen, je eine Fixdiagonale enthalten die
acht echten Drehungen um die Diagonalen, und je zwei Fixdiagonalen haben die
sechs echten Drehungen um die Kantenmittenachsen. Damit haben wir bewiesen:
Jede Diagonalenpermutation entspricht eineindeutig einer Eckenpermutation,
und die Menge der Diagonalenpermutationen hat im Prinzip dieselbe Gruppenstruktur
wie die der Eckenpermutationen. Da in der zweiten Zeile der 4-2-
Matrizen alle möglichen Anordnungen von 4 Dingen (Zahlen) stehen, können
wir erweitern zum Satz:
Die Gruppe der Drehungen des Würfels ist gestaltgleich (isomorph, abstrakt
gesehen gleich) zu einer jeden Menge von Anordnungen von vier Dingen irgendwelcher
Art mit der Verkettung.
Insofern hat der Würfel ein maximales Maß an Symmetrien auch im Vergleich
zu den übrigen Platonischen Körpern. Allgemein heißt eine endliche Gruppe
symmetrisch, wenn sie gestaltgleich ist mit einer Gruppe, deren Elemente aus
allen Anordnungen von n Dingen besteht. Solche Gruppen bezeichnet man mit
S und ihre Ordnung ist n! Wir können deshalb (abstrakt gesehen) die Dreh-
n
gruppe des Würfels mit S 4 bezeichnen, es ist ja 4! = 24. Symmetriegruppen
spielen die tragende Rolle in der Mathematik der Geflechte oder Zöpfe, die
einerseits spielerischer Natur sind, andererseits aber Bedeutung in der Biologie
besitzen (vgl. Gardner 1973, 20ff.; Knörrer 1996, 26ff.).
Teile des Würfels und Untergruppen der Würfelgruppe
Kaum eine der lernenden Auseinandersetzungen mit den Symmetrien des Würfels
gestattet so viele verschiedenartige Raumerfahrungen und Entdeckungsmöglichkeiten.
Der Einstiegsauftrag mag lauten: Sucht Teile des Würfels,
2
3
3
4
4⎞
⎟
2⎠

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
gleichgültig ob ein- oder zwei oder dreidimensional, die selbst symmetrisch
sind, aber deren Symmetrien zugleich auch Symmetrien des Würfels sind. Da
könnten als erstes die Zyklen ins Auge springen, z.B. der Viererzyklus um die z-
Achse herum. Als passende Teile des Würfels kommen hier in Frage: die beiden
Diagonalen der Deckfläche oder Grundfläche (eindimensional), das Quadrat der
Deckfläche oder Grundfläche (zweidimensional), die gerade Viereckspyramide
unter der Deckfläche oder über der Grundfläche (dreidimensional).
Diese Beispiele können um viele andere erweitert werden, vor allem durch
symmetrieverträgliche Ausschmückungen. In jedem Falle ist die Teilfigur 4fach
drehsymmetrisch. Ihre Zyklen bilden eine Gruppe der Ordnung 4, die man
die zyklische Gruppe der Ordnung 4 nennt: C4 = {Dz1, Dz2, Dz3, D0}.
Abb. 21 präsentiert eine vollständige und schon geordnete Sammlung von dreidimensionalen
Teilkörpern, aus der alle echten Untergruppen (alle Untergruppen
mit Ausnahme von C1 = {D0} und W selbst der Würfelgruppe entnommen
werden können. Da gibt es eine Reihe von grundsätzlichen Fragestellungen. Es
gilt ja, die Abb.21 zu verstehen.
1. Welche und wie viele Drehsymmetrien hat der Teilkörper? (Ordnung der
Untergruppe)
2. Wie viele gleichberechtigte Lagen kann der Teilkörper im Würfel einnehmen?
3. Wie viele verschiedene Untergruppen gibt es unter den Lagen von 2.?
Die Antworten für das Beispiel 21a (dreiseitiges Prisma als Teilkörper):
1. Es gibt nur eine Drehachse, die Kantenmittenachse r. Da D0 immer zu den
Untergruppen gehört, ist die Untergruppe C2 = {Dr, D0} von der Ordnung 2.
2. Es gibt 12 gleichberechtigte Lagen, so viele, wie es Kanten gibt.
3. Es gibt 12: 2 = 6 verschiedene Untergruppen, denn einander gegenüber liegende
Kanten haben dieselbe Drehachse. Es gibt also sechs Untergruppen der
Ordnung 2; bitte alle sechs aufschreiben.
Ähnlich ist die Situation in Abb.21b (dreiseitiges Prisma): Wieder gibt es nur
eine 2-zählige Drehachse Dy, damit die Untergruppe C2 = {Dy, D0}, und wieder
gibt es zwölf gleichberechtigte Lagen, von denen aber je vier dieselbe Drehachse
besitzen. Deshalb erhalten wir hier nur drei Untergruppen der Ordnung 2, und
zwar? Insgesamt hat damit der Würfel 6+3 = 9 verschiedene Untergruppen der
Ordnung 2, die aber zueinander isomorph sind, weil sie alle nur das neutrale und
ein zu sich selbst inverses Element besitzen.
62

Abb. 21: Alle echten Untergruppen von W
63
Heinrich Winter
Das nicht reguläre Tetraeder in Abb.21c hat die 3-zählige Achse d als einziges
Symmetrieorgan, und damit die Drehgruppe C3 = {Dd1, Dd2, D0}. Es gibt acht
gleichberechtigte Lagen und vier verschiedene Untergruppen der Ordnung 3.
Klar sollte auch Abb.21d (gerade vierseitige Pyramide) sein: eine 4-zählige
Drehachse (z-Achse), sechs gleichberechtigte Lagen, drei verschiedene zyklische
Untergruppen.
In Abb.21e (sechsseitiges Prisma) geschieht etwas Neues: Es gibt Drehachsen
verschiedenen Typs, nämlich x-Achse, v-Achse und w-Achse, die paarweise
senkrecht aufeinander stehen. Damit ergibt sich die nicht-zyklische Gruppe K =
{Dx2, Dv, Dw, D0} der Ordnung 4, eine sog. Kleinsche Gruppe (benannt nach
Felix Klein, 1849-1925), in der jedes Element invers zu sich selbst ist. Wir finden
sechs gleichberechtigte Lagen und insgesamt drei verschiedene Untergruppen
der Kleinschen Art.
Besonders bemerkenswert ist Abb.21 f mit einem echten Quader als Teilkörper
und den drei Hauptachsen x, y, z, so dass sich die Kleinsche Vierergruppe K =
{Dx, Dy, Dz, D0} ergibt. Wieder haben wir sechs gleichberechtigte Lagen, die in
Abb.22 gezeichnet sind. Das Besondere ist: In jeder Lage treten dieselben
Hauptachsen x, y, z auf; so gibt es nur eine Untergruppe (und nicht drei wie in
21d und 21e). Diese Kleinsche Vierergruppe heißt deshalb invariante Untergruppe
(oder Normalteiler). Ob eine Gruppe eine echte invariante Untergruppe
besitzt, ist in vertiefteren Studien der Gruppentheorie (Galois-Theorie) von
größtem Interesse. Die Drehgruppen von Dodekaeder und Ikosaeder besitzen
keine echten invarianten Gruppen.

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Abb. 22: Die sechs gleichberechtigten Lagen des echten Quaders als Teilfigur
Das nicht reguläre Tetraeder in Abb.21g realisiert vier Untergruppen der Ordnung
6, die quadratische Säule in Abb.21h drei Untergruppen der Ordnung 8.
Spannend ist schlussendlich das reguläre Tetraeder in Abb.21i. Es hat vier 3zählige
und drei 2-zählige Symmetrieachsen (nämlich welche?), und seine Untergruppe
ist von der Ordnung 12. Diese Untergruppe des Würfels ist also die
Drehgruppe des Tetraeders. Das Tetraeder tritt in zwei gleichberechtigten Lagen
auf, siehe Abb. 23a und 23b. Das zweite Tetraeder realisiert (für sich betrachtet)
dieselbe Drehgruppe wie das erste, und das heißt, dass wieder eine invariante
Untergruppe vorliegt. Wir könnten deshalb auch erstes und zweites Tetraeder
untereinander vertauschen.
64

Abb. 23: Zwei Tetraeder und ihr Durchdringungsstern
65
Heinrich Winter
Unschwer ist zu erkennen, dass das eine Tetraeder das Bild des anderen ist,
wenn man eine Punktspiegelung am Mittelpunkt (SM) des Würfels vornimmt.
Das ist aber eine uneigentliche Bewegung und also hier inakzeptabel. Gibt es
eine Drehung des Würfels, die das eine Tetraeder in das andere überführt? Ihre
Achse müsste 2-zählig sein (warum?) und dürfte nicht zu den Symmetriedrehachsen
der Tetraeder gehören (warum nicht?). Mit etwas Geschick und Glück
findet man zwei solcher Drehachsen (nämlich welche?). .
Zum Genießen: Wenn man die beiden Tetraeder einer Durchdringung unterzieht,
erhält man einen achtstrahligen Stern (Abb.23c), den schon KEPLER
kannte und natürlich Stellaoctangula nannte. Die Schale (konvexe Hülle) dieses
schönen Sterns ist der Würfel, und der Kern (der gemeinsame Teil) ist ein Oktaeder,
dessen Drehgruppe ja isomorph ist zur Würfelgruppe. Das Volumen dieses
Sternköpers ist halb so groß wie das des Würfels und doch besitzt er die volle
Symmetrie des Würfels (das sollte uns aber nicht verwundern, weil sogar das
dürre Gestänge der vier Raumdiagonalen bereits die Würfeldrehgruppe repräsentiert).
Es sollte Spaß machen, den Stern zu bauen, etwa mit der Origamitechnik
(FLACHSMEYER 2008, 140) oder auch anders.
Im Rückblick auf dieses Teilkapitel sollte mindestens noch aufgefallen sein,
dass die Ordnung sämtlicher Untergruppen ein Teiler der Ordnung von W, also
von 24, ist. Es gilt hier offenbar: Ordnung der Untergruppe von W mal Anzahl
der gleichberechtigten Lagen ist gleich 24. Das ist klar, weil die Gesamtheit
aller Lagen den ganzen Würfel oder einen symmetriegleichen Teilkörper erscheinen
lässt. Man demonstriere das am Durchdringungskörper, den die sechs
Quader in Abb. 22 bilden.
Dieser Zusammenhang zwischen Ordnung der Gruppe und Ordnung einer Untergruppe
gilt allgemein in der Gruppentheorie, ausgedrückt im fundamentalen
Satz von JOSEF-LOUIS LAGRANGE (1736-1813) über endliche Gruppen:
Ist n die Ordnung einer Gruppe und m die Ordnung einer ihrer Untergruppen U,
so ist m ein Teiler von n (und n:m = i wird Index von U genannt). Der klassi-

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
sche Ausschöpfungsbeweis über Nebenklassen von U kann an der Würfelgruppe
vorgeübt werden. Der Umkehrsatz (wie lautet er?) gilt indes nicht, was an der
Tetraedergruppe gesehen werden kann. Der Satz von LAGRANGE ist nützlich
bei der Suche nach Untergruppen, da er den Suchraum reduziert. Außerdem
folgt sofort aus ihm: Eine Gruppe von Primzahlordnung hat keine echten Untergruppen.
Uneigentliche Deckabbildungen des Würfels
Der Würfel besitzt insgesamt neun Spiegelebenen, drei in den Hauptrichtungen
mit quadratischer Schnittfläche (Abb.24a, Typ a) und sechs mit rechteckiger
Schnittfläche (Abb.24b, Typ b).
Abb. 24: Uneigentliche Deckabbildungen des Würfels
Natürlich bilden die neun 9 Spiegelungen keine Gruppe, auch nicht, wenn wir
noch Id hinzufügen. Wenn ich zwei verschiedene Spiegelungen verkette, dann
ergibt sich eine Drehung, deren Achse die Schnittgerade der beiden Ebenen ist
und deren Drehwinkel doppelt so groß ist wie der Schnittwinkel der Ebenen.
Soweit ist alles analog zu den Verhältnissen in der Ebene. Insbesondere der
Satz: Jede Drehung des Würfels kann (sogar auf mehrere Arten) durch die Verkettung
zweier Spiegelungen dargestellt werden.
Insofern sind Spiegelungen sogar grundlegender als Drehungen, da durch sie die
Drehungen erzeugt werden (können). Andererseits: Bisher stehen den 24 Drehungen
nur 9 Spiegelungen als uneigentliche Deckabbildungen gegenüber. Das
sieht ziemlich unausgewogen, asymmetrisch aus. Erinnern wir uns an die Symmetrien
des ebenen Quadrats, da haben wir außer den vier Drehungen um den
Mittelpunkt noch vier Geradenspiegelungen, die den Umlaufsinn umkehren und
somit in der Ebene als uneigentliche Bewegungen zu gelten haben. Die Analogie
umkehrend, müsste es demnach beim Würfel auch 24 uneigentliche Deckabbildungen
geben. Kann man sich die 15 fehlenden beschaffen? Wieder kann
uns das ebene Quadrat helfen. Durch die vier Spiegelgeraden wird es in acht
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Heinrich Winter
zueinander kongruente Dreiecke zerlegt. Dann müsste doch… Tatsächlich wird
der Würfel durch alle neun Spiegelebenen in 48 zueinander kongruente Tetraeder
zerlegt (Abb.24c). Offensichtlich kann jedes dieser Tetraeder durch eine
eigentliche oder uneigentliche Deckbewegung in eins der 48 Tetraeder überführt
werden. Ein Beispiel ist in Abb.24c eingetragen: ANRM a BNRM a
CTSM.
Wir haben einen neuen Abbildungstypen, die Drehspiegelung (hier würde besser
Spiegeldrehung passen). Diese kann auch anders ausgeführt werden, z.B.
durch drei verkettete Spiegelungen, und das noch auf verschiedene Arten. Es
gehört etwas Ausdauer und wenig Fantasie dazu, die fehlenden 14 Drehspiegelungen
als Dreifachspiegelung aufzuschreiben. Eine davon ist besonders zu
erwähnen, die räumliche Punktspiegelung ( S M ), die sich durch die Verkettung
von drei Spiegelungen an Ebenen, die paarweise senkrecht aufeinander stehen,
darstellen lässt. Wir schließen mit dem Satz:
Die volle Symmetriegruppe WV des Würfels ist von der Ordnung 48, und ihre
Untergruppe W ist ein Normalteiler in WV.
Vom Design zur Kristallographie
Die Billschen Würfelhälften
Abb. 25: Spezielle Halbierungsschnitte durch den Würfel

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Der berühmte Designer und Architekt Max Bill (1908-1994) hat im Rahmen
seiner Bemühungen, eine Theorie der Form zu schaffen, u.a. das Beispiel des
Halbierens geeigneter Körper (vor allem Kugel und Würfel) gedanklich ausgearbeitet
und auch konkret realisiert (Schumann 2007, 33ff.). Aus der unendlichen
Fülle von Halbierungen des Würfels durch ebene Schnitte (durch den Mittelpunkt)
lässt Bill nur solche Schnittebenen zu, die markante Punkte des Würfels
enthalten, nämlich Ecken und Kantenmitten. Da gibt es nur 4 Möglichkeiten:
Die Schnittfläche ist a) ein Quadrat, b) ein Rechteck, c) ein Rhombus, d) ein
reguläres Sechseck (Abb.25).
Mit den Würfelhälften lässt sich nun eine Unzahl von „Landschaften“ aufbauen,
vor allem dann, wenn man zu jedem Typ mehrere Würfel gleicher Größe zerschneidet.
Hier wollen wir uns auf die Typen c und d beschränken.
Die beiden Würfelhälften vom Typ c
Zunächst sollte man sich mit der Schnittfläche befassen (Abb.26c), also das
Wissen über den Rhombus reaktivieren. Wie lang sind die beiden Diagonalen
und wie lang die 4 Seiten? Wie groß sind die Innenwinkel? Flächeninhalt?
Symmetrien? Ist der Rhombus ein spezielles Trapez? Was für ein Rhombus ist
das Quadrat?
Abb. 26: Zwei Würfelhälften und ihre Schnittfläche
Die beiden Hälften sind (erstaunlicherweise?) wieder Hexaeder, besitzen aber
nur 11 Kanten und 7 Ecken. Wo sind die verlorenen Stücke geblieben? Wieso
muss jeder auch eine Ecke weniger haben, wenn er eine Kante verliert (Eulerscher
Polyedersatz)? Gibt es noch weitere topologisch andere Hexaeder? (Nach
Gardner 1973, 190 existieren noch fünf weitere). Jeder der beiden Halbwürfel
besitzt nur ein echtes Symmetrieorgan; welches? Man könnte sie ineinander
verschieben, deshalb liegt keine Enantiomorphie vor.
Durch Herumspielen mit den beiden Hälften tritt die Frage auf: Wie viele verschiedene
konvexe Körper (außer dem Würfel) kann man herstellen, wenn man
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Heinrich Winter
die beiden Halbwürfel unter Einhaltung der Dominoregel zusammensetzt? Begründet,
dass es genau fünf sind. In Abb.27 sind drei davon im Schrägbild dargestellt.
Abb. 27: Drei konvexe Körper je aus 2 Halbwürfeln vom Typ c
Die Symmetrieorgane dieser Körper lassen sich leicht ablesen. Alle drei Körper
stellen die idealen Urformen der drei sogenannten monoklinen Kristallklassen
dar, nämlich – in den international gängigen Kürzeln – der Reihe nach 2, m, 2/m
(KLEBER u.a. 1998, 69ff.), die ihrerseits auf viele Arten ausgeformt sein können.
So gehören zur Klasse 2/m Gips, Diopsid, Kalifeldspat, Oxalsäure, u.v.a.
Diese Klasse ist sogar „sowohl unter den Mineralen als auch unter den synthetischen
Kristallen weit verbreitet und die mit Abstand häufigste Kristallklasse“
(EBENDA, 71). Ihre Urform ist das Parallelepiped in Abb. 27c). Ausformungen
der Klasse 2 sind u.a. die schon genannte Weinsäure (in linker und rechter Art,
Enantiomorphie) und der Zucker; Ausformungen von der Klasse m sind u.a.
Hilgardit und Klinoedrit.
Ein Dodekaeder (Zwölfflächner) aus acht Halbwürfeln
Spielen wir weiter mit unseren Halbwürfeln, so kann es fast nicht ausbleiben,
aus acht Halbwürfeln ein Dodekaeder zusammenzusetzen, das recht symmetrisch
und einfach schön aussieht. Es ist jedoch nicht das bekannte klassische
Rhombendodekaeder (kurz KRD), dessen Drehgruppe zur Würfelgruppe isomorph
ist.
Unser 8-Würfelhäftendodekaeder (kurz 8WhD) hat zwar auch 24 gleich lange
Kanten (wie lang?) und 12 Rhomben als Seitenflächen, jedoch sind letztere
nicht paarweise kongruent zueinander, vielmehr gibt es zwei Sorten: 4 „kleine“
und 8 „große“ (welche Flächeninhalte?). Es lohnt sich, die Morphologie des
8WhD genauer zu untersuchen, um dann seine Symmetriegruppe bestimmen zu
können (Abb.28 a). So gibt es drei Sorten von Ecken (welche?). Jede der 12
Seitenflächen hat gegenüber eine zu ihr parallele kongruente Partnerin, so dass
der Körper ein Inversionszentrum besitzt. Jedoch besitzt er weder Umkugel

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
noch Kantenmittenkugel noch Inkugel. Nur die „kleinen“ Rhomben bilden Paare,
die durch eine 2-zählige Drehachse ineinander überführt werden können.
Was ist mit den „großen“ Rhomben?
Abb. 28: Zur Symmetrie des 8WhD
Nun konkret zur Drehsymmetrie des 8WhD. Das in Abb.28a rot eingefärbte
Quadrat ist auffällig, ist es doch das einzige von den 3 Mittenquadraten, das der
ursprüngliche große Würfel aus 8 Würfeln mit Kantenlänge a vor dem Abschneiden
der Hälften aufweist. Die durch die Mitte dieses Quadrats verlaufende
und auf dem Quadrat senkrecht stehende Gerade ist eine 4-zählige Drehachse
nicht nur des Quadrates sondern des ganzen 8WhD. Das ist schon einmal ein
Teilergebnis. Wie in der Kristallographie üblich, betrachten wir diese Achse als
Hauptachse und zeichnen sie als in der Zeichenebene liegend wie in Abb. 28 b
und c. Da erscheint der 8WhD als eine Durchdringung von einer Doppelpyramide
(28b) mit einem Doppelturm (28c). Wie man unschwer zeigen kann, besitzen
beide Teilkörper dieselben Drehsymmetrien, die auch Symmetrien des
8WhD sind, nämlich 4 Drehungen um die Hauptachse z, 4 Umklappungen (=
Drehungen um 180°) um die beiden Achsen x und y sowie deren beide Winkelhalbierende.
Der Kern der Durchdringung (= das gemeinsame Gebiet von Doppelpyramide
und Doppelturm) ist der mittlere Teil des Doppelturmes, und das
ist eine Quadratische Säule mit den Kantenlängen a, 2 a, 2 a. Deren Sym-
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Heinrich Winter
metrien sind nun genau die gefragten Symmetrien des 8WhD. Damit notieren
wir:
Die Gruppe der Drehsymmetrien des 8WhD ist von der Ordnung 8. Sie besteht
aus 4 Drehungen um eine 4-zählige Achse und aus 4 180°-Drehungen (Umklappungen)
an 4 2-zähligen Achsen.
Wir könnten auch kürzer aufschreiben:
Die Drehgruppe 8WhD ist isomorph zur Drehgruppe des räumlichen Quadrats.
Während nämlich die Deckabbildungen des ebenen Quadrats aus 4 Drehungen
um den Mittelpunkt und 4 (uneigentlichen!) Achsenspiegelungen bestehen, sind
beim räumlichen Quadrat die 4 Achsenspiegelungen durch 4 Drehungen (Umklappungen)
ersetzt. Darüber hinaus kann das räumliche Quadrat auf unendliche
viele Arten in den Raum hinein symmetrieerhaltend ausgeschmückt und auch
reduziert werden. Es kommt z. B. nicht darauf an, wie hoch der Doppelturm und
wie hoch die Doppelpyramide ist. Im Extremfall kann der eine oder der andere
Teilkörper oder können auch beide die Höhe 0 und damit auch das Volumen 0
besitzen. Im letzteren Fall sprechen wir dann von einem Dieder = Zweiflächner,
indem wir Unterseite und Oberseite des Quadrats unterscheiden. F. Klein hat
sogar vom Dieder als dem 6. Platonischen Körper gesprochen (Klein, S. 129).
Somit erhalten wir eine dritte Fassung des Satzes über die Symmetrien des
8WhD:
Die Drehgruppe des 8WhD ist (abstrakt gesehen) die Diedergruppe D 4 .
Zu jedem n > 1 gibt es ein Dieder D n , dessen Drehgruppe von der Ordnung 2n
ist. Die räumliche Drehgruppe einer Strecke ist D 2 und ist abstrakt gleich der
Kleinschen Vierergruppe. Verifiziert das en detail. D 3 kennen wir eigentlich
schon aus den Untergruppen des Würfels. Überprüft das. Allgemein braucht
man ein reguläres ebenes Vieleck. Dieses besitzt einen Mittelpunkt, durch den
eine Senkrechte errichtet wird als n-zählige Drehachse. Weiterhin besitzt das
ebene n-Eck n Spiegelgeraden, die beim Verräumlichen zu n 2-zähligen Drehachsen
(Klappachsen) werden. Genaueres über Diedergruppen findet man in
Sielaff, besonders ausführlich wird die Gruppe D 3 besprochen.
In der Kristallographie kann es wegen des Gitteraufbaus nur Drehgruppen von
der Ordnung 4, 6, 8 und 12 geben und damit auch nur die Diedergruppen dieser
Ordnungen. Tatsächlich kommen die möglichen auch alle in Kristallen vor,
D z. B. im schon erwähnten Graphit, der zur dihexagonalen – dipyramidalen
6
Kristallklasse gehört. Unser 8WhD scheint es in reinerer Form als Mineral in

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
der Natur nicht zu geben, Sonderformen von Vesuvian kommen seiner Form am
nächsten (mündliche Auskunft von Prof. Theo Hahn vom Kristallographischen
Institut der RWTH in Aachen). Es wird als ditetragonal-dipyramidal klassifiziert.
Gänzlich im Gegenteil zum 8WhD ist das klassische Rhombendodekaeder
(KRD) hochsymmetrisch. In der üblichen Genese des KRD (als Ausstülpen der
6 inneren quadratischen Pyramiden eines Würfels) überträgt sich die volle
Symmetrie des Würfels auf das KRD, was im einzelnen zu belegen und auszugestalten
ist. Z.B. gehen die 6 2-zähligen Achsen des Würfels in 6 Rhombenmittenachsen
des KRD über. Der besseren Vergleichbarkeit wegen haben wir für
beide Rhombendodekaeder in Abb. 29 dieselbe Kantenlänge gewählt.
Abb. 29: 8WhD und KRD im Vergleich
Der entscheidende aber keineswegs „kleine“ Unterschied liegt im Kernbereich,
beim 8WhD ist es eine quadratische Säule, im KRD hingegen ein Würfel. Die
Oberfläche des 8WhD besteht aus 2 Quadraten und 4 (echten ) Rechtecken.
Wende ich hierauf die Ausstülpmethode (analog zum KRD) an, so liefern die
beiden Quadrate 8 zueinander kongruente Rhomben, es bleiben dann noch 4
weitere zueinander paarweise kongruente Rhomben einzusetzen mit derselben
Kantenlänge aber abweichender Größe und Winkel.
Da es (metrisch gesehen) unendlich viele echte quadratische Säulen gibt, gibt es
auch unendlich viele Dodekaeder vom Typ des 8WhD. Das KDR ist der Sonderfall
und es erfreut sich wegen seines hohen Symmetriegehalts großer kristallographischer
Wertschätzung. Die bekannten Mineralien Diamant und Granat
besitzen Urformen von der Gestalt des KRD (neben Würfeln und Oktaedern).
Diamanten aus fast reinem Kohlenstoff sind nicht nur wegen des Funkelns die
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Heinrich Winter
„Könige der Edelsteine“ (Bohm, S. 90ff), sondern wegen ihrer einzigartigen
Härte (Härtegrad 10) von erheblichem technischen Gebrauchswert (Tiefbohren,
Schneiden, Glätten, Schleifen u.v.m. mit erhöhten Ansprüchen). Nebenbei: das
Mineral Graphit, auch aus fast reinem Kohlenstoff, ist dagegen ausgesprochen
weich (Härtegrad 1), weil der atomare Aufbau ein völlig anderer ist gegenüber
dem des diamanten.
Das Mineral Granat (Härtegrad 6 – 7,5) besitzt neben anderen Körperformen
besonders auch das KRD als Urform, so dass das KRD gelegentlich sogar Granatoeder
genannt wird. Granat ist chemisch ein Silikat mit vielerlei möglichen
Zusätzen. Granatschmuck ist wegen der hochsymmetrischen Form, wegen der
Variabilität in der Farbe und nicht zuletzt wegen seines Preises (bei mittlerem
Einkommen bezahlbar) sehr geschätzt. In der Technik dient er unter anderem als
Laserkristall, wie überhaupt möglichst reine und selbst gezüchtete Kristalle in
unserer digitalen Welt geradezu als „Steine der Weisen“ (so der Titel des Katalogs
der Ausstellung in Bonn im Jahr 2000 der Physik) fungieren.
Der Oktaederstumpf
Wie im Falle des 8WhD können wir auch 8 Würfelhälften zusammenbauen,
wenn die Schnittfläche ein reguläres Sechseck ist. Zunächst wird man Wissen
über das ebene reguläre Sechseck und das Sechseckgitter des Ebene reaktivieren,
um dann zu begründen, dass wirklich ein reguläres Sechseck als Schnittfläche
vorliegt und dass von diesem Sechseck nur 3 Drehungen (120°, 240°, id)
auch Drehungen des ganzen Körpers aus 8 Würfelhälften sind (Scheinsymmetrie).
Abb. 30: Körper aus 8 Würfelhälften – Oktaederstumpf, zwei Genesen

Würfel & Co – Kunst und Natur
in den Symmetrien von Körpern
Die Oberfläche des Körpers besteht aus sechs Quadraten und acht regulären
Sechsecken, je kongruent zueinander und paarweise orthogonal gegenüber liegend.
Damit gibt es drei 4-zählige und vier3-zählige Drehachsen als Flächenmittenachsen.
Achsen durch Ecken kann es nicht geben (warum nicht?). Untersuchen
wir noch die Kanten! In jeder Ecke stoßen drei Flächen (ein Quadrat und
zwei Sechsecke, man schreibt kurz 4, 6, 6) sowie drei Kanten zusammen. Es
gibt damit (8 x 6 + 4 x 6) / 3 = 24 Ecken und (8 x 6 + 6 x 4) / 2 = 36 Kanten,
und wieder bestätigt sich der Euler’sche Polyedersatz. Aber alle Seitenlinien der
Quadrate sind untauglich, um Kantenmittenachsen zu liefern. Damit fallen 24
Kanten weg, die restlich 12 Kanten zwischen den Sechsecken liefern sechs
zweizählige Kantenmittenachsen, so dass sich insgesamt 3 x 3 + 4 x 2 + 6 +1 =
24 Drehungen des Oktaederstumpfes ergeben. Damit gilt für die Drehsymmetrie
des Oktaederstumpfes (Abb. 30b): Die Drehgruppe des Oktaederstumpfes hat
die Ordnung 24 und ist isomorph (abstrakt gesehen gleich) der Drehgruppe des
Würfels.
Der Name „Oktaederstumpf“ wird klar, wenn man Abb. 30 b anschaut. Einem
gegebenen Oktaeder werden die sechs „Ecken weggeschnitten“, d.h. das Oktaeder
verliert sechs quadratische Pyramiden, deren Grundflächenseiten ein Drittel
so lang sind wie die Oktaederkanten. Der Oktaederstumpf ist damit leicht zu
zeichnen, wenn das Oktaeder im Schrägriss gegeben ist: Drittele die Kanten des
Oktaeders, der Rest ergibt sich fast von selbst.
Der Oktaederstumpf ist ein archimedischer Körper, d.h. seine Oberfläche besteht
aus regulären Polygonen und alle Ecken sind paarweise äquivalent zueinander.
Es gibt außer den Prismen und Antiprismen 13 verschiedene archimedische
Körper, die bereits fast alle dem größten Mathematiker des Antike, Archimedes
(um 287 bis 212 v. Chr.) bekannt waren.
Natürlich ist der Oktaederstumpf wieder ein Raumfüller, da er aus Würfelhälften
besteht. Wie sieht die räumliche Pflasterung aus? (siehe z.B. Steinhaus S.
193 oder im Internet). Der Oktaederstumpf ist sogar in zweifacher Hinsicht ein
besonderer Raumfüller: Erstens ist er von allen Raumfüllern der sparsamste
hinsichtlich der Oberfläche pro 1 Volumeneinheit, an zweiter Stelle steht das
KDR (Bienenwabenmuster) und erst an 6. Stelle kommt der Würfel (schriftliche
Mitteilung von Prof. K.P. Müller, Karlsruhe). Diese Eigenschaft wird klar,
wenn man sieht, dass der Oktaederstumpf stark kugelförmig ist, und die Kugel
ist ja von allen volumengleichen Körpern von minimaler Oberfläche. Zweitens
ist der Oktaeder der einzige Raumfüller, bei dem in jeder Ecke nur 4 Oktaederstümpfe
zusammenstoßen. Damit handelt es sich um die „einfachste“ Parkettierung
(Steinhaus, S. 191).
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75
Heinrich Winter
Der Oktaederstumpf ist eine ideale Urfigur von Kristallen, die zum kubischen
Kristallsystem mit höchster Symmetrie gehören. Als Beispiel eines Minerals sei
Bleiglanz (Algenit) erwähnt, das als Bleierz hoch geschätzt wurde und wird,
weil Blei heute und auch in der Zukunft insbesondere in der Akkumulatorenindustrie
(damit auch noch in der Autoindustrie) gebraucht wird.
Bleiglanz ist auch in kristallographiehistorischer Hinsicht bemerkenswert.
Schon der Freiburger Mineralogieprofessor Abraham Werner (1750-1817), der
auch den hübschen Namen Bleiglanz einführte, zeigte, dass man Ordnung in die
fast chaotische Welt der Mineralien bringen kann, wenn man von den einfachsten
Körpern ausgeht und diese auf kontrollierte Weise abändert (Stewart/Golubitsky,
S. 96ff). Er fand, dass Bleiglanz in platonischen bzw. archimedischen
Körpern auftritt: Würfel (4, 4, 4), Würfelstumpf (3, 8, 8), Kuboktaeder
(3, 4, 3, 4), Oktaederstumpf (4, 6, 6) und Oktaeder (3, 3, 3, 3). In dieser Reihenfolge
kann man eine Metamorphose sehen vom Würfel zum Oktaeder, generiert
durch wachsende „Abfälle“. Gemeinsam ist allen fünf Körpern, eine Symmetriegruppe
zu besitzen, die isomorph zur Würfelgruppe ist.
Wer kann, stelle ein Video zur oben genannten Metamorphose her. Jeder kann
eine Durchdringungsfigur von Würfel und Oktaeder zeichnen und alle fünf oben
genannten Körper in ihrem Zusammenhang sehen.
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Abbildungsnachweis
Abb. 7: Kaderavek, 1992, 53
Abb. 8: Brockhaus, 1955, Band 7, Tafel Mensch IV
Abb. 9: Herzog, 1990, 55
Abb. 10: http://redmedia033.so-buy.com/ezfiles/redmedia033/img/img/67007/Notre.jpg
Abb. 11:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Schloss_Charlottenburg.jpg
Abb. 12:
http://www.adventurecamps.co.tz/photogalleries/ruaha/ruaha%20Other%20Animals
Abb. 14: Brunner, 1999, 48 bzw. 46
Abb. 15: Rein, 1993, 36
76

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
Swetlana Nordheimer
Zusammenfassung. Im Mittelpunkt dieses Artikels stehen Vernetzungen von geometrischen
mit anderen Inhaltsbereichen im Mathematikunterricht, wobei der Schwerpunkt
auf der Konstruktion einer schülerzentrierten Unterrichtsmethode zur Vernetzung von
mathematischem Wissen in der SEK I liegt. Dafür wird zunächst auf Vernetzungen in der
Mathematik und im Mathematikunterricht eingegangen. Daraufhin wird die „Kapitelübergreifende
Rückschau“ als Möglichkeit zur Förderung von Vernetzung im Mathematikunterricht
vorgestellt. Dabei soll das Augenmerk auf der Verzahnung von mathematischen
Inhalten mit geeigneten Sozialformen liegen. Ergänzt wird der Beitrag durch die
Darstellung von zwei schulischen Erprobungen im Mathematikunterricht mit Schülern,
die diagnostizierte Lernschwierigkeiten aufweisen.
Vernetzen in der Fachwissenschaft
Im Logo der Internationalen Mathematischen
Vereinigung stehen Borromäische
Ringe für den Vernetzungsreichtum der
Mathematik. Dabei stehen sie dem Entwickler
des Logos John Sullivan zufolge
zunächst für die Vernetzungen zwischen
verschiedenen mathematischen Bereichen,
dann für die Vernetzungen innerhalb der
wissenschaftlichen Gemeinschaft der Mathematiker
6 . Damit erhalten fachwissenschaftliche
Vernetzungen in der Mathematik
zusätzlich zu der epistemischen eine
weitere, soziale, Dimension. Borromäische
Ringe sind als ein geometrischer (topologi-
Abb. 1: „IMU-Logo“
scher) Link in der Ebene unmöglich und
nur unter Zuhilfenahme von einer weiteren Dimension adäquat darstellbar (Informationsdienst
Wissenschaft).
6 Mit der männlichen Form sind im Text durchgängig Vertreter von beiden
Geschlechtern gemeint.
Nordheimer, S. (2010).Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz. In: Ludwig,
M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in der Geometrie,
Hildesheim: Franzbecker, S.77-96

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
Eine Wissenschaftsdisziplin wird in der aktuellen Diskussion innerhalb der
Wissenschaftsforschung nicht nur epistemisch, sondern auch soziologisch verstanden
(siehe Stichweh 1981). In diesem Sinne betrifft dann Mathematik diejenige
kommunikative Gemeinschaft von Personen, die als Mathematiker gelten,
weil sie gewisse gemeinsame Annahmen über die Möglichkeiten, Probleme,
Themen, Methoden, Praktiken, Daten und Gütekriterien der „wissenschaftlichen“
Arbeit teilen und sich darin von anderen wissenschaftlichen Gemeinschaften
abgrenzen können.
Laut der Soziologin Bettina Heintz (2000) kommt dem Beweis eine besondere
Funktion beim Vernetzen der Mathematik zu. Durch Beweisen als die ihr eigene
Erkenntnis- und Arbeitsmethode grenzt sich Mathematik von anderen wissenschaftlichen
Disziplinen ab. Damit verknüpfen Beweise nicht nur mathematische
Objekte wie Sätze und Begriffe, sondern auch Wissenschaftler miteinander.
Denn in den Beweisen haben Mathematiker ein ihrer Fachdisziplin eigenes
Kommunikationsmittel. Somit verknüpfen Beweise die Mathematik nicht nur
auf der epistemischen, sondern auch auf der sozialen Ebene. Sie sind damit für
Mathematik kennzeichnend und können zum Ausgangspunkt der Diskussion
über Basiskompetenzen gewählt werden.
Betrachtet man den schulischen Kanon für Mathematik, so lässt sich feststellen,
dass die meisten Beweise in der Sekundarstufe I bei geometrischen Themenbereichen
angesiedelt sind. Der Geometrie als Beispiel für eine deduktive Theorie
(Holland 1988) kommt somit eine besondere Aufgabe zu. Aufgrund geometrischer
Beweise und der Multi-Perspektivität der Geometrie (Neubrandt 2010)
kann sie als ein Mittel der Vernetzung von verschiedenen Bereichen der Schulmathematik
betrachtet werden. Diese Besonderheiten der Schulgeometrie gewinnen
auf dem Hintergrund der durch Winter (2001) formulierten allgemeinbildenden
Grunderfahrungen an Bedeutung. Die Schüler sollen nach Winter
Mathematik im Unterricht als ein an „inneren (deduktiven) Vernetzungen reiches
Universum“ erfahren. Der Geometrie als erster deduktiver Wissenschaft
räumt er dabei die Leitfunktion ein (Winter 1995). Nicht umsonst wählen auch
Wagenschein (1997) und Wittenberg (1994) gerade geometrische Beispiele, um
die Themenkreismethode, die der Zusammenhanglosigkeit des Mathematikunterrichts
entgegenwirken soll, zu beschreiben. Die besondere Rolle der Beweise
im Geometrieunterricht wird bei der Entwicklung und Vorstellung des zweiten
Unterrichtsvorschlags noch einmal erwähnt.
Standards
Die Hervorhebung von Vernetzungen in der Mathematik als Fachwissenschaft
geht weltweit parallel mit den Entwicklungen in der Didaktik der Mathematik.
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79
Swetlana Nordheimer
Als eine von zehn Basiskompetenzen führen beispielsweise die „NCTM Principles
and Standards for School Mathematics 2000 Vernetzungen (‘connections’)
auf” (Brinkmann 2002, S. 19). Auch in dem südafrikanischen Curriculum
werden innermathematische Vernetzungen betont (Mwkapenda 2008). In verschiedenen
Rahmenlehrplänen deutscher Bundesländer findet man explizite
Vernetzungen als Leitideen (Baden Württemberg, Gymnasium) bzw. Links
zwischen den Leitideen (Berlin, Rheinland-Pfalz). Im Baden-
Württembergischen Bildungsplan für die Hauptschule beispielsweise findet man
eine Forderung, die implizit auch für diese Schule bestimmte Vernetzungsstandards
formuliert: „Unter der Leitidee ‘Raum und Form’ werden geometrische
Inhalte thematisiert, deren Verbindungen zu arithmetischen und algebraischen
Gesetzmäßigkeiten aufgezeigt.” In den Tests aus den Vergleichsuntersuchungen
wie TIMSS und PISA, sowie Vergleichsarbeiten wie beispielsweise VERA und
zentralen Abschlussprüfungen wie Mittlerer Schulabschluss in Berlin werden
auch den leistungsschwächeren Schülern innerhalb einer kurzen Zeitspanne
Aufgaben, die sich auf viele verschiedene inhaltliche Kapitel beziehen, zugetraut.
Manchmal ist zum Lösen einer Aufgabe eine Synthese von Inhalten aus
verschiedenen Schulbuchkapiteln erforderlich (vgl. Vollrath 2001). Um die
erwähnten Vernetzungsstandards anzustreben ist es sinnvoll, den Vernetzungsbegriff
für den Mathematikunterricht zu präzisieren und theoretisch einzuordnen.
Vernetzungsdefinition
Einen theoretischen Ausgangspunkt für den auf den Mathematikunterricht bezogenen
Vernetzungsbegriff liefert Brinkmann (2002). Demzufolge wird Vernetzung
als Prozess und Ergebnis des In-Beziehung-Setzens mathematischer
Inhalte und Anwendungen auf der Ebene des Unterrichtsstoffes sowie auf der
kognitiven Ebene des Schülers verstanden. Modelliert werden die Vernetzungen
mit Hilfe von Graphen, wobei vor allem mathematische und nichtmathematische
Inhalte und Objekte zu den zu vernetzenden Knoten werden.
Die Kanten zeigen existierende Beziehungen auf. Solche Beziehungen lassen
sich als Vernetzungen definieren. Die groben Kategorien beim Vernetzen mathematischer
Unterrichtsinhalte sind zunächst außer- und innermathematische
Vernetzungen.
Im Zusammenhang mit der hier vorgestellten Unterrichtsmethode sind vor allem
die innermathematischen anwendungsbezogenen Vernetzungen interessant. Die
Anwendung mathematischer Inhalte zur Lösung von Aufgaben führt zur Vernetzung
von Aufgaben mit Modellen. Die dazu gehörige Relation lautet „ist eine
Modellierung von“. So können algebraische Aufgaben durch Übersetzung in
geometrische Modelle gelöst werden und umgekehrt. Als Beispiel für Modell-

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
vernetzungen führt Brinkmann u.a. Geometrisierung auf (vgl. Brinkmann
2002).
Um einerseits mehr Kohärenz mit dem Verständnis von Vernetzungen in der
Fachwissenschaft herzustellen und andererseits den Vernetzungsbegriff für die
Praxis des Mathematikunterrichts fassbarer zu machen, werden hier einige Modifikationen
des Brinkmannschen Begriffs vorgenommen. Vernetzungen, die
Brinkmann beschreibt, finden vor allem auf der Ebene des mathematischen
Wissens statt. Die soziale Ebene des Mathematiklernens und somit Vernetzungen
im Mathematikunterricht wird nicht explizit angesprochen.
Soziokulturelle Lerntheorien postulieren (Wenger 1991 zitiert in Rehrl, Gruber
2007), dass Wissen nicht losgelöst von sozialen Austauschprozessen thematisiert
werden kann. Als Konsequenz werden auch in der Pädagogik Modelle des
Lernens und Wissensaustausches vorgeschlagen, die mit Hilfe von Graphentheorien
modelliert und untersucht werden. Es werden aber auch Unterrichtmethoden
vorgeschlagen, die für den Wissensaustausch förderlich sind. Eine solche
Methode ist beispielsweise das Expertenpuzzle, das die im Folgenden durch die
Verknüpfung mit den konkreten Unterrichtsinhalten des Mathematikunterrichts
zur Kapitelübergreifenden Rückschau entwickelt wird.
Somit geht es in diesem Artikel vor allem um die Verzahnung der epistemischen
und sozialen Ebene der Vernetzung im Mathematikunterricht. Auf der epistemischen
Ebene werden Inhalte von verschiedenen Kapiteln als Knoten modelliert.
Auf der sozialen Ebene erscheinen einzelne Schüler als Knoten. Beim Lösen
und Formulieren von mathematischen Aufgaben in Gruppen sollten sowohl
Inhalte wie auch Schüler miteinander in Beziehung gesetzt werden. Als Kanten
auf der sozialen Ebene treten dabei etwa „eine Aufgabe gemeinsam gelöst“
bzw. „eine Aufgabe gemeinsam formuliert“ auf. Dadurch wird das Ergebnis des
In-Beziehung-Setzens als eine formulierte bzw. gelöste Aufgabe (und somit zu
den Themen zugeordnete) konkretisiert. Andererseits drückt das Formulieren
und das Lösen der Aufgabe den Prozesscharakter der Vernetzung der Schulmathematik
aus. Es besteht Grund zur Annahme, dass diese Veranschaulichung
sowohl die Kommunikation unter den Schülern deutlich erleichtert, als auch die
Chancen für die Implementierung der Begrifflichkeiten für die Unterrichtspraxis
erhöht.
Die Kohärenz zur Mathematik als Wissenschaftsdisziplin entsteht bei dieser
Begriffsbestimmung dadurch, dass Mathematiker durch Kante „gemeinsame
Veröffentlichung“ auf der sozialen Ebene vernetzt werden, aber auch verschiedene
Bereiche der Mathematik miteinander vernetzen.
Um Unterrichtssituationen zu gestalten, die soziale Ebene der Vernetzung fördern,
ist es sinnvoll nach Unterrichtsmethoden zu forschen, die verschiedenen
Formen des kooperativen Lernens mit den konkreten mathematischen und ins-
80

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Swetlana Nordheimer
besondere geometrischen Inhalten verknüpfen. Eine solche Methode könnte die
Kapitelübergreifende Rückschau sein.
Kapitelübergreifende Rückschau
Eine Kapitelübergreifende Rückschau stellt einerseits eine Möglichkeit dar, den
Vernetzungsstand der Schüler zu diagnostizieren und andererseits Vernetzungen
zu fördern. Dabei wird die Segmentierung des Unterrichtsstoffes und des mathematischen
Wissens eines einzelnen Schülers in Stoffgebiete auf der epistemischen
Ebene, als Segmentierung der Klasse in der ersten Phase des Expertenpuzzles
des Expertentrainings fortgesetzt. Die ganze Lerngruppe wird in drei bis
sechs Gruppen eingeteilt. Jede kleine Gruppe bekommt die Aufgabe, sich
schwerpunktmäßig mit den Inhalten aus einem Kapitel zu beschäftigen. Daraufhin
können die Schüler Unterschiede und Gemeinsamkeiten unter den Kapiteln
des Schulbuchs sowie verbindende Leitideen und Leitbegriffe bzw. Themenstränge
mit Hilfe einer inhaltsbezogenen Kompetenztabelle entdecken
(Vollrath 2001). Diese entsteht durch die Abwandlung des Inhaltsverzeichnisses
des Schulbuches bzw. Heftes, indem die Überschriften aus dem Lehrbuch und
die Aufgabenbezeichnungen in eine Tabelle eingetragen werden. Somit kann
durch Ankreuzen der entsprechenden Inhalte angegeben werden, welche inhaltsbezogene
Kompetenzen sich mit der Aufgabe ansprechen lassen (siehe
Abb. 4).
Im Anschluss daran bekommen die Schüler eine Möglichkeit in den neuen
Kleingruppen zusammenzuarbeiten und selbständig Themenkreise und Themenkomplexe
(Vollrath 2001) zu entdecken und diese als kapitelübergreifende
Aufgaben zu formulieren. Anknüpfend an die Konstruktion werden im Folgenden
die einzelnen Phasen der Methode vorgestellt.
Vorbereitung: Zum Anfang lösen Schüler im Klassenverband eine Einstiegsaufgabe.
Diese deutet den gemeinsamen Kontext der ganzen Einheit an. Den Schülern
werden entsprechend der Anzahl der Schulbuchkapitel des Schuljahres
Initialaufgaben vorgestellt.
Expertentraining: Jeder Schüler entscheidet sich für eine der Initialaufgaben.
Alle Schüler mit der gleichen Aufgabe setzen sich in einer Gruppe zusammen,
um diese gemeinsam zu lösen und die Präsentation der Aufgabe vorzubereiten.
Daraufhin füllt jede Gruppe die an das Inhaltsverzeichnis des Schulbuches angelehnte
Kompetenztabelle aus.
Expertenrunde: Die Gruppen werden neu zusammengestellt. Jetzt treffen sich in
einer Gruppe Experten von verschiedenen Initialaufgaben bzw. Schulbuchkapiteln.
Ziel der Phase ist es, in der neuen Gruppe durch Variation von gelösten

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
Initialaufgaben mindestens eine kapitelübergreifende Aufgabe zu entwickeln,
die Lösung aufzuschreiben und inhaltliche Bezüge der Aufgabe zu bestimmen.
Plenum: Anschließend werden die selbst erstellten Aufgaben im Plenum der
ganzen Klasse vorgestellt und gewürdigt.
Erprobung Gesamtschule 2008
Im Mathematikunterricht der Erprobungsklasse wurden im Schuljahr 2007/08
GA- und FE-Kurse 7 sowie Schüler mit pädagogischem Förderbedarf gemeinsam
unterrichtet. Als besondere Integrationsmaßnahme wurden nicht nur Integrationsschüler
sondern alle GA - Schüler im Mathematikunterricht von der Integrationspädagogin
unterstützt. Zwei Schüler der Klasse hatten den Förderschwerpunkt
Lernen und zwei Schüler den Förderschwerpunkt Verhalten. U. a. ergaben
sich daraus für die ganze Lerngruppe Konzentrations- und Motivationsschwierigkeiten.
Etliche Schüler und eine Schülerin besuchten die Schule nur selten.
Eine Schülerin war etwa nur einmal pro Monat im Unterricht anwesend. Aus
dieser Perspektive erfährt das Problem der Vernetzung eine zusätzliche Färbung,
denn einige Schüler begegneten den zu vernetzenden Themen bei der
Erprobung der Methode zum ersten Mal.
Abb.2: Lösungsfigur Abb. 3: Tangram-Tisch
7 FEGA ist das Kürzel zur Bezeichnung der Leistungsdifferenzierung in den
einzelnen Fächern. Es gibt einen leistungsschwächeren GA-Kurs und einen leistungsstärkeren
FE-Kurs. Je nach Zeugnisnoten werden die Schüler Berliner Gesamtschulen dem
einen oder anderen Kurs zugeordnet.
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Swetlana Nordheimer
Ausgehend von den Lernvoraussetzungen war es nicht möglich, den Unterricht
nach dem Lehrbuch zu gestalten. Der Stoff wurde thematisch strukturiert und in
Kapitel gegliedert. So wurden die Überschriften an der Tafel angeschrieben und
sorgfältig durchnummeriert, damit die Schüler diese in ihren Heften notieren
konnten. Nur eine Schülerin hatte jedoch ein Heft mit dem Inhaltsverzeichnis,
in dem sie alle Arbeitsblätter und Hausaufgaben aufbewahrt hatte.
In Anlehnung an das Heft dieser Schülerin ist die Kompetenztabelle für die
Erprobung der Methode in dieser Klasse entstanden. Auf Wunsch der Lehrerin
sollten in der Tabelle jedoch nicht nur Kreuze, sondern Formeln und Schlüsselbegriffe
für die entsprechenden Themen eingetragen werden und (siehe Abb. 4).
Als Einstiegsaufgabe in der Vorbereitungsphase wurden die Schüler im
Klassenverband aufgefordert, mit Hilfe von sieben Tangram-Steinen ein Quadrat
zu legen. Die Lösungsfigur ist in Abbildung 2 dargestellt.
Der ursprünglich für ein Gymnasium entwickelte Satz von Initialaufgaben wurde
an die Lernausgangslage der Klasse angepasst und entstand durch die Absprache
mit der Mathematiklehrerin.
Aufgabe 1: Um einen Tangram-Tisch aus Holz zu bauen, wird die gesamte
Tangram-Figur vergrößert. Dabei wird die längste Seite des großen Dreiecks um
x cm größer. Das Spiel und der Tisch werden zu einem Quadrat zusammengesetzt.
a) Beschreibe die Differenz zwischen dem Umfang des Spiels und dem des
Tisches als Term.
b) Beschreibe die Differenz zwischen dem Flächeninhalt des Spiels und dem
des Tisches als Term.
Aufgabe 2: Um einen Tangram-Tisch aus Holz zu bauen, wird die gesamte
Tangram-Figur vergrößert. Wie ändert sich der Flächeninhalt der gesamten
Lösungsfigur, wenn man die längste Seite des großen dreieckigen Steins um 0,5
m, 1 m, 1,5 m, 2 m, 2,5 m und 3 m vergrößert? Wie ändert sich dabei der Umfang
der gesamten quadratischen Lösungsfigur?
Aufgabe 3: Auf dem Markt ist ein neues Magnet-Dartspiel, das genau wie ein
quadratisches Tangram-Puzzle aussieht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ein
Parallelogramm bzw. ein Dreieck zu treffen?
Expertentraining: Jede der drei den entsprechenden Aufgaben zugeordneten
Gruppen bestand aus maximal fünf Schülern. Bei der Einteilung ließ sich feststellen,
dass diese nicht nach den Präferenzen für die Aufgaben, sondern durch
Sympathien und Antipathien innerhalb der Gruppe bestimmt wurden. Vielleicht

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
erklärt sich dadurch, dass die Phase des Expertentrainings als Chance zum persönlichen
Austausch und nicht zum Lösen von Aufgaben genutzt wurde. Die
meisten Schüler fanden die Texte zu lang und waren nicht bereit, diese zu lesen.
Erst auf dem Weg zur Tafel bzw. an der Tafel haben sie Lösungsansätze produziert,
die gelegentlich sogar richtig waren.
Die Phase endete mit einem Unterrichtsgespräch zum Ausfüllen der Tabelle.
Gerade an dieser Stelle ließ sich an der Aufmerksamkeit, dem Meldeverhalten
und der Qualität der Beiträge feststellen, dass diese Phase bei den Schülern sehr
gut ankam. Besonders interessant war, dass auch Schüler mit dem Förderschwerpunkt
Lernen die Aufgaben den Überschriften zuordnen konnten und ein
relativ gutes Überblickswissen zeigten. Die Schüler waren in der Lage die Aufgaben
mit den in den Überschriften vorkommenden Begriffen zu vernetzen.
Somit wurden die innermathematischen Vernetzungen zwischen verschiedenen
Themenbereichen im Unterricht rückblickend explizit angesprochen und verdeutlicht.
Didaktische Prinzipien, mit denen man lange Zeit den Schwierigkeiten der lernschwächeren
Schüler im Mathematikunterricht zu begegnen versuchte, waren
das Vorgehen in kleinsten Schritten und ständiges mechanisierendes Wiederholen.
Dies führt nach Zech (1995, 19f) zur systematischen Überforderung hinsichtlich
der begrifflichen Verarbeitung und der Speicherung im Gedächtnis.
Durch die ausführliche Auswertung der Tabelle anhand der Beispiele wurden
die Schüler innerhalb einer Stunde mit verschiedenen Inhalten konfrontiert. Sie
bekommen eine Möglichkeit rückblickend Zusammenhänge zwischen verschiedenen
Inhalten zu erkennen. Somit wird die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass
auch schwächere Schüler Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Themen
erkennen.
Ein Aha-Erlebnis war für einige Schüler beispielsweise die Erkenntnis, dass
Terme und Geometrie durch die Formeln zur Berechnung von Volumen und
Flächeninhalt zusammenhängen. Diese Tatsache ist für einen Mathematiklehrer
selbstverständlich, es stellt aber für die Schüler in dem Moment eine überraschende
Erkenntnis dar, dass man die in der Vergangenheit behandelten mathematische
Themen in der Tat in dem zukünftigen Unterricht gebrauchen kann.
Expertenrunde: Aufgrund der in der Phase des Expertentrainings aufgetretenen
Schwierigkeiten mit der auf Mathematik bezogenen Kommunikation und der
Tatsache, dass viele Schüler häufig nicht im Unterricht anwesend waren, wurde
die Aufgabenstellung in der Expertenrunde an die Ausgangsbedingungen angepasst.
Die Schüler waren aufgefordert allein oder in der Gruppe eine Aufgabe zu
einem Tangram-Stein und dem Thema Körperberechnung zu entwickeln. Denn
nach dem Berliner Rahmenlehrplan vernetzt der mathematische Pflichtbereich
für die Klassenstufen 7/8 algebraische und geometrische Inhalte miteinander.
84

85
Swetlana Nordheimer
Erschwert waren die Rahmenbedingungen dadurch, dass zur Zeit der Expertenrunde
ein entscheidendes Spiel der Europameisterschaft in Fußball stattfand.
Die Schüler waren von dem Ausgang des Spiels sehr bewegt und hatten ein
starkes Bedürfnis, sich darüber im Unterricht auszutauschen. Trotzdem ist eine
auf mathematische Inhalte bezogene Kommunikation in der Expertenrunde
zustande gekommen.
So lässt sich an den folgenden handschriftlichen Aufzeichnungen erkennen, dass
die Schüler in der Tat zusammen gearbeitet haben.

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
Abb. 4: Kompetenztabelle
86

Abb. 5: Schüleraufgabe
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Swetlana Nordheimer
Die Aufgabenstellung der Aufgabe von Enrico und Steglitz (Abb. 5) besteht
darin ein Netz und den Oberflächeninhalt eines dreieckigen Steins mit gegebenen
Maßen zu berechnen. Mit dem „Dreieck“ meinen die Schüler hier ein Prisma
mit dreieckiger Grundfläche.
Andererseits sieht man, dass die Verwendung der Bezeichnungen „Dreieck“,
„Quadrat“ und „Parallelogramm“ für Tangram-Steine, die für diese Aufgabe als
geometrische Körper identifiziert werden müssen, die Schüler irritieren kann.
Weitere Aufgaben, die von den Schülern entwickelt worden sind:
Baran: Wie groß ist die Oberfläche des kleinen quadratischen Steins?
Alperen und Burak: Berechne das Volumen des großen dreieckigen Steins!
Enrico, Khodar, Stegliz und Elvis: Berechne die Oberfläche des großen dreieckigen
Steins! Zeichne das Netz dazu.
Gülay: Zeichne das Schrägbild des dreieckigen Prismas.
Mohammad, Amani, Tobias, Falk: Berechne das Volumen des Prismas mit der
Grundfläche, die die Form eines Parallelogramms hat.
Die Schüler variieren in der Wahl der geometrischen Körper, der gesuchten
Größe und der Fragestellung.

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
Plenum: Die von den Schülern entwickelten Aufgaben wurden von den jeweiligen
Gruppen bzw. einzelnen Schülern richtig gelöst. In der letzten Doppelstunde
bekam jeder Schüler die Möglichkeit, die eigenen Aufgaben und ihre Lösungen
an der Tafel zu präsentieren. Obwohl zum Ende des Schuljahres die Noten
nicht mehr geändert werden konnten, war jeder anwesende Schüler bestrebt die
eigene Aufgabe samt der Lösung an der Tafel zu präsentieren, was unter den
beschriebenen Bedingungen und Motivationsschwierigkeiten als Erfolg zu werten
ist, denn auf diese Weise konnte den Verhaltens- und Motivationsschwierigkeiten
der Schüler entgegengewirkt werden.
Abb. 6: Unsere Aufgabe
Abbildung 7: Meine Aufgabe
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89
Swetlana Nordheimer
Die Fotos zeigen einige Schüler bei der Präsentation von Lösungen der selbst
entwickelten Aufgaben. Gemeinsame Arbeit und Präsentation vernetzten nicht
nur Terme und geometrische Skizzen, sondern auch Schüler miteinander.
Es zeigte sich, dass die ursprünglich für das Gymnasium entwickelte Methode
mit Modifikationen an der integrierten Gesamtschule umgesetzt werden konnte.
Es wäre zu überlegen, wie die Schüler schon in der Phase des Expertentrainings
motiviert werden können, über Initialaufgaben zu kommunizieren. Eine Alternative
könnte in dem Anbieten der enaktiven Ebene zur Lösung der Initialaufgaben
bestehen.
Erprobung Gesamtschule 2009
In dem darauf folgenden Jahr wurden die GA- und FE-Kurse getrennt, so dass
leistungsschwächere und leistungsstärkere Schüler nicht mehr gemeinsam unterrichtet
wurden. Darüber hinaus haben einige Schüler die Schule verlassen. Der
GA-Kurs, in dem die Kapitelübergreifende Rückschau noch einmal erprobt
wurde, bestand aus sieben Schülern, darunter zwei Schüler mit dem Förderschwerpunkt
Lernen und ein Schüler, der letztes Jahr aus dem Integrationsstatus
mit dem Schwerpunkt Verhalten entlassen wurde. Aufgrund des Betriebspraktikums
standen für die Erprobung nur drei Unterrichtstunden zur Verfügung.
Auch in diesem Jahr wurde der ursprünglich für die Gymnasien entwickelte
Satz der Initialaufgaben an die Lerngruppe angepasst, indem die Anzahl
der Aufgaben von sechs auf drei reduziert wurde. Die Formulierungen der Aufgaben
wurden gekürzt und die Anzahl der Stufen in dem Pythagoras-Baum
reduziert. Im Hinblick auf die oben erwähnte Bedeutung des Beweises wurde
auch im GA-Kurs die Beweisfigur für den symmetrischen Spezialfall des Satzes
des Pythagoras als verbindendes Medium gewählt.
Vorbereitung: In der Einstiegsaufgabe wurden die Schüler zunächst aufgefordert
die Beweisfigur zu zeichnen und eigene Gedanken dazu aufzuschreiben
(siehe Ruf, Gallin 1999, Plackner 2010). Somit wurden Elemente des Beweisens
an den Anfang der wiederholenden Vernetzung gesetzt. In der 20-minütigen
Einzelarbeit und dem anschließendem auswertenden Unterrichtsgespräch ist es
den Schülern gelungen mit Hilfestellungen der Lehrerin und der Integrationspädagogin
die Figur zu zeichnen und sich an folgende Fakten zu erinnern:

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
• Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist gleich 180°.
• Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich.
• Satz des Pythagoras (wobei die Bezeichnungen der Seiten variabel sind)
• Die Winkel in dem konkreten Fall betragen 90° und 45°.
• In der Figur lassen sich zwei Trapeze erkennen.
• Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten.
• Es gilt der Höhensatz (Die Schüler wussten nicht mehr wie er zu formulieren
ist.)
• Man kann den Umfang und den Flächeninhalt der Figur berechnen.
Dadurch wurden ausgehend von dem Satz des Pythagoras verschiedene Inhalte
der Geometrie miteinander vernetzt und mit Hilfe der Lehrerin wiederholt.
Expertentraining: Die nächste Stunde wurde zum Lösen der Initialaufgaben
verwendet, wobei die ganze Lerngruppe in drei Gruppen eingeteilt war. Ein
Schüler mit dem Förderschwerpunkt Lernen konnte sich in keine der Gruppen
einordnen. Nach seinem Wunsch hat er in dieser Zeit individuelle Förderung
von der Integrationspädagogin bekommen. Die Einteilung der Gruppen und
Zuordnung der Aufgaben erfolgte durch die Mathematiklehrerin. Die Gruppen,
denen die Aufgaben 2 und 3 zugeordnet waren, konnten die Aufgaben während
der Stunde selbständig unter Zuhilfenahme von Lehrbüchern und ihren Aufzeichnungen
aus dem Unterricht bearbeiten und stellten einige wenige Fragen
an die Lernperson. Diese war im Wesentlichen damit beschäftigt die Gruppe mit
der Aufgabe 1 zu unterstützen. Offensichtlich war die Aufgabe für die Schüler
des GA-Kurses zu schwer. Es fiel ihnen schwer den Zusammenhang zwischen
den Flächeninhalten von Dreiecken und Quadraten und den Termen wie
a 2
4 oder a 2 zu sehen. Demzufolge konnten sie nicht selbständig einen Term
für den gesamten Flächeninhalt der Beweisfigur finden. Auch beim Lösen der
quadratischen Gleichung brauchten sie eine Unterstützung der Lehrerin, selbst
wenn sie die Formeln auswendig konnten. Somit zeigte sich erneut, dass die
Vernetzungen zwischen den geometrischen Figuren und ihren Beschreibungen
mit Termen für die leistungsschwächeren Schüler eine Herausforderung darstellt.
Selbständige Übersetzung von geometrischen Fragestellungen in die
Sprache der Algebra markiert vermutlich den Übergang zwischen den Anforderungsbereichen
(in dem Fall zwischen den Schülern der GA- und FE-Kurse).
Was nicht heißt, dass diese Art von Vernetzung auf dem Niveau überhaupt nicht
thematisiert werden kann. Mit Unterstützung der Lehrkraft können auch diese
Schüler Einblicke in die Thematik gewinnen.
90

Abb.8: Arbeitsblatt
91
Swetlana Nordheimer
Die Gruppe, die sich mit der Ähnlichkeit beschäftigt hatte, erweiterte die Figur
um eine weitere Stufe, wobei die von den Schülern gezeichneten Quadrate eher
nicht-quadratischen Rechtecken ähnelten. Die Schwierigkeiten ergaben sich

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
vermutlich aus der ungewöhnlichen Position der Quadrate, dessen Seiten nicht
wie es oft der Fall ist, parallel zu den Seitenrändern des karierten Blattes waren
(siehe Lambert 2006). Die Schüler produzierten eine Reihe von Vermutungen
und hatten sie mit Hilfe des Lehrbuchs fortgesetzt. Eine Vermutung lautete, dass
alle Quadrate ähnlich sind. Es wurde vermutet, dass Quadrate mit halb so langen
Seiten auch halb so kleine Winkel haben müssen. Dementsprechend sollten die
Winkel der Quadrate in der zweiten Stufe kleiner sein. Die Zeichnung widersprach
der Vermutung. Um das Problem zu lösen wandten sich die Schüler dem
Lehrbuch zu. Demnach sollten ähnliche Figuren in allen Winkeln übereinstimmen.
Das führte zu der nächsten Vermutung: Alle rechtwinkligen Dreiecke sind
ähnlich. Diese Hypothese traf für den Spezialfall zu. Daraufhin haben die Schüler
von der Lehrerin als Gegenbeispiel zwei rechtwinklige nicht-ähnliche Dreiecke
bekommen und mussten wieder im Buch nachschlagen. Abgeschlossen
wurde die Untersuchung mit dem schriftlichen Festhalten der Ähnlichkeitsmerkmale
für Dreiecke und farbigen Markieren der ähnlichen Figuren.
Die Gruppe, die sich mit der Stochastik befasste, wandte sich dem Hefter zu und
konnte selbständig die Aufgabe bearbeiten. Die Konstruktion der dritten Aufgabe
bezieht sich auf die Empfehlungen in dem Berliner Rahmenlehrplan zu dem
Pflichtbereich Längen und Flächen bestimmen und berechnen (P2-9/10). Den
nach der Beschreibung dieses Pflichtbereiches werden zusätzlich zu den algebraischen
Vernetzungen Bezüge zu den stochastischen Pflichtbereichen Mit dem
Zufall rechnen (P8-7/8) und Mit Wahrscheinlichkeiten rechnen (P8-9/10) vorgeschlagen.
Ausgehend von den Schätzungen des Flächeninhalts wurden von
den beiden Schülern dabei die Begriffe wiederholt und am Beispiel der Stichproben
mit und ohne Einbeziehung des Lehrers veranschaulicht. Die Berechnung
des gesamten Flächeninhaltes der Beweisfigur wurde nur am Rande angesprochen,
auch die Interpretation der einzelnen Werte kam zu kurz.
Die Erfahrungen mit den letzten beiden Gruppen zeigt, dass auch schwächere
Schüler in der Lage sind, selbständig Vernetzungen innerhalb von abgegrenzten
Gebieten mit Hilfe des Lehrbuchs herzustellen.
Plenum: In den nächsten Stunden wurden die Lösungen der Initialaufgaben von
den Schülern vorgetragen, besprochen sowie inhaltsbezogene Kompetenztabelle
(ähnlich aufgebaut wie in der Erprobung des Vorjahres) ausgefüllt. Interessant
ist, dass einige Schüler die Tabelle unaufgefordert bereits während der Auswertung
ausfüllten. Somit erhielten die Schüler die Möglichkeit die Inhalte rückblickend
miteinander zu vernetzen, indem sie ihren Mitschülern aufmerksam zuhörten.
92

Zusammenfassung
93
Swetlana Nordheimer
Aus dem Vergleich der vorliegenden Erprobungen lässt sich feststellen, dass die
Vorbereitungsphase in beiden Fällen erfolgreich verlaufen ist. Besonderes beim
ersten Mal konnten die Schüler durch ein enaktives Medium adäquat angesprochen
werden. Die Suche nach weiteren enaktive Medien als Ausgangspunkt für
die Vernetzung von Unterrichtsinhalten wäre somit eine wichtige Aufgabe für
weitere Untersuchungen. Bei der zweiten Erprobung wurde eine Zeichnung und
ein Spezialfall eines Beweises als verbindendes Element gewählt. Es wäre von
Vorteil die Beweisfigur auch auf der enaktiven Ebene zugänglich zu machen
und ggf. den Schülern auch rückblickend eine Möglichkeit zu geben die Beweisfigur
zu zerschneiden und zu kombinieren. Somit könnte eventuell der
Übergang zu der symbolischen Ebene erleichtert werden. Darüber hinaus kann
festgehalten werden, dass Elemente der Beweise oder Beweise von Spezialfällen
auch im Unterricht mit den schwächeren Schülern einen Beitrag zu Entstehung
von innermathematischen Vernetzungen leisten könnte.
Die innermathematisch formulierten Aufgaben für das Expertentraining der
zweiten Erprobung enthielten weniger Text. Somit waren diese für die Schüler
motivierender als die aus der ersten Erprobung. Reduktion der Realitätsbezüge
der Aufgaben bei der zweiten Erprobung zeigte keine negative Auswirkungen
auf die Motivation der Schüler. Die Auswertung der Aufgaben, mit Hilfe der
anhand des Inhaltsverzeichnisses erstellten Tabelle, hat sich in beiden Fällen für
die meisten Schüler als fruchtbar erwiesen und trug, wie das Meldeverhalten
zeigte, zur Entstehung von innermathematischen Vernetzungen einiger Schüler
bei.
Durch die selbständige Erstellung der Aufgaben bei der ersten Erprobung waren
die Schüler auch in der Plenumsphase viel motivierter als bei der zweiten Erprobung,
in der nur vorgegebene Aufgaben vorgestellt werden sollten. Es fiel
der Lehrerin jedoch schwer den Schülern das Erstellen der Aufgaben bei dem
begrenzten Zeitrahmen zuzutrauen.
Disziplin- und Anwesenheitsprobleme stellen an Gesamtschulen manchmal
einen Faktor dar, der Vernetzungen eher verhindert als fördert. Sind Schüler
körperlich oder geistig nicht im Unterricht anwesend, so entstehen große Wissenslücken.
Mit der Kapitelübergreifenden Rückschau können diese vermindert,
jedoch nicht ausgeschlossen werden. Das Zutrauen, größere Stoffgebiete gemeinsam
zu überblicken, sowie die Verlagerung der Verantwortung für die
Konstruktion der Vernetzungen in die Schülergruppen, steigern deutlich die
Motivation, gemeinsam nach Zusammenhängen in der Mathematik zu suchen.
Während beim Bearbeiten der vorgegebenen Aufgaben der passive Wortschatz
des Schülers berücksichtigt wird, kann beim Erstellen von eigenen Aufgaben

Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
der aktive Wortschatz gefördert werden. Hierin besteht eine Analogie zum
Sprachenlernen. Somit werden Schüler hinsichtlich der Fähigkeit gefördert,
Vernetzungen in der mathematischen Fachsprache zu beschreiben. Dadurch
lassen sich indirekt auch Modellierungsfähigkeiten verbessern.
Als Kritik muss hinzugefügt werden, dass es sich schon bei der Erstellung von
Initialaufgaben bemerkbar machte, dass es nicht einfach ist, Kontexte zu finden,
die verschiedene Kapitel des Schulbuchs auf eine natürliche Weise miteinander
verknüpfen. Vor allem beim Vernetzen von Geometrie und Stochastik macht
sich diese Schwierigkeit besonderes deutlich bemerkbar (siehe den Satz der
Initialaufgaben). Insofern gewinnen im Rahmen des Projektunterrichts (Ludwig
1998, Wörler 2010, Rupprecht 2010) thematisierte natürliche Kontexte für mathematische
Vernetzungen eine besondere Bedeutung. Aufgrund des angestrebten
Realitätsbezugs gehört Projektunterricht nicht zum Alltags-, sondern zu
einem Alternativprogramm des Mathematikunterrichts auf den allgemeinbildenden
Schulen. Deshalb ist nach weiteren Unterrichtsmethoden zu suchen, die
auch im Rahmen des in Stunden und Kapiteln gegliederten Alltagsunterrichts,
den Schülern Möglichkeiten bieten Inhalte künstlich oder natürlich zu vernetzen.
Somit könnte die innermathematische Vernetzung von mathematischen
Inhalten durch geometrische Einkleidung von stochastischen und algebraischen
Inhalten der Schulmathematik zur Förderung von mathematischen Basiskompetenzen
beitragen.
Die Rückschau hatte den Schülern bewusst gemacht, wie viel sie im vergangenen
Schuljahr gelernt haben und wie viel davon noch in Erinnerung geblieben
ist. Das war für das Lernen der Mathematik eine wichtige positive Verstärkung.
Berücksichtigt man die Lern- und Motivationsschwierigkeiten der Erprobungsklasse,
so besteht Grund zur Annahme, dass die empfohlene Unterrichtsmethode
im Zusammenhang mit anderen Ausgangsbedingungen der Schüler, anspruchsvollere
Ergebnisse liefern könnte. Deshalb erscheint es vorteilhaft sich mit der
Ausarbeitung von weiteren konkreten Unterrichtsbeispielen einschließlich der
Aufgaben und Modifikation der Methode der Kapitelübergreifenden Rückschau
zu beschäftigen.
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Swetlana Nordheimer
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Vernetzen mit Geometrie als Basiskompetenz
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Zech, F.(1995). Mathematik erklären und verstehen. Eine Methodik des Mathematikunterrichts
mit besonderer Berücksichtigung von lernschwachen Schülern und Alltagsnähe.
Berlin: Cornelsen
96

Die Weißblatterhebung – ein Instrument zur Erhebung des
Vorwissens von Kindern zu geometrischen Begriffen in der
Grundschule
Eva-Maria Plackner
Zusammenfassung. Das Erkennen, Benennen und Darstellen geometrischer Figuren ist
eine der wesentlichen geometrischen Kompetenzen, mit deren Erwerb bereits in der
Grundschule begonnen wird. Die von den Kindern bei der Begriffsbildung durchlaufenen
Zwischenphasen können beispielsweise durch Standortbestimmungen erhoben werden.
Als innovative Methode wurde die Weißblatterhebung erprobt. Ergebnisse dieser Erprobung
sind viel versprechend.
Einleitung
Spätestens seit der Aufnahme geometrischer Inhalte in Rahmenpläne und Richtlinien
der Grundschule in den 1970er Jahren ist es ist unbestritten, dass bereits
in der Grundschule nicht nur Rechenunterricht, sondern Mathematikunterricht
mitsamt geometrischen Inhalten erteilt wird. Die Konzeption dieses Unterrichts
sollte nach Franke (2000) kein enger, zeitlich vorgegebener Stoffplan sein, sondern
vielmehr Kernideen (Grundideen) ausweisen, die im Sinne des Spiralcurriculums
über alle vier Grundschulklassen und auch darüber hinaus durch treffende
Unterrichtsbeispiele verwirklicht werden könnten.
Geometrische Kernideen Grundschule
Ein solches Konzept zur Curriculumskonstruktion, das im Projekt „mathe 2000“
konkretisiert wurde, entwickelte WITTMANN, wobei er sich wesentlich auf folgende
sieben Grundideen (auch „fundamentale Ideen“) der Elementargeometrie
stützt (vgl. Wittmann, 1999):
Geometrische Formen und ihre Konstruktion: Geometrische Figuren und Körper
können auf unterschiedliche Weise erzeugt bzw. hergestellt und definiert
werden. Durch ihre jeweilige Konstruktion werden ihnen Eigenschaften aufgeprägt
(beispielsweise Erzeugung eines Würfels durch Zusammensetzung von
Plackner, E.-M. (2010). Die Weißblatterhebung – ein Instrument zur Erhebung
des Vorwissens von Kindern zu geometrischen begriffen in der Grundschule. In:
Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in der Geometrie,
Hildesheim: Franzbecker, S.97-108

Die Weißblatterhebung
sechs Quadraten). Durch Zusammensetzung einfacher Grundformen können
komplexere Konfigurationen gewonnen werden.
Operationen mit Formen: Geometrische Figuren und Körper können verlagert,
verkleinert oder vergrößert, auf eine Ebene projiziert, geschert, gestaucht oder
gedehnt, verzerrt, in Teile zerlegt oder zu komplexeren Gebilden zusammengesetzt
werden. Von besonderem Interesse dabei ist es, herauszufinden, welche
neuen Beziehungen entstehen und welche Eigenschaften bei den Operationen
erhalten bleiben oder sich in gesetzmäßiger Weise verändern.
Koordinaten: Koordinatensystemen können verwendet werden, um die Lage
von Punkten auf Linien, Flächen und im Raum mit Hilfe von Zahlen zu beschreiben.
Maße: Längen, Flächen- und Rauminhalte können nach Vorgabe von Maßeinheiten
gemessen werden.
Muster: Geometrische Formen und ihre Maße können so in Beziehung gesetzt
werden, dass geometrische Muster und Strukturen entstehen. Bereits auf inhaltlich-anschaulichem
Niveau können diese Muster und Strukturen sauber begründet
werden.
Formen in der Umwelt: Reale Gegenstände, Operationen an und mit diesen und
Beziehungen zwischen ihnen können mit Hilfe geometrischer Begriffe beschrieben
werden (z.B. Erde als (angenäherte) Kugel). Des Weiteren werden
durch technische Verfahren geometrische Formen hergestellt, die wiederum
bestimmten Zwecken genügen (z.B. Kugellager).
Geometrisierung: Sowohl raumgeometrische Sachverhalte als auch Zahlbeziehungen
und abstrakte Beziehungen können in die Sprache der Geometrie übersetzt
und geometrisch bearbeitet werden.
Ein alternatives Verständnis von Kernideen findet sich bei GALLIN und RUF, in
deren Konzept nicht die Mathematik oder ihre Verbindung zum alltäglichen
Denken im Mittelpunkt steht, sondern eher die subjektiven Zugänge der Kinder
als Ausgangspunkt dienen. Im Rahmen des Projekts „Lernen auf eigenen Wegen“
stellte sich beispielsweise die Frage, wie die Kinder die abstrakten Flächenmaße
mit persönlichen Erlebnissen in Verbindung bringen können. Kernideen
in diesem Verständnis dienen als Instrument, mit denen eine Verbindung
zwischen den Fragen der Lernenden und den Antworten des Fachgebietes hergestellt
werden kann. Für das Thema der Flächenberechnung wurde die wirksame
Kernidee „Platz haben und Platz brauchen“ generiert. Ausgangspunkt für
einen individualisierenden Unterricht war somit die Fragestellung, wie groß die
Fläche sein muss, damit sich ein Mensch an verschiedenen Orten, wie am Arbeitsplatz,
im Restaurant, im Bus oder im Wohnzimmer, wohl fühlt (vgl.
GALLIN/RUF 1998).
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Eva-Maria Plackner
Geometrische Kompetenzen in den Bildungsstandards für die Grundschule
Die Ausrichtung an mathematischen Leitideen findet sich auch wieder in den
bundesweit einheitlichen Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für
Mathematik für den Primarbereich, die zu Beginn des Schuljahres 2005/2006
verbindlich eingeführt wurden. Es werden darin, orientiert an einer Idee von
mathematischer Grundbildung, mathematische Kompetenzen beschrieben, die
von den Kindern am Ende des vierten Schuljahres in der Regel erreicht werden
sollen. In enger Verbindung mit den allgemeinen mathematischen Kompetenzen
(Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren, Modellieren und Darstellen)
stehen die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen, die sich auf fünf
mathematische Leitideen beziehen (Zahlen und Operationen; Raum und Form;
Muster und Strukturen; Größen und Messen; Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit).
In den weiteren Ausführungen der Kompetenzen zur geometrischen Leitidee
Raum und Form lassen sich Bezüge zu den oben dargestellten fundamentalen
Ideen der Geometrie von Wittmann erkennen: sich im Raum orientieren; geometrische
Figuren erkennen, benennen und darstellen; einfache geometrische
Abbildungen erkennen, benennen und darstellen; Flächen und Rauminhalte
vergleichen und messen (vgl. KMK, 2004).
Hinter der Teilkompetenz geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen
verbergen sich viele wesentliche Inhaltsbereiche des Geometrieunterrichts
an Grundschulen. Es sind damit nicht nur ebene Figuren sondern auch
räumliche Körper gemeint. Aus den in den Bildungsstandards ausgewiesenen
Beispielen lässt sich die Forderung ableiten, dass die gefragten geometrischen
Figuren nicht allein zu benennen und darzustellen sind. Es soll mit ihnen auch
operiert werden und es sollen Zusammenhänge zwischen den Formen gefunden
werden. Darüber hinaus soll nach ihrer Funktionalität gefragt werden. Dadurch
wird sowohl über die Zweckmäßigkeit geometrischer Formen kommuniziert als
auch argumentiert, warum einzelne Formen zweckmäßiger sind als andere.
Dabei werden die geometrischen Eigenschaften umgangssprachlich beschrieben
(vgl. Walther U.A., 2007, S. 124 f.).
Begriffsbildung im Geometrieunterricht der Grundschule
Begriffsbildung spielt in der Mathematik und auch im Geometrieunterricht eine
große Rolle. In der Grundschule stehen dabei weniger Definitionen im Mittelpunkt,
als vielmehr der Einbezug der Alltagserfahrungen der Kinder und eine
umgangssprachliche oder auch zeichnerische Beschreibung der Begriffe. Dieses
Einbeziehen der Umgangssprache zur Beschreibung geometrischer Begriffe ist

Die Weißblatterhebung
legitim und ermöglicht es den Kindern, diese neuen Begriffe in bereits bestehende
semantische Netze einzubinden und neue Wissensinhalte in Beziehung zu
ihrem bisherigen Wissen zu speichern. So entwickeln die Kinder im Laufe der
Zeit ihr Begriffssystem, indem sie durch vielfältige Aktivitäten, die sprachlich
begleitet werden, weitere Erfahrungen sammeln. In den dabei durchlaufenen
Zwischenphasen ist es möglich, eigene Bezeichnungen, die Assoziationen hervorrufen,
zu verwenden, Vergleichsobjekte heranzuziehen oder auch Merkmale
zu nennen, die für die Begriffsbildung nicht notwendig sind. Franke beschreibt
dazu, wie einige Kinder ein Quadrat zunächst als Viereck mit vier Seiten beschreiben:
„Wenn sie dann später erkennen, dass diese Seiten gleichlang, gegenüberliegende
Seiten parallel und benachbarte Seiten senkrecht zueinander sind,
ist der Begriff zwar überbestimmt, aber treffend beschrieben. So kann bei der
Begriffsbildung in einem Zwischenstadium richtig sein, was später als unzulänglich
erkannt wird.“ (Franke 2000, S. 83)
Dieser beschriebene Verlauf der Begriffsbildung deckt sich auch weitgehend
mit den von Vollrath beschriebenen Stufen des Begriffslernens, nach denen der
Begriff zunächst als Phänomen erfasst wird, bevor der Begriff dann als Träger
von Eigenschaften erkannt wird und schließlich zu einem Teil eines Beziehungsgefüges
wird (vgl. Vollrath 1984, S. 111f.). Diese Entwicklung des Begriffssystems
vollzieht sich nicht in stufig abgeschlossenen Stufen, sondern eher
im Sinne einer kontinuierlichen Horizonterweiterung, die sich für die einzelnen
Lernenden individuell unterschiedlich gestaltet. Die von den Kindern bei einer
Begriffsbildung durchlaufenen Zwischenphasen können auf unterschiedliche
Weisen erfasst werden. Einer der aktuellen Ansätze Lernstandserfassung in der
Mathematikdidaktik der Grundschule ist die so genannte Standortbestimmung.
Die Methode der Standortbestimmung
Standortbestimmungen sind eine Methode zur fokussierten Ermittlung von individuellen
Lernständen. Eingesetzt werden sie dafür an zentralen Punkten im
Lehr-/Lernprozess. Am Anfang einer längeren Sequenz zu einem Rahmenthema
(z.B. der Orientierung im Zahlenraum bis 100 oder der Multiplikation großer
Zahlen) kann durch eine Standortbestimmung das Vorwissen der Kinder ermittelt
werden. Führt man sie am Ende einer solchen Sequenz durch, so sind die
gewonnen Informationen vergleichbar mit denen bei einer klassischen Leistungsüberprüfung.
Am seltensten werden Standortbestimmungen während einer
Sequenz eingesetzt, wobei dieser Zeitpunkt für die Lernbegleitung der einzelnen
Kinder besonders fruchtbar wäre.
Eine Problematik der Praxis ist, dass Lehrpersonen die Standortbestimmungen
mit Klassenarbeiten oder Tests usw. gleichsetzen. Diese traditionell bekannten
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Eva-Maria Plackner
Leistungsüberprüfungen dienen dazu, am Ende einer Unterrichtssequenz die
Leistungen zu werten und eine Note zu vergeben. Im Gegensatz dazu erfüllen
die Standortbestimmungen eine Doppelfunktion.
• Die primäre Zielsetzung beim Einsatz von Standortbestimmungen für Lehrkräfte
ist das Gewinnen von strukturierten Informationen über die Kompetenzen
und auch Defizite der Kinder in der eigenen Klasse. Diese Informationen
können dann gezielt als Planungshilfe für den nachfolgenden Unterricht
genutzt werden. Zudem können sie die Grundlage für individuelle
Förderungsmaßnahmen sein.
• Die zweite Funktion, die Standortbestimmungen erfüllen und deren Bedeutung
nicht zu gering eingeschätzt werden darf, ist, dass auch die Kinder
selbst in zunehmendem Maße Transparenz über ihr eigenes Lernen, ihren
Sachstand und über die neuen Inhalte erhalten. Sie erhalten Einblick in das,
was gerade im Unterricht wichtig ist oder wird und wie gut sie persönlich
mit diesen gestellten Anforderungen umgehen können.
Um in einer Standortbestimmung tatsächlich strukturierte Informationen über
die Kompetenzen und Defizite der Kinder zu erhalten, müssen bei der Konzeption
der Standortbestimmung strukturierte Vorüberlegungen zum Aufbau derselben
stattfinden. Üblicherweise geht es dabei um Überlegungen, wie genau
welche Teilfähigkeiten erhoben werden sollen, in welcher Reihenfolge dies am
sinnvollsten geschieht, welche Aufgaben dafür geeignet sind etc. (vgl. Sundermann/Selter,
2006).
Aus den strukturierten Vorüberlegungen geht im Extremfall eine ganze Reihe an
einzelnen, meist eng gefassten und eher geschlossenen Teilaufgaben hervor, die
ähnlich wie einzelne Testitems auf unterschiedliche Teilkompetenzen abzielen
und diese einzeln abprüfen sollen. Die in einer Standortbestimmung verwendeten
Aufgabenstellungen können selbstverständlich auch einen größeren Grad an
Offenheit aufweisen. In den von Selter beschriebenen Aufgabendimensionen
findet sich neben dem Kriterium der Offenheit von Aufgabenstellungen auch
das Kriterium der Informativität der Aufgaben und das des Prozessbezugs. Mithilfe
dieser drei Kriterien können Aufgabenstellungen analysiert und kategorisiert
werden, wobei alle drei Dimensionen in unterschiedlicher Ausprägung
miteinander in einer Aufgabe kombiniert sein können. Bei einem Großteil der
Aufgaben, die traditionell zur Erfassung des Lernstandes eingesetzt werden,
handelt es sich aber um Aufgaben bei denen es ein eindeutiges Ergebnis zu
finden gilt (niedriger Grad an Informativität), der Lösungsweg kaum von Bedeutung
ist (niedriger Grad der Offenheit) und es stärker darum geht, Wissen
und Fertigkeiten abzuprüfen als prozessbezogene Kompetenzen, wie das Entdecken
oder das Darstellen (niedriger Grad des Prozessbezugs).

Die Weißblatterhebung
Das im Folgenden benutzte Instrument zur Standortbestimmung, die Weißblatterhebung,
ist eine hochgradig offene Form der schriftlichen Befragung. Den
Befragten wird nur ein einzelner Begriff oder auch ein Begriffspaar (z.B. „Quader“
oder „Würfel und Quader“) verbunden mit der Aufforderung, alles auf
einem leeren Blatt zu notieren, was man zu diesem Begriff (oder Begriffspaar)
weiß, vorgegeben.
Ausgangshypothesen und methodische Überlegungen
Durch die offene und weit gefasste Fragestellung wird das Denken deutlich
weniger eingeschränkt, als durch eine Vielzahl von enger gefassten Teilfragen,
die einzelne Begriffsaspekte abfragen. Es ist zu vermuten, dass durch die Fragestellung
keine Antworten suggeriert werden. Es ist außerdem anzunehmen, dass
die Kinderlösungen hohe Informativität gewährleisten. Neben dem reinen Wiedergeben
von Kenntnissen und Fertigkeiten werden auch prozessbezogene
Kompetenzen wie das Darstellen, Beschreiben und Argumentieren implizit
eingefordert.
Im Vorfeld der Untersuchung stellte sich bereits die Frage, ob und inwieweit
methodische Parametervariationen einen Einfluss auf die Antworten der Kinder
haben.
Auch wenn der Name der Weißblatterhebung möglicherweise die Verwendung
einer bestimmten Papiersorte impliziert, sind doch auch Variationen dieses
„weißen Blattes“ vorstellbar. So ist der Einsatz eines wirklich weißen und völlig
leeren Blanko-Papiers denkbar, ebenso wie die Verwendung des im Mathematikunterricht
eher üblichen karierten Papiers.
Auch die Formulierung des kurzen Arbeitsauftrags bietet trotz ihrer Prägnanz
noch einen gewissen Variationsspielraum. Neben der Formulierung „Schreibe
alles auf, was dir zu … in den Kopf kommt“ besteht auch die Möglichkeit den
Arbeitsauftrag um das Verb „male“ zu ergänzen und die Aufforderung „Schreibe
und male alles auf, was dir zu … in den Kopf kommt“ zu formulieren. Es
stellt sich die Frage ob dieser explizite Hinweis auf die Möglichkeit des Zeichnens
das Antwortveralten der Kinder beeinflusst, oder ob die geometrischen
Begriffe ohnehin zum Anfertigen von Zeichnungen anregen.
Design und Rahmenbedingungen der Untersuchung
In der im Folgenden beschriebenen explorativen Studie (n = 588) wurde die
Weißblatterhebung als Methode, d.h. als ein offenes Konzept der Standortbestimmung,
erprobt. Gleichzeitig konnte überprüft werden, inwiefern die Metho-
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103
Eva-Maria Plackner
de geeignet ist, das Vorwissen der Kinder zu geometrischen Begriffen zu erheben.
In 28 Schulklassen über alle vier Schuljahre hinweg wurden verschiedene
Parameter dieser Standortanalyse variiert und deren Auswirkungen auf das gezeigte
Wissen untersucht.
Die Auswahl der verwendeten Begriffe bzw. Begriffspaare, die als Ausgangsimpuls
gewählt wurden, orientierte sich am bayrischen Lehrplan für die Grundschule
und den darin für die einzelnen Jahrgangsstufen besonders relevanten
Begriffen. In den ersten beiden Schuljahren wurden geometrische Flächenformen
ausgewählt, in den beiden folgenden Jahrgangsstufen geometrische Körper.
Lediglich in der dritten Klasse wurde mit einem einzelnen Begriff gearbeitet, in
allen anderen Jahrgangsstufen wurden Begriffspaare ausgewählt:
1. Schuljahr: Dreieck und Viereck
2. Schuljahr: Rechteck und Quadrat
3. Schuljahr: Würfel
4. Schuljahr: Würfel und Quader
Um den Einfluss der methodischen Variationen auf die Antworten der Kinder
ausloten zu können wurde in einem Teil der Klassen mit kariertem Papier, in
einem anderen Teil der Klassen mit weißem Papier gearbeitet. Auch der ohnehin
schon knappe Arbeitsauftrag wurde geringfügig variiert. In der Hälfte der
Klassen war der Zusatz „und male“ im Arbeitsauftrag enthalten, in der anderen
Hälfte wurde darauf verzichtet, die Kinder explizit auf die Möglichkeit des
Zeichnens hinzuweisen. Lediglich in der ersten Klasse wurde auf diese Unterscheidung
verzichtet und allen Kindern gleichermaßen die Aufforderung zum
Malen mitgegeben, vor allem darum, weil die Studie in den ersten Wochen des
Schuljahres durchgeführt wurde und ein großer Teil der Erstklässler im Schriftspracherwerb
noch nicht weit genug war, um selbstständig einen aussagekräftigen
Text zu einem mathematischen Inhalt zu verfassen.
Bei der Durchführung der Standortbestimmung wurde darauf geachtet, dass den
Kindern außer den mündlich gegebenen Arbeitsaufträgen keine zusätzlichen
Hilfen gegeben wurden, die bereits mögliche Antworten impliziert hätten. Es
wurde lediglich darauf hingewiesen, dass man in dem Falle, dass man zu einem
Begriff gar nichts wisse, durchaus auch ein unbeschriebenes Blatt abgeben könne.
Dieser Hinweis ist gerade für die Kinder in der Erstbegegnung wichtig, da
sie durchweg noch keine Erfahrungen mit dem Instrument der Standortbestimmung
zur Erhebung des Vorwissens gemacht haben. Somit wird die nötige
Transparenz erreicht, hinsichtlich der Erwartungen, die durch diesen Arbeitsauftrag
an die Kinder gestellt werden. Es muss deutlich werden, dass es an dieser

Die Weißblatterhebung
Stelle um das ganz individuelle Vorwissen geht, das eventuell auch schlechthin
zu einem bestimmten Begriff nicht vorhanden sein kann, und nicht (wie sonst
eher üblich) um das Abprüfen von im Unterricht vermitteltem Wissen, das sich
eigentlich jeder aus der Klasse zu eigen gemacht haben sollte.
Ergebnisse der Exploration
Die an der Exploration beteiligten Kinder konnten die Aufgabenstellung trotz
ihres hohen Grades an Offenheit umsetzen und durchgängig ihre Antworten
schriftlich festhalten. Die so entstandenen Weißblätter wurden nach folgenden
Kriterien ausgewertet:
• Formalitäten und äußere Merkmale (z.B. Nutzung des Papiers, Anteil von
Text und Zeichnung,…)
• detailliertere inhaltliche Auswertung (z.B. Kategorisierung der Zeichnungen,
fachliche Korrektheit der verwendeten Fachtermini,…)
Ergebnisse nach Formalkriterien
Ein erstes formales Kriterium war die Nutzung des Blattes. Dabei zeigte sich,
dass kariertes Papier von 84 % der Kinder hochkant verwendet wurde, wohingegen
nur 61 % des weißen Papiers hochkant genutzt wurden und immerhin 39
% der weißen Blätter im Querformat.
Ein weiterer Aspekt der Blattnutzung war die Frage, inwieweit das Papier formatfüllend
oder nur teilweise beschrieben wurde. Dabei zeigte sich deutlich,
dass das weiße Papier eher dazu verleitete, formatfüllend zu arbeiten (76 %),
wohingegen das Verhältnis auf kariertem Papier eher ausgewogen war, allerdings
der Trend eher zu einer nur teilweisen Nutzung des Papiers ging (55 %
der Kinder, die auf kariertem Papier arbeiteten, verwendeten es nicht formatfüllend).
Auf beiden Papiersorten und auch unabhängig von der Formulierung der
Fragestellung verwendeten die Kinder eine Kombination aus einem Textteil mit
ergänzenden Zeichnungen. Lediglich in der ersten Klasse arbeitete ein relativ
großer Teil der Kinder ausschließlich mit Zeichnungen, nur 40 % der Erstklässlerinnen
und Erstklässler versahen diese mit kleinen Beschriftungen.
Bei den Zeichnungen in allen Jahrgangsstufen handelte es sich meist um reine
Freihandzeichnungen, wobei sich aber beobachten ließ, dass auf weißem Papier
das Lineal häufiger verwendet wurde, als auf kariertem.
Ergebnisse nach inhaltliche Kriterien
Eine erste Annäherung an die inhaltlichen Kriterien erfolgte über die Einteilung
der Antworten hinsichtlich des Kontextes in dem die Kinder die Fragestellung
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Eva-Maria Plackner
beantwortet hatten. Es wurden die Begriffe teilweise rein in Bezug auf die Alltagswelt
erläutert („Das Rechteg siet aus wie ein Geschnk.“), teilweise wurde
aber auch rein mathematisch argumentiert („Das Quadrat hat 4 gleich lange
Seiden. Das Rechteck hat 2 kurze Seiden und 2 lange Seiden, oder andersrum.“).
Meist wurde von den Kindern die Kombination aus beiden Herangehensweisen
gewählt („Das Rechteck sieht aus wie eine schmale Schuplade. Das
Quadrat ist so wie ein Spiegel mit vier gleich lange seiten.“). Am deutlichsten
war dieser Trend in der dritten Klasse zu beobachten, wo 82 % der Kinder ein
stark vom Spielwürfel geprägtes Verständnis des geometrischen Begriffs Würfel
aufwiesen, sie aber gleichzeitig auch aus mathematischer Sicht die Eigenschaften
des Körpers beschrieben. In der vierten Klasse war mit 62 % am stärksten
die rein mathematische Herangehensweise zu beobachten, bei der die Eigenschaften
von Würfel und Quader meist gegenübergestellt und dabei sowohl die
Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede dargestellt wurden.
Abb.1: Darstellung der Eigenschaften von Würfel und Quader
In einem weiteren Auswertungszyklus wurden dann getrennt voneinander die
Zeichnungen und auch die Texte hinsichtlich ihres Inhaltes und erstmals auch
im Hinblick auf ihre inhaltliche, mathematische Korrektheit betrachtet.
Bei der Kategorisierung der Zeichnungen auf den Weißblättern wurde zunächst
unterschieden, ob es sich bei der vorliegenden Bearbeitung eher um eine Zeichnung
oder ein Bild im Sinne der Kunst handelt, oder um eine Zeichnung, die
eher von der Mathematik her gedacht angefertigt wurde. Zu den Zeichnungen
mit künstlerischem Aspekt gehören gemalte Alltagsgegenstände als Repräsen-

Die Weißblatterhebung
tanten (z.B. eine Tafel als Rechteck oder eine Triangel als Dreieck), das Zeichnen
von angepassten Repräsentanten (z. B. dreieckige Tannenbäume oder verschiedene
„Quadertiere“), sowie das Zeichnen von personifizierten Repräsentanten
(z.B. Dreiecke mit Gesicht und Beinen).
Mit Abstand die häufigste Kategorie dabei war das Zeichnen von Alltagsgegenständen
als Repräsentanten, in der fast die Hälfte aller Kinder zu verorten ist,
die von der Kunst her kommend, etwas zu den Begriffen malten. Nur 1 % der
befragten Kinder zeichnete ohne einen erkennbaren Zusammenhang mit dem
Thema.
Abb. 2: Zeichnung mit personifizierten Repräsentanten für Dreieck und
Viereck
Die Zeichnungen der Kinder, die eher einer mathematischen Herangehensweise
zuzuschreiben sind, ließen sich in die folgenden drei Kategorien einteilen: das
Zeichnen von rein mathematischen Repräsentanten, das Zeichnen von Mustern
zum Thema und das Anführen eines zeichnerischen Gegenbeispiels. Diese letzte
Kategorie wurde zwar nur verhältnismäßig selten gewählt, aber dennoch gaben
3 % der Kinder (verteilt auf alle Jahrgangsstufen) Gegenbeispiele an. Über die
Hälfte der Kinder zeichneten rein mathematische Repräsentanten.
Abb. 3: Zeichnung von rein mathematischen Repräsentanten für Dreieck
und Viereck (mit besonderer Hervorhebung der Ecken in den beiden rechten
Figuren)
Analog zu der Einteilung der Zeichnungen ließen sich auch bei den Texten die
Kategorien in zwei Gruppen zusammenfassen. Auch hier gab es Texte, die rein
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Eva-Maria Plackner
in der Fachwissenschaft zu verorten sind und Texte, die eher affektive und
handlungsbezogene Aussagen zu den Begriffen beinhalten. Zu der zweiten
Gruppe gehört das Nennen von Alltagsgegenständen mit dazu passender Form
(die schriftliche Entsprechung zum Zeichnen von Alltagsgegenständen als Repräsentanten),
das Nennen von Einsatzmöglichkeiten (z.B. mit dem Würfel kann
gespielt werden, oder aus Quadern kann man etwas bauen), das Herstellen eines
persönlichen Bezugs und das Erwähnen von Vorerfahrungen durch das Herstellen
von Modellen. Besonders auffällig dabei war, dass insgesamt zwar nur relativ
selten von der Herstellung von Modellen berichtet wurde, dass es aber einige
Klassen gab, in denen z. B. im vorhergehenden Schuljahr ein Würfel gebastelt
wurde und in diesen Klassen fast alle Kinder darauf Bezug nahmen. Auch bei
den Texten hat nur 1 % der befragten Kinder ausschließlich Dinge ohne einen
erkennbaren Zusammenhang zum Thema geschrieben.
Zu den von der Mathematik her kommenden Kategorien gehören das Einordnen
der Begriffe zu den Oberbegriffen (geometrische Figuren / Körper; 3 %), das
Nennen von Gegenbeispielen (3 %), das Nennen von richtigen Eigenschaften
(66 %) und auch das Nennen von falschen Eigenschaften (12 %). Es lässt sich
feststellen, dass die Kinder in ihren Beschreibungen nicht auf einem rein umgangssprachlichen
Niveau bleiben, sondern durchaus Fachbegriffe einfließen
lassen. Dabei verwenden ganze 19 % der Kinder diese Fachbegriffe in ihrem
gesamten Text präzise und fehlerfrei.
Zusammenfassung der Ergebnisse und Ausblick
Die Ergebnisse zeigen, dass die Weißblatterhebung ein geeignetes Werkzeug
zur Standortbestimmung ist. Die Arbeiten der Kinder sind im hohen Maße aussagekräftig
in Bezug auf ihr derzeitiges Begriffsverständnis. Der offen gestellte
Arbeitsauftrag konnte sie als Impuls dazu veranlassen, relevante Eigenschaften
der Figuren und Körper zu beschreiben. Außerdem ließ sich in den sehr frei
produzierten Kindertexte und –zeichnungen ein erstaunlich hohes Maß an mathematisch
korrekt verwendeten Fachbegriffen feststellen. Die Kinder verwendeten
die Begriffe dabei aus eigenem Antrieb und nur sehr selten wurden sie
dabei falsch gebraucht.
Von großem Interesse sind auch die Ergebnisse in zwei 4. Klassen, in denen
kurz vor der Erhebung die thematisch zugehörige Geometriesequenz stattfand.
40 % der entsprechenden Weißblätter bildeten alle Lehrplanziele zum Thema
Quader und Würfel vollständig ab, weitere 50 % bildeten sie immerhin teilweise
ab. Das zeigt meines Erachtens eindrücklich, dass es nicht nötig ist, viele kleine
Einzelfragen zu stellen, um ein umfassendes Bild des Leistungsstandes der Kinder
zu einem Thema zu erhalten.

Die Weißblatterhebung
Die Ergebnisse geben zudem Handlungsanweisung für unterrichtlich zur Verfügung
gestellte Medien. Der Einsatz von Blanko-Papier im Gegensatz zum meist
üblichen karierten Papier erweist sich als vorteilhaft, da es zu einer Strukturierung
und Darstellung der schriftlich fixierten Gedanken anregt. Die Kompetenz
des Zeichnens mit Lineal kann beispielsweise durch Blanko-Papier besonders
gut gefördert werden, da ein weißes Blatt Papier viel stärker zur Verwendung
des Lineals anregt als das karierte Papier. Außerdem ließ sich bei der Arbeit auf
vollkommen weißem Papier ein kreativerer Umgang mit der Blattgestaltung
feststellen. Die Kinder verwendeten das Papier nicht so häufig traditionell hochkant
und schrieben nicht nur im oberen Teil des Blattes einige wenige Zeilen.
Stattdessen breiteten sie ihre Gedanken häufiger über die ganze Fläche aus, die
ihnen zur Verfügung stand und strukturierten dabei ihre Darstellungen deutlicher
und zugleich auch individueller.
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108

Biometrische Erkennungssysteme – Ein geeignetes geometrisches
Thema zur Vermittlung von Basiskompetenzen im Mathematikunterricht
Markus Ruppert
Zusammenfassung. Biometrische Erkennungssysteme halten immer mehr Einzug in
unseren Alltag. Die Grundprinzipien, die sich hinter der Funktionsweise, insbesondere
von Gesichtserkennungssystemen verbergen, liefern gute Möglichkeiten für geometrische
Modellierungsprobleme, bei denen auch neue Entwicklungen von dynamischer
Geometrie-Software, etwa die Integration eines Tabellenkalkulationsprogramms, ausgenutzt
werden können. Beschrieben wird anhand eines konkreten Projekts, welche Möglichkeiten
dieses Themenfeld bietet, ausgehend von geometrischen Problemstellungen
mathematische Basiskompetenzen zu vermitteln.
Biometrische Erkennungssysteme, wie sie in verschiedenen James Bond Filmen
(z. B. Diamantenfieber 1971, Sag niemals nie 1983, Stirb an einem anderen Tag
2002 oder Ein Quantum Trost 2008) vorkommen, sind in ihrer Entwicklung
über das Stadium der reinen Fiktion längst hinaus. Auch die Zeiten, in denen
Fingerabdruckdetektoren zum Schutz gesicherter Bereiche dem Bankenwesen
oder Gesichtserkennungssysteme zu Fahndungszwecken der Kriminalistik vorbehalten
waren, sind vorbei. Längst ist jeder neuere Laptop mit einem Fingerabdruckscanner
ausgestattet, der die Zugangsberechtigung des Benutzers überprüft
und in vielen Bereichen das Passwort ablöst. Nahezu jedes Bildverarbeitungs-
und Archivierungsprogramm verfügt indes über eine einfache Gesichtserkennungs-Software,
die das Sortieren von Bildern nach Personen erleichtern soll.
Mit anderen Worten: Biometrische Systeme sind Teil unseres Alltags geworden.
Im Folgenden werden zunächst knapp die Grundideen von biometrischen Erkennungssystemen
im Allgemeinen (vgl. hierzu Behrens 2001, Nolde 2002 und
Mihailescu/Weiss-Pidstrygach 2008) und von Gesichtserkennungssystemen im
Speziellen dargestellt (vgl. hierzu Dickich 2001), bevor ein Schülerprojekt vorgestellt
wird, bei dem von den Schülern ein Gesichtserkennungssystem entwickelt
wurde.
Ruppert, M. (2010). Biometrische Erkennungssysteme – Ein geeignetes geometrisches
Thema zur Vermittlung von Basiskompetenzen im Mathematikunterricht.
In: Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in der
Geometrie, Hildesheim: Franzbecker, S.109-124

Biometrische Erkennungssysteme
Funktionsweise biometrischer Erkennungssysteme
Warum biometrische Erkennung?
Im Gegensatz zu herkömmlichen Erkennungssystemen (wie etwa die Zugangssicherung
am Geldautomaten oder im Internet mit einer PIN-Nummer oder
einem Passwort), bei denen die Entscheidung über die Zugangsberechtigung
immer auf der Grundlage personenbezogener (und damit im Prinzip übertragbarer)
Merkmale geschieht, benutzen biometrische Sicherungssysteme grundsätzlich
personengebundene Merkmale.
Ein biometrisches Erkennungssystem kann auf zwei Arten betrieben werden:
Im Identifikationsmodus wird ein eingehender Datensatz mit allen Datensätzen
der im System befindlichen Personen verglichen, um die Identität einer bestimmten
Person herauszufinden (Anwendungsbereich: Kriminalistik).
Im Verifikationsmodus speist eine Person ihre Daten zusammen mit einer Behauptung
über ihre Identität in das System ein. Diese werden mit dem entsprechenden
in der Datenbank hinterlegten Datensatz verglichen – anschließend
wird ihre Identität bestätigt oder verneint und damit der Zugang zu einem gesicherten
Bereich gewährt oder abgelehnt (Anwendungsbereich: Bankenwesen).
Warum Gesichtserkennung?
Im Vergleich zur Erfassung anderer biometrischer Merkmale wie z. B. Fingerabdruck,
Augenabdruck, Sprache oder der DNA weist die Gesichtsgeometrie
einige entscheidende Vorteile auf:
• Natürlichkeit: Der Mensch ist es gewohnt, andere Personen an ihrem Gesicht
zu erkennen. Dies erleichtert zum einen die technische Umsetzung eines
solchen Systems, zum anderen kann bei Ausfall oder Versagen des Systems
auf diese Fähigkeit des Menschen zurückgegriffen werden.
• Berührungslosigkeit und Unaufdringlichkeit: Im Idealfall bemerkt die
betreffende Person die Zugangskontrolle überhaupt nicht. Dies erhöht die
Akzeptanz eines Zugangskontrollsystems erheblich. Die technische Umsetzung
ist hier jedoch noch nicht ausgereift.
• Vorhandene Infrastruktur: Es können z. B. Bilder bereits vorhandener Überwachungskameras
genutzt werden.
110

Wie funktioniert Gesichtserkennung?
111
Markus Ruppert
In der folgenden Abbildung wird schematisch dargestellt, wie prinzipiell ein
Datensatz in einem Gesichtserkennungssystem erfasst wird:
Abb. 1: Gesichtserkennung – Schematische Darstellung
Der wichtigste Schritt ist dabei, wie oben beschrieben, die Extraktion geeigneter
charakteristischer personengebundener Merkmale und deren Verarbeitung zu
einem Datensatz (Enrollment).
Es folgen der Datenvergleich mit der Datenbank und die Entscheidung über die
Zulassung zum gesicherten Bereich (Verifikation) oder die Identifikation der
Person (Abbildung 2).
Abb. 2: Datenbankabgleich - Schematische Darstellung

Biometrische Erkennungssysteme
Entwicklung eines Gesichtserkennungssystems als Schülerprojekt
Der Prozess der Identifikation bzw. Verifikation mit Hilfe eines Gesichtserkennungssystems
läuft also in fünf Teilschritten ab:
• Lokalisierung (Gesichtsfindung)
• Normalisierung
• Merkmalsextraktion
• Erzeugung eines Referenzdatensatzes
• Vergleich mit der Datenbank
Der technisch schwierigste Schritt ist dabei die Gesichtsfindung. Hier ist kein
Ansatz denkbar, der nicht eines erheblichen technischen Aufwands bedarf. Die
in professionellen Gesichtsfindungsprogrammen eingesetzte Methode des
template-matching (vgl. Behrens 2001; Dickich 2003) kann kaum mit schülergerechten
Hilfsmitteln umgesetzt werden. Für ein Schülerprojekt ist deshalb die
Beschränkung auf Portrait-Aufnahmen sinnvoll. Zum einen ist es auch für Portrait-Aufnahmen
noch schwierig genug die Vergleichbarkeit der Bilder zu gewährleisten
und zum anderen hat dies den zusätzlichen Vorteil, dass die auftretenden
Probleme beim Vergleich der extrahierten Merkmale (etwa durch Drehung
des Kopfs) nicht zu groß werden. Die Normalisierung der Aufnahmen,
sowie das Auffinden geeigneter charakteristischer Merkmale und deren Extraktion
bieten authentische Möglichkeiten zum forschenden und nacherfindenden
Lernen. Die Hürden, die bei der Entwicklung eines Gesichtserkennungssystems
im Rahmen eines Schülerprojekts auftreten, sind dabei vergleichbar mit den
Problemen professioneller Entwickler (Informationen der Firma Amrehn). Das
Anlegen einer Datenbank und die Entwicklung eines geeigneten Vergleichsalgorithmus
indes ermöglicht computergestütztes Arbeiten und lässt Verwirklichungen
auf verschiedenen Anwendungsniveaus zu. So lassen sich die Datenbank
und der Algorithmus einerseits mit Excel umsetzen, auf der anderen Seite
ist auch eine Umsetzung mit MySQL und php denkbar, wenn auf entsprechende
Kenntnisse aus dem Informatik-Unterricht zurückgegriffen werden kann. Im
Folgenden wird ein Projekt vorgestellt, das im Rahmen der Schülerprojekttage
am Institut für Mathematik und Informatik der Universität Würzburg durchgeführt
wurde. Es soll aufgezeigt werden, wie sich die Schüler die Grundprinzipien
eines Gesichtserkennungssystems und dessen geometrische Modellierung
erschließen, unter Verwendung dynamischer Geometriesoftware und mit dem
Einsatz von Datenbanksystemen ein eigenes Gesichtserkennungssystem entwickeln
und schließlich Strategien finden, dieses schrittweise zu verbessern.
Statt eines Berichts über den konkreten Projektverlauf soll an dieser Stelle die
Betrachtung der Schlüsselprobleme, die sich bei der Entwicklung eines Ge-
112

113
Markus Ruppert
sichtserkennungssystems ergeben, in den Mittelpunkt gestellt werden. Es sollen
insbesondere die inhaltsbezogenen Kompetenzen herausgestellt werden, die zur
Lösung der genannten Probleme erforderlich sind. Um zu verdeutlichen, wie
breit gestreut die Kompetenzbereiche sind, die durch das Thema angesprochen
werden können, erfolgt außerdem eine Zuordnung zu den in den KMK-
Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss formulierten Leitideen (L1
bis L5) des Mathematikunterrichts (KMK 2004). Es werden dabei auch allgemeine
mathematische Kompetenzen angesprochen, die im Rahmen der Projektarbeit
gefördert werden (KMK, K1 bis K6).
Allgemeine math. Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen
K1 Argumentieren L1 Zahl
K2 Problemlösen L2 Messen
Tabelle 1: Allgemeine Kompetenzen und Leitideen (verkürzt)
Problem 1: Vergleichbarkeit
(Subsumiert unter den Leitideen)
K3 Modellieren L3 Raum und Form
K4 Darstellungen verwenden L4 Funktionaler Zusammenhang
K5 Umgang mit symbolischen,
formalen, technischen Elementen
K6 Kommunizieren
L5 Daten und Zufall
Damit ein sinnvoller Vergleich eines eingehenden Datensatzes mit der Datenbank
stattfinden kann, muss die Vergleichbarkeit der Bilder gewährleistet sein.
So einfach dies formuliert ist, so schwierig ist hier eine Festlegung: Was bedeutet
„Vergleichbarkeit“?
Es ist keineswegs eindeutig, wie der Begriff der Vergleichbarkeit an dieser
Stelle zu definieren ist. Die Formulierung einer Arbeitsgrundlage ist das Ergebnis
mathematischer Argumentation - es muss ein Konsens in der Gruppe herbeigeführt
werden (K1: Argumentieren, K6: Kommunizieren). Im Rahmen dieser

Biometrische Erkennungssysteme
Diskussion muss die Problemstellung als geometrische Modellierungsaufgabe
erkannt werden (K3: Modellieren). Inhaltlich muss sich die Gruppe also mit
Fragen des Messens, insbesondere aber mit Standardisierungs- bzw. Normierungsfragen
auseinandersetzen (L2: Messen), also mit allgemeinen mathematischen
Konzepten von hoher Tragweite (man denke nur an die Betrachtung von
normierten Basen in der analytischen Geometrie, an die Bedeutung der Normierung
bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen und deren Anwendung im Zusammenhang
mit Lösungen der Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik). Das
Problem der Vergleichbarkeit von Fotografien muss im Rahmen der Modellierung
auf den Vergleich geometrischer Standardobjekte reduziert werden (L3:
Raum und Form).
Eine Möglichkeit die, Vergleichbarkeit der Fotografien zu gewährleisten, ist die
Standardisierung der Aufnahmebedingungen, d.h. es müssen z.B. die Abstände
beim Fotografieren sowie die Auflösung der Kamera genau festgelegt werden.
Außerdem müssen die „Fotomodelle“ um einen möglichst neutralen Gesichtsausdruck
gebeten werden – eine Vorgehensweise, wie sie ähnlich für die
Aufnahme von biometrischen Passbildern gewählt wird (vgl. Homepage der
Bundesdruckerei).
Eine andere Möglichkeit ist die Normierung eines bestimmten Abstandes innerhalb
der Gesichtsgeometrie (z. B. des Augenabstandes). Durch dieses Vorgehen
können unvermeidliche Ungenauigkeiten bei den Aufnahmebedingungen (z. B.
Abstand Fotoapparat – Fotomodell) zwar kompensiert werden, allerdings fällt
der Augenabstand als (möglicherweise ganz charakteristisches) Unterscheidungskriterium
weg und alle anderen Merkmale werden nun relativ zum Augenabstand
betrachtet.
Problem 2: Auffinden geeigneter Vergleichsmerkmale
An dieser Stelle ist eine Auseinandersetzung mit den Anforderungen an charakteristische
Merkmale im Rahmen eines biometrischen Erkennungsverfahrens
erforderlich. Im Zusammenhang mit der Gesichtserkennung sind die folgenden
Punkte von besonderem Interesse:
• Universalität
• Einzigartigkeit
• Permanenz
• Erfassbarkeit
Die entscheidende Idee ist also die Festlegung markanter Punkte, die man erwartet
in jedem Gesicht zu finden (z. B. Pupillen, Mundwinkel, Nasenspitze).
Deren gegenseitige Lage soll einerseits in verschiedenen Situationen möglichst
unveränderlich sein, andererseits aber die Einzigartigkeit der jeweiligen Ge-
114

115
Markus Ruppert
sichtsgeometrie möglichst gut widerspiegeln, um die Wahrscheinlichkeit einer
Wiedererkennung zu steigern.
Um einen Vergleich anstellen zu können, gilt es also zunächst die Lage der
markanten Punkte festzustellen. Dazu bedarf es allerdings einer Klärung, was
unter der „Lage markanter Punkte“ zu verstehen ist. Dies kann einerseits die
(absolute) Lage der Punkte in einem gedachten Koordinatensystem sein (vgl. A,
links). Andererseits kann aber auch die (relative) Lage der markanten Punkte
zueinander gemeint sein (vgl. A, rechts). Die Gruppe muss sich hier also mit
Fragen nach einer geeigneten Darstellung des Modells in einem
Koordinatensystem auseinandersetzen (L3, K4: Math. Darstellungen), um
entscheiden zu können, mit welchen Daten der Vergleich der Datensätze
letztlich stattfinden soll (K1, K6).
Das Erfassen der Gesichtsgeometrie in Form der relativen Lage markanter
Punkte liefert einen entscheidenden Vorteil: die Unabhängigkeit der Vergleich-
barkeit der Gesichter von der Position auf dem Bild ( Translations- und Rotationsinvarianz
innerhalb der Bildebene).
Die Frage, ob auch vorkommende Winkel in Abbildung 3 geeignete Merkmale
sind, die in den Vergleich mit einbezogen werden sollten, führt schnell auf Überlegungen
zu kongruenten Figuren und zugehörigen Kongruenzsätzen (L3).
Auf dieser Grundlage können sogar eigene Definitionen formuliert werden,
welche die Beschreibung der Situation vereinfachen:
Ein Netz von Punkten und Verbindungsstrecken heißt starr, wenn es durch
die Länge der Verbindungsstrecken bis auf Kongruenz eindeutig festgelegt
ist. (sinngemäße Formulierung eines Projektteilnehmers)
In diesem Sinne ist ein Dreieck mit fest vorgegebenen Seitenlängen nach dem
bekannten SSS-Kongruenzsatz ein starres ebenes Netz, ein Viereck mit vorgegebenen
Seitenlängen jedoch nicht. Das Merkmalsnetz in Abbildung 3 ist ebenfalls
starr. In einem starren Netz liefern demnach vorkommende Winkel keine
zusätzlichen Informationen über die Form des Netzes, sind also als zusätzlich zu
betrachtende Merkmale unbrauchbar und würden sogar eine ungewollte Gewichtung
bestimmter Bereiche liefern. (Natürlich müsste man nun auch
diskutieren, ob einige der gewählten Abstände in diesem Sinne überflüssig
sind.)

Biometrische Erkennungssysteme
Abb. 3: Absolute und relative Lage der markanten Punkte
Die Schüler lernen an dieser Stelle auf der Grundlage bekannter Kongruenzsätze
mathematisch zu argumentieren und Bewertungen vorzunehmen (L3, K1).
Problem 3: Datenextraktion, Anlegen einer Datenbank
Um die Merkmale in einer Datenbank speichern und letztlich miteinander vergleichen
zu können, müssen die geometrischen Daten zunächst in numerische
Daten umgewandelt werden. Hierbei kann die neue Version der dynamischen
Geometrie-Software GeoGebra mit einem integrierten Tabellenkalkulationsfenster
gute Dienste leisten. Die Koordinaten der Punkte können dynamisch in den
Abb. 4: Extraktion der Daten mit Geogebra
116

117
Markus Ruppert
Spalten des TKP dargestellt werden. Die Veränderung der Lage eines Punktes
im Geometriefenster bewirkt gleichzeitig eine Anpassung der Koordinaten im
TK-Fenster. So können die normierten Bilder als Hintergrundbilder eingefügt
und vermessen werden (Abbildung 4). Die Schüler müssen an dieser Stelle
planen, wie die Daten aus dem Koordinatensystem entnommen werden sollen
und wie technische Hilfsmittel in geeigneter Weise eingesetzt werden können,
um die Daten zur Weiterverwertung aufzubereiten (L3, L5: Daten und Zufall,
K5: Umgang mit technischen Elementen). Gemäß den obigen Überlegungen
müssen beispielsweise die absoluten Daten mit Hilfe des TKP in relative Daten
(Abstände) umgerechnet und in dieser Form in eine Datenbank eingespeist werden.
Im einfachsten Fall kann auch das Anlegen der Datenbank im TKP geschehen
(vgl. Abbildung 5), jedoch sind auch Lösungen mit relationalen Datenbanksystemen
wie etwa MySQL denkbar (im Rahmen der Projekttage wurde das
umgesetzt).
Abb. 5: Ausschnitt aus der Datenbank mit charakteristischen Merkmalen
Problem 4: Vergleich eines Datensatzes mit der Datenbank
Soll nun eine Verifikation oder eine Identifikation stattfinden, müssen aus dem
eingehenden Bild wiederum die festgelegten charakteristischen Merkmale extrahiert
werden. Anschließend findet der Vergleich des eingehenden Datensatzes
mit den Datensätzen aus der Datenbank statt. Es stellen sich also zunächst die
Fragen
• Wie können zwei Datensätze miteinander verglichen werden? (Verifikation)
• Wie kann ein eingehender Datensatz mit der gesamten Datenbank verglichen
werden? (Identifikation)
Insgesamt ist also eine Methode zu entwickeln, die es erlaubt, den Grad der
Übereinstimmung verschiedener Datensätze zu messen. Inhaltlich bedeutet das,
die Schüler müssen eine sinnvolle Definition für den „Abstand“ zweier Datensätze
finden. An dieser Stelle ist das Übersetzen einer Idee in die mathematische

Biometrische Erkennungssysteme
Formelsprache zwingend erforderlich, weil der Datenvergleich ja letztlich automatisiert
werden soll, also programmiert werden muss.
Interpretiert man Datensätze mit m Merkmalen als Vektoren in einem mdimensionalen
Vektorraum (über R), so lassen sich obige Überlegungen als
Suche nach einer passenden Metrik verstehen:
Mathematische Formulierung:
Eine Datenbank bestehe aus n Datensätzen mit jeweils m Merkmalen. Dann
bezeichnet mit und die Ausprägung des j-ten Merk-
mals im i-ten Datensatz. Der zur Person i gehörige Datensatz aus der Daten-
bank besteht also aus den Daten . Die Ausprägung des j-ten Merk-
mals beim eingehenden Datensatz werde mit bezeichnet.
Gesucht ist also zunächst eine Funktion
R m R, ,
die jedem Datensatz einen (nichtnegativen) Abstand vom eingehenden Da-
tensatz zuordnet.
Die Identität einer Person gilt dann als verifiziert, wenn der Abstand
des eingehenden Datensatzes vom zugehörigen Datensatz aus der Daten-
bank unterhalb einer vorher festgelegten Grenze bleibt, wenn also gilt:
Im Identifikationsmodus ist derjenige Datensatz gesucht, der vom eingehen-
den Datensatz den geringsten Abstand hat. Zu bestimmen ist also der Index
für den gilt:
Im Rahmen des hier vorgestellten Projekts entwickelten die Schüler als erste
naheliegende Ideen zur Bestimmung des Abstands zweier Datensätze und
die folgenden Funktionen
118
(Summe der Abweichungsquadrate)
(Summe der Abweichungsbeträge)

119
Markus Ruppert
Die Ergebnisse erster Testläufe waren jedoch in beiden Fällen ernüchternd: Bei
der Eingabe eines neuen Bildes ergaben sich praktisch keine Treffer, die Falschidentifikationsrate
(FIR, vgl. Mihailescu/Weiss-Pidstrygach, 2008 und Homepage
der Firma Bromba Biometrics) lag nahezu bei 100%. Im Rahmen einer ersten
Analyse wurde von den Schülern schnell die ungeschickte Wahl der Vergleichsfunktion
als Hauptursache für das unbefriedigende Ergebnis ausgemacht. Sind
nämlich für ein bestimmtes Merkmal j die Werte und klein im Vergleich
zu den anderen Merkmalsausprägungen, so fällt eine (relativ gesehen) große
Abweichung bei der Summenbildung trotzdem kaum ins Gewicht
gegenüber den anderen Abweichungen. Das Quadrieren bei der Summe der
Abweichungsquadrate vergrößert diesen Effekt sogar noch. Insgesamt bedeutet
das, dass Merkmale mit kleiner Ausprägung bei der Verwendung einer der beiden
obigen Vergleichsnormen praktisch keinen Niederschlag finden.
Bei der Entwicklung des Kernstücks eines jeden Gesichtserkennungssystems,
dem Vergleichsalgorithmus, müssen die Schüler also mit der numerischen Darstellung
der geometrischen Merkmale arbeiten (K4), wenn ein programmierbarer
funktionaler Zusammenhang zur Messung des Abstands zweier Datensätze
hergestellt werden soll (L2, L4: Funktionaler Zusammenhang). Um nun die
Qualität des Algorithmus bewerten zu können, müssen die einflussnehmenden
Größen und deren Gewicht identifiziert und beurteilt werden (L4, K1).
Problem 5: Verbesserungen des Systems
Liefern die ersten Testläufe kein zufriedenstellendes Ergebnis, müssen Möglichkeiten
erörtert werden, die zur Verbesserung des Erkennungssystems führen
können. An dieser Stelle kommen typische mathematische Strategien zum Einsatz.
Es geht dabei um die Beantwortung von Fragen wie: „Welche Vereinfachungen
lassen sich vornehmen?“, „Welche Modellannahmen waren zu grob?“,
„Wie können bestehende Verfahren optimiert werden?“ (K1, K2, K6)
Konkrete Ansätze, die beim betrachteten Projekt verfolgt wurden:
Verkleinerung der Datenbank
Um die Fehler- bzw. Erfolgsquote ihres Systems besser einschätzen zu können,
gingen die Schüler dazu über, ihre Verbesserungen zunächst an einer stark reduzierten
Datenbank (5 Datensätze) zu testen, um diese dann sukzessive zu vergrößern
und dabei die Entwicklung der Fehlerrate zu kontrollieren.
Bildung von Durchschnittswerten
Um kleine Abweichungen bei der Kopfhaltung und in der Mimik einer Person
mit im Datensatz zu berücksichtigen, fertigten die Schüler von jeder Person, die
in der Datenbank gespeichert werden sollte, drei Fotografien an und bildeten für

Biometrische Erkennungssysteme
den Referenzdatensatz schließlich von den ausgelesenen Daten jeweils einen
Mittelwert.
Verbesserung des Vergleichsalgorithmus
Das größte Potenzial zur Verringerung der Fehlerquote sahen die Schüler in der
Verbesserung der Vergleichsfunktion. Wie oben bereits beschrieben, erkannten
sie schnell die Nachteile einer Betrachtung von absoluten Abweichungen. Der
erste Schritt bei der Verbesserung des Vergleichsalgorithmus war deshalb der
Übergang zu relativen Abweichungen. Es wurden die beiden folgenden Vergleichsfunktionen
getestet (L4):
also die Summe der quadratischen relativen Abweichungen und die Summe der
relativen Abweichungsbeträge zwischen dem eingehenden Datensatz und
einem Referenzdatensatz .
Im Zuge der weiteren Diskussion wurde argumentiert, dass eine Abweichung
bei Merkmalen, die recht genau zu bestimmen und weitgehend unabhängig von
der Mimik sind (etwa der Augenabstand), stärker gewichtet werden müssen als
Abweichungen bei anderen Merkmalen. Auch dies wurde in der Abstandsfunktion
berücksichtigt (L4, L5):
Dabei wurden die Gewichtungsfaktoren von den Schülern festgelegt.
In einem letzten Schritt entwickelten die Schüler einen zweistufigen Algorithmus
(Konkurrentenalgorithmus). Dabei werden auf der Grundlage obiger Abstandsfunktion
zunächst die drei Datensätze mit dem geringsten Abstand zum
eingehenden Datensatz ermittelt. Anschließend werden die drei „Konkurrenzdatensätze“
auf ihre größten Abweichungen hin untersucht und daraufhin noch
einmal bei veränderter Gewichtung der Abweichungen mit dem eingehenden
Datensatz verglichen.
120

Berücksichtigung der Dreidimensionalität
121
Markus Ruppert
Eine weitere Idee der Schüler zur Verbesserung ihres Gesichtserkennungssystems
konnte aus Zeitgründen nicht mehr umgesetzt werden: Neben den bereits
gezeigten Portrait-Aufnahmen hielten die Schülerinnen und Schüler gleichzeitig
auch Profilaufnahmen aller Personen fest. Eine Auswertung dieser Aufnahmen
hätte eine Darstellung der markanten Punkte mit dreidimensionalen Koordinaten
erlaubt (vgl. Abbildung 7).
Diese Weiterentwicklung vom zwei- zum dreidimensionalen Modell liefert
vielversprechende neue Merkmale. Die Frage nach zusätzlichen Informationen
durch Winkelbetrachtungen ist neu zu diskutieren (K3, L3). Starre zweidimensionale
Netze, können ihre Starrheitseigenschaft, als Netze im Dreidimensionalen
betrachtet, verlieren (vgl. Abbildung 6). Winkel können dann zusätzliche
Informationen liefern.
Abb. 6: Starr als 2D-Netz, nicht aber als 3D-Netz
Abb.7: Absolute und relative Lage – Annäherung an eine räumliche Darstellung
Zusammenfassung
Die nachfolgende Tabelle macht in der Übersicht noch einmal deutlich, dass
durch die Behandlung des Themas „Biometrie“ im Geometrieunterricht sowohl
allgemeine mathematische Kompetenzen, als auch inhaltliche Kompetenzen

Biometrische Erkennungssysteme
gefordert und gefördert werden können (dabei wurde zusätzlich zu obigen Betrachtungen
angenommen, dass die Fähigkeit über mathematische Inhalte zu
kommunizieren in jeder Projektphase benötigt und gefördert wird).
Kompetenzen Allgemeine Inhaltsbezogene
Problem K1 K2 K3 K4 K5 K6 L1 L2 L3 L4 L5
1 x x x x
2 x x x x
3 x x x x
4 x x x x x
5 x x x x x x x
Tabelle 1: Der Erwerb von Kompetenzen im Rahmen des Projekts
Der Ausgangspunkt ist hierbei die geometrische Modellieraufgabe. Dies spiegelt
sich auch in der Tabelle wider, denn zur Bewältigung der Probleme 1 und 2
werden inhaltsbezogene Kompetenzen benötig, die sich den Leitideen mit geometrischem
Schwerpunkt zuordnen lassen. Im Projektverlauf stellte sich heraus,
dass auch Fähigkeiten aus anderen Inhaltsbereichen benötigt werden, um zu
einem Projektergebnis zu kommen.
Darüber hinaus werden durch dieses Projekt Fähigkeiten gefördert, die im
Kompetenzkatalog der KMK nur implizit enthalten sind oder keinen Niederschlag
finden:
• Teamfähigkeit, Kooperation: Ein zufriedenstellendes Projektergebnis kann
nur erzielt werden, wenn die einzelnen Projektgruppen jeweils ihren Beitrag
leisten. Dadurch entsteht eine hohe Identifikation mit dem Produkt und der
Gruppe.
• Schöpferisches Tun, Kreativität: Die Schüler stellen ein Produkt her, bei dem
nur die geforderte Funktionalität vorher festgelegt ist – der Weg zu deren
Verwirklichung wird von den Schülern selbst gewählt. Dabei bieten sich viele
Möglichkeiten kreative Ideen einzubringen (Auswahl charakteristischer
Merkmale, Entwicklung des Vergleichsalgorithmus).
• Umgang mit Misserfolgserlebnissen, Kritikfähigkeit: Die Beherrschung der
Fehlerraten erfordert eine kritische Reflexion der eigenen Vorgehensweise.
122

123
Markus Ruppert
• Steigerung intrinsischer Motivation durch Erfolgserlebnisse: Auch eine
schwächere Schülergruppe kann ein Projektergebnis mit akzeptablen Falschidentifikationsraten
erzielen. Ein Vergleich mit den Kenngrößen realer Erkennungssysteme
kann hier helfen den Erfolg zu beurteilen.
Natürlich muss berücksichtigt werden, dass das hier vorgestellte Projekt mit
einer kleinen Gruppe besonders begabter und motivierter Schüler durchgeführt
wurde. Im Rahmen der Würzburger „Projekttage“ hatten die Schüler mehrere
Tage Zeit, sich intensiv mit der Themenstellung auseinanderzusetzen. Für die
Umsetzung des Projekts mit einer größeren, weniger homogenen Schülergruppe
in einem knapper bemessenen Zeitrahmen bieten sich die folgenden
Möglichkeiten:
• Der Auftrag an die „Entwickler“ kann stärker eingegrenzt werden. Beispielsweise
die Arbeit mit Portrait-Aufnahmen kann bereits in der Auftragsstellung
vorgegeben sein.
• Die erforderlichen Entwicklungsphasen können durch die Zerlegung in
„Teilaufträge“ vorgegeben werden (Herstellen geeigneter Aufnahmen, Finden
charakteristischer Merkmale, Auslesen der Daten, etc.). Dadurch geht
zwar die Diskussion innerhalb der Projektgruppe über die grundsätzliche
Vorgehensweise etwas verloren, die inhaltlichen Diskussionen bezüglich der
eigentlichen Modellierung müssen aber trotzdem geführt werden.
• Es muss nicht ein Gesichtserkennungssystem entstehen. Das Entwickeln von
mehreren „Konkurrenzprodukten“ durch voneinander unabhängige Projektgruppen
bietet einerseits die Möglichkeit, bezüglich der verwendeten Werkzeuge
und der vorhandenen Vorkenntnisse zu differenzieren, andererseits
können abschließend verschiedene Produkte und Verfahren vorgestellt, miteinander
verglichen und diskutiert werden.
• Die technischen Hilfsmittel können vorgegeben werden. Die Lehrkraft kann
hier auf das Vorwissen der Schüler angepasste Werkzeuge zur Verfügung
stellen, ohne die inhaltlichen Anforderungen der Problemstellung wesentlich
zu verändern. So könnte z. B. die Struktur der Datenbank inklusive einer
Ein- und Ausgabemaske vorgegeben werden – die wertvolle Diskussion um
charakteristische Merkmale und eine geeignete Vergleichsfunktion muss
trotzdem geführt werden.
Abschließend bleibt noch festzuhalten, dass das vorgestellte Projekt Grunderfahrungen
ermöglicht, die im Sinne H. Winters einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht
charakterisieren. Bei der Entwicklung eines Gesichtserkennungssystems
lernen die Schüler die Mathematik als „nützliche, brauchbare
Disziplin“ kennen und erfahren an einem lebensnahen Kontext, wie „mathematische
Modellbildung funktioniert und welche Art von Aufklärung durch sie
zustande kommen kann“ (Winter, 2003, S.7). Sie lernen die Begriffs- und Re-

Biometrische Erkennungssysteme
gelbildung innerhalb der Mathematik und die dadurch entstehende Architektur
als „geistige Schöpfung, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art“ (ebda)
und als zuverlässige Grundlage für eine kreative und erschaffende Arbeitsweise
kennen. Sie erwerben im Umgang mit der Problemstellung „Problemlösefähigkeiten
(heuristische Fähigkeiten), die über die Mathematik hinausgehen“ (ebda).
Literatur
Behrens, M.. (2001). Biometrische Identifikation. Braunschweig: Vieweg.
Dikich, E. (2003). Verfahren zur automatischen Gesichtserkennung. Berlin: Logos.
Kultusministerkonferenz (KMK, 2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den
mittleren Schulabschluss. München
Mihailescu, P., Weiss-Pidstrygach, Y.(2008). Muster in der biometrischen Identifikation.
In: Praxis der Mathematik in der Schule, Jg. 50, H. 23, S. 40-45.
Nolde, V. (2002). Biometrische Verfahren. Köln: Deutscher Wirtschaftsdienst.
Winter, H. (2003) Mathematik und Allgemeinbildung. In: Henn, H.-W. et al., Materialien
für einen Realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker.
www.bundesdruckerei.de/de/service/service_buerger/index.html
(Homepage der Bundesdruckerei – Informationen zu biometrischen Passbildern)
www.bromba.com/knowhowd.htm
(Homepage der Firma Bromba Biometrics)
124

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
geometrische Zusammenhänge erkennen & weiterentwickeln
Jan Wörler
Zusammenfassung: »Primzahlenbild 1-9216«, »Farbfraktal«, »Fibonacci-Reihe« –
bereits die Titel vieler Werke der Konkreten Kunst verweisen darauf, dass eine besonders
enge Verbindung dieser Kunstgattung zur Mathematik besteht. Die Verbindungen aufzudecken,
zu untersuchen und dynamisch weiter zu entwickeln erfordert eine Vielzahl
mathematischer Fähigkeiten. Im Artikel wird neben theoretischen Aspekten auch die
praktische Umsetzung im Rahmen einer Schülerprojektwoche beleuchtet.
Was ist »Konkrete Kunst«?
»Konkrete Kunst« ist eine spezielle Kunstgattung, die sich im frühen 20. Jh. aus
den Gattungen Suprematismus und Kubismus entwickelte. Ihre Vorreiter gingen
noch von realen Situationen, wie etwa von Landschaften oder Stillleben aus und
abstrahierten sie z. T. so stark, dass nur wenige geometrische Formen oder
symbolische Inhalte übrig blieben. Die Künstler der Konkreten Kunst gingen
einen Schritt weiter, indem sie jeglichen Bezug zur Natur oder realen
Gegenständen aufgaben und stattdessen die Wirkung von Farben und Formen
ins Zentrum ihres Schaffens stellten. Konkrete Kunst ist also nicht abstrakt; sie
will nichts anderes darstellen, als die Mittel aus denen sie gemacht ist, also
Farbe, Form und deren Zusammenspiel.
Ein strenges Manifest, das im April des Jahres 1930 durch den Niederländer
Theo van Doesburg verfasst wurde und in der Zeitschrift »Art Concret«
erschien, legt dabei fest, was erlaubt ist und was nicht. Danach müssen die
Werke klar, nachprüfbar und universell sein. Um das zu erfüllen ist es
notwendig, die Werke nicht wie früher schrittweise zu entwickeln
(»Komposition«), sondern ihren Aufbau von vornherein zu planen
(»Konstruktion«); zu jedem Werk der Konkreten Kunst existiert also eine Art
Bauplan.
Die Postulate führen ferner nahezu zwingend auf die Sprache der Mathematik,
aus der sich – etwa nach den Regeln der Kombinatorik, des Zufalls, spezieller
Zahlenfolgen oder aber geometrischer Abbildungen (Spiegelungen, Drehungen,
Inversion,...) – Konstruktionsschemata ableiten. Demnach ist Mathematik ein
zentrales Hilfsmittel beim Entwickeln und Erschaffen Konkreter Kunst.
Wörler, J. (2010).Konkrete Kunst im Schülerprojekt- geometrische Zusammenhänge
erkennen und weiterentwickeln. In: Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.)
(2010). Basiskompetenzen in der Geometrie, Hildesheim: Franzbecker, S. 125-
142

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Die Forderung nach »Überprüfbarkeit« sichert schließlich dem (geneigten)
Betrachter zu, die mathematischen Konstruktionsprinzipien in den Werken
nachvollziehen und nacherleben zu können – ein Aspekt, der die Konkrete
Kunst für den Mathematikunterricht besonders interessant macht.
Konkrete Kunst & Geometrie
Die Verbindung zwischen Konkreter Kunst und Geometrie ist von zweierlei
Natur: Zum einen dienen geometrische Formen, wie etwa Rechtecke und Kreise
als Ganzes oder aber in Teilen als Bildgegenstände. Der deutsche Künstler Josef
Albers (1888-1976) untersuchte z. B. über Jahrzehnte hinweg die Wirkung von
Farben auf den Betrachter und die Umwelt, indem er die immer gleiche
Konstruktion vierer ineinander geschachtelter Quadrate in verschiedensten
Farbkombinationen ausführte; so entstand seine berühmte Serie »Hommage to
the Square«.
Abb. 1: Quadrat als Motiv – schematischer Aufbau eines Werkes
aus Albers' »Serie Hommage to the Square«.
Der andere Aspekt betrifft ein spezielles, geometrisches Konstruktionsverfahren,
das bei vielen Konkreten Künstlern zur Erstellung ihrer Werke
Verwendung findet. Dafür wird eine geometrische Grundform ausgewählt (in
den meisten Fällen ein Quadrat), die als atomarer Baustein der
Werkskonstruktion dient. Aus ihr wird durch einfaches Aneinanderlegen oder
andere geometrische Abbildungen (Translation, Rotation, zentrische Streckung,
Spiegelungen, Permutation) das gesamte Werk aufgebaut.
Exemplarisch sei unter diesem Aspekt auf das Œuvre von Heijo Hangen
(*1927) verwiesen: Er wählt als Grundform ein Sechseck, das er durch die
Zerlegung eines Quadrates in zwei kongruente Teile erhält; die Parkettierungseigenschaft
des Quadrates überträgt sich dabei auf die abgeleitete Form.
126

127
Jan Wörler
Abb. 2 li.: Heijo Hangen leitet aus einem Quadrat ein Sechseck
(Schraffierung) ab; es dient als Grundbaustein für seine Bilder. re.:
Schematischer Aufbau zu »Bild-Nr. 7638«.
Hangen verwendet in seiner Serie Zeitversetzte Bildkombination über Jahre
hinweg ausschließlich die selbe Grundform. Damit werden die einzelnen Werke
problemlos kombinierbar – auch wenn zwischen ihrer Entstehung viele Jahre
liegen.
Konkrete Kunst als Projekt der Sek I und Sek II
Die bisher vereinzelt existierenden Konzepte zur Betrachtung Konkreter Kunst
im Mathematikunterricht richten sich vor allem an die Primar- und Unterstufe
(vgl. etwa Rademakers 2005 oder Maak 2006). Die Kunstwerke dieser Gattung
bieten aber – bei entsprechender Auswahl und Intensität der Betrachtung – ein
derart reichhaltiges Spektrum mathematischer Themen (etwa: Daten & Zufall,
Kombinatorik, Zahlenfolgen, Fraktale Geometrie, höherdimensionale
analytische Geometrie, Inversion am Kreis,...), dass sich auch genügend
Anknüpfungspunkte für die Mittel- und Oberstufe finden lassen.
Das hier vorgestellte Projekt wurde daher für Oberstufenschülerinnen und
schüler vorbereitet und in der »Schülerprojektwoche 2009« der Fakultät für
Mathematik und Informatik an der Universität Würzburg durchgeführt. Ziel des
Projektes war es, einzelne Werke unter mathematischen Gesichtspunkten zu
untersuchen, die Bildkonstruktionen zu entschlüsseln und die gefundenen
Zusammenhänge zu diskutieren. Dafür sind zum einen Kenntnisse aus
verschiedenen Bereichen der Mathematik und entsprechender Darstellungsformen
erforderlich, zum anderen aber auch Fähigkeiten wie Argumentieren,
Beweisen und Modellieren (siehe dazu: Wörler 2009).
Anhand zweier Werke der Konkreten Kunst werden im Folgenden einige (Teil)-
Ergebnisse des Projekts, die in besonderem Bezug zum Themenfeld der
Geometrie stehen, beleuchtet.

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Geometrische Abbildungen bei Camille Graeser
Die Werke von Camille Graeser (1892-1980) erzählen oft kleine Geschichten,
wecken Assoziationen: hier scheint eine Form verrutscht worden zu sein, dort
ein Quadrat zur Seite zu kippen.
Abb. 3: Nachkonstruktion der »Translokation B« von Camille Graeser
Und so drängt sich auch in seinem Bild »Translokation B« die Vermutung auf,
das rote Quadrat sei aus der Reihe der bunten Quadrate oben herausgefallen und
hinge nun mit einer Ecke nach unten vor dem gelben Hintergrund.
Der Konstruktionsplan ist in diesem Falle leicht ersichtlich: Das Bild ist mit
einem Raster von 4 mal 4 Quadraten gleicher Größe überzogen. In der ersten
Zeile des Rasters sind drei der vier Quadrate farbig vom Hintergrund
abgehoben. Der Mittelpunkt des herausgefallenen Quadrats liegt genau auf
einem der Gitterpunkte.
Abb. 4: Schemazeichnung des Werkes »Translokation B«
Und doch bleibt die Frage: Wie könnte man das rote Quadrat auf den freien
Platz in der oberen Reihe (zurück-)bewegen?
Einige Teilnehmer der Projektgruppe schneiden die Bauteile aus Papier aus und
legen Sie wie Puzzleteile vor sich. Sie kommen schnell zum Ergebnis: Das rote
Quadrat wird ‚nach oben‘ verschoben und dabei in die richtige Position gedreht.
Aber wie lässt sich diese Bewegung mit mathematischen Mitteln beschreiben?
128

129
Jan Wörler
Ist die Lösung eindeutig? Gibt es besonders elegante Lösungen, etwa solche, die
mit möglichst wenigen Schritten auskommen?
Andere Schülerinnen und Schüler nutzen den Computer um mit Hilfe von DGS
das Auffinden, Formulieren und Überprüfen von vermuteten Zusammenhängen
zu unterstützen: sie konstruieren die relevanten Bildelemente am Computer nach
und suchen experimentell oder theoriegeleitet nach Antworten auf die Fragen
(vgl. Roth 2007 und http://www.juergen-roth.de/dynageo/kunst/kunst01.html).
Lösung I: Spiegelung
Neben der Lösung »Drehung o Verschiebung« gibt es auch die Möglichkeit,
ausschließlich Achsenspiegelungen zu betrachten: Zuerst spiegelt man dabei das
herausgefallene Quadrat z. B. an einer Achse so, dass eine seiner Seiten parallel
zum Gitterraster zu liegen kommt und setzt es dann mit einer zweiten
Spiegelung nach oben an den richtigen Platz:
Abb. 5: Zwei Achsenspiegelungen bringen das herausgefallene Quadrat an
seinen ursprünglichen Platz zurück.

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Die Projektgruppe findet immer wieder neue Paare von je zwei
Achsenspiegelung, die hintereinander ausgeführt ein Abbild des Quadrates an
den richtigen Platz bringen. Die Lösungen werden als Screenshots gesammelt
und per Beamer diskutiert. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede
bestehen zwischen diesen Paaren? Die Antwort ergibt sich aus dem zweiten
Lösungsweg.
Lösung II: Drehung
Einige der Lösungen legen die Annahme nahe, es könnte im Hinblick auf die
Anzahl der Teilschritte eleganter sein, die zwei Achsenspiegelungen durch eine
einzige Drehung zu ersetzen. Doch wo ist der Drehpunkt? Und um welchen
Winkel muss man das Quadrat drehen? Bei der Lösungsfindung kann
experimentelles Arbeiten mit DGS zum Einstieg hilfreich sein. Schnell werden
so die Schnittpunkte der Spiegelachsen (s. o.) als Drehpunkte identifiziert.
Allerdings ist auch hier die Lösung nicht eindeutig – eine Tatsache, die von
Schülerinnen und Schülern in Mathematik nicht oft nicht erwartet wird, aber
gerade deswegen zum Nachdenken, Argumentieren und Beweisen anregen
kann.
In der beschriebenen Projektgruppe werden zunächst drei Drehpunkte
herausgearbeitet, um die das Quadrat mit 45°, 135° bzw. 225° gedreht werden
muss. Die Vermutung, es könne »so weiter gehen« und »alle 90° weitere
Drehpunkte geben« erhärtet sich, als durch Probieren ein Drehpunkt für den
Drehwinkel 315° entdeckt wird. Eine Regelhaftigkeit vermutend (»Die
Abstände folgen vielleicht einer e-Funktion!«), beginnt die Suche nach dem
nächsten, dem fünften Drehpunkt – den man schließlich auch gefunden zu
haben glaubt. Einige Zweifler aber entfachen eine heftige Diskussion, ob es sich
wirklich um einen neuen Punkt handelt oder aber ein bereits vorhandener Punkt
wiedergefunden worden sei. Gibt es unendlich viele solcher Drehpunkte? Und
wenn nicht: wie viele sind es? Was zunächst experimentell erkundet wurde,
schlägt daraufhin in eine systematische Untersuchung um: Wie kann man die
Drehpunkte konstruieren? Wie hängt die Lage der Punkte mit den Drehwinkeln
zusammen?
Solche und ähnliche Fragen führen schließlich auch auf die durch einen Beweis
gesicherte Gewissheit: es gibt genau vier Drehpunkte.
130

Abb. 6: Wird das rote Quadrat um 45° um den Punkt S gedreht,
dann kommt es in der oberen Reihe zum liegen.
Abb. 7: Das Quadrat kann aber auch durch Drehung um 135°
um den Punkt U zurück bewegt werden.
131
Jan Wörler

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Karl Gerstner & Beweisen in der Geometrie
Ein Zitat des Künstlers Karl Gerstner (*1930) zu einer seiner Werksserien zeigt
paradigmatisch, wie eng Konkretes Schaffen an mathematische Theorien
gekoppelt sein kann:
»Im Laufe der Arbeit hatte ich [...] neue Möglichkeiten entdeckt, die
vielversprechend waren, aber nie zu befriedigenden Ergebnissen führten.
Dann kam mit dem Buch von Benoit Mandelbrot The Fractal Geometry of
Nature die Idee des Fraktalen wie ein Donnerschlag auf. Das war, wonach
ich vergeblich gesucht hatte: die ewig gleiche Struktur in verschiedenen
Maßstäben.« (Karl Gerstner, 2006. In: Romain & Bluemler 2006).
Abb. 8: Inhomogene Kreispackung; sie gibt das Thema
in Karl Gerstner Werk »Farbfraktal [...]« vor.
Seinem Werk Farbfraktal aus der Serie Hommage an Benoît Mandelbrot legt
Gerstner eine spezielle Kreispackung zu Grunde. Es ist durch seinen Bezug zur
fraktalen Geometrie zweifellos eines der mathematisch anspruchsvolleren
Werke, seine Konstruktion im Detail hochkomplex. Beschränkt man sich bei der
Analyse des Werkes allerdings zunächst nur auf gröbere Strukturen, so lässt sich
der Aufbau mit einfachen geometrischen Mitteln entschlüsseln und beschreiben.
Im Hinblick auf inhomogene Schülergruppen bietet die schrittweise Zunahme
der Komplexität in der Nachkonstruktion gute Möglichkeiten zur Binnendifferenzierung.
Stufe I: Drei sich berührende Kreise
Untersucht man das Werk hinsichtlich seiner Konstruktion, so ist die Kenntnis
der Mandelbrot'schen Theorie zunächst nicht erforderlich. Es handelt sich um
einen großen Kreis, dem weitere kleinere Kreise einbeschrieben worden sind.
132

133
Jan Wörler
Eine erste Frage bei der Erkundung der Werkskonstruktion könnte lauten: Wie
kann man einem gegebenen Kreis zwei möglichst große Kreise
k und k von gleichem Radius so einbeschreiben, dass sich
die drei Kreise gegenseitig berühren? Hier wird unmittelbar klar, dass die
Mittelpunkte der gesuchten Kreise auf einer Geraden durch liegen und dass
gelten muss. Der Einstieg in die Aufgabe bleibt damit leicht und gibt
eine gute Möglichkeit die Begriffe Radius und Durchmesser zu wiederholen und
zu festigen.
Bereits die Frage nach einer Begründung, wieso alle drei Mittelpunkte auf einer
Geraden liegen müssen und ob es auch andere Lagen denkbar sind, setzt aber
ein tieferes Verständnis voraus. Was steckt hinter dem Ausdruck berühren
eigentlich? Welche Lagebeziehung gibt es zwischen zwei Kreisen? Wieso muss
der Mittelpunkt eines der kleinen Kreise auf der Verbindungslinie von und
dem Berührpunkt, also dem Radius , liegen? Die Beantwortung der Fragen
für einen der kleinen Kreise lässt sich schließlich auch auf die Lagebeziehung
zwischen den beiden kleinen Kreisen übertragen – und führt so zur Lösung der
Ausgangsfrage.
Eine Variation ist denkbar: Was passiert, wenn man in der Fragestellung die
Forderung »möglichst groß« fallen lässt? Es ist hilfreich, die Behandlung dieser
Fragen mit dynamischer Geometriesoftware zu unterstützen.
Stufe II: Fünf sich berührende Kreise
Abb. 9: Fünf sich berührende Kreise

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Nach solchen Überlegungen zu der Lagebeziehung und dem Berühren zweier
und dreier Kreise könnte man zu Gerstners Werk zurückgehen und die nächste
Frage anschließen: Wie lassen sich in die im ersten Schritt gewonnene Figur
nun zwei weitere Kreise von maximalem Radius einbeschreiben? Welchen
Radius haben sie?
Eine Lösung lässt sich dabei mit Hilfe des Satzes von Pythagoras finden: Man
nimmt dazu an, der größte Kreis habe den Radius ; für die
kleineren Kreise aus dem ersten Konstruktionsschritt folgt . Der gesuchte
Kreis sei mit bezeichnet. Im Dreieck gilt dann wegen
des rechten Winkels nach dem Satz des Pythagoras
Ausmultiplizieren und vereinfachen führt schließlich auf den Radius der
gesuchten Kreise:
Stufe III: Neun sich berührende Kreise
Abb. 10: Nur wenn ist darf der Satz des Pythagoras angewandt
werden.
In der Praxis wurde von den Schülerinnen und Schülern im nächsten Schritt –
analog oben – der Satz des Pythagoras angewandt um den Radius der gesuchten,
nächstkleineren Kreise zu berechnen. Allerdings muss beachtet werden, dass
keineswegs klar ist, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind! Man kann
also entweder
134

- nachweisen, dass der Winkel ist oder
- alternative Wege zur Berechnung des Radius' einschlagen.
135
Jan Wörler
Die Suche nach Beweisen und allgemeingültigen Zusammenhängen soll auf
Zusammenhänge führen, die auch unter Variation der Ausgangskonfiguration
erhalten bleiben. Im vorliegenden Fall sollen sich etwa Kreise auch dann
paarweise berühren, wenn die Radien der Kreise aus Stufe I verändert werden.
Im Folgenden werden drei mögliche Wege vorgestellt.
Abb. 11: Die Allgemeingültigkeit einer Lösung erkennt man oft erst dann,
wenn einzelne Teile dynamisch verändert werden.
Berechnung mit dem Kosinussatz: Der Radius der nächstkleineren Kreise sei
mit y bezeichnet, sein Mittelpunkt mit Dann gilt:
Abb. 12: neun sich berührende Kreise

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Ferner ist aus dem vorangehenden Kapitel bekannt. Es sei
Nach dem Kosinussatz lassen sich damit nun folgende
Gleichungen aufstellen:
Die Umformung der ersten Gleichung ergibt:
Eine analoge Rechnung für die zweite Gleichung führt auf:
Quadrieren und Zusammenfassen der Gleichungen ergibt den Zusammenhang
und somit schließlich den gesuchten
Radius :
Verknüpfung von DGS und CAS: Der zweite Lösungsweg ist besonders
deswegen reizvoll, weil er die enge Verzahnung von Geometrie und Algebra
aufzeigt: Auf der Suche nach der Kurve, auf der alle Mittelpunkte von Kreisen
liegen, die zwei vorgegebene berühren, stößt man dabei auf ein
Gleichungssystem, das sich – beispielsweise mit Hilfe eines CAS – lösen lässt.
Die Lösung wird danach mit DGS weiterbearbeitet.
136

Abb. 13: Die Lage der Kreismittelpunkte lässt sich jeweils
paarweise durch rechtwinklige Dreiecke beschreiben.
137
Jan Wörler
Die Mittelpunkte der drei Kreise werden bei diesem Weg durch ihre x- und y-
Koordinaten beschrieben. Da sich die Kreise paarweise berühren, lassen sich
zusammen mit den Radien nach dem Satz von Pythagoras folgende drei
Gleichungen aufstellen:
Da in der betrachteten Situation zwei der drei Kreise vorgegeben sind, sind
und festgelegt:
Unter diesen Vorgaben lässt sich das Gleichungssystem am Rechner nach
auflösen (im Projekt wurde dazu der Solve-Befehl in Mathematica und
Derive verwendet) und liefert die beiden Größen in Abhängigkeit von :

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Abb. 14: Auf der roten Kurve liegen die Mittelpunkte der Kreise,
die die beiden gegebenen berühren
Berührt ein Kreis die beiden Vorgegebenen, dann liegt sein Mittelpunkt
demnach auf einer Hyperbel
Ihre Hauptachse ist die Gerade, die durch die Mittelpunkte der vorgegebenen
Kreise führt (siehe Abb. 14)
Die Lage des gesuchten dritten Kreises wird schließlich durch eine weitere
Bedingung festgelegt: es muss
gelten. Dies führt zu zwei Lösungen für die gesuchten Mittelpunkte und Radien
(siehe Abb. 15):
138

139
Jan Wörler
Abb. 15: Es gibt zwei Lösungen: neben dem gesuchten Kreis (dunkel, oben
links) erhält man auch einen zweiten (dunkel, unten Mitte).
historisch-fraktaler Ansatz: Ein dritter Weg zur Analyse von Gerstners Werk
geht – dem Bildtitel folgend – über das angesprochene Fachgebiet der
»fraktalen Geometrie«. Benoît Mandelbrot behandelt in seinem Buch »Die
Fraktale Geometrie der Natur« (vgl. Mandelbrot 1991, (1. Ausg. 1977)) fraktale
Strukturen, die den Kreisstrukturen im Bild sehr ähnlich sind; er nennt sie
»Apollonische Netze« (vgl. Mandelbrot 1991, S. 178). Ausgangspunkt sind
dafür drei sich berührende Kreise. Sie bilden ein Bogendreieck, dem ein
weiterer, vierter Kreis mit maximalem Radius einbeschrieben wird. Dadurch
entstehen drei neue Bogendreiecke, an denen das Verfahren wiederholt wird.
Führt man den Prozess (»Apollonischer Packungsprozess«) unendlich fort,
entstehen die von Mandelbrot beschriebenen Strukturen. Unter dieser
Perspektive kann Gerstners Werk als Apollonisches Netz zu einer speziellen
(symmetrischen) Ausgangskonfiguration gesehen werden.
Abb. 16: Erste Schritte des Apollonischen Packungsprozesses.
Namensgeber ist dabei der Grieche Apollonius von Perge, der sich schon im
3. Jh. v. Chr. mit der Frage beschäftigte, wie sich zu drei gegebenen Kreisen

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
(die sich nicht notwendigerweise berühren müssen) ein vierter finden ließe, der
die gegebenen berührt. Dabei ließ er auch Punkte und Geraden als Spezialfälle
von Kreisen mit Radien bzw. zu (vgl. Coxeter 1968, S. 5). Das
Problem ist – wenn man es in seiner Allgemeinheit betrachtet – alles andere als
trivial und so hat seine vollständige Lösung bis in die Neuzeit angedauert. Für
den Sonderfall, dass die drei vorgegebenen Kreise sich paarweise berühren, fand
René Descartes einen Zusammenhang, den er 1634 in einem Brief an Prinzessin
Elisabeth von Böhmen, Enkelin der Maria Stuart, niederschrieb – allerdings
ohne Beweis. Den lieferte im Jahre 1826 der Schweizer Jakob Steiner nach.
Seither ist der Satz als »Descartes'scher Kreissatz« (auch: »Vier-Kreise-Satz«;
siehe Lagarias & Mallows 2001) bekannt und wird heute wie folgt beschrieben:
Es seien die Radien der gegebenen Kreise, der Radius des
gesuchten. Für lässt sich die Krümmung eines Kreises als der
Kehrwert seines Radius' definieren . Dann gilt:
Offenbar lässt sich mit diesem Satz nur der Radius des gesuchten Kreises
berechnen, nicht aber die Lage seines Mittelpunktes. Durch eine leichte
Modifikation des Satzes und die Verwendung komplexer Zahlen konnte eine
Forschergruppe um J. C. Lagarias 1998 auch das Problem der Mittelpunktsfindung
lösen.
Mit Hilfe dieser Sätze können die Lagen und Radien der Kreise in Gerstners
Werk iterativ berechnet werden; des Aufwandes wegen bietet sich eine
Auswertung am PC an (Bemerkung: Für folgt aus der
Abgeschlossenheit von bezüglich der Addition auch . Für Gerstners
Werk bedeutet dies: Alle Kreise dieser Packung haben einen rationalen Radius
).
Mandelbrot gibt darüber hinaus einen weiteren Weg an, wie die Lage der Kreise
zueinander bestimmt werden kann: Apollonische Netze sind selbst-invers, d. h.
sie lassen sich unter Inversion (auch: Spiegelung am Kreis) auf sich selbst
abbilden. Da aktuelle DGS die Inversion als geometrische Abbildung
beherrschen (Euklid DynaGeo und Cinderella bieten dafür eigene Makros),
können die komplexen Zusammenhänge in apollonischen Netzen – also auch im
»Farbfraktal« – computergestützt untersucht und nachvollzogen werden.
140

141
Jan Wörler
Obgleich dieser Lösungsweg in seiner Tiefe nur von leistungsstarken Schülerinnen
und Schülern beschritten werden kann, bietet er doch interessante
Ausflüge und Einsichten in die Geschichte der Mathematik. Neben inhaltlichen
Aspekten können dabei aber auch Methoden wissenschaftlichen Recherchierens
thematisiert und vermittelt werden. Moderne, internetgestützte Quellen bieten
leicht verfügbare Ausgangspunkte für weitergehende Nachforschungen in
traditionellen Medien (Bücher, Zeitschriften,...).
Fazit: Warum Konkrete Kunst?
Die schlichte Ästhetik der Konkreten Kunst verschleiert ihren oft anspruchsvollen
mathematischen Gehalt. Das Überraschungsmoment, das sich einstellt, wenn
hinter scheinbar regellosen Farbflächen eine stringente Logik entdeckt wird,
kann eine Art Forscherdrang erzeugen, den man im Unterricht sonst oft nur
mühevoll herbeiführen kann. Muster zu suchen, sie als Regelmäßigkeiten zu
erkennen und zu beschreiben erfordert zwar ein Hinsehen mit ‚mathematischem
Augen‘, die Herausforderung ein Bild zu knacken wird aber – nach einer Eingewöhnungsphase
– von Lernenden gern angenommen. Dabei ist hilfreich, dass
das breite Spektrum mathematischer Themen in der Konkreten Kunst ganz unterschiedliche
Interessenfelder und Kenntnisstände der Schülerinnen und Schüler
anspricht. Dass die Analyse eines Bildes oft aber auf sehr verschiedene Arten
erfolgen kann, Ergebnisse und Wege nicht eindeutig sind, ist – wie die Erfahrung
aus den Projektgruppen gezeigt hat – für Schülerinnen und Schüler, aber
auch für angehende Studierende des Fachs Mathematik, oft ungewohnt und nur
schwer akzeptierbar. Dabei sind es gerade die Offenheit von Lösungsweg und
Ziel, die Verschränkung unterschiedlicher Teilgebiete der Mathematik und das
Zusammenspiel verschiedener Werkzeuge (DGS, CAS, TKP,...), die modernes
Arbeiten (Problemlösen, Modellieren) im Mathematikunterricht ausmachen.
Konkrete Kunst kann dafür ein interessantes Übungs- und Einstiegsfeld bieten.
Literatur
Coxeter, H. (1968). The Problem of Apollonius. In: The American Mathematical
Monthly 75, S. 5–15.
Lagarias, J. et al. (2001). Beyond the Descartes Circle Theorem. In: arXiv (E-Print):
http://arxiv.org/abs/math/0101066.
Maak, A. (2006). Mit Ecken und Kanten: Kunstwerke mit geometrischen Aspekten.
Kempten : BVK Buch Verlag Kempten e. K.
Mandelbrot, B. (1991). Die fraktale Geometrie der Natur. Basel ; Boston ; Berlin : Birkhäuser.

Konkrete Kunst im Schülerprojekt
Rademakers, E. (2005). Kunst und Mathematik: Kreative Unterrichtsideen zu Mustern,
Formen und optischen Täuschungen. Horneburg : Persen Verlag GmbH.
Romain, L. et al. (Hrsg.) (2006). Künstler : Kritisches Lexikon der Gegenwartskunst
(Karl Gerstner). München : WB-Verlag.
Roth, J. (2007). Konkrete Kunst und Bewegung : Mathematik als Kreativitäts- und Interpretationswerkzeug.
In: Lauter, M. et al. (Hrsg.) Ausgerechnet ... Mathematik und
Konkrete Kunst. Baunach : Spurbuchverlag, S. 24–30.
Wörler, J. (2009). Konkrete Kunst: Mathematik in Bildern finden und dynamisch erforschen.
In: Neubrand, M. (Hrsg.) Beiträge zum Mathematikunterricht 2009. Münster
: Martin Stein Verlag.
142

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
Michael Schneider
Zusammenfassung Problemlösen wird explizit in den KMK-Bildungsstandards erwähnt.
Wir gehen auf den Beitrag des Geometrieunterrichts zum Problemlösen ein und fokussieren
den Kontext auf die Geometrischen Denkaufgaben von Paul Eigenmann. Wir stellen
den Bezug her zum Kontext der Basiskompetenzen und schließen mit modifizierten
Eigenmann-Aufgaben für den Einsatz in der Schule.
Beitrag des Geometrieunterrichts zum Problemlösen
Die Rolle der Geometrie für die Schulmathematik ist allgemein anerkannt. Es
gibt nicht nur im Hinblick auf den Beitrag des Geometrieunterrichts zum Problemlösen
bereits zahlreiche Arbeiten, daher fasse ich mich hier kurz.
Die Geometrie ermöglicht den Lernenden das Denken in Strukturen bei immer
vorhandener Anschauung. Dementsprechend stellt die Geometrie ein gutes Gelände
dar für eigene Gedankengänge. Des Weiteren bildet die Geometrie für
Problemlösen und Problemlösestrategien einen natürlichen Rahmen mit einer
überschaubaren Anzahl von Objekten, Werkzeugen und zulässigen Operationen
(vgl. Weigand 2009, S. 23).
Im geometrischen Kontext können Lernende gut angeleitet werden, die richtigen
Fragen zu stellen, also die Kernfähigkeit wissenschaftlichen Denkens zu entwickeln
und entdeckend zu lernen (zum letzten Punkt vgl. Kadunz und Sträßer
2007, S. 118 ff.).
Geometrische Denkaufgaben von Paul Eigenmann
Den geometrischen Kontext fokussiere ich auf das Buch „Geometrische Denkaufgaben“
von Paul Eigenmann 8 . Im Vorwort schreibt der Autor:
Die hier für den Geometrieunterricht vorgeschlagenen Aufgaben sollen vor
allem die Phantasie des Schülers anregen und ihn erleben lassen, wie er
8 Durch Lutz Führer wurde ich auf die Arbeiten von Eigenmann, Pólya und vieles mehr
aufmerksam.
Schneider, M. (2010).Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen. In:
Ludwig, M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in der Geometrie,
Hildesheim: Franzbecker, S.143-154

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
aus eigener Kraft die verborgenen Zusammenhänge eines mathematischen
Sachverhalts entdecken kann. Vergessen wir nicht, dass stoffliches Wissen
im Mathematikunterricht fast immer nur Mittel zu dem Zweck ist, das Denken
zu lernen. Daher haben wir das Ziel des Mathematikunterrichts nicht
erreicht, wenn wir nur die notwendigen Übungsaufgaben stellen. Die Freude
an geistiger Arbeit erwächst nicht an Übungsaufgaben. Langweilen sich
unsere Schüler oder beginnen sie sich hinter dem Wort zu verstecken, die
Mathematik sei schwer, so sollten wir zunächst uns selbst fragen: Haben
wir unsere Schüler zu einem eigenen produktiven Denken geführt, haben
wir sie die Probleme selbst erkennen, die Lösungswege selbst wagen lassen?
(Eigenmann 1981, S.3)
Vor dem Hintergrund dieser Leitfrage legt Eigenmann insgesamt 296 Aufgaben
vor. Diese gliedern sich in 176 Aufgaben im ersten Teil und 120 im zweiten Teil
des Buches. Die Aufgaben sind in jedem Teil in vier Gruppen angeordnet. Zu
jeder Aufgabengruppe werden sehr kurz Informationen gegeben, wie etwa Hinweise
auf hilfreiche Sätze.
Beispielaufgaben
Abb. 1: Aufgabe Nr. 2 und Nr. 145 des ersten Teils 9
Einen Lösungsweg für die Eigenmann-Aufgabe Nr. 2 führe ich kurz vor. In der
folgenden Skizze sind einzelne Schritte eingekreist nummeriert. 10 Erst später
sollen die Schüler ihren Lösungsweg oder einzelne Ideen exakt ausformulieren.
Im dritten Lösungsschritt wird dann die Umfangsbedingung a+b+c=22cm benutzt
und wir erhalten x=6cm.
9 Hierbei steht das Symbolo für den Mittelpunkt eines Kreises. Wenn nichts weiter geschrieben
wird, ist im Folgenden die jeweilige Aufgabe aus dem ersten Teil des Buches.
Abgeänderte Aufgaben werden mit einem Hochstrich ' an der Nummer gekennzeichnet.
10 Auf diesen Stil und die entsprechende Unterrichtserfahrung hat mich freundlicherweise
Dörte Haftendorn hingewiesen.
144

145
Michael Schneider
In den Eigenmann-Aufgaben des ersten Teils wird nach Größen gefragt, zum
Beispiel nach Winkeln, Seitenlängen, Flächen oder einem Verhältnis. In den
Aufgaben des zweiten Teils wird gefragt, ob eine bestimmte Bedingung zutrifft,
zum Beispiel, ob zwei Größen übereinstimmen oder ob ein Dreieck rechtwinklig
ist. Im Vorwort des zweiten Teils heißt es:
Die Besonderheit dieser Aufgaben besteht darin, daß der Löser als Fahnder
eingesetzt wird. Er muss abklären, ob die angegebene Vermutung richtig oder
nur scheinbar richtig ist. Anhand der gezeichneten Figur kann die Frage nicht
entschieden werden. Nur die Berechnung gibt die Antwort. Mit der Antwort ja
oder nein ist aber das Problem noch nicht ausgeschöpft. Im Falle „nein“ erhebt
sich nämlich sofort die Frage: Für welche Masse würde die Vermutung genau
zutreffen? Das erfordert das Aufstellen und Lösen von Gleichungen. (Eigenmann
1981, S. 26)
Abb. 2: Nr.2 mit eingezeichneten Lösungsschritten
Beispielaufgabe
Abb. 3: Aufgabe Nr. 3, zweiter Teil

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
Eine Vielzahl dieser Aufgaben habe ich studiert und gelöst. Dann habe ich mir
die Frage gestellt, ob es charakteristische Eigenschaften gibt und wie sich diese
formulieren lassen. Als Antwort darauf gebe ich die folgende Liste.
Charakteristische Eigenschaften der Eigenmann-Aufgaben
1. Die Aufgabe ist minimalistisch gestellt: es gibt eine Zeichnung und eine
Frage dazu. Die Zeichnung muss als geometrische Figur interpretiert werden.
2. Die Frage ist kurz und direkt formuliert, es existiert eine eindeutige Antwort.
3. Es gibt keine Abfolge von Arbeitsanweisungen.
4. Hinweise werden nur sparsam und allgemein gegeben.
5. Es ist eine Problemlöseaufgabe.
Diese Charakterisierung ist wichtig als Basis weiterer Forschung, zum Beispiel
wenn man neue Aufgaben dieses Typs komponieren will. Eigenmann gibt kein
einziges Lösungsbeispiel, lediglich eine Einteilung der Aufgaben in Gruppen
und die zur Bearbeitung benötigten Kenntnisse am Ende des Vorworts (jeweils
im ersten und zweiten Teil des Buches).
Zusatz und „Philosophie“
Beim Lösen einer Eigenmann-Aufgabe soll ein ökonomisches Prinzip beachtet
werden: es kommen keine ausgefallenen, komplizierten Formeln zum Einsatz. 11
Das ist der Hauptgedanke und die Philosophie dieser Aufgaben. Statt etwa ein
Koordinatensystem einzuführen, vorhandene Linien in Geradengleichungen zu
übersetzen und das Problem algebraisch anzugehen, führen allgemeine Problemlösestrategien
wie zum Beispiel das Ausnutzen von Symmetrie schneller und
eleganter zum Ziel. Gleichwohl gibt es eine Reihe von Eigenmann-Aufgaben,
die im Laufe der Lösung sinnvoll algebraisch behandelt werden.
Didaktisches Potenzial der Eigenmann-Aufgaben
Standard- und Routineaufgaben sind wichtig, um schematisch-schablonenhaftes
und reproduktives Denken anzusprechen. Darüber hinaus aber müssen Aufgaben
an die Schüler herangetragen werden mit denen das produktive Denken
geweckt und gepflegt wird (vgl. Schupp 1971, S.110-111).
Bei den Eigenmann-Aufgaben werden die Lernenden nicht kleinschrittig in
Form von Aufgabenteilen auf einem bestimmten Weg zur Lösung geführt, sondern
erhalten Freiraum, den sie kreativ nutzen können - mit dem Lehrer oder
11 Was das konkret bedeutet, muss im Unterricht diskutiert und ausgehandelt werden.
146

147
Michael Schneider
anderen Lernenden als mögliche Partner. Kreativität und Freiraum dürfen natürlich
nicht zu Beliebigkeit im Klassenraum führen. Des Weiteren sollte der Eindruck
vermittelt und gefestigt werden, dass diese Form der Beschäftigung nicht
nur Spaß bereiten darf, sondern sogar „richtige“ Mathematik ist!
Mit Eigenmann-Aufgaben und deren Lösungen kann ein geometrisches Beispielrepertoire
an Heuristiken aufgebaut werden. Dieser Punkt ist wichtig, denn
es bringt nichts, einzelne Problemlösestrategien namentlich aufsagen zu können,
ohne an ein konkretes Beispiel (working example) zu denken:
In fact, problem solving can be learned only by solving problems. But it
must be supported by strategies provided by the trainer. (Engel 1998, S. 1)
Weiter können mit Eigenmann-Aufgaben Grundvorstellungen von Problemlösestrategien
aufgebaut werden. Ich beschränke mich hier beispielhaft auf die Strategie
des Vorwärts- bzw. Rückwärtslösens.
Strategie des Vorwärts- und Rückwärtslösen
Abb. 4: Aufgabe Nr. 13
Abb. 5: Nr. 13 links vorwärts gelöst, rechts rückwärts gelöst 12
12 In einem vierten Schritt wird dann die Winkelsumme im unteren bzw. oberen Teildreieck
benutzt und es ergibt sich: α = 68°.

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
Beim Vorwärtslösen nähert man sich also (im wörtlichen Sinne) der gesuchten
Größe, ausgehend von den gegebenen Größen. Beim Rückwärtslösen verläuft
der Weg in der Gegenrichtung. Die jeweilige Strategie wird somit visuell veranschaulicht.
Bei komplexen Problemen kommen häufig beide Strategien zum
Einsatz. Das gilt auch für direkte Beweise. Direkte Beweise werden von der
Voraussetzung zur Behauptung vorwärts formuliert, aber selten so gefunden.
Schließlich gibt eine gefundene Lösung oft Anlass, daran anknüpfende Fragen
zu stellen und sich einen größeren Kontext zu erschließen.
Modifizierte Eigenmann-Aufgaben für die Schule
Allgemein darf bezweifelt werden, dass Schüler mit solchen vergleichsweise
stenographisch gestellten Aufgaben zurechtkommen. Die Eigenmann-Aufgaben
sind in vollem Umfang nicht direkt für den Einsatz in einer Schule geeignet.
Daher geht es mir darum, den Einstieg zu diesem Aufgabentyp zu erleichtern.
Das kann zum Beispiel geschehen durch:
1. Vorgabe der Bezeichnungen der Größen in der Aufgaben-Figur,
2. Hinweis auf Hilfslinien,
3. Änderungen bei den gegebenen und gesuchten Größen.
Diese Aufzählung ist keineswegs vollständig. Auf einzelne Punkte gehe ich
gleich an Beispielen näher ein. Vorher möchte ich betonen, wie wichtig es ist,
den Lernenden ihren Freiraum zu lassen, um selbständiger und selbstbewusster
zu werden. Außerdem führen oft mehrere Wege zur Lösung, aber nicht jeder gut
gemeinte Hinweis ist unabhängig vom Lösungsweg. Hier ist es unabdingbar,
dass der Lehrer ohne die Scheuklappen eines eigenen Lösungsweges die Ideen
der Schüler wohlwollend aufnimmt und Rückmeldung gibt 13 , also eher prozessorientiert
als ergebnisorientiert Hilfestellung leistet. Trotzdem muss sich die
Lehrperson haargenau durch eigenes Lösen Sicherheit verschaffen, dass die
Schüler mit ihrem bisher erworbenen Wissen eine Lösung finden können. Anderenfalls
macht sich Frustration breit und die Schüler wollen zurück zu Standardaufgaben.
Zu Beginn und immer wieder aufs Neue muss im Klassenraum die
richtige Atmosphäre geschaffen werden, eine Stimmung, in der das Suchen, das
Vermuten und das Knobeln ausdrücklich gewünscht sind.
Zu Punkt 1: Vorgabe der Bezeichnungen der Größen in der Aufgaben-Figur
13 Für eine Darstellung von Hilfen im Lösungsprozess verweise ich auf Zech 1996, S.
315 ff.
148

149
Michael Schneider
Die (relevanten) Größen der Aufgaben-Figur zu bezeichnen geht einher mit dem
Erfassen der Konfiguration und des Problems. Diese Tätigkeit legt die Basis für
die eigenen Gedankengänge und später für die Kommunikation mit anderen
Schülern und dem Lehrer (Ich-Du-Wir-Prinzip). Die Vorgabe relevanter Größen
erleichtert die Aufgabe, sollte aber im geometrischen Kontext vorsichtig dosiert
werden, damit die Lernenden nicht zu algebraisch vorgehen.
Beispiel:
Abb. 6: Aufgabe Nr. 65 Original und mit eingeführten Bezeichnungen
Die zusätzlichen Bezeichnungen in der Eigenmann-Aufgabe 65 liefern angedeutete
Hinweise. Das t steht für „Tangente“, sichert also den Eindruck, dass die
Gerade durch A und B wirklich tangential am Kreis um M liegt. Alle Punkte A,
B, C und M sind miteinander verbunden – mit einer Ausnahme, so dass Schüler
möglicherweise auf die Idee kommen, die Strecke von B nach M als Hilfslinie
zu benutzen.
Zu Punkt 2: Hinweis auf Hilfslinien
Hilfslinien gliedern ein Problem in Teilprobleme, von denen man hofft, dass
diese einfacher als das Ausgangsproblem zu lösen sind. Die Lösungen der Teilprobleme
werden schließlich zu einer Gesamtlösung zusammengesetzt. Auf
diese Heuristik bezieht man sich oft mit der Formulierung „teile und herrsche“.
Beispiel

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
Abb. 7: Aufgabe Nr. 145 Original und mit gestrichelten Hilfslinien
Zu Punkt 3: Änderungen bei den gegebenen und gesuchten Größen
Hier ist besondere Vorsicht geboten: Änderungen bei den gegebenen oder gesuchten
Größen können das Problem vereinfachen, erschweren oder sogar unlösbar
machen.
Beispiel
Abb. 8: Aufgabe Nr.2 und abgeänderte Aufgabe Nr. 2'
Die abgeänderte Aufgabe Nr. 2' ist etwas leichter als das Original:
• Die linke Seite des Dreiecks ist in Nr. 2' als x vorgegeben, im Original muss
diese Seite als 2+x erkannt werden.
• Als Bestimmungsgleichung für x ergibt sich für Nr. 2': 2+6+6+x=22 im Gegensatz
zu 2+x+x+(2+x)=22 für die Originalaufgabe.
Neue Aufgaben komponieren im Geiste von Eigenmann
Es ist sehr aufwändig, Aufgaben zu generieren, die „aufgehen“, ästhetisch sind
und darüber hinaus Einsicht vermitteln und zu weiteren spannenden Fragen
führen. Als Ausgangspunkt und für den einfachsten Schwierigkeitsgrad neuer
Aufgaben im Geiste von Eigenmann empfehle ich, von den Eigenmann-
Symbolen (wie zum Beispiel o für den Mittelpunkt eines Kreises) auszugehen
und diese einzuüben. Für höhere Schwierigkeitsstufen relevant ist das aus der
Musik und dem Problemschach bekannte Prinzip, mit (Grund-)Mustern zu
„spielen“ und zu variieren (Schupp 2002, S. 31-37). Denkbar sind auch Aufgaben
dieses Typs für drei Dimensionen. Mit (oder ohne) Einsatz von DGS kommen
weitere neue Aufgaben zu Ortskurven in Frage.
150

Beispiele
Abb. 9: Zwei neue Aufgaben im Geiste von Eigenmann
Kontext Basiskompetenzen
151
Michael Schneider
In den KMK-Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss vom 4.12.
2003 finden sich in Form von Kompetenzen und ausgerichtet an Leitideen
Wunschbeschreibungen, was Schüler können und tun (sollen). Diese Kompetenzen
fasse ich als Gesamtkatalog auf. Kompetenzen lassen sich nicht streng
getrennt voneinander diskutieren. Das Gesamtkonzept lehne ich nicht ab, aber
man blendet darin die didaktische Relevanz von Inhalten aus. So steht etwa bei
der Leitidee Raum und Form:
[Die Schülerinnen und Schüler] wenden Sätze der ebenen Geometrie bei
Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an, insbesondere den Satz des
Pythagoras und den Satz des Thales. (Bildungsstandards im Fach Mathematik
für den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom 4.12.2003, S. 11)
Zur Bedeutung dieser Sätze oder anderen Inhalten findet man nichts. Es bleibt
das didaktische Problem der Rechtfertigung: Was sollen (welche) Schüler warum
in der Geometrie lernen?
Mit zunehmendem Gebrauch des Kompetenzbegriffs verschwinden die Unterschiede
zwischen Fertigkeiten, Fähigkeiten und Kenntnissen. Weitere Kritikpunkte
finden Sie in einem Artikel von F. Grigat (vgl. Forschung und Lehre
4/2010, S. 250 ff.).
Positiv halte ich fest: Kompetenzen sind so formuliert, dass sie sich leicht testen
und feststellen lassen. Bei der Bearbeitung von Eigenmann-Aufgaben erwerben
die Schüler folgende Basiskompetenzen:

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
• (K 1) Mathematisch argumentieren,
• (K 2) Probleme mathematisch lösen,
• (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden,
• (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen.
Die Kompetenz (K 3) mathematisch modellieren wird durch Eigenmann-
Aufgaben nicht gefördert.
Neben der Problemlösekompetenz liegen mir die Kommunikations- und allgemeiner
die Sozialkompetenz am Herzen. Schüler sollen dazu erzogen werden,
ihre Gedanken klar auszudrücken und die Gedanken ihrer Mitmenschen während
einer Diskussion zu beachten. Im Klassenraum soll also die vernünftige
Rede etabliert werden. Das ist über die Mathematik hinaus ein wichtiges Erziehungsziel.
Ausblick
Im Rahmen meiner Dissertation arbeite ich unter anderem auch an neuen Aufgaben
im Geiste von Eigenmann, die in der Schule gestellt werden. Seit Januar
2010 erprobe ich Original-, modifizierte und neue Eigenmann-Aufgaben im
Rahmen einer Mathematik-AG in der Bettinaschule Frankfurt am Main. Die
Aufgaben werden generell angenommen. Abschließend schildere ich eine keineswegs
repräsentative, aber erfreuliche Lösung aus dieser AG, die mich in der
Geschwindigkeit überrascht hat.
Fallbetrachtung Elina (9. Klasse, G8, Bettinaschule Frankfurt am Main)
Abb. 10: Eigenmann-Aufgabe Nr. 133
Die Schüler haben diese Skizze in Euklid DynaGeo übertragen, manche dynamisch,
andere statisch. Es wurden Hilfslinien gesucht. Elina hat die Querlinien
152

153
Michael Schneider
verlängert und auf den Eckpunkten des großen Quadrates die Lote errichtet:
Abb. 11: Nr. 133 mit eingezeichneten Hilfslinien
Dann gab sie mir die Antwort 1/5 mit dem Zusatz, dass sie das sieht. Ich habe
sie gebeten, mir das ausführlich zu erklären. Sie hat in ihren Worten mit Kongruenz
und Umklappen argumentiert: Die Dreiecke (A und B) können ausgetauscht
werden. Man hat also vier gleich große Quadratflächen um die mittlere
und das mittlere Quadrat ist genau so groß. Dann war mir klar 14 : sie hat die
Lösung gefunden.
Solche schnellen und eleganten Lösungen sind natürlich (erfreuliche) Ausnahmen,
es ist bereits viel gewonnen, wenn die vernünftige Rede im Klassenraum
etabliert ist. Bei der Bearbeitung der Aufgabe 133 hatte ich in der Vorbereitung
deutlich länger gebraucht. Mir fiel nach einigen Sackgassen die gleiche Lösung
ein. Gleichzeitig hatte ich mir damit eine neue Heuristik erarbeitet: „erweitere
und herrsche“.
Schlussendlich sehe ich Problemlösen nicht zwangsgekoppelt an die Förderung
irgendwelcher Eliten: „Problem“ ist ein individueller Begriff und Mathematikunterricht
soll nicht auf Mathematik-Olympiaden vorbereiten, sondern auf das
(Berufs-)Leben oder das Studium – dadurch, dass das Denken geübt wird.
Literatur
Eigenmann, P. (1981). Geometrische Denkaufgaben. Stuttgart: Ernst Klett
Engel, A. (1998). Problem-Solving Strategies. New York : Springer
14 ohne Videokamera, Tonbandgerät und Kompetenzkalkül

Problemlösen im Kontext der Basiskompetenzen
Grigat, F. (2010). Die Nacht, in der alle Kühe schwarz sind. In: Forschung und Lehre
4/2010, Bonn: Deutscher Hochschulverband, S. 250-253.
Kadunz, G. und Sträßer, R. (2007). Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Hildesheim,
Berlin: Franzbecker.
Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen. , Hildesheim, Berlin: Franzbecker
Weigand, H.-G. et al. (2009). Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I, Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg
Zech, F. (1996). Grundkurs Mathematikdidaktik. Theoretische und praktische Anleitung
für das Lehren und Lernen von Mathematik, Beltz, Weinheim, Basel
154

Förderung von geometriespezifischen Kompetenzen - eine Bestandsaufnahme
des Ist-Zustandes an Haupt- und Realschulen
Jürgen Steinwandel
Zusammenfassung. „Inwiefern werden konstruktive Kompetenzen in der Sekundarstufe
I mit dem Lineal/Geodreieck und dem Zirkel aktuell an baden-württembergischen Schulen
gepflegt?“ Dieser Frage geht diese kurze Untersuchung mit unterschiedlichen Erhebungen
nach. So werden Lehrpläne, Abschlussprüfungen und Schulbücher analysiert.
Eine kleine empirische Erhebung, erste Ergebnisse einer wissenschaftlichen Untersuchung
an einer Grund- und Realschule bzw. eigene Erfahrungen werden anschließenden
in einem Fazit gebündelt.
Begriffsklärungen
In der nachfolgenden Bestandsaufnahme wird ein sehr reduziertes Verständnis
von „geometriespezifischen Kompetenzen“ zu Grunde gelegt. Hierbei geht es
vor allem um den bewussten und zielgerichteten Umgang mit Lineal/Geodreieck
und Zirkel. Bezüglich des Längenmesszeuges beinhaltet dies das Messen und
Zeichnen von Strecken und Winkeln unter Berücksichtigung von Genauigkeitsvorgaben.
Ebenfalls dazu gehört das Erstellen von Parallelen, Orthogonalen
(Lotgeraden) und Seitenmitten. Mit dem Zirkel steht das Zeichnen des Kreises
und der Streckenübertrag im Fokus, wobei die Bedeutung bzw. die Wirkung der
„Zirkeltätigkeit“ beim Konstruieren in das Bewusstsein gerückt werden sollte
(vgl. die Erzeugung der Lotgeraden, Mittelsenkrechten, der Winkelhalbierenden,
etc.).
Unter Skizzieren werden zeichnerische Ausführungen verstanden, bei denen
folgende Eigenschaften berücksichtigt werden: Orthogonalität und Parallelität.
Im Allgemeinen werden Strecken und Geraden mit dem Lineal/Geodreieck
gezeichnet; Winkelarten (spitzwinklig, stumpfwinklig, …), als auch Streckenverhältnisse
(gleichlang, doppelt so lang, …) sollen möglichst bzw. annähernd
in der Skizze ihre Eigenschaften behalten; dies begünstigt eine spätere Strategieausbildung
bei der Lösungsfindung.
Beim Zeichnen werden unter Berücksichtigung eines Maßstabes (so notwendig)
alle Maße berücksichtigt und eingehalten. Dabei wird der Prozess nicht thematisiert
bzw. visualisiert. So können Streckenverhältnisse z.B. mit Hilfe der Lineal-
Steinwandel, J. (2010). Förderung von geometrischen Kompetenzen – eine
Bestandsaufnahme des Ist - Zustandes an Haupt- und Realschulen. In: Ludwig,
M., Oldenburg, R. (Hrsg.) (2010). Basiskompetenzen in der Geometrie, Hildesheim:
Franzbecker, S.155-174

Förderung von geometrischen Kompetenzen
skalierung erzeugt werden. Entsprechend werden beispielsweise Winkelhalbierende
„abgelesen“.
Konstruiert wird unter Verzicht auf Längen- und Winkelskalierungen mit skalenfreiem
Lineal und Zirkel. Somit handelt es sich um einen Teilprozess bei der
Erstellung einer „Konstruktionszeichnung“, da immer von einer „vermessenen“
Ausgangssituation weiterentwickelt wird. Hier steht der Prozess im Vordergrund.
Deshalb wird das „Tun“ protokolliert. Zum einen sind Konstruktionshilfslinien
(Zirkelbogen, Zwischenparallelen, etc.) in dünnen Linien sichtbar.
Des Weiteren kann der Prozess als Konstruktionsprotokoll notiert bzw. nachgelesen
werden.
Ein Blick in den Lehrplan der Hauptschule und Realschule
Inwieweit werden nun aktuell geometriespezifische Kompetenzen im regulären
Unterricht an Haupt- und Realschulen gefördert? Hierzu wird eine diesbezügliche
Analyse der Lehrpläne der beiden Schularten durchgeführt. Dabei gilt ein
besonderes Augenmerk der speziellen Kompetenz des Konstruierens bzw. des
Umganges mit Geodreieck und Zirkel. Zunächst werden die Leitgedanken zum
Kompetenzerwerb beleuchtet. Hier zeigt sich ein deutlicher Unterschied zwischen
den beiden Lehrplänen.
156

157
Jürgen Steinwandel
Inhalte Hauptschule Realschule
Kompetenzen … Sie gebrauchen verschiedene Hilfsmittel (…,
Messgeräte) für mathematische Aktivitäten und
können die Grenzen dieser Hilfsmittel einschätzen.
…
Didaktische
Hinweise und
Prinzipien für
den Unterricht
Gliederung nach
Leitideen
… Dazu gehören auch, verschiedene Zugänge zur
Mathematik zu eröffnen, wie zum Beispiel über
Formen … aus der Natur, über Kunst, Architektur,
…
Die Leitidee „Messen“ wird für die Schülerinnen
und Schüler konkret fassbar, wenn sie durch vielfältige
Handlungsmöglichkeiten systematisches
Vergleichen, sinnvolles Runden und Abschätzen
lernen. Dies verhilft zur Ausbildung von geeigneten
Größenvorstellungen.
Unter der Leitidee „Raum und Form“ werden
geometrische Inhalte thematisiert, deren Verbindungen
zu arithmetischen und algebraischen Gesetzmäßigkeiten
aufgezeigt, sowie das Raumvor-
stellungsvermögen geschult. Bei der Realschule werden die Hinweise zum Kompetenzer-
Es fällt auf, dass in der Hauptschule auf den Umgang mit geometrischen Hilfsmitteln
hingewiesen wird – also ganz explizit eine Handlung damit eingefordert
wird. Mit dem Hinweis auf „vielfältige Handlungsmöglichkeiten“ und der Einbeziehung
realer Situationen erhält das Zeichnen und Messen eine gewichtige
Rolle. Jedoch wird eine Konzentration auf das eigentliche Konstruieren hier
nicht erwähnt. Bei der Realschule fehlt hingegen jeglicher Hinweis.
In der nachfolgenden Tabelle wird auf die Leitideen „Messen“ und „Raum und
Form“ detailliert und schulartspezifisch eingegangen. Dabei wird im Besonderen
die Schwerpunktsetzung der geometriespezifischen Kompetenzen in Abhängigkeit
mit dem Schuljahr in den Fokus genommen. Hier zeichnet sich eine
„rückläufige“ Gewichtung der „konstruktiven“ Geometrie bis zur 10. Klasse ab,
in der eigentlich nur noch rechnerisch mit Skizzen gearbeitet wird.
werb nicht thematisiert.

Förderung von geometrischen Kompetenzen
Leitidee Klasse Hauptschule
Messen
Raum +
Form
Messen
Raum +
Form
5 – 8
9
Messen -
Raum +
Form
10
alltagsbezogene Repräsentanten
zur Vorstellung von Größen verwenden
und beim Schätzen anwenden
Längen-, Flächen-, Volumen- und
Winkelmessung
zueinander parallele und
senkrechte Geraden erkennen und
zeichnen
geometrische Objekte der Ebene
darstellen
Netze und Modelle von Würfeln
und Quadern anfertigen und die
Körper in entsprechenden Darstellungen
erkennen
Netze, Schrägbilder und Modelle
von Prismen und Zylindern
den Satz des Pythagoras bei Berechnungen
und Beweisen anwenden
Netze und Schrägbilder von Pyramide
und Kegel anfertigen
geometrische Figuren unter Verwendung
angemessener Hilfsmittel
wie Zirkel, Geodreieck oder
dynamischer Geometrie-Software
zeichnen und konstruieren
Netze, Schrägbilder, Modelle von
Körpern
158
Einsatz von
Zeichenwerkzeugen
Geodreieck
Gerade, Halbgerade
Strecke (zeichnen, messen)
Winkel (zeichnen, messen)
konstruktiv
Lotgerade
Parallele
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Geradenspiegelung
Punktspiegelung
Zirkel
Kreis, Kreisbogen
Streckenübertrag
konstruktiv
Mittelsenkrechte
Winkelbalbierende
abnehmende Relevanz

Leitidee Klasse Realschule
Messen
Raum +
Form
Messen
Raum +
Form
Messen
Raum +
Form
5 – 6
7 – 8
9 – 10
die Prinzipien der Längen-, Flächen,
Volumen und Winkelmessung
nutzen
geometrische Figuren auch im
Koordinatensystem zeichnen
unter Verwendung angemessener
Hilfsmittel
(Symmetrie, Flächen-, Körperbetrachtungen,
zeichnerische Darstellungen)
Die Prinzipien der Längen- und
Winkelmessung sowie der Flächen-
und Volumenberechnung
nutzen
Konstruktionskalküle ausführen
Körper darstellen und aus ebenen
Darstellungen erkennen
Bei Konstruktionen, Berechnungen
und einfachen Beweisen
Sätze der Geometrie anwenden
(Vielecke – Dreieck, Trapez,
Parallelogramm, Gerade Prismen
– Netze, Schrägbilder, Körpermodelle)
die Prinzipien des Messens und
Aspekte ihrer Anwendung zum
Beispiel in den Naturwissenschaften
nutzen
gezielt Messungen vornehmen,
Maßangaben entnehmen und
damit Berechnungen durchführen
---
159
Jürgen Steinwandel
Einsatz von Zeichenwerkzeugen
Geodreieck
Gerade, Halbgerade
Strecke (zeichnen, messen)
Winkel (zeichnen, messen)
konstruktiv
Lotgerade
Parallele
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Geradenspiegelung
Punktspiegelung
Zirkel
Kreis, Kreisbogen
Streckenübertrag
konstruktiv
Mittelsenkrechte
Winkelbalbierende
abnehmende Relevanz

Förderung von geometrischen Kompetenzen
Die Geometrie erlebt ihre „Hochzeit“ in der Haupt- und Realschule in der 7.
Klasse. Hier werden Dreieckskonstruktionen und Konstruktionen im Dreieck
(Umkreis, Inkreis, Schwerpunkt) durchgeführt. In den Klassen 8 – 10 werden
vorwiegend Netze und Schrägbilder gezeichnet – d.h., i.A. wird auf die konstruierende
Qualität des Lineals und des Zirkels verzichtet. Somit muss bescheinigt
werden, dass diesbezüglich eine abnehmende Relevanz zu beobachten ist.
In Klasse 9 bieten sowohl die Strahlensätze, als auch der Thaleskreis nochmals
Konstruktionsmöglichkeiten. Hier steht jedoch nicht das Konstruieren mit im
Fokus, sonder vielmehr der rechnerische Umgang bzw. die algebraische Beweisführung.
Abschlussprüfungen – eine inhaltliche Übersicht
Eine weitere Bestandsaufnahme gilt den Abschlussprüfungen der Realschulen
der letzten 10 Jahre. Hier wird deutlich, warum die schuljahrspezifische Entwicklung
hinsichtlich der Geometriekompetenzen so rückläufig gestaltet ist. –
„Was nicht abgeprüft wird, „darf“ auch nicht gelernt werden.“ – Denn letztendlich
zählt am Schluss die Abschlussleistung, die weitere Türen der Bildung oder
des Berufes öffnet. In der folgenden Tabelle sind die Felder der geometriespezifische
Prüfungsaufgaben grau gefärbt. Es ist zu bemerken, dass in allen untersuchten
Geometrieaufgaben ausschließlich rechnerische Lösungen gefordert
sind, bei denen keinerlei konstruktive Fähigkeiten notwendig sind.
Um die nachfolgende Tabelle besser lesen zu können, sei hier kurz auf die Abschlussprüfungsmodalitäten
in Baden-Württemberg eingegangen. Die Prüfung
besteht aus zwei Teilen, dem Pflichtbereich mit den Pflichtaufgaben P1 bis P8
und dem Wahlbereich mit den Wahlaufgaben W1 – W4. Von den Wahlaufgaben
streicht der unterrichtende Lehrer im Hinblick auf seinen Unterricht eine
Aufgabe. Von den verbleibenden drei Nummern (z.B. W1, W3, W4) muss
die/der Schüler/in zwei bearbeiten. Bei den Wahlaufgaben handelt es sich i.A.
um vertiefende Aufgaben. Z.B. kommen geometrische Problemstellungen mit
Formvariablen vor oder es sind bis zu 4 Zwischenschritte notwendig, um eine
gesuchte Größe (Strecke, Fläche oder Volumen) bestimmen zu können.
160

1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Prozent, Zinsrechnung
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P7,8
P6
Ebene Geometrie
(Rechn.)
P5,6
W1
P3,4
W2
P5
W1,2
P6
W1,3
P3,4
W1,2
W4
P1,2
W1,3
P5,6
W1,4
P1,2,3
W1,4
P3
W1,3
W4
P1,2
W1
P1,2
Quader, Prisma,
Würfel
P6
P5
P2
P4
P4 W4
Kugel, Zylinder
W1
P6
W3,4
P3
Pyramide
P2
P1
P2
P1
P2
P5
P1
W1,3
W4
P1
P3
W2,4
Kegel (Rechn.)
P1
P2
P1
P2
P1
W3
P2
W2
Kegel-Pyr.-Stumpf
W3
W1
W1
W3
W4
W4
W3
161
Zus.gesetzte
Körper (Rechn.)
W3
W4
P2
P4
Geraden
W4
P4
P4
Parabel
P4 W2
P6
P3 W3
P4
W2,4
P6 W3
P4
W2,4
W2
P6 W2
P6 W2
W3
P4
Gleichungssyteme
P5
P3
P3
P5
P6
Jürgen Steinwandel
Quadr. Gleichung
P3
P3
P5 W2
Bruchgleichung
P4
W2
P5 W3
W2
W2
W2
P5
P5
Statistik, Wahrscheinlichkeit
W4
P7,8

Förderung von geometrischen Kompetenzen
In der tabellarischen Übersicht ist lediglich die Anzahl an Aufgaben, die im
geometrischen Bereich gestellt wurden, dargestellt. Werden die Aufgaben hinsichtlich
des konstruktiven Umganges mit Zeichenwerkzeugen untersucht, so
muss kritisch zusammengefasst werden: allenfalls das Skizzieren wird verlangt,
jedoch keine Messungen, keine Aufträge zum Zeichnen und weder Konstruktionen,
noch geometrisch-logisch-qualitativen Aussagen. So fehlen z.B. Aufgabentypen,
bei denen ein Ergebnis konstruktiv ermittelt und anschließend rechnerisch
bestätigt wird.
Schulbuchanalyse Klett + Schroedel (Realschule)
Die folgende Schulbuchanalyse in Tabellenform stellt den Stellenwert der Geometrie
seitens der Schulbuchinhalte und die diesbezügliche Qualität dar. Es ist
natürlich nichts Neues, dass ein Schulbuchverlag letztendlich eine ähnliche
Analyse durchführt, wie dies auch in diesem Abhandlung bisher geschehen ist.
Zum einen wird nach den Inhalten des Lehrplanes gefragt, dann wird analysiert,
in wie weit man diese Vorgaben adäquat – für Lehrer und Schüler spannend und
relevant – umsetzen kann. Und zuletzt – dies wird spätestens in der 10. Klasse
deutlich – werden die Abschlussprüfungen in den Focus genommen und diesbezügliche
Aufgabenfelder aufgespannt. Aufgaben bzw. Aufträge, die Konstruieren
in dem hie diskutierten Sinne beinhalten oder vielleicht sogar als zwingende
Voraussetzung benötigen, finden sich in den oberen Klassen nicht mehr.
Klasse Inhalte Bemerkungen
5
Geometrie
Strecken, Geraden, Senkrechte, Parallele, Quadratgitter,
Entfernung und Abstand, Symmetrische Figuren
(Achsensymmetrie)
Flächen und Körper
Diagonalen, Symmetrieeigenschaften, Winkeleigenschaften,
Gleichseitigkeit
Netze, Schrägbild
Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Raute, Drachen,
Würfel, Quader
162
Hier wird konstruiert
– mit
Geodreieck und
Zirkel
Übrigens ist das
Konstruieren der
„alten“ Zeit mit
Lineal ohne
Skalierung und
Zirkel kaum
noch anzutreffen

6
7
8
9
10
Kreis und Winkel
Kreis, Kreisbogen, Kreisausschnitt, Winkel, Winkelmessung
(Einteilung der Winkel), Winkel im
Schnittpunkt von Geraden
Flächen und Körper
Prisma (Netz, Schrägbild), Pyramide (Netz, Schrägbild),
Zylinder, Kegel, Kugel
Dreiecke
Winkelsumme im Dreieck, Dreiecksformen, Konstruktion
von Dreiecken, Umkreis und Inkreis, Höhenschnittpunkt
und Schwerpunkt
Vierecke, Vielecke
Haus der Vierecke, Vierecke konstruieren, Regelmäßige
Vierecke
Umfang und Flächeninhalt (rechnerisch)
Quadrat und Rechteck, Parallelogramm und Raute,
Dreieck, Trapez, Vielecke
Zentrische Streckung
Konstruktion, Eigenschaften, Strahlensätze
ähnliche Figuren, Ähnlichkeitssätze (bzgl. Dreiecken)
Satzgruppe des Pythagoras (rechnerisch)
Kathetensatz, Höhensatz, Satz des Pythagoras
Trigonometrie
Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Kosinus, Tangens, Besondere Werte
163
Jürgen Steinwandel
Hier findet die
„Konstruktions-
Zeit“ der SEK I
statt.
Konstruktionen
wären hier noch
möglich
„Letzte“ Konstruktionen
im
Leben eines
Schülers; im
Regelfall sehr
kurz gehalten.
Konstruktionen
wären hier noch
möglich

Förderung von geometrischen Kompetenzen
Zeichnerische und geometrische Fähigkeiten in der Sekundarstufe – eine empirische
Untersuchung von Tanja Goldau – erste Ergebnisse 9/2009
Zentrale Fragestellungen der wissenschaftlichen Arbeit:
• Wie verändern sich zeichnerische und geometrische Fähigkeiten über die
Schuljahre gesehen?
• Gibt es Einflussfaktoren (Geschlecht, Interesse, Kunst, Technik)
Rahmenbedingungen:
• 25 Klassen (Grundschule Kl. 3, Realschule Kl. 5, 7, 9); alle Schüler erhielten
den gleichen Test
Zusammenfassung:
Bei dieser Untersuchung wurden folgende Kompetenzen getestet:
• Umgang mit dem Zeichenwerkzeug (Bleistift und Geodreieck)
• Klassifizierung von Vierecken
• Beobachten, Erkennen und Abzeichnen
• perspektivisches Zeichnen (Schrägbilder): Vorlage = Schrägbild
• perspektivisches Zeichnen (Schrägbilder): Vorlage = Körper
Begriffsklärungen
Unter Zeichnen wird hier eigentlich das Skizzieren verstanden, bei dem nicht
auf Bemaßungen bzw. einen Maßstab geachtet werden muss. Bei Aufgabe 1
steht sowohl das Sprachverständnis (Was versteht man unter „verschiedene“?),
als auch eine Klassifizierungsstrategie im Fordergrund. Die Nummern 2 – 5
beinhalten Beobachtungs- und Abzeichnungsaufträge, wobei entsprechende
Skizzen bereitgestellt werden. Die nachfolgenden Aufgaben verlangen das Abzeichnen
von Realbildern bzw. Realkörpern. Hier werden ausdrücklich nicht
sichtbare Linien verlangt, die der Schüler mental erzeugen muss.
164

Kurzübersicht der Auswertungen
erreichte Punkte
erreichte Punkte
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0 2 4 6 8 10
1,5
1,5
1,4
1,4
1,3
Klasse
1,3
0 2 4 6 8 10
Klasse
165
Jürgen Steinwandel

Förderung von geometrischen Kompetenzen
erreichte Punkte
erreichte Punkte
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0 2 4 6 8 10
2,0
1,5
1,0
0,5
Klasse
0,0
0 2 4 6 8 10
Klasse
166

erreichte Punkte
erreichte Punkte
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0 2 4 6 8 10
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
Klasse
0,0
0 2 4 6 8 10
Klasse
167
Jürgen Steinwandel

Förderung von geometrischen Kompetenzen
erreichte Punkte
erreichte Punkte
erreichte Punkte
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0 2 4 6 8 10
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
Klasse
0,0
0 2 4 6 8 10
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
Klasse
0,0
0 2 4 6 8 10
Klasse
168

Auswertung insgesamt:
Mittelwerte aller Aufgaben:
erreichte Punkte
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0 2 4 6 8 10
Klasse
169
Jürgen Steinwandel

Förderung von geometrischen Kompetenzen
Einfluss Geschlecht:
Einfluss Interesse:
erreichte Punkte (Mittelwert)
35
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10
Klassenstufe
170
Technik
Franz+MUM
Musik
Kunst
noch keine
Fächerwahl
Die Ergebnisse sind teilweise uneinheitlich. So erkennt man mitunter starke
spezifische Kompetenzsteigerungen beim Übergang von der Grundschule zur
Sekundarstufe I mit einer Abflachung der Leistungskurve in den oberen Klassen
(vgl. Aufgaben 4, 5, 7, 8, 9). Dies verwundert nicht, da wie schon oben beschrieben,
ab Klasse 8 (in Abhängigkeit der zeitlichen Setzung der Dreieckskonstruktionen)
wenig bis gar nicht mehr konstruiert bzw. gezeichnet wird.
Dieser Trend wird ebenfalls von der Gesamtauswertung gestützt. Trotzdem
muss mit den Ergebnissen vorsichtig umgegangen werden, da bestimmte Begrifflichkeiten
(Skizze, Zeichnen, regelmäßiges Achteck, Zylinder, Quader,
Pyramide, Kegel, Abbildung, …) in der Grundschule noch nicht ausgebildet
sind. So hat ein Grundschüler im Regelfall einen anderen Anspruch an ein „unterschiedliches“
Viereck, als eben hier erwartet wird (z.B. unterschiedlich bezogen
auf die Größe, Form, Lage, …); dies wird von den detaillierten Auswertungen
widergespiegelt. Geschlechtsspezifische Unterschiede bzw. Auffälligkeiten
konnten nicht nachgewiesen werden. Eine Auswertung bzgl. Abhängigkeiten
vom besuchten Wahlpflichtfach ab Klasse 7 bringt ebenfalls teilweise wider-

171
Jürgen Steinwandel
sprüchliche Befunde. So haben Schüler, die „Französisch“ belegt haben, von
Klasse 7 bis 9 den größten Lernzuwachs (bezogen auf die hier gesetzten Items)
und liegen in Klasse 9 über der Technikgruppe. Letztendlich sind hier keine
Aussagen möglich, da die entsprechende Teilgruppe zu klein war.
Meine eigenen Erfahrungen (Kl. 7 – 10)
Als Physiklehrer unterrichtete ich seit meinem Dienstbeginn ausschließlich die
Klassenstufen 7–10 – somit bleiben meine Erfahrungen auf diese Klassenstufen
beschränkt. Besinne ich mich auf die didaktischen und methodischen „Freiheiten“,
die man als Lehrer in diesen Klassenstufen genießt, so fällt auf, dass ab der
9. Klasse ein starker Wandel hin zur Abschlussprüfungsorientierung stattfindet.
Der Druck seitens der Eltern – und somit seitens der Schulleitung ist spätestens
in Klasse 10 sehr groß. Zukunftsängste auf der einen Seite und nicht zuletzt
Prestigesorgen auf der anderen prägen die Diskussion. Hinzu kommt manches
Mal noch ein Konkurrenzgebarde zwischen Lehrern, die eine 10. Klasse unterrichten.
So reduziert sich die didaktisch-methodische Bandbreite zunehmend auf
das Üben von prüfungsähnlichen Aufgaben oder der Prüfungsaufgaben der
letzten Jahre – hierfür gibt es „Gott-sei-Dank“ die Starkbücher im bekannten
rot-weißen Design. Und darin enthalten sind logischerweise keine Konstruktionsaufgaben
mehr – allenfalls das Geodreieck oder der Zirkel zur Anfertigung
einer Skizze werden gebraucht. Genau genommen gibt es nur noch die Geometrie
der trigonometrischen Berechnungen. Immerhin kommen immer wieder
Aufgaben vor, in denen das Erkennen von Ähnlichkeiten, das Zerlegen einer
Fläche bzw. das Komplettieren von Figuren gefordert ist – und dann mit Pythagoras,
Sinus, Kosinus und Tangens (im besonderen Falle auch Ähnlichkeitssätze,
Höhensatz und Kathetensatz) berechnet werden darf. Der Schüler ist aber
spätestens hier seiner geometrischen Handlung beraubt – der direkte Umgang
mit Längen, Verhältnissen und geometrischen Strategien fehlt. Ergebnisse werden
zunehmend rein abstrakt wahrgenommen. Dies fällt spätestens dann auf,
wenn ein Schüler für den Durchmesser eines Fahrradreifens 30 Meter anbietet.
Arbeiten mit z.B. einem dynamischen Geometrieprogramm? Dieser „Luxus“
bzw. „Ausflug“ wird in Klassen 10 i.A. nicht mehr angeboten, da die so kostbare
Zeit hier nicht mehr „vergeudet“ wird. Gegenüberstellungen von Zeichnungen
/ Konstruktionen und Rechnungen , in denen z.B. durch Messungen Ergebnisse
geprüft werden, kommen nicht vor.
Kleiner empirischer Befund bzgl. des mathematischen Alltags an Realschulen.
In der nachfolgenden begrenzten empirischen Erhebung wurden Lehrer zweier
Realschulen befragt. Sie sollten die Unterrichtsintensität (0 = gar nicht, …
3 = zentraler Bestandteil des Unterrichts) einschätzen. Je dunkler das Grau,

Förderung von geometrischen Kompetenzen
desto intensiver bewerten hierbei die Pädagogen die entsprechende Schwerpunktssetzung.
Sehr schön kann man hier die Schwerpunktssetzung des Konstruierens mit dem
Zirkel in Klasse 7 bzw. 8 (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Inkreis, Umkreis,
…) sehen. Davor bzw. danach wird der Zirkel i.A. lediglich z.B. für Kuchendiagramme,
Netze eines Zylinders/Kegels oder andere geometrischen Gebilde
mit Kreisteilen benötigt. D.h., die „Wirkung“ des Konstruktionswerkzeuges
Zirkel scheint tatsächlich an die Dreieckskonstruktionen gebunden zu sein.
Ein erwähnenswertes Konstruieren beim Thaleskreis (Klasse 9) wird von den
Lehrern unterschiedlich bestätigt. In Klasse 10 ist ein Rückgang des Konstruierens
mit Geodreieck und Zirkel erkennbar.
Klasse
Gerade
Lineal/Geodreieck Zirkel
Zeichnen Messen Konstruieren
Halbgerade
Strecke
Winkel
Gerade
Halbgerade
Strecke
Winkel
Lotgerade
Parallele
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
172
Geradenspiegelung
Punktspiegelung
Streckung
Kreis
Zeichnen/
Messen
Kreisbogen
Streckenübertrag
Konstruieren
Schnittpunkt
Mittelsenkrechte
5 3 3 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0
5 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0
5 3 3 3 2 2 3 3 0 2 2 2 0 3 2 2 0 0 0
5 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 2 1 3 0 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 3 2 3 3 3 3 0 3 1 1 0 2 0 3 3 1 1 0 0
6 3 1 3 3 2 1 3 3 3 1 1 1 3 3 1 3 3 0 0 0 0
6 1 0 2 3 1 0 2 3 2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0
Winkelhalbierende

173
Jürgen Steinwandel
7 3 1 3 3 0 0 3 3 3 3 3 3 2 2 1 3 3 3 3 3 3
7 2 0 3 3 3 3 0 2 2 2 1 2 0 3 3 3 3 3 3
7 3 2 3 3 3 1 3 3 0 3 3 3 2 2 0 3 2 0 3 2 2
7 3 1 3 3 1 3 3 3 2 3 3 0 0 0 1 1 0 3 3 3
8 2 1 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1
8 3 1 3 3 3 1 3 3 0 3 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2
8 3 1 3 3 1 3 3 1 2 3 3 0 0 0 1 1 0 3 3 3
9 3 1 3 3 0 0 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3
9 3 1 3 2 3 3 0 2 1 1 2 2 3 2 2 1 2 0 0
9 1 0 2 2 2 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 2 1 1
9 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 3 0 0 0 0
1
0
1
0
Klasse
Gerade
3 1 2 3 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
1 0 2 2 2 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 2 2 1 1
Halbgerade
Strecke
Winkel
Gerade
Halbgerade
Strecke
Winkel
Lotgerade
Parallele
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Geradenspiegelung
Punktspiegelung
Zeichnen Messen Konstruieren
Streckung
Kreis
Kreisbogen
Streckenübertrag
Zeichnen/
Messen
Schnittpunkt
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Konstruieren
Lineal/Geodreieck Zirkel

Förderung von geometrischen Kompetenzen
Fazit
Was kann getan werden, damit die konstruktive Geometrie mit Lineal und Zirkel
wieder einen höheren Stellenwert erhält? Denn eines zeigt die hier beschriebene
geometriespezifische Lehr- und Lernkultur zunehmend: strategisch–
konstruktives Denken und Handeln dient zunehmend nur noch der Einführung
eines Themas, wird jedoch nicht mehr als didaktisches Prinzip verstanden. Ein
Missstand, der sich spätestens bei Abschlussprüfungen deutlich zeigt – denn
hier stellt man fest, dass viele Schüler nur geometrische Standardsituationen
erkennen und aus einem sehr begrenzten diesbezüglichen Repertoire eingeübte
Lösungsmodule „abspulen“ können. So bleibt die Erkenntnis, dass man „das
Pferd von hinten aufzäumen muss“, wenn sich etwas ändern soll – denn nur
wenn die Abschlussprüfungen entsprechende Kompetenzen verlangen, werden
diese entsprechend (eben nicht nur als kurze Einführung, sondern wirklich als
didaktisches Konzept) umgesetzt und gepflegt. Und genau hier anzusetzen, ist
eine sehr diffizile Angelegenheit – denn die Erwartungshaltung und der Druck
von/für Eltern, Lehrer(n), Schulleitungen, Schulämter(n) mit ihren Ministerien,
weiterführende(n) Schulen, Ausbildungsbetriebe(n) und Schüler(n) sind vielfältig,
teilweise unterschiedlich bis konträr und nicht selten sehr unsicher.
Literatur
Goldau (2009). Zeichnerische und geometrische Fähigkeiten in der Sekundarstufe – eine
empirische Studie. Pädagogische Hochschule Weingarten. Nicht veröffentlicht, vorläufige
Untersuchungsergebnisse
Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg (2009). Abschlussprüfungen
der Realschulen (1999 – 2009).
Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg (2009). Bildungsplan für
Hauptschulen und Werkrealschulen
Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg (2009). Bildungsplan für
Realschulen
(2001). Mathematik heute Realschule Baden-Württemberg, Band 5 – 10. Schroedel
Verlag GmbH, Hannover
(2005). Schnittpunkt Mathematik Baden-Württemberg (Realschule), Band 1 – 6. Ernst
Klett Verlag, Stuttgart Düsseldorf Leipzig
174

Matthias Ludwig
Fachbereich Mathematik
Pädagogische Hochschule Weingarten
Kirchplatz 2
88250 Weingarten
ludwig@ph-weingarten.de
Michael Neubrand
Institut für Mathematik´
Autorenverzeichnis
Carl von Ossietzky Universität Oldenburg
D-26111 Oldenburg
neubrand@mathematik.uni-oldenburg.de
Swetlana Nordheimer
Humboldt Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25
12489 Berlin
nordheim@mathematik.hu-berlin.de
Eva-Maria Plackner
Didaktik der Mathematik und Informatik
Otto-Friedrich-Universität Bamberg
Markusplatz 3
96045 Bamberg
eva-maria.plackner@uni-bamberg.de

Autorenverzeichnis
Markus Ruppert
Didaktik der Mathematik
Universität Würzburg
Am Hubland
97074 Würzburg
ruppert@mathematik.uni-wuerzburg.de
Reinhard Oldenburg
Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Robert-Mayer-Straße 10
60054 Frankfurt am Main
oldenbur@math.uni-frankfurt.de
Michael Schneider
Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Robert-Mayer-Straße 10
60054 Frankfurt am Main
mschneid@math.uni-frankfurt.de
Jürgen Steinwandel
Fachbereich Mathematik
Pädagogische Hochschule
Kirchplatz 2
88250 Weingarten
steinwandel@ph-weingarten.de
176

Autorenverzeichnis
Jan Wörler
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Universität Würzburg
Am Hubland
97074 Würzburg
woerler@mathematik.uni-wuerzburg.de
Prof. Dr. Heinrich Winter
Prämienstraße 103.
52076 Aachen
heinrichwinter@gmx.de
177