4. Formenkunde: Formen als Bausteine für Formen - Mathematik

Baireuther Propädeutische Geometrie SoSe 2006
4. Formenkunde: Formen als Bausteine für Formen
Hintergrund: Menschliche Erkenntnis führt immer über die Erschließung der realen
Welt zur Erschließung der „Ideen“, des „geistigen Kerns“ der realen Welt.
Konkret: Das Bauen mit geometrischen Bausteinen geht von der reinen Objekt-
Orientierung zunehmend zu systematischem, kombinatorischem Erschließen der
Form-Möglichkeiten über. Bei genügend konkreter Erfahrung ist dieser Übergang fast
zwangsläufig.
Formenkunde kann integrierender Bestandteil eines Geometrieunterrichts sein,
der sich an der Erschließung der Umwelt mit geometrischen Mitteln orientiert, wenn
• die Formen und ihre Eigenschaften eine wichtige Rolle bei der Wiedergabe der
Umwelt, bei der Planung konkreter Objekte oder bei der ästhetischen Gestaltung
spielen,
• die Betrachtung abstrakter Formen sich an die Prinzipien eines umwelterschließenden
Geometrieunterrichts anlehnt, also speziell den Baustein-Gedanken
systematisch aufgreift.
Das Prinzip der Erschließung einer geometrischen Formenwelt ist dann analog zu
dem der Schaffung von an der Realität orientierten geometrischer Erfahrungswelten:
Form-Gestaltung
schafft
ermöglicht
Formerfahrung
Eine so verstandene Formenkunde "behandelt" nicht einzelne vorweg ausgelesene
Formen isoliert, sondern sie ist die - nicht mehr an die praktisch nutzbare Realisierung
gebundene - Fortsetzung und geistige Durchdringung der konkreten Formerfahrungen
(die aber auch schon im Ansatz selten rein in der realen Dingwelt
angesiedelt sind).
4.1. Induktives Bauen
schafft eine vielfältige Formenwelt durch Kombination von Form-Bausteinen - und
durch systematische Fortsetzung der schon erschlossenen Formenwelt. Die Systematik
der Fortsetzung versucht, eine überschaubare Ordnung in die Vielfalt der
Formmöglichkeiten zu bringen.
a) Polyominoes (Mehrlinge)
sind „kompakte“ Gebilde aus einer festen Anzahl von Bausteinen:

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Die kombinatorische Aufgabe, alle Mehrlinge (Zwillinge, Drillinge, ...) zu finden,
führt zwangsläufig zu induktivem Vorgehen: Alle möglichen Zwillinge entstehen
durch Anfügen eines zweiten Bausteines; durch Anfügen eines weiteren Bausteines
alle möglichen Drillinge u.s.w.
Auf jeder Ebene ist Formvergleich notwendig: Welche Mehrlinge haben die gleiche
Form und nur verschiedene Lage?
Auch wenn die Sammlung (zwangsläufig) unvollständig sein muß, erschließt sich bei
zunehmender Anzahl ein stark wachsender „Zoo“ von Formen, unter denen einige
auffallen, weil sie leicht zu benennen sind (wenn sie Assoziationen ermöglichen, wie
die „L-T-Z-Plättchen") bzw. besonders einfach sind.
b) Systematische Erweiterung von einfachen Formen
Es gibt Formen, die beim Bauen mit Bausteinen besonders auffallen, weil sie sich
auf besonders "natürliche" Weise ergeben oder oft in zumindest verwandter Form
auftauchen. Das Wesentliche dieser Formen kann besonders hervorgehoben
werden, wenn verwandte Figurationen systematisch durch regelmäßiges Weiterbauen
erzeugt werden. Formen, die auf diese Weise beschreiben werden, bekommen
fast zwangsläufig einen Namen:
"Dreieck" oder
"Pyramide"
"Sechseck"
"Breites Dach"
Die Namen treffen nicht immer exakt den Inhalt der zugehörigen geometrischen
Begriffe, sondern sie beziehen sich auf die durch das Bauen hervorgehobene
konkret-geometrische Assoziation.
Bei Weiterbauen bleiben nicht zwangsläufig alle geometrischen Eigenschaften
erhalten. Speziell können Proportionen verzerrt werden (s. Breit-Dach) - gerade
dadurch aber kann der Blick für solche Eigenschaften geschärft werden.

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4.2. Begriffsumfang der Formtypen
a) Grundformen aus Bausteinen
Besonders einfache Formen können selbst wieder als (zusammengesetzte)
Bausteine benutzt werden. Diese Formen kommen beim Bauen häufig vor und
erhalten so fast zwangsläufig einen Namen.
b) „Ähnliche“ Grundformen
Grundformen können aus Bausteinen auf sehr verschiedene Weisen zusammengesetzt
werden. Dabei bahnt sich - wie auch beim systematischen Weiterbauen von
Formen - ein Vorverständnis für Ähnlichkeit („in allen Proportionen gleich“) an, das
aber nicht formalisiert werden kann. Daneben stehen offenere Begriffsdeutungen
wie „die wesentlichen Form-Merkmale sind gleich“. In ihnen ist jeweils eine Begriffsdefinition
enthalten (was sind die wesentlichen Form-Merkmale?). Auch dabei kann
eine vorschnelle Festlegung für eine wirkliche Begriffsbildung eher schädlich sein.
Wichtig ist die Übereinstimmung zwischen konkreter Erfahrung und ihrer verbalen
Beschreibung (d.h. immer anhand von konkret erfahrenen Beispielen und Gegenbeispielen!)
a) Aus verschiedenen Baustein-Sorten dieselbe Form bauen
b) Aus einer Bausteinsorte dieselbe Form in verschiedenen Variationen bauen
Treppe
Rechteck
(Teppich)

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c) Aus einer Bausteinsorte dieselbe Form in verschiedener Größe bauen
4.3. Form und Zahl
Die mit Bausteinen erzeugten Formen hängen nicht nur von der Form der Bausteine,
sondern in gleicher Weise auch von der Anzahl der verwendeten Bausteine ab. Auf
diese Weise wird eine enge Beziehung zwischen geometrischen Formen und Zahlen
hergestellt: Figuren wird über die Anzahl der Bausteine ein Maß zugeordnet (das in
etwa dem Flächeninhalt entspricht) und umgekehrt werden Anzahlen von Bausteinen
übersichtlich angeordnet und strukturiert ("in Form gebracht"). Das meint der
Form-Zahl-Aspekt:
a) Die Zahleigenschaften geometrischer Formen
• Jede geometrische Form wird durch Zahlen charakterisiert:
• Jeder Baustein-Typ hebt spezielle Zahlen hervor
• Jede Zahl-Form schafft Verwandtschaft zwischen Zahlen und damit Zahl-Begriffe
b) Die Formeigenschaften von Zahlen
• Zu jeder Zahl gehören charakteristische geometrische Formen
• Jede Zahl ist (auf viele Weisen) Summe ihrer Teile
• Zahleigenschaften erzeugen geometrische Begriffe
Zu a)
• Wenn eine geometrische Form gebaut werden soll, braucht man ganz bestimmte
Anzahlen von Bausteinen: Hölzchen zum Legen der Seiten, (kreisförmige) Plättchen
zum Markieren der Eckpunkte oder Plättchen zum Auslegen der Form.
• Je nach Baustein-Typ sind andere geometrischen Formen und damit andere
Anzahlen (von benötigten Bausteinen) naheliegend.
Bsp: Mit Quadraten baut man vorwiegend Rechtecke (Mauern) oder Treppen. Mit
Dreiecken ergeben sich vorwiegend größere ähnliche Dreiecke, Rauten (bzw.
Parallelogramme) und sechseckige Formen.
• Jede für eine Zahl typische Form kann in verschiedener Größe gebaut werden.
Damit ist sie auch für eine ganze (unendliche) Folge von Zahlen charakteristisch.

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Die so erzeugten Zahlen haben damit eine gemeinsame Eigenschaft, sie sind
"verwandt". Manchmal haben sie sogar einen gebräuchlichen gemeinsamen
Namen - wenn nicht, kann man einen geeigneten Namen erfinden.
Beispiel:
Quadratzahlen
Zu b)
• Zu jeder Zahl gehören charakteristische geometrische Formen
Die für eine bestimmte Anzahl charakteristischen Formen hängen z.T. stark von
der Form der verwendeten Plättchen ab.
Bsp.: 3 gleichartige Plättchen kann man auf unendlich
viele Weisen anordnen. Nur wenige davon aber sind
"natürlich". Mindestens das (gleichseitige) Dreieck ist
ausschließlich für die Zahl 3 charakteristisch.
• Wenn eine Anzahl von Plättchen übersichtlich (in einer geometrische n Form)
angeordnet ist, kann die Gliederung der geometrischen Form in ihre Teilformen
immer auf eine zugehörige Zerlegung der Anzahl der Bausteine übertragen
werden.
10 = 1 + 2 + 3 + 4 10 = 3 + 3+ 3 + 1 10 = 3 + 5 + 1 + 1
• Bei der Erzeugung von "typischen" Zahlbildern tauchen bestimmte Formen immer
wieder auf. Die Klärung, welche Formen als "ähnlich" angesehen werden sollen,
führt zu geometrischen Begriffsbildungen.
Beispiel: Der Begriff "Trapez" liegt für die verschiedenen nach oben zulaufenden
Mauern aus Kreisen sicher nicht nahe - aber auch eine Einigung auf "Breites
Dach" o.ä. erzeugt Vorerfahrungen zum Begriff "Trapez".