Abstand eines Punktes von einer Ebene
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Aufgabe:<br />
Ein vom Punkt P(4, 5, -1) ausgehender Lichtstrahl wird an der <strong>Ebene</strong> : x + 3y - 2z - 7 = 0<br />
reflektiert. Der reflektierte Strahl durch den Punkt Q(-7, 8, -9). Bestimme den Reflexions-<br />
punkt R und die Gleichung des reflektierten Strahls.<br />
Lösungsidee:<br />
In der Skizze ist die <strong>Ebene</strong> projizierend<br />
dargestellt.<br />
Spiegle Q (oder P) an der <strong>Ebene</strong> .<br />
<br />
7<br />
1 <br />
<br />
Q an spiegeln: l : r 8 t <br />
3 <br />
<br />
9<br />
<br />
2<br />
<br />
tF = -2 Q1 (-11, -4, -1)<br />
analog P ( 2,<br />
1,<br />
3)<br />
1<br />
Der Reflexionspunkt R ist der Schnittpunkt der<br />
Geraden PQ1 mit der <strong>Ebene</strong> :<br />
PQ1: 4 5<br />
<br />
r 5 t <br />
3 tR = -1 R(-1, 2, -1)<br />
<br />
1<br />
0<br />
1<br />
3<br />
<br />
Gleichung des reflektierten Strahls l : r 2 t <br />
5<br />
<br />
1<br />
4<br />
Bem.:<br />
Bei der Aufgabenstellung ist zu überprüfen, ob P und Q in denselben Halbraum <strong>von</strong> . Dies<br />
kann mit der im folgenden besprochenen Hesse’schen Normalform einfach geschehen.<br />
Uebungsaufgabe:<br />
Ein vom Punkt P(-2, -4,-6) ausgehender Lichtstrahl wird an der <strong>Ebene</strong> : 4x - 3y - z - 24 = 0<br />
im Punkt R(2, -6, z) der <strong>Ebene</strong> reflektiert. Bestimme eine Gleichung des reflektierten<br />
Strahls.<br />
Lösung:<br />
Der Punkt P wird an der <strong>Ebene</strong> gespiegelt: Spiegelpunkt P1(6, -10, .4)<br />
Der reflektierte Strahl ist durch die beiden Punkte P1 und R(2, -6, 2) bestimmt.<br />
2 2 <br />
<br />
l: r <br />
6<br />
t <br />
2<br />
<br />
2 1 <br />
<br />
abst_p_ebene 14.01.2012/ul<br />
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