Goniometrie (Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen)

10. Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen (Goniometrie)
Das Problem:
sin ( + ) sin + sin z.B. sin (30° + 60°) sin 30° + sin 60°
sin (2 ) 2 sin z.B. sin (2 45°) 2 sin 45°
Wie heisst es richtig ?
Herleitung:
OA = cos
AB = sin
BD = sin( + )
OD = cos( + )
BC = AB cos = cos sin
AE = OA sin = sin cos
OE = OA cos = cos cos
DE = AC = AB sin = sin sin
BD = BC + CD = BC + AE
OD = OE - DE = OE - AC
Damit gilt:
(1) sin ( + ) = sin cos + cos sin
(2) cos ( + ) = cos cos - sin sin
B:
sin 75° = sin (45° + 30°) = 2 ( 3 1)
20.02.2012 goniometrie/ul
1 1
4
cos 75° = 4 2 ( 3 1)
(1‘) und (2‘) ergeben sich, indem man in (1) und (2) durch - ersetzt und beachtet, dass
sin(- ) = - sin( ) und cos(- ) = cos( ):
(1’) sin ( - ) = sin cos - cos sin
(2’) cos ( - ) = cos cos + sin sin
Aufgabe:
Berechne sin ( + ) direkt aus sin = 3 /5 ( spitz) und sin = 7 /25 ( stumpf)
Wegen sin 2 + cos 2 2
= 1 gilt cos 1 sin
bzw. cos = - 24 /25 und schliesslich sin ( + ) = - 44 /125
Uebungsaufgabe:
Vereinfache: cos(45° + ) + cos(45° - )
Lösung: 2 cos
= 4 /5 und damit cos = 4 /5
26

Herleitungsvarianten:
a) Skalarprodukt
b) mit dem Cosinussatz
Im Einheitskreis sind die Punkte
A(cos , sin ) und B(cos , sin ) gegeben.
Idee:
Berechne AB auf zwei verschiedene Arten:
Cosinussatz:
AB 2 = OB 2 +OA 2 - 2 OA OB cos ( - )
= 2 - 2cos ( - )
Abstandsformel
AB 2 = (cos - cos ) 2 + (sin - sin ) 2
= 2 - 2 (cos cos + sin sin )
und damit (2’)
Wegen sin = cos (90° - ) gilt sin ( + ) = cos((90° - ) - ) womit sich (1’) aus (2’) ergibt.
Das Tangenstheorem
Wegen tan
tan(
)
sin
cos
sin(
cos(
20.02.2012 goniometrie/ul
gilt:
)
)
sin
cos
cos
cos
cos
sin
Tip:
Dividiere Zähler und Nenner durch cos cos
(3)
tan(
Zeige: + = 45°
1
1
tan 3 , tan 3
)
1
2
1
3
1
2
1
3
tan
1
tan
tan( ) 1
1
tan
tan
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
27

Anwendung: Winkel zwischen zwei Geraden g1 und g2 mit den Steigungen m1 und m2.
Gegeben m1 tan 1 und m2 tan 2
Gesucht ist der Winkel um den man g1 im positiven
Sinn drehen muss bis g1 mit g2 zusammenfällt.
tan 2 tan 1 m2
m1
tan tan( 2 1)
(*)
1 tan 2 tan 1 1 m1m2
Interessiert der spitze Winkel, so gehe man in (*)
zum Betrag über.
B:
Die Geraden in der Skizze haben die Gleichungen:
g1: y = 2x – 3 g2: x – 3y + 1 = 0
und damit die Steigungen m1 = 2 bzw. m2 = 1 /3
als Steigungswinkel ergibt sich nach (*) :
tan
2
1
1
3 1 und damit = 45°
2
3
Uebungsaufgabe :
Zeichne die beiden Geraden und bestimme ihren Schnittpunkt unn den spitzen
Zwischenwinkel
g1: A(0,2) B(4,0) m1 = - 1 /2
g2: 2x - 3y + 3 = 0
y = 2 /3 x + 1 m2 = 2 /3
tan = 9 /4 = 60.26°
Wichtiger Spezialfall: = 90° m1 m2 = -1
Satz:
Stehen zwei Geraden mit den Steigungen m1 und m2 aufeinander senkrecht, dann gilt:
m1 m2 = - 1
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Doppelte Winkel
Setzt man in den Additionstheoremen für = , so erhält man
(4.1) sin(2 ) = 2 sin cos
(4.2) cos(2 ) = cos 2 - sin 2 = 1 - 2 sin 2 = 2cos 2 - 1
Bem.
Die Formeln gelten für beliebige Winkel! z.B. sin
Ein Extremalproblem:
2 sin
2
cos
2
Die beiden Schenkel s eines gleichschenkligen Dreiecks schliessen den Winkel ein. Für
welche Wahl von wird der Inhalt des Dreiecks maximal?
I = ½ s 2 sin(2 ) wird maximal für = 45°
Eine Anwendung in der Physik: Maximale Wurfweite beim schiefen Wurf
Uebungsaufgaben:
1)
cot tan
Vereinfache:
cot tan
Lösung: cos(2 )
2)
Beweise
a) sin(3 ) = 3 sin - 4 sin 3 sin(4 ) bzw. cos(3 ) = 4cos 3 -3 cos
1
b)
cos( 2
tan
)
sin( 2 )
c) tan x
1
tan x
2
sin(2 x )
sin( 2 )
d) 2
2 2sin
tan
2
e) 2cos (45 ) 1 sin
2
2sin (45 ) 1 sin
Rationalisierungsformeln
20.02.2012 goniometrie/ul
2
Diese Formeln werden z.B. in der Integralrechnung gebraucht
sin
Beweis:
2t
1 t
2
Verwende tan
2
cos
sin
cos
1
1
2
2
t
t
2
2
tan
2
2t
1 t
2
mit t tan 2
29

Halbe Winkel
AO = OC = 1
OB = cos BD = sin
Dreieck ABD:
BD = sin a BC = 1- cos a
tan
2
sin
1 cos
Dreieck DBC:
tan
2
1 cos
sin
Variante:
cos(2 ) = 1 - 2 sin 2 mit = /2
2
sin
2
1 cos
2
weitere Formeln FuT
Umformung von Summen in Produkte
sin( + ) = sin cos + cos sin
sin( - ) = sin cos - cos sin
Substitution: + = - =
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2 2
und damit:
sin sin 2sin
cos
weitere Formeln FuT
2 2
Diese Formeln werden in der Differentialrechnung bei der Herleitung der Ableitung der
trigonometrischen Funktionen gebraucht. Eine Anwendung ergibt sich in der Physik bei
der Überlagerung von Sinusschwingungen ( SPAM)
Uebungsaufgaben:
1)
Zeige: sin 20° + sin 40° = sin 80°
2)
Zeige: cos + cos( + 120°) + cos( + 240°) = 0
Tip: Fasse den 1. und 3. Summanden zusammen!)
Dazu folgt ein Beispiel:
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Überlagerung von zwei harmonischen Schwingunge mit gleicher Frequenz
Die Überlagerung von y = sin t und y = cos t führt auf y 2 sin t 4
sint cost sint sin( t 2 ) 2 sin( t 4) cos( 4)
= 2 sin( t 4) cos( 4) 2
2
sin t 4 2 sin t 4
Es kann allgemein gezeigt werden, dass gilt:
Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen mit gleicher Frequenz ist wieder eine
harmonische Schwingung mit derselben Frequenz.
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Überlagerung von zwei harmonischen Schwingunge mit ungleicher Frequenz
Schwebungen:
y sin( t) sin( t) 1 2cos( ( 1 ) t) sin( ( ) t )
1 2 2 1 2 2 1 2
Der erste Faktor kann als sich zeitlich verändernde Amplitude mit der Periode
zweite Faktor als Schwingung mitder Periode
1
25
B: y sin(12 t) sin(13 t) 2cos( t) sin( t
)
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2 2
4
1 2
aufgefasst werden
4
1 2
, der
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