Winkelprobleme

6. Winkelprobleme
6.1 Winkel zwischen zwei Ebenen
Unter dem Schnittwinkel zweier nicht paralleler Ebenen 1 und 2 versteht man den nicht
stumpfen Winkel, der von zwei sich schneidenden Geraden g1 1 und g2 2 gebildet wird,
die auf der Schnittgeraden s senkrecht stehen. Da die Normalenvektoren der beiden Ebenen
den gleichen Winkel oder dessen Ergänzung auf 180° einschliessen, gilt gemäss Definition
des Skalarprodukts:
cos
n1 n2
n1
n2
winkel 14.01.2012/ul
Spitzer Schnittwinkel zweier Ebenen mit den
Normalenvektoren 1 n und 2 n
Bem.
Wegen des Betragszeichens im Zähler ist nicht stumpf.
Die Formel ist auch für parallele Ebenen richtig.
B:
1: x - 2y + 3z - 1 = 0 n 1
1
2
3
n1 14
2: 2x + 3y -z +6 = 0 n 1 3
1
n 2 14
cos
7
14
1
2
2
= 60°
Beim Schleiffen von Edelsteinen ist für die Leuchtkraft entscheiden, dass die Facettenebenen
mit der Durchmesserebene genau vorgegebene Winkel einschliessen. Ausserdem müssen die
Grösse der Facetten zueinander in bestimmten Verhältnissen stehen.
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6.2 Neigungswinkel einer Geraden g bezüglich einer Ebene
Unter dem Neigungswinkel einer Geraden g bezüglich einer Ebene versteht man den nicht
stumpfen Winkel zwischen g und der Normalprojektion g auf .
Der Winkel zwischen dem Normalenvektor n
der Ebene und dem Richtungsvektor u der
Geraden kann spitz, 90° oder stumpf sein. In
jedem Fall gilt:
cos
u n
u n
Wegen = 90° - bzw. = 90° - folgt:
cos = cos(90° - ) = sin
Damit gilt:
u n
sin
u n
B:
g:
2 1
r 0 t 2
3 2
: 2x + 3y +6z -12 = 0
sin
1 2
2 3
2 6 20
3 7 21
winkel 14.01.2012/ul
Neigungswinkel einer Geraden g mit dem Richtungsvektor u
bezüglich einer Ebene mit dem Normalenvektor n
u
u
1
2
2
2
3
6
= 72.3
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