17012 - Internetbibliothek für Schulmathematik
17012 - Internetbibliothek für Schulmathematik 17012 - Internetbibliothek für Schulmathematik
ALGEBRA mit dem CASIO ClassPad 300PLUS Teil 2 Mittelstufen-Algebra Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 10. Datei Nr. 17012 Hier nur 15 Seiten als Demo Die Originaldatei gibt es auf der Mathe-CD Friedrich W. Buckel Demo: Mathe-CD Juni 2006 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
- Seite 2 und 3: Die Version 2.0 zeigt dieses Menü:
- Seite 4 und 5: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
- Seite 6 und 7: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
- Seite 8 und 9: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
- Seite 10 und 11: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
- Seite 12 und 13: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
- Seite 14 und 15: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
- Seite 16 und 17: 12912 Algebra 2 mit dem CASIO Class
ALGEBRA<br />
mit dem<br />
CASIO ClassPad 300PLUS<br />
Teil 2<br />
Mittelstufen-Algebra<br />
Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 10.<br />
Datei Nr. <strong>17012</strong><br />
Hier nur 15 Seiten als Demo<br />
Die Originaldatei gibt es auf der Mathe-CD<br />
Friedrich W. Buckel<br />
Demo: Mathe-CD<br />
Juni 2006<br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de
Die Version 2.0 zeigt dieses Menü:<br />
Demo: Mathe-CD
INHALT<br />
§ 3 Termumformungen 1<br />
3.1 Zusammenfassen von Summen 1<br />
3.2 Produkte mit Klammern 1<br />
3.2 Binomische Formeln 2<br />
3.3 Faktorisieren 3<br />
3.4 Brüche zusammenfassen / zerlegen (Polynomdivision) 6<br />
3.5 Terme ordnen und Zusammenfassen 8<br />
3.6 Quadratische Ergänzung und Parabelgleichungen 8<br />
3.7 Aufgaben 8<br />
§ 4 Wurzelalgebra 9<br />
§ 5 Gleichungen mit einer Unbekannten 11<br />
5.1 Einfache Gleichungen 11<br />
5.2 Wurzelgleichungen 13<br />
5.3 Gleichungen höheren Grades 14<br />
5.4 Gleichungen numerisch lösen 15<br />
5.5 Exponentialgleichungen 19<br />
5.6 Logarithmusgleichungen 21<br />
5.7 Trigonometrische Gleichungen 23<br />
§ 6 Gleichungssysteme 35<br />
6.1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 35<br />
6.2 Eine Geradenschar untersuchen 38<br />
6.3 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und<br />
einem Parameter 44<br />
6.4 Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten 53<br />
6.5 Eine Parabelschar untersuchen 55<br />
6.6 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten 57<br />
6.7 Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten 59<br />
6.8 Lösung eines Gleichungssystems wie von Hand 60<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 1<br />
3. Termumformungen<br />
3.1 Zusammenfassen von Summen<br />
Wir beginnen mit einfachen Termen:<br />
a) 2x + 5y−3x− 8y soll zusammengefasst werden.<br />
Dies leistet der Befehl simplify.<br />
b) xy + 5x− 2y + 3xy<br />
Diese Aufgabe steht zweimal im Display.<br />
In der 2. Zeile wurden x und mit der<br />
festen Tastatur eingegeben. xy wird dann<br />
als Produkt von x und y interpretiert.<br />
In der 3. Zeile wurde mit der Software-Tastatur<br />
eingegeben. Jetzt bedeutet xy eine neue Variable,<br />
und nicht das Produkt x⋅y.<br />
Der Befehl simplify zeigt dies und fasst xy<br />
und 3xy nicht zusammen!<br />
Man erkennt die Variablen x, y, z, die mit der<br />
festen Tastatur eingegeben worden sind an<br />
der fetten kursiven Darstellung.<br />
3.2 Produkte mit Klammern<br />
a) 63x ( − 5) = 18x− 30<br />
Die Berechnung klappt mit simplify<br />
b) x6x ( + 5y)<br />
wird mit simplify nicht verarbeitet !<br />
Hier wird expand benötigt!<br />
c) Ebenso bei ( 4x + 2)( 3x− 7)<br />
!<br />
d) Der Term ( )( 3 1<br />
x5x 1 x )<br />
− + führt hier zu einer<br />
4 3<br />
unliebsamen Darstellung mit Dezimalzahlen.<br />
Kein Wunder, denn dies war ja die Grundeinstellung!<br />
Nach Anklicken des Ergebnisses und Anklicken des<br />
Umwandlungs-Icons entsteht das gewünschte Ergebnis.<br />
Dieses wurde in der letzten Zeile durchgeführt !<br />
Das nächste Display zeigt weitere Beispiele.<br />
e) ( x + 1)( x + 2)( x + 3 ) = ...<br />
1 1 1<br />
f) ( ) ( )<br />
x+ x+ x− 1 x=<br />
4 4 5<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 2<br />
3.3 Binomische Formeln<br />
a) 1. Binomische Formel: ( ) 2 2 2<br />
x+ y = x + 2xy+ y<br />
b) 2. Binomische Formel: ( ) 2 2 2<br />
x− y = x − 2xy+ y<br />
2 2<br />
c) 3. Binomische Formel: ( x+ y)( x− y) = x − y<br />
Diese drei Formeln errechnet ClassPad 300 mit dem Befehl<br />
expand, der Terme in Summanden zerlegt.<br />
Doch wie macht man diese Formeln rückgängig, mit anderen Worten:<br />
2 2<br />
Wie kann man ClassPad dazu bringen, dass er aus x + 2xy+ y das Ergebnis<br />
( ) 2<br />
x+ y macht ? Das folgt in 3.4<br />
d) ( ) 3 3 2 2 3<br />
a+ b = a + 3a b+ 3ab + b<br />
e) ( ) 3 x− 4<br />
3 2 2 3<br />
= x − 3 ⋅x ⋅4+ 3 ⋅x⋅4 − 4<br />
3 2<br />
= x − 12x + 48x− 64<br />
f) ( ) 4 4 3 2<br />
x+ 3 = x + 12x + 54x + 108x+ 81<br />
g)<br />
2<br />
( 2a+ b− 3c) = ( 2a+ b− 3c)( 2a+ b− 3c)<br />
2 2 2<br />
= 4a + b + 9c + 4ab −12ac − 6bc<br />
h) ( ) 2 2 2 2<br />
a−b− c = a + b + c −2ab− 2ac+ 2bc<br />
i)<br />
2<br />
1 2 1 1 1<br />
x− + 1 = x + + 1−2⋅x⋅ + 2x−2⋅ ⋅1<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠ x<br />
x x<br />
2 1 2<br />
2 1<br />
= x + + 1− 2+ 2x−<br />
= + − − +<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
x 2x 1 2<br />
x x<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 3<br />
3.4 Faktorisieren<br />
Es gibt 3 Befehle zum Faktorisieren.<br />
(1) factor bewirkt eine einfache Faktorisierung<br />
a)<br />
2 2<br />
x + 2xy+ y (eingegeben mit der richtigen<br />
Tastatur wird zu ( ) 2<br />
x+ y umgeformt.<br />
Schreibt man den Term mit Buchstaben der<br />
virtuellen Tastatur aus dem Display-Menü „abc“,<br />
dann versteht der Rechner „ab“ als neue<br />
Variable und kann daher nicht umformen.<br />
Erst wenn man dazu das Produktzeichen verwendet, klappt es !<br />
b) Auch die 3. Binomische Formel kommt in der umgekehrten Richtung<br />
2 2<br />
x − y = x− y x+ y<br />
zum Vorschein: ( )( )<br />
c) ( ) 2<br />
2<br />
x − 6x+ 9= x− 3<br />
d) ( 3 ) 2<br />
x − 1 = ( x− 1)( x + x+ 1)<br />
2<br />
e) x − 10x+ 16= ( x−8)( x− 2)<br />
f) ( ) 2<br />
1 4 1 2 2 1 4 1 2 1 2<br />
x − x z + z = x − z<br />
4 3 9 2 3<br />
Man erhält jedoch dieses gleichwertige Ergebnis:<br />
( ) 2<br />
2 2<br />
3x − 2y<br />
= !<br />
36<br />
Ich habe es nicht geschafft, „mein“ Ergebnis auf das Display zu<br />
bekommen!<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 4<br />
g) ( ) ( ) 2<br />
2 2<br />
20x − 140x + 245 = 5 4x − 28x + 49 = 5 2x − 7<br />
h) ( ) ( ) 2<br />
2 2<br />
2ab + 12ab + 18a = 2a b + 6b + 9 = 2a b + 3<br />
(Achtung a x b ist das Produkt, „ab“ ist eine neue<br />
Variable und kein Produkt ! )<br />
− = −<br />
2<br />
= 3c ( 4a − 5b)( 4a + 5b)<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
i) 48ac 75bc 3c( 16a 25b)<br />
x 4 − 6x+ 4 = x 4 − x+ 4 = 4 4 9x − 24x+ 16<br />
( ) 2<br />
1 = 3x − 4<br />
9 2 9 2 24 16 1 2<br />
j) ( )<br />
k)<br />
4<br />
27 4 2 2 64 4 81 4 288 2 2 256 4<br />
u − 24u v + v = u − u v + v<br />
4 3 12 12 12<br />
1 4 2 2 4<br />
= ( 81u − 288u v + 256v )<br />
12<br />
2<br />
1 2 2 ( ) 1<br />
2 2<br />
9u − 16v = ( 3u − 4v ) ( 3u + 4v )<br />
12 12<br />
(2) rfactor bewirkt eine Faktorisierung bis hin zu Wurzeln.<br />
Beispiele: (Voreinstellung: Standard statt Dezimalzahlen!)<br />
a)<br />
2<br />
rfactor( x 5<br />
während<br />
− ergibt ( 2<br />
x − 5) = ( x− 5)( x+ 5)<br />
2<br />
factor( x − 5 nichts bewirken kann.<br />
b)<br />
4 ( 2 )( 2<br />
(x − 9) = x − 3 x + 3)<br />
= ( x− 3)( x+ 2<br />
3)( x + 3)<br />
c) ( 4 ) 2<br />
2<br />
x − 2 = ( x − 2 )( x + 2)<br />
d)<br />
e)<br />
2<br />
( )( )( )<br />
= x + 2 x− 2 x + 2<br />
( 4 )( 4 2 )( )<br />
= x+ 2 x− 2 x + 2<br />
1 1<br />
=<br />
( )( )<br />
2<br />
x −8 x− 2 2 x+ 2 2<br />
( )( )<br />
( )<br />
2<br />
x 2 x 2 x 2<br />
− − +<br />
= = x− 2<br />
x+ 2 x+ 2<br />
erreicht man mit simplify und mit rfactor,<br />
Demo: Mathe-CD<br />
während factor gar nichts bewirkt und expand<br />
nur die Summe aufspaltet.
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 5<br />
(3) factorOut bewirkt Ausklammern eines Terms.<br />
Man schreibt den auszuklammernden Term hinter ein<br />
Komma:<br />
2 2<br />
ax + bx + c = a⋅ x + b x+<br />
c erscheint so:<br />
( )<br />
a a<br />
abc + bcd = 1 ( bc + bc<br />
ad d a ) nach Ausklammern<br />
von ad. Man beachte, dass im Classpad unbedingt<br />
das Multiplikationszeichen gesetzt werden muss,<br />
weil sonst abc der Name einer Variablen ist.<br />
ClassPad macht nicht immer das, was wir erwarten:<br />
2 2<br />
x − y = ( x+ y)( x− y)<br />
. Also erwartet man,<br />
2 2<br />
dass man aus x − y den Faktor ( x+ y)<br />
ausklammern kann! Doch das ist eigentlich klar:<br />
Hier sollte man mit expand in ein Produkt zerlegen!<br />
Man kann natürlich auch Zahlenfaktoren ausklammern!<br />
3x + 8y− 5z = 12⋅ 1 x + 2 y− 5 z !<br />
( )<br />
4 3 12<br />
Oder Ausklammern von 2<br />
Oder Ausklammern von a 2 aus<br />
Oder Ausklammern von a<br />
2 2<br />
a b + ab − ab<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 6<br />
3.4 Brüche zusammenfassen / zerlegen (Polynomdivision).<br />
Die folgenden Summen von Bruchtermen bringt man durch Addition auf einen<br />
Hauptnenner, also in eine Form, die man auch Normalform oder Hauptform nennt:<br />
2<br />
4 x + x+ 4<br />
x+ 1+<br />
=<br />
x x<br />
aufgespaltene<br />
Form<br />
Hauptform<br />
4 3 2<br />
2 5 7 x − 5x + 3x − 5x+ 7<br />
x − 5x+ 3− + = 2 2<br />
x x x<br />
<br />
aufgespaltene Form Hauptform<br />
2<br />
( 2x 1) ( x 3) 5<br />
5 + ⋅ − − 2x − x−8 2x + 1− = =<br />
x−3 x−3 x−3 aufgespaltene Form Hauptform<br />
Der Weg von links nach rechts ist leicht. Man muss eben<br />
so erweitern, dass alle Brüche denselben Nenner erhalten.<br />
ClassPad erledigt dies mit dem Befehl Combine<br />
Für viele Zwecke (in der Oberstufe) muss man aber auch einen Bruch von der<br />
Hauptform in einzelne Brüche aufspalten können !<br />
1. Fall: Der Nenner enthält keine Summe<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
2x − 4 2x 4 4<br />
= − = 2 −<br />
x x x x<br />
x+ 8 x 8 1 2<br />
= + = +<br />
4x 4x 4x 4 x<br />
2 2<br />
x + 4 x 4 x 2 1 2<br />
= + = + = x +<br />
2x 2x 2x 2 x 2 x<br />
Die Umformungen gelingen man sieht<br />
sowohl mit simplify wie auch mit propFrac.<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
3 3 2<br />
x − 8 x 8 x 2 1 2 2<br />
Demo: Mathe-CD<br />
4x<br />
= − =<br />
4x 4x 4<br />
− = x<br />
x 4<br />
−<br />
x<br />
3 2 3 2<br />
x + x −4<br />
x x 4<br />
= + − 2 2 2 2<br />
x x x x<br />
4<br />
= x+ 1−<br />
2<br />
x<br />
4 4<br />
x − 4 x<br />
=<br />
8x 8x<br />
4<br />
−<br />
8x<br />
2<br />
x 1<br />
= −<br />
8 2x<br />
1 2 1<br />
= x −<br />
8 2x<br />
2 2 2 2 2<br />
Hier bewirkt simplify nichts mehr!! Man verwende also<br />
stets propFrac !
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 7<br />
2. Fall: Der Nenner enthält eine Summe<br />
Um einen Bruch zu zerlegen, der im Nenner eine Summe enthält, muss man mit<br />
Polynomdivision arbeiten!<br />
(x − 2) : (x + 1) = 1 Rest<br />
− 3<br />
Beispiel 1<br />
x−2 3<br />
= 1−<br />
x+ 1 x+ 1<br />
− (x + 1)<br />
− 3<br />
denn<br />
Beispiel 2<br />
2<br />
x − 9<br />
x−2 = ?<br />
Zuerst wird der „fehlende“ Summand 0x eingefügt. Dann muss man den<br />
Nenner (x-2) mit x multiplizieren, damit x2 entsteht, denn dies muss ja bei<br />
der folgenden Subtraktion wegfallen. Dann bleibt 2x übrig, also wird<br />
der Nenner als nächstes mit 2 multipliziert. Der letzte Rest (Divisionsrest) ist -5.<br />
Er kommt in den Zähler des Restbruches, das Minuszeichen zieht man vor den<br />
Bruchstrich!<br />
2<br />
Ergebnis:<br />
Beispiel 3<br />
Ergebnis:<br />
Beispiel 4<br />
x − 9 5<br />
= x+ 2-<br />
x−2 x− 2<br />
.<br />
3<br />
x − x+ 1<br />
= ?<br />
x−1 + − + − = +<br />
−(x −x<br />
)<br />
2<br />
x − x<br />
2<br />
−(x −x)<br />
0 + 1<br />
3<br />
(x<br />
2<br />
0x x 1):(x 1)<br />
2<br />
x x<br />
3 2<br />
3<br />
x x 1 2<br />
x x<br />
− + 1<br />
= + +<br />
x−1 x− 1<br />
3 2<br />
x + 2x + 2 x<br />
= x+ 2−<br />
2 2<br />
x + 1 x + 1<br />
2<br />
(x + 0x −9):(x − 2) = x + 2<br />
2<br />
−(x −2x)<br />
2x − 9<br />
−(2x−4) − 5<br />
Rest<br />
1<br />
Rest − 5<br />
3 2 2<br />
(x + 2x + 0x + 2):(x + 1) = x + 2<br />
3<br />
− (x + x)<br />
2<br />
2x − x<br />
2<br />
− (2x + 2)<br />
− x<br />
Beispiel 5<br />
4<br />
x + 2<br />
= ?<br />
2<br />
x + 4x+ 4<br />
4 3 2 2 2<br />
( x + 0x + 0x + 0x+ 2 ) : ( x + 4x+ 4) = x − 4x+ 12<br />
4 3 2<br />
− ( x + 4x + 4x )<br />
3 2<br />
−4x − 4x + 0x<br />
( 3 2<br />
−−4x −16x −16x)<br />
2<br />
−32−46 = x − 4x+ 12+<br />
2<br />
x + 4x+ 4<br />
2<br />
12x + 16x + 2<br />
2<br />
− ( 12x + 48x + 48)<br />
−32x −46<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 8<br />
3.5 Terme ordnen und zusammenfassen<br />
Es gibt noch den Befehl collect, dessen Wirkung<br />
man sich ansehen muss:<br />
2<br />
In der Aufgabe x + ( x− a)( x+ b)<br />
werden die Klammern<br />
multipliziert, und dann wird neu geordnet, also zusammengefasst<br />
und dabei x ausgeklammert.<br />
Dies kann collect ! Wie das Display zeigt, kommt man mit<br />
simplify und nicht mit expand zum Ergebnis !<br />
3.6 Quadratische Ergänzung<br />
Diese Methode beherrscht ClassPad nicht. Es gibt jedoch eine Möglichkeit mit Hilfe<br />
von Parabeldarstellung die Lösung in den Griff zu bekommen.<br />
Dies wird im Teil 3 „Funktionen“ gezeigt.<br />
3.7 Aufgaben<br />
a) Berechne: ( ) 5<br />
3x− 4<br />
b) Fasse zusammen: ( )( ) ( )( 1<br />
4x− 2 5x + 1 − 2x− 1 x + 5)<br />
c) Faktorisiere<br />
d) Faktorisiere<br />
e) Faktorisiere<br />
f) Fasse zusammen:<br />
2<br />
x −6x− 55<br />
4 3 2<br />
x + 4x −2x − 12x+ 9<br />
3<br />
x − 8x<br />
g) Zerlege in einzelne Brüche:<br />
Demo: Mathe-CD<br />
x− 2 x x+ 3<br />
+ −<br />
x x+ 1 x− 2<br />
3<br />
x − 2x+ 1<br />
x−4 2
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 9<br />
4. Wurzelalgebra<br />
a) 16x = 4 x schafft man nur mit EXE !<br />
b)<br />
2 2<br />
96x y = 16⋅6⋅x⋅ y = 4⋅ 6 ⋅ x ⋅ y<br />
ist eine schlaue Lösung. Sie berücksichtigt das,<br />
2<br />
was Schüler meist vergessen: x = x ,denn<br />
eine Wurzel ist stets nicht negativ !<br />
c) Mit<br />
2 3<br />
xy<br />
hat ClassPad so seine Probleme,<br />
4<br />
z<br />
denn wir man sieht, lässt er<br />
3<br />
y stehen!<br />
Erwartet hätte man hier<br />
2 3<br />
xy x ⋅ y y<br />
= 4 2<br />
z z<br />
Nebenan sinnlose Versuche zu<br />
Er schafft x x nicht !<br />
3<br />
x !<br />
Achtung:<br />
3<br />
y = y y erfordert keinen Betrag,<br />
da ja y nicht negativ sein darf, wenn y 3 unter<br />
der Wurzel steht ! und z 2 ist auch nie negativ !<br />
d)<br />
2 3 3<br />
x yz − x 4yz + 2xz 9y<br />
= xz yz −x⋅ 2z yz =− xz yz<br />
Im Unterricht setzt man voraus, dass x,y,z bei<br />
solchen Rechnungen nicht negativ sein sollen.<br />
2<br />
Dann ist x = x.<br />
Und dann erhält man oben<br />
gezeigtes Ergebnis.<br />
ClassPad stottert hier , vor allem auch, weil er an<br />
3<br />
z scheitert !<br />
e) Schauen wir uns zwischendurch einige Zahlenrechnungen an:<br />
f)<br />
( ) ( ) 11<br />
11<br />
5+<br />
1 11 1 1<br />
2 2 2 5 2<br />
2 = 2 = 2 = 2 = 2 ⋅ 2 = 32⋅ 2<br />
( )<br />
( )<br />
−2<br />
5<br />
5<br />
2 5<br />
−3 2<br />
1<br />
−<br />
2 ⋅<br />
−5<br />
2 1<br />
2<br />
8 2 2 1 2 2 1<br />
= = = 2 = 2 = = = 2<br />
1<br />
2 8 8 2 2<br />
2 2 ⋅ 2<br />
1 5 3<br />
−2 5 2 −4 −4− 1⋅33 2 2<br />
243 9 = 3 ⋅ 3 = 3 = 3 = =<br />
3 1<br />
2 2 3 ⋅ 3 9<br />
g) ⋅ ( )<br />
Demo: Mathe-CD<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 10<br />
h)<br />
i)<br />
( )<br />
−2<br />
2<br />
3<br />
( z x ) ( )<br />
5 −4<br />
xy ( )<br />
1 1 3 5<br />
3 −2 3 −2 2 5 −4 2 1 2<br />
( ) 2 − 2 −<br />
−2 0 −2<br />
= x y = x =<br />
6<br />
x ⋅y x ⋅y x y x ⋅y ⋅x ⋅y<br />
: = ⋅ =<br />
−2 −3 −2 −3<br />
−2<br />
2<br />
3 6 −3 −6<br />
z ⋅y z ⋅y<br />
z x z ⋅y ⋅ z ⋅ x<br />
( )<br />
Diese Quälereien <strong>für</strong> Schüler kann auch ClassPad<br />
3<br />
5<br />
nicht „lösen“, da er wie gesehen x und x<br />
nicht umformen kann. Daher bleibt ein großes<br />
Ergebnis stehen, das nicht gekürzt werden kann.<br />
3 2<br />
2 2 2x 2 3 2 2 3 2 1 3 2<br />
= ⋅ = ⋅ 2x = ⋅ 2x = 2x<br />
3 3 3 2 3 3<br />
4x 4x<br />
2x 8x<br />
2x a<br />
Hier gelingt mit expand ein Ergebnis, wenngleich<br />
1<br />
3<br />
x nicht in eine dritte Wurzel zurück verwandelt<br />
wird und der Nenner auch nicht rational wird.<br />
Demo: Mathe-CD<br />
1<br />
2<br />
x
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 11<br />
5. Gleichungen mit einer Unbekannten<br />
5.1 „Einfache“ Gleichungen<br />
Zum Lösen von Gleichungen benötigt man den Befehl<br />
solve im Menü Aktion – Gleichungen .<br />
8<br />
a) 5x− 8 = 0 ergibt x =− .<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
Hier verwendet man einfach den Befehl solve ohne<br />
weitere Zusätze.<br />
3<br />
− x+ 2= 0 ist eine Bruchgleichung.<br />
x<br />
L = −1;<br />
3 .<br />
Sie führt auf zwei Lösungen: { }<br />
Zur Erinnerung: Man multipliziert mit x und erhält<br />
diese quadratische Gleichung:<br />
2<br />
3− x + 2x= 0 bzw.<br />
5<br />
2<br />
− x + 2x+ 3= 0.<br />
3x + 2 4x−1 + = 1 führt auf die Lösungszahl<br />
4 5<br />
14<br />
x+ 5<br />
= 8<br />
hat die Lösung x = 3.<br />
x−2 2 2<br />
x − 4 x + 1<br />
− = 1 führt auf eine quadratische<br />
x+ 1 x−1 − 5± 73<br />
Gleichung mit den Lösungen x1,2<br />
=<br />
6<br />
Durch Anklicken des Umwandlungs-Icons<br />
erhält man übrigens diese Brüche in Dezimalform.<br />
Nun wichtige Besonderheiten:<br />
(1) Es gibt Gleichungen, die allgemeingültig sein, weil<br />
sie von jeder Zahl gelöst werden.<br />
a)<br />
2 2<br />
x − 6x+ 9 = (x− 3)<br />
ClassPad gibt hier die Meldung { x= x}<br />
aus, und das heißt: Jedes x ist Lösung !<br />
b) Das tut er auch in Fällen wo es falsch ist:<br />
2<br />
x − 1<br />
= x−1 gilt <strong>für</strong> alle reellen Zahlen<br />
x+ 1<br />
außer <strong>für</strong> die Zahl – 1, denn wenn man sie<br />
einsetzt, wird der Nenner 0 !<br />
L= R\ { −1}<br />
!!! Dies verschweigt CASIO !<br />
31 .<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 12<br />
(3) ClassPad kann auch Formeln umstellen, d. h.<br />
allgemeine Gleichungen lösen:<br />
a)<br />
b)<br />
ax + b = c ⇒ ax = c −b ⇒<br />
c−b x =<br />
a<br />
falls a≠ 0 ist.<br />
y−z xy + yz + xz = 0 ⇒ x =<br />
x+ z<br />
Gibt man nur solve ein, wird nach x umgestellt.<br />
Will man nach y oder z umstellen, setzt man ein<br />
Komma und schreibt diese Variable dahinter!<br />
(4) Quadratische Gleichungen<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
löst ClassPad problemlos.<br />
1 2 3<br />
2 2<br />
x + x− = 0<br />
Über die allgemeine Lösungsformel entsteht:<br />
x1,2 =− 1± 1+ 4 ⋅ 1 ⋅ 3<br />
2 2<br />
{ 1<br />
=− 1± 1+ 3 =− 1± 2=<br />
− 3<br />
1 2<br />
x +3x-3=0 Man sollte nicht mit 4 multiplizieren:<br />
4<br />
− 3± 1 9+ 4⋅<br />
4 3<br />
x<br />
1,2<br />
= 2 ( 3 12) 2 ( 3 2 3)<br />
1<br />
2<br />
=− 6± 4 3<br />
2<br />
x + x+ 1= 0<br />
⋅ = ⋅ − ± = ⋅ − ±<br />
Wendet man die allgemeine Lösungsformel an, folgt<br />
− 1± 1−4 − 1± −3<br />
x1,2<br />
= = . Dies sind keine reellen Lösungen.<br />
2 2<br />
Wenn man die reellen Zahlen als Grundeinstellung gewählt hat gibt ClassPad<br />
No Solution (siehe oben rechts) aus. Ich habe zum Anschauen dann auf<br />
komplexe Zahlen umgeschaltet und haben dann zwei komplexe Lösungen<br />
− 1± 1−4 − 1± −3 − 1± 3 ⋅i<br />
erhalten: x1,2<br />
= = =<br />
2 2 2<br />
i ist die imaginäre Einheit.<br />
d) Man erhält auch die allgemeine Lösungsformel:<br />
− ± −<br />
+ + = ⇒ =<br />
2a<br />
2<br />
ax bx c 0 x1,2<br />
Demo: Mathe-CD<br />
2<br />
b b 4ac
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 13<br />
5.2 Wurzelgleichungen<br />
1 1<br />
a) 2x + 1 = 2x stellt kein Problem dar: x = ± 5<br />
b)<br />
2<br />
1<br />
5− 4x = 2− 3x ergibt x =− .<br />
Die manuelle Lösung durch Quadrieren auf die<br />
2<br />
quadratische Gleichung x + 4x+ 4 = 0 mit<br />
den Lösungen<br />
x<br />
1,2<br />
13<br />
1,2 4 4<br />
12 ± 144 + 4 ⋅ 13 12 ± 196 12 ± 14 ⎧ 1<br />
= = = = ⎨<br />
26 26 26 ⎩−<br />
Die Lösung 1 scheidet jedoch aus, weil <strong>für</strong> sie die<br />
Probe nicht stimmt. ClassPad erkennt dies !<br />
c) x− 1= 2x ergibt x= 2+ 3 . Auch hier<br />
scheidet eine zweite Lösung aus.<br />
d) x + 1= x+ 5 wird mit x = 4 gelöst.<br />
e) x+ 16 + x− 4 = 2 führt über zweifaches Quadrieren zu x = 20, aber die<br />
Probe stimmt nicht, daher ist hier die Lösungsmenge leer !<br />
1<br />
13<br />
Demo: Mathe-CD
12912 Algebra 2 mit dem CASIO ClassPad 300 14<br />
5.3 Gleichungen höheren Grades<br />
a)<br />
b)<br />
3 2<br />
x + 7x + 20x+ 20 = 0 erfordert manuell einen<br />
hohen Aufwand, da man ein Probierlösung finden muss,<br />
dann wird der Gleichungsterm durch Abspalten eines<br />
Linearfaktors in ein Produkt zerlegt. Dies geschieht<br />
entweder mittels Hornerschema oder mit Polynomdivision.<br />
ClassPad erspart und dies und liefert uns:<br />
x = -2 falls die Grundeinstellung „reelle Zahlen“ heißt.<br />
Verwendet man komplexe Zahlen, erhält man noch<br />
− 5± 15 ⋅i<br />
zusätzlich zwei komplexe Lösungen: x2,3<br />
=<br />
2<br />
(2. Lösungszeile).<br />
4 3<br />
x + 5x −20x− 16= 0 ergibt wie man sieht vier<br />
ganzzahlige Lösungen.<br />
c)<br />
4<br />
Die Gleichung x − 2= 0 führt auf<br />
4<br />
x = 2 ⇒<br />
4<br />
x1,2 =± 2 , was ClassPad mittels<br />
Exponenten darstellt.<br />
d)<br />
4 3<br />
x 2x 1 0<br />
− + = ergibt drei Lösungen, die<br />
ClassPad als Näherungs-Dezimalzahlen ausgibt.<br />
Eine geschlossene Darstellung gelingt hier nicht mehr.<br />
e) Ähnliches beobachtet man bei der dargestellten<br />
Gleichung 5. Grades. Hier rechnet ClassPad mit<br />
einem Algorithmus, der diese Näherungswerte<br />
liefert.<br />
Demo: Mathe-CD