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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 26 Die Frage nach der langfristigen Entwicklung ist im Grunde die Frage nach dem Grenzwert dieser Folge an. Man kann diesen hier durch eine sachliche Überlegung finden: Der Wirkstoffgehalt hat sein Maximum erreicht, wenn in den 6 Folgestunden gerade diese Menge abgebaut wird, die dann wieder durch die Injektion zugeführt wird, also 50 mg. Bezeichnen wir den Maximalwert des Wirkstoffgehalts als a*, dann bedeutet dies, dass die nach 6 Stunden noch vorhandene Menge a* ⋅ 0,82 durch die Injektion um 50 mg erhöht wird, aber dadurch wieder a* entsteht. Dies heißt: a* = a * ⋅ 0,82 + 50 a* − a* ⋅ 0,82= 50 | - a* ⋅ 0,82 ( ) a* 1− 0,82= 50 a* ⋅ 0,18= 50 (*) 50 a* = ≈ 277,78 0,18 Man hätte auch den Ansatz so machen können: Hinweis: Der Grenzwert a* ist dann „erreicht“, wenn die Wirkstoffabnahme, und das ist a* ⋅ 0,18, genau so groß ist wie die Wirkstoffzufuhr 50 (mg). Dies entspricht der Gleichung (*). Ich habe das Wort „erreicht“ in Anführungszeichen gesetzt, weil streng mathematisch eine Folge niemals ihren Grenzwert erreicht sondern sich ihm asymptotisch nähert. Rundet man jedoch (was in der medizinischen Praxis natürlich der Fall ist, weil man nicht beliebig feine Messungen durchführen kann, dann wird dieser Grenzwert sehr wohl „erreicht“. Die langfristige Schwankung im Blut bewegt sich dann zwischen diesem Maximalwert von gerundeten 278 mg und 278 mg ⋅0,82 ≈ 228 mg vor der nächsten Injektion. Demo: Mathe-CD Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 27 Zusätze: (1) Welche Exponentialfunktionen beschreiben die fallenden Teilkurven? k t f x =C ⋅e (Basis e) 1. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion ( ) ⋅ 1 1 kt Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t C1 e ⋅ = ⋅ . Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte: P1( 0|50 ) : 1 ( ) P ( 6|50⋅ 0,82) ( ) 2 f 0 50 1 = ergibt: 1 f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt: −0,033 ⋅t Ergebnis: f () t = 50⋅ e mit 0 ≤ t < 6 1 C = 50 (Startwert!) 6k 50 ⋅ e = 50 ⋅ 0,82 6k e = 0,82 6k = ln0,82 ln0,82 k = ≈ − 0,033 6 t 2. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion f1( x ) =C1⋅b . t Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t = C1⋅ b . Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte: P1( 0|50 ) : 1 ( ) P ( 6|50⋅ 0,82) ( ) 2 f 0 50 1 = ergibt: 1 f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt: t Ergebnis: f () t = 50 ⋅ 0,967 mit 0 ≤ t < 6 1 Umrechnung dieser Abnahmefunktionen ineinander: Oder: 1 −0,033 ⋅t () = ⋅ soll übergehen in die Form ( ) f t 50 e Dann muss gelten: Also ist 1 () b = e t −0,033 ⋅t ( ) t t b 0,033 e − = −0,033 b = e ≈ 0,967... t = ⋅ soll übergehen in die Form 1 () f t 50 0,967 Dann muss gelten: k ⋅ t t e = 0,967 ( ) t k e t = 0,967 bzw. Also ist k = ln0,967 ≈ − 0,0335... C = 50 (Startwert!) t 50 ⋅ b = 50 ⋅ 0,82 6 b = 0,82 6 b = 0,82 ≈ 0,967465.... f t = 50⋅ b Demo: Mathe-CD Friedrich Buckel www.mathe-cd.de 1 t kt f t 50 e ⋅ = ⋅ k e = 0,967.
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 27<br />
Zusätze:<br />
(1) Welche Exponentialfunktionen beschreiben die fallenden Teilkurven?<br />
k t<br />
f x =C ⋅e (Basis e)<br />
1. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion ( ) ⋅<br />
1 1<br />
kt<br />
Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t C1 e ⋅<br />
= ⋅ .<br />
Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte:<br />
P1( 0|50 ) : 1 ( )<br />
P ( 6|50⋅ 0,82)<br />
( )<br />
2<br />
f 0 50<br />
1<br />
= ergibt: 1<br />
f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt:<br />
−0,033 ⋅t<br />
Ergebnis: f () t = 50⋅ e mit 0 ≤ t < 6<br />
1<br />
C = 50 (Startwert!)<br />
6k<br />
50 ⋅ e = 50 ⋅ 0,82<br />
6k<br />
e = 0,82<br />
6k = ln0,82<br />
ln0,82<br />
k = ≈ − 0,033<br />
6<br />
t<br />
2. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion f1( x ) =C1⋅b .<br />
t<br />
Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t = C1⋅ b .<br />
Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte:<br />
P1( 0|50 ) : 1 ( )<br />
P ( 6|50⋅ 0,82)<br />
( )<br />
2<br />
f 0 50<br />
1<br />
= ergibt: 1<br />
f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt:<br />
t<br />
Ergebnis: f () t = 50 ⋅ 0,967 mit 0 ≤ t < 6<br />
1<br />
Umrechnung dieser Abnahmefunktionen ineinander:<br />
Oder:<br />
1<br />
−0,033 ⋅t<br />
() = ⋅ soll übergehen in die Form ( )<br />
f t 50 e<br />
Dann muss gelten:<br />
Also ist<br />
1<br />
()<br />
b = e<br />
t −0,033 ⋅t<br />
( ) t<br />
t<br />
b<br />
0,033<br />
e −<br />
=<br />
−0,033<br />
b = e ≈ 0,967...<br />
t<br />
= ⋅ soll übergehen in die Form 1 ()<br />
f t 50 0,967<br />
Dann muss gelten:<br />
k ⋅ t t<br />
e = 0,967<br />
( ) t<br />
k<br />
e<br />
t<br />
= 0,967 bzw.<br />
Also ist k = ln0,967 ≈ − 0,0335...<br />
C = 50 (Startwert!)<br />
t<br />
50 ⋅ b = 50 ⋅ 0,82<br />
6<br />
b = 0,82<br />
6 b = 0,82 ≈ 0,967465....<br />
f t = 50⋅ b<br />
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Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
1<br />
t<br />
kt<br />
f t 50 e ⋅<br />
= ⋅<br />
k<br />
e = 0,967.
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