Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 36
Die letzte Frage gibt dem Schüler Spielraum für eigene Ideen.
Wir haben diesen Sachverhalt: Der Arzt injiziert alle 6 Stunden 50 mg eines Rheumamittels.
In dieser Zeitspanne 6 Stunden nimmt der Wirkstoffanteil im Blut exponentiell (prozentual) ab.
Im Laufe der Zeit schaukelt sich dies aber so auf, dass das Maximum der Wirkstoffgehaltes sich dem
Grenzwert 277,78 mg nähert. Der Patient soll aber die Obergrenze von 200 mg nicht überschreiten.
In der letzten Teilaufgabe wurde dies so erreicht, dass nach der 6 Injektion die Zeitspanne bis zur
Verabreichung der Folgeinjektion so vergrößert worden ist, dass sie den Wirkstoffanteil auf gerade
200 mg erhöht. Dann wurde gewartet, bis dieser Wert wieder auf 150 mg abgesunken ist.
Es sind Injektionsmodelle denkbar, die mit einem konstanten Injektionsrhythmus einher gehen.
1. Modell: Der Arzt behält den 6-Stunden-Rhythmus bei, spritzt aber weniger als 50 mg.
Welche Dosis muss er verabreichen, damit der Grenzwert genau 200 mg ist?
2. Modell: Der Arzt injiziert regelmäßig 50 mg, vergrößert jedoch die Zeitspanne zwischen den
Injektionen.
Mathematische Untersuchung des 1. Modells:
Die Injektion des Rheumamittels hat eine exponentielle Abnahme des Wirkstoffes um 18% in der
Zeitspanne Δ t = 6 h zur Folge. Dies führt zu einem Abnahmefaktor von q = 1 – p = 1 – 0,18 = 0 82.
Die Zahlenfolge an gibt den Wirkstoffgehalt im 6-Stundenraster jeweils direkt nach der Injektion an.
Die noch zu bestimmende Dosis der Injektion wird zunächst mit d bezeichnet:
Wertetabelle der Folge an.
a d =
Anfangswert nach der 1. Spritze. O
Nach 6 h 18% weniger., dann neue Injektion (+d); a1 = a0 ⋅ 0,82 + d
Nach 6 h 18% weniger., dann neue Injektion (+d); a2 = a1⋅ 0,82 + d
a = a ⋅ 0,82 + d
usw.
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:
a d
Berechnung des Grenzwertes a*:
Wegen lim an = d und n−1 n→∞ n→∞ a* a * 0,82 d
3 2
Demo: Mathe-CD
0 = zusammen mit n n−1 = ⋅ + bzw. ( )
a = a ⋅ 0,82+ d
(G)
lim a = d folgt aus der Gleichung (G) für n →∞:
d = a * − a * ⋅ 0,82 = a * 1− 0,82 = a * 0,18
Für den gewünschten Grenzwert a* = 200 folgt somit eine Injektionsdosis
d = 200 ⋅ 0,18 = 36 ( mg)
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de