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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 34 (5) Erweiterung der Aufgabe durch diese Teilaufgabe: Lösung: Ein Patient soll von diesem Wirkstoff maximal 200 mg im Blut haben. Nach der wievielten Injektion ist diese Grenze überschritten? Der behandelnde Arzt möchte daher zu diesem Zeitpunkt die folgende Injektion so lange hinauszögern, bis gesichert ist, dass die Folgeinjektion einen neuen Wirkstoffgehalt von 200 mg ergibt. Berechne den Zeitpunkt der neuen Injektion. Wie geht das mit den Folgeinjektionen weiter? 1. Schritt: Ermittlung des Zeitpunkts, wann der Wirkstoffgehalt 200 mg übersteigen würde. Man benötigt hierzu entweder die Wertetafel, die oben mit dem CAS-Rechner erstellt worden ist und die man auch mit jedem anderen Rechner aufstellen kann. Daraus ersieht man, dass schon die 7. Injektion (a6 = 205,5) zu einer Überschreitung des Grenzwerts führt. Oder man verwendet den expliziten Berechnungsterm für die Folge an: Daraus folgt diese Ungleichung: an200 > n n 1 ( ) a 277,78 1 0,82 + = ⋅ − ( n+ 1) ( 1 n+ 1 0,82 ) 200 277,78 ⋅ 1− 0,82 > 200 − > | -1 277,78 n+ 1 200 −77,78 − 0,82 > − 1 = 277,78 277,78 0,82 n+ 1 > n 1 Logarithmieren ergibt: ( ) 77,78 277,78 + 77,78 log 0,82 > log 277,78 Logarithmengesetze anwenden ( n + 1) ⋅ log( 0,82) > log77,78 − log 277,78 Also ist a5 < 200 und a6 > 200 mg. Demo: Mathe-CD log77,78 − log 277,78 n+ 1> log 0,82 log77,78 − log 277,78 n > −1≈ 5,4 log 0,82 Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 35 Zweiter Schritt: Die zu n = 5 gehörende 6. Injektion führt zu einem Wirkstoffgehalt von a = 193,331 (mg). Die nächste Injektion darf erste verabreicht werden, wenn 5 der Wirkstoffgehalt im Blut auf 150 mg abgesungen ist. Dann nämlich erreicht durch die folgende Verabreichung der Wirkstoffgehalt die 200 mg-Grenze. Wir stellen die Uhr bei Verabreichung der 6. Injektion auf 0 und gehen von dem Wert aus, dass in 6 Stunden der Wirkstoffanteil um 18% auf 82% abnimmt: 5 t ( ) = ⋅ f x 193,331 0,82 Wann ist der Wert 150 erreicht? t 193,331⋅ 0,82 = 150 t 150 0,82 = 193,331 t 150 log 0,82 = log 193,331 t ⋅ log 0,82 = log 150 − log193,331 log 150 − log193,331 t = ≈ 1,23 log 0,82 Die Einheit für t ist hierbei 6 Stunden. Also entspricht der Wert t = 1,23 etwa 7,4 Stunden also 7 Stunden und 23 Minuten. −0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) Verwendet man die oben errechnete Teilfunktion f ( t) a e 193,33 e 6 = 5 ⋅ = ⋅ , welche die zeitliche Abnahme nach 30 h beschreibt (also nach der 6. Injektion), dann kann man hier die auch die Gleichung f6( t) = 150 lösen lassen. Mit TI Nspire CAS erhält als Lösung t = 37,7 Stunden (nach Behandlungsbeginn). Das sind 7 h und 42 Minuten nach der letzten Injektion. Wenn der Arzt dann seine 50 mg verabreicht, steigt der Wirkstoffgehalt auf den Maximalwert von 200 mg an. Jetzt muss er nur noch den Zeitpunkt kennen, in dem der Gehalt wieder auf 150 mg gesunken ist. Die angegebene Abnahme um 18% pro 6 Stunden (als Zeiteinheit) führt auf diese gt = 2000,82 ⋅ (t ab dem Zeitpunkt der Injektion). Abnahmefunktion: () t Demo: Mathe-CD t Bedingung: g() t = 150 ⇔ 200 ⋅ 0,82 = 150 150 200 t ⋅ log 0,82 = log 0,75 log0,75 t = ≈ 1,45 log0,82 t 0,82 = = 0,75 Das sind 1, 45 ⋅ 6 = 8, 7 Stunden, also 8 Stunden und 42 Minuten. In diesem Zeitabstand sind also die Injektionen zu verabreichen, damit der Wirkstoffgehalt nach jeder Injektion wieder 200 mg beträgt. Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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Zweiter Schritt: Die zu n = 5 gehörende 6. Injektion führt zu einem Wirkstoffgehalt von<br />
a = 193,331 (mg). Die nächste Injektion darf erste verabreicht werden, wenn<br />
5<br />
der Wirkstoffgehalt im Blut auf 150 mg abgesungen ist. Dann nämlich erreicht<br />
durch die folgende Verabreichung der Wirkstoffgehalt die 200 mg-Grenze.<br />
Wir stellen die Uhr bei Verabreichung der 6. Injektion auf 0 und gehen von dem Wert aus,<br />
dass in 6 Stunden der Wirkstoffanteil um 18% auf 82% abnimmt:<br />
5<br />
t<br />
( ) = ⋅<br />
f x 193,331 0,82<br />
Wann ist der Wert 150 erreicht?<br />
t<br />
193,331⋅ 0,82 = 150<br />
t 150<br />
0,82 =<br />
193,331<br />
t 150<br />
log 0,82 = log<br />
193,331<br />
t ⋅ log 0,82 = log 150 − log193,331<br />
log 150 − log193,331<br />
t = ≈ 1,23<br />
log 0,82<br />
Die Einheit <strong>für</strong> t ist hierbei 6 Stunden. Also entspricht der Wert t = 1,23 etwa 7,4 Stunden<br />
also 7 Stunden und 23 Minuten.<br />
−0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) Verwendet man die oben errechnete Teilfunktion f ( t) a e 193,33 e<br />
6 = 5 ⋅ = ⋅ ,<br />
welche die zeitliche Abnahme nach 30 h beschreibt (also nach der 6. Injektion),<br />
dann kann man hier die auch die Gleichung f6( t) = 150 lösen lassen.<br />
Mit TI Nspire CAS erhält als Lösung t = 37,7 Stunden (nach Behandlungsbeginn).<br />
Das sind 7 h und 42 Minuten nach der letzten Injektion.<br />
Wenn der Arzt dann seine 50 mg verabreicht, steigt der Wirkstoffgehalt auf den Maximalwert<br />
von 200 mg an. Jetzt muss er nur noch den Zeitpunkt kennen, in dem der Gehalt wieder auf 150 mg<br />
gesunken ist.<br />
Die angegebene Abnahme um 18% pro 6 Stunden (als Zeiteinheit) führt auf diese<br />
gt = 2000,82 ⋅ (t ab dem Zeitpunkt der Injektion).<br />
Abnahmefunktion: () t<br />
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t<br />
Bedingung: g() t = 150 ⇔ 200 ⋅ 0,82 = 150<br />
150<br />
200<br />
t ⋅ log 0,82 = log 0,75<br />
log0,75<br />
t = ≈ 1,45<br />
log0,82<br />
t<br />
0,82 = = 0,75<br />
Das sind 1, 45 ⋅ 6 = 8, 7 Stunden, also 8 Stunden und 42 Minuten.<br />
In diesem Zeitabstand sind also die Injektionen zu verabreichen, damit der Wirkstoffgehalt nach<br />
jeder Injektion wieder 200 mg beträgt.<br />
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