Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 34<br />
(5) Erweiterung der Aufgabe durch diese Teilaufgabe:<br />
Lösung:<br />
Ein Patient soll von diesem Wirkstoff maximal 200 mg im Blut haben. Nach der wievielten<br />
Injektion ist diese Grenze überschritten?<br />
Der behandelnde Arzt möchte daher zu diesem Zeitpunkt die folgende Injektion so lange<br />
hinauszögern, bis gesichert ist, dass die Folgeinjektion einen neuen Wirkstoffgehalt von 200 mg<br />
ergibt. Berechne den Zeitpunkt der neuen Injektion. Wie geht das mit den Folgeinjektionen<br />
weiter?<br />
1. Schritt: Ermittlung des Zeitpunkts, wann der Wirkstoffgehalt<br />
200 mg übersteigen würde.<br />
Man benötigt hierzu entweder die Wertetafel, die oben mit dem<br />
CAS-Rechner erstellt worden ist und die man auch mit jedem<br />
anderen Rechner aufstellen kann. Daraus ersieht man, dass<br />
schon die 7. Injektion (a6 = 205,5) zu einer Überschreitung<br />
des Grenzwerts führt.<br />
Oder man verwendet den expliziten Berechnungsterm <strong>für</strong> die Folge an:<br />
Daraus folgt diese Ungleichung: an200 ><br />
n<br />
n 1 ( )<br />
a 277,78 1 0,82 +<br />
= ⋅ −<br />
( n+ 1)<br />
( 1<br />
n+ 1<br />
0,82 )<br />
200<br />
277,78 ⋅ 1− 0,82 > 200<br />
− > | -1<br />
277,78<br />
n+ 1 200 −77,78<br />
− 0,82 > − 1 =<br />
277,78 277,78<br />
0,82<br />
n+ 1<br />
><br />
n 1<br />
Logarithmieren ergibt: ( )<br />
77,78<br />
277,78<br />
+ 77,78<br />
log 0,82 > log<br />
277,78<br />
Logarithmengesetze anwenden ( n + 1) ⋅ log( 0,82) > log77,78 − log 277,78<br />
Also ist a5 < 200 und a6 > 200 mg.<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
log77,78 − log 277,78<br />
n+ 1><br />
log 0,82<br />
log77,78 − log 277,78<br />
n > −1≈ 5,4<br />
log 0,82<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de