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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 32 (4) Untersuchung der Folgen an und bn mit dem CAS-Rechner TI Nspire. Es gibt 2 Möglichkeiten, diese Zahlenfolgen mit einem CAS-Rechner darzustellen: 1. Methode: Man benötigt drei Spalten. In die Spalte A trägt man x bzw. t ein. In den Spaltenkopf sollte man nicht d oder t eintragen sondern z.B. lt (zur Erinnerung an Liste t), dann die Spalte B für die Folge bn (Spaltenkopf lb) und C für an (Spaltenkopf la). Dann füllt man die erste Zeile aus und setzt den Cursor auf das Feld a1. Mit dem Menü b33 wird die Umrandung gestrichelt, und mit der Cursortaste zieht man sie so weit nach unten, wie man das haben möchte. Dann berechnet man b2 durch die Eingabe = c1⋅ 0,82 und das Feld c2 durch = b2 + 50 . Jetzt markiert man b2 und c2 mit und zieht mit b33 die Markierung nach unten. So erhält man die dargestellten Werte der beiden Folgen. Diese Folgen kann man graphisch darstellen. Man öffnet ein Grafikfenster und ruft Streu-Plot auf. In die beiden Rahmen am unteren Bildrand trägt lt und la (für die zweite Folge lt und lb) ein. Dazu drückt man auf die Zeigertaste in der Mitte des Cursors, wählt das Passende aus und schließt mit · . Auf diese Weise entstehen dann die beiden Folgen. Man muss jedoch die Fensterparameter günstig wählen (b41 ), sonst sieht man zunächst gar nichts. Demo: Mathe-CD Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 33 2. Methode: Eingabe der rekursiven Vorschrift. Nebenstehend erkennt man, wie man die Formel eingibt. Wir wissen: a0= 50 mit an = an−1⋅ 0,82+ 50. Das Ergebnis steht rechts im Screenshot. Ermittlung der expliziten Vorschrift für die Folge an durch exponentielle Regression. WISSEN: Da mit dieser Regressionsmethode nur Funktionen vom Typ x f(x) = a⋅ b berechnet x können, hier aber der Typ h( x) = S−a⋅ b vorliegt, muss man zuerst die Hilfsfunktion x f( x) = S− h(x) = a⋅ g bestimmen. Man benötigt also zuerst eine noch zu erstellende Wertetabelle für S – h(x), wobei h(x) hier durch die Folge an repräsentiert wird. Folglich ergänzt man die oben erstellte Tabelle durch eine neue Spalte lw. In d1 trägt man ein: = 277,78 − c1. Dieses Feld wird dann nach unten so weit verlängert, bis man die gewünschten Daten hat. Dann erst folgt die eigentliche Regression. Man setzt den Cursor in den Kopf der Spalte E. Über das Menü b41 ruft man diese Methode auf. Dazu will Nspire einiges wissen: Nach „OK“ erhält man die Ergebnisse: Demo: Mathe-CD x x Die Werte der Spalte D gehören also zu dieser Funktion: f ( x) = a ⋅ b = 227,743 ⋅ 0,82 x Daraus gewinnen wir die gesuchte Funktion h(t) so: h( x) = S−a⋅ b x 227,743 x ( ) = − ⋅ = ( − ⋅ ) h x 277,78 227,743 0,82 277,78 1 277,78 0,82 h x x = 277,78 1−0,82⋅ 0,82 ( ) ( ) Ergebnis: x 1 h( x) 277,78( 1 0,82 ) + = − . Friedrich Buckel www.mathe-cd.de la
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