Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik
Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 30 Unsere Summe (S1) ist erstens anders angeordnet, zweitens verwendet sie aO statt a1 und drittens besteht sie aus (n+1) Summanden, was man an den Exponenten 0 bis n sieht (das sind n+1 Zahlen). Daher muss man die Summenformel so anpassen: Dabei ist q = 0,82 und aO = 50. Damit folgt: 1−q sn+ 1= aO⋅ 1−q n+ 1 n n−1 2 1−0,82 sn+ 1= aO⋅ 0,82 + aO⋅ 0,82 + ... + aO⋅ 0,82 + aO⋅ 0,82+ aO= aO⋅ = a n !! 1−0,82 Umformen: 1−0,82 an= 50⋅ 0,18 Friedrich Buckel www.mathe-cd.de n+ 1 50 an= ⋅ 1− 0,82 0,18 n+ 1 ( ) an n 1 277,78 ( 1 0,82 ) + = ⋅ − Wir testen diese Formel: 1 = ⋅( − 2 ) = 2 = ⋅( − 3 ) = Anwendung: a 277,78 1 0,82 91 a 277,78 1 0,82 124,62 usw. Dies ist die Folge der Hochpunkte in unserer Funktion f, welche den Wirkstoffgehalt des Rheumamittels im Blut beschreibt, wenn nach jeweils 6 Stunden eine neue Injektion erfolgt. Verbinden wir diese Punkte zu einer stetigen Kurve, dann lautet deren t Funktionsgleichung 6 () 1 h t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞ = ⋅⎜ − ⎟, denn wegen der ⎝ ⎠ Schrittweite Δ t = 6 müssen wir t stets durch 6 dividieren um auf Δ t = 1 zu kommen, was für die Funktion erforderlich ist. Demo: Mathe-CD Rechts sehen wir das Schaubild von h zusätzlich eingezeichnet. Und dies ist eine andere Darstellung des Schaubildes von h mit ihrer waagerechten Asymptote y = 277,78. n+ 1 Die Aufstellung des Funktions- terms von h mittels CAS und exponentieller Regression folgt weiter hinten.
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 31 (3) Zeigen Sie, dass die Funktion h(t) die Differentialgleichung des beschränkten Wachstums erfüllt. Diese lautet (Siehe Datei 49402): f'( t) = r⋅ S−f( t) ⎡⎣ ⎤⎦ Diese DGL. besagt, dass die momentane Wachstumsrate, welche durch die Ableitung der Wachstumsfunktion definiert wird, proportional zur Differenz zum Grenzwert ist. t 6 1 h() t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞ = ⋅⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ t 6 1 () 6 1 ⎛ ⎞ = ⋅ − ⋅ h' t 277,78 0,82 + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ Die Konstante S ist der Grenzwert S = 277,78 Dann ist ⎛ S − h() t = 277,78 −277,78 ⋅⎜1− 0,82 ⎝ ⎞ ⎟ = 277,78 ⋅0,82 ⎠ Setzt man links und rechts in die Differentialgleichung ein, folgt: t t 6 1 6 6 1 1 277,78 0,82 r 277,78 0,82 + + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⋅⎜− ⎟⋅ = ⋅⎢ ⋅ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1 Man erkennt: Für r =− ist die DGL erfüllt. 6 t+ 1 t+ 1 6 6 Demo: Mathe-CD Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
- Seite 1 und 2: Gebrochen rationale Funktionen Aufg
- Seite 3 und 4: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 5 und 6: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 7 und 8: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 9 und 10: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 11: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 15 und 16: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 17 und 18: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
- Seite 19: 43200 gebr. rat. Funktionen Anwendu
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 31<br />
(3) Zeigen Sie, dass die Funktion h(t) die Differentialgleichung des beschränkten<br />
Wachstums erfüllt.<br />
Diese lautet (Siehe Datei 49402): f'( t) = r⋅ S−f( t)<br />
⎡⎣ ⎤⎦<br />
Diese DGL. besagt, dass die momentane Wachstumsrate, welche durch die Ableitung<br />
der Wachstumsfunktion definiert wird, proportional zur Differenz zum Grenzwert ist.<br />
t<br />
6 1<br />
h() t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞<br />
= ⋅⎜ − ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
t<br />
6 1<br />
() 6<br />
1 ⎛ ⎞<br />
= ⋅ − ⋅<br />
h' t 277,78 0,82 +<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
Die Konstante S ist der Grenzwert S = 277,78<br />
Dann ist<br />
⎛<br />
S − h() t = 277,78 −277,78 ⋅⎜1− 0,82<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟ = 277,78 ⋅0,82<br />
⎠<br />
Setzt man links und rechts in die Differentialgleichung ein, folgt:<br />
t t<br />
6 1<br />
6<br />
6<br />
1<br />
1<br />
277,78 0,82 r 277,78 0,82 +<br />
+ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤<br />
⋅⎜− ⎟⋅ = ⋅⎢ ⋅ ⎥<br />
⎝ ⎠ ⎣ ⎦<br />
1<br />
Man erkennt: Für r =− ist die DGL erfüllt.<br />
6<br />
t+ 1 t+<br />
1<br />
6 6<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
Change language