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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 28
Bestimmung der 2. Teilfunktion (nach der 2. Injektion):
Die 2. Teilfunktion ist ebenfalls eine fallende Exponentialfunktion. Man kann für sie auch den
rt
Ansatz f2() t = C2 ⋅ e machen. Jetzt aber ist C2 kein Wert der Folge an, denn C2 stellt ja den
Wert dieser Funktion für t = 0 dar, auch wenn diese Funktion nur für 6 ≤ t < 12 gebraucht wird.
1. Methode: Bestimmung der beiden Konstanten mit zwei Zustandspunkten:
(Ich bleibe bei der Basis e).
Q1( 6|91 ) : ( )
Q ( 12|91⋅ 0,82)
( )
2
f2 6
6r
C2 e ⋅
= ⋅ ergibt
6r
91 = C2 ⋅ e
(1)
f 12 C
12 r
e ⋅
= ⋅ ergibt
12r
91⋅ 0,82 = C2 ⋅ e (2)
2 2
Elimination von C2 durch Division (2)
(1) :
12r
91⋅ 0,82 C2⋅e = 6r
91 C2⋅e 6r
0,82 = e
(3)
Das ergibt wie oben r ≈ − 0,033 .
Dies sollte nicht verwundern, denn wir haben ja dieselbe prozentuale Abnahme!
Berechnung von C2 durch Einsetzen von (3) in (1): 91 = C2 ⋅ 0,82
91
C2 = = 110,9756
0,82
−0,033 ⋅ t
Ergebnis: f () t = 110,9756 ⋅ e mit 0 ≤ t < 6
2
2. Methode: Erzeugung dieser Funktion durch eine Zeitverschiebung.
Wir denken uns die Uhr erst ab der 2. Spritze laufen. Dann können wir die 1. Funktion mit
angepasster Startmenge verwenden und verschieben dann die Kurve um 6 nach rechts (t-6) statt t.
−0,033⋅⋅t −0,033⋅⋅t 2() = 1⋅
= ⋅
f t a e 91 e
Diese Funktion verwendet eine Zeitmessung, deren Nullpunkt der Moment der 2. Injektion ist.
Da dieser Zeitpunkt jedoch (idealisiert) 6 Stunden nach der 1. Spritze liegt, muss man für eine
einheitliche Zeitachse die „Kurve“ um 6 nach rechts verschieben: (Weiter rechts bedeutet „später“):
Bestimmung der weiteren Teilfunktionen:
Demo: Mathe-CD
−0,033 ⋅(t−6) −0,033 ⋅(t−6) 2() 1
f t = a ⋅ e = 91⋅ e .
−0,033 ⋅(t−12) −0,033 ⋅(t−12) Die 3. Funktion wird dann f3() t = a2 ⋅ e = 124,62 ⋅ e
−0,033 ⋅(t−18) −0,033 ⋅(t−18) 4. Funktionsterm: f4() t = a3 ⋅ e = 152,2 ⋅ e
−0,033 ⋅(t−24) −0,033 ⋅(t−24) 5. Funktionsterm: f5() t = a4 ⋅ e = 174,79 ⋅ e
−0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) 6. Funktionsterm: f6() t = a5 ⋅ e = 193,33⋅ e
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de