Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik
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Gebrochen rationale Funktionen Aufgabensammlung Teilweise Abituraufgaben Wird fortgesetzt … Die Lösungen stammen alle vom Autor dieses Heftes- Datei 43200 Stand: 16. März 2009 Friedrich Buckel Demo: Mathe-CD INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de Anwendungsaufgaben Analysis
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Gebrochen rationale Funktionen<br />
Aufgabensammlung<br />
Teilweise Abituraufgaben<br />
Wird fortgesetzt …<br />
Die Lösungen stammen alle vom Autor dieses Heftes-<br />
Datei 43200<br />
Stand: 16. März 2009<br />
Friedrich Buckel<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de<br />
Anwendungsaufgaben<br />
Analysis
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 2<br />
Aufgabe 801: f( x)<br />
Aufgabe 802: f( x)<br />
Aufgabe 803: f( x)<br />
2<br />
x − 36<br />
2<br />
=<br />
x + 16<br />
Inhalt<br />
Kanalquerschnitt, Lichtschwächung.<br />
Auch CAS-Lösung. 4<br />
427x + 15<br />
0,08 x<br />
=<br />
und g( x) 214 214 e<br />
2x + 15<br />
−<br />
= − ⋅<br />
Zahnpasta-Verkauf in 2 Supermärkten.<br />
Schwierige Integralproblematik, auch CAS-Lösung 14<br />
30x + 800<br />
=<br />
Verkauf eines Rheumamittels<br />
x+ 5<br />
Absenkung des Wirkstoffgehalts im Blut nach Injektion.<br />
Viele Zusatzaufgaben:<br />
Zu rekursiv definierter Folge die explizierte Vorschrift ermitteln,<br />
Zerfallsfunktion nach aufeinander folgenden Injektionen<br />
Injektionsrhythmus bei Beachtung einer maximal verträglichen<br />
Wirkstoffmenge Auch CAS-Lösung 21<br />
Aufgabe 810: Testfahrt mit Versuchsfahrzeug.<br />
1600 ⋅ t<br />
v() t =<br />
10 t + 1<br />
als Geschwindigkeits-Funktion<br />
1000<br />
k( x)<br />
=<br />
250 − x<br />
Kraftstoffverbrauch.<br />
Schwierige Denkaufgaben – Auch CAS-Lösung. 38<br />
Weitere Aufgaben folgen ab jetzt monatlich<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
Es handelt sich um Abituraufgaben, die durch Zusatzfragen ergänzt worden sind. Ausführliche<br />
Behandlung verschiedener Lösungswege, stets auch mit CAS-Einsatz.<br />
Beachten Sie den Umfang des Lösungsteils. Es wird ausführlich auf alles eingegangen!<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 21<br />
Aufgabe 803<br />
(Abitur 2007 – BW – ergänzt durch viele Zusatzaufgaben – ideale Projektaufgabe)<br />
Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels werden durch eine Funktion f mit<br />
ax + b<br />
+<br />
f( x)<br />
= , x ∈R 0 .<br />
x+ 5<br />
modellhaft kalkuliert.<br />
Hierbei gibt f(x) die Kosten in 10.000 € <strong>für</strong> die x-te Produktionseinheit am, wobei die Einheiten<br />
nacheinander produziert werden.<br />
Die fünfte Produktionseinheit kostet in der Herstellung 950.000 €, die zwanzigste nur noch 560.000 €.<br />
a) Bestimmen Sie a und b. Skizzieren Sie das Schaubild von f.<br />
Weisen Sie nach, dass die Herstellungskosten <strong>für</strong> eine Produktionseinheit im Laufe der Zeit<br />
sinken. Ab der wievielten Produktionseinheit sind die Herstellungskosten <strong>für</strong> eine<br />
Produktionseinheit geringer als 400.000 €?<br />
Mit welchen Herstellungskosten <strong>für</strong> eine Produktionseinheit muss man langfristig rechnen?<br />
(Teilergebnis:<br />
30x + 800<br />
f( x)<br />
= ).<br />
x+ 5<br />
(7 VP)<br />
b) Ab der wievielten Produktionseinheit unterscheiden sich die Herstellungskosten von zwei<br />
aufeinanderfolgenden Produktionseinheiten um weniger als 10.000 €?<br />
Jede Produktionseinheit besteht aus 10.000 Packungen. Wie hoch muss der Verkaufspreis<br />
<strong>für</strong> eine Packung sein, damit die Einnahmen aus den ersten 100 verkauften Produktionseinheiten<br />
ihren Herstellungskosten entsprechen? (5 VP)<br />
Bei klinischen Studien wird dieses Rheumamittel Patienten, die den Wirkstoff bisher nicht im Blut<br />
harren, zugeführt und die Menge des Wirkstoffs im Blut gemessen.<br />
c) Ein Patient erhält alle 6 Stunden eine Spritze mit 50 mg Wirkstoff. Bis zur nächsten Spritze<br />
hat der Körper 18% des im Blut vorhandenen Wirkstoffs abgebaut.<br />
Beschreiben Sie mittels einer rekursiv definierten Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt<br />
nach Verabreichung einer Spritze im Blut befindet.<br />
Welche Wirkstoffmenge befindet sich direkt nach der fünften Spritze im Blut?<br />
In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge im Blut langfristig?<br />
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der im Blut vorhandenen Wirkstoffmenge <strong>für</strong> die erste<br />
24 Stunden.<br />
Zusatzaufgaben:<br />
(1) Welche Exponentialfunktionen beschreiben die fallenden Teilkurven?<br />
(2) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift <strong>für</strong> die Folge an auf, welche die Wirkstoffmaxima<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
n 1<br />
im Blut beschreibt. Ergebnis: an 277,78 ( 1 0,82 ) +<br />
= ⋅ −<br />
t 1<br />
(3) Zeigen Sie dass die Funktion h() t 277,78( 1 0,82 ) +<br />
= − die Differenzialgleichung <strong>für</strong><br />
(4)<br />
beschränktes Wachstum erfüllt. Was besagt diese Differenzialgleichung?<br />
Berechne die ersten 20 Glieder der Folge an mit einem CAS-Rechner.<br />
Erstelle daraus mittels Regression den Funktionsterm <strong>für</strong> h(t) aus (3).<br />
(5) Ein Patient soll von diesem Wirkstoff maximal 200 mg im Blut haben. Nach der wievielten<br />
Injektion ist diese Grenze überschritten? Der behandelnde Arzt möchte daher zu diesem<br />
Zeitpunkt die folgende Injektion so lange hinauszögern, bis gesichert ist, dass die Folgeinjektion<br />
einen neuen Wirkstoffgehalt von 200 mg ergibt. Berechne den Zeitpunkt der neuen Injektion.<br />
In welchem Rhythmus darf der Arzt spritzen, wenn er jedes Mal 200 mg erreichen will?<br />
Welchen gleichförmigen Injektionsrhythmus können Sie vorschlagen, der diese Obergrenze<br />
respektiert?<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 22<br />
Lösung 803<br />
a) Gesucht ist die Funktion f( x)<br />
f( 5) = 95 eingesetzt:<br />
f( 20) = 56 eingesetzt:<br />
ax + b<br />
= , wobei 2 Wertepaare („Zustandspunkte“) gegeben sind:<br />
x+ 5<br />
5a + b<br />
= 95<br />
10<br />
⇔ 5a + b = 950 (1)<br />
20a + b<br />
= 56<br />
25<br />
⇔ 20a + b = 1400 (2).<br />
Elimination von b durch: (2) – (1): 15a = 450 | :15<br />
a = 30<br />
Eingesetzt in (1): 5 ⋅ 30 + b = 950 ⇒ b = 950 − 150 = 800 .<br />
Ergebnis: f( x)<br />
30x + 800<br />
= .<br />
x+ 5<br />
x ist die Nummer der Produktionseinheit,<br />
y hat die Einheit 10.000 €.<br />
Die Abnahme bedeutet streng monoton abnehmend.<br />
Dazu muss man zeigen, dass f'( x) < 0 ist<br />
<strong>für</strong> x ≥ 0.<br />
Ableitungsfunktion:<br />
30 ⋅ ( x + 5) −1⋅ ( 30x + 800) 30x + 150 −30x −800 −650<br />
f'( x)<br />
= = = .<br />
2 2 2<br />
( x+ 5) ( x+ 5) ( x+ 5)<br />
Weil der Nenner stets positiv ist und der Zähler konstant negativ, hat f'( x ) stets negative Werte.<br />
Also fällt f streng monoton, die Produktionskosten nehmen also ab.<br />
Ab wann sind die Herstellungskosten geringer als 400.000 €?<br />
f( x) < 40 ⇔<br />
30x + 800<br />
< 40<br />
x+ 5<br />
30x + 800 < 40 ⋅ ( x + 5)<br />
30x + 800 < 40x + 200<br />
30x + 800 < 40x + 200<br />
600 < 10x<br />
60 < x bzw. x > 60 .<br />
Ergebnis: Ab der 61. Produktionseinheit liegen die Herstellungskosten unter 400.000 €.<br />
Die langfristige Entwicklung berechnet man durch diesen Grenzwert:<br />
30x + 800 30 + 30<br />
lim f ( x) = lim = lim = = 30<br />
x+ 5 1+ 1<br />
x→∞ x→∞ x→∞<br />
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Ergebnis: Langfristig muss man mit 300.000 ,3 Herstellungskosten rechnen.<br />
800<br />
x<br />
5<br />
x<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 23<br />
b) Die Differenz zweier aufeinander folgenden Produktionseinheiten wird so berechnet:<br />
( )<br />
( )<br />
30x + 800 30 x + 1 + 800 30x + 800 30x + 830<br />
f( x) − f( x+ 1)<br />
= − = −<br />
x+ 5 x+ 1 + 5 x+ 5 x+ 6<br />
( ) ( )<br />
f x − f x+ 1 =<br />
( ) ( )<br />
f x − f x+ 1 =<br />
( ) ( )<br />
f x − f x+ 1 =<br />
( ) ( )<br />
f x − f x+ 1 =<br />
( 30x + 800) ⋅ ( x + 6) − ( 30x + 830)( x + 5)<br />
( x+ 5)( x+ 6)<br />
+ + + − ⎡<br />
⎣ + + + ⎤<br />
⎦<br />
2 2<br />
30x 180x 800x 4800 30x 150x 830x 4150<br />
2<br />
30x<br />
Bedingung: ( ) ( )<br />
( x+ 5)( x+ 6)<br />
2<br />
+ 180x + 800x + 4800 − 30x<br />
x+ 5 x+ 6<br />
650<br />
( x+ 5)( x+ 6)<br />
650<br />
( x+ 5)( x+ 6)<br />
( )( )<br />
−150x −830x −4150<br />
2 2<br />
f x − f x + 1 < 1 ⇔ < 1 ⇔ 650 < x + 11x + 30 ⇔ x + 11x − 620 > 0<br />
Zur Lösung der quadratischen Ungleichung untersucht man z. B. die Hilfsparabel:<br />
2<br />
h(x) = x + 11x − 620<br />
Sie ist nach oben geöffnet und hat diese beiden Nullstellen:<br />
x<br />
1,2<br />
− 11± 121+ 4 ⋅620 − 11± 2601 − 11± 51 ⎧10<br />
= = = = ⎨<br />
2 2 2 ⎩−31<br />
Daher hat sie zwischen ihren Nullstellen negative Werte<br />
und im Außenbereich positive Werte. Weil hier x ≥ 0 gilt<br />
folgt: h( x) > 0 <strong>für</strong> x > 20.<br />
Und weil x im Grunde natürliche Zahlen sind, lautet das<br />
Ergebnis: Ab x = 21 ist der Kosten-Unterschied zwischen zwei aufeinander folgenden<br />
Produktionseinheiten kleiner als 10.000 €.<br />
Eine Lösung mit einem Grafikrechner oder einem CAS-Rechner ist selbstverständlich auch<br />
möglich.<br />
Berechnung der Herstellungskosten <strong>für</strong> die ersten 100 Produktionseinheiten.<br />
100,5<br />
( ) ( )<br />
K 100 = ∫ f x dx ≈ 4920,08 (Siehe Folgeseite!<br />
0,5<br />
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Also belaufen sich diese Herstellungskosten auf 4920 ⋅ 10.000 = 49.200.000 € .<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 24<br />
Manuelle Berechnung dieses Integrals:<br />
100,5<br />
30x + 800<br />
K100 ( ) = ∫<br />
dx<br />
x+ 5<br />
0,5<br />
Vereinfachung durch Substitution: u = x + 5 ⇒ du = 1⋅ dx = dx<br />
Ersetzung des Zählers: x = u− 5<br />
Umrechnung der Grenzen: x = 0,5 ⇒ u = 5,5 und x = 100,5 ⇒ u = 105,5<br />
30( u − 5) + 800<br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
100,5 105,5 105,5 105,5<br />
30x + 800 30u + 650 ⎛ 650 ⎞<br />
K ( 100) = dx = du = du = 30 + du<br />
x+ 5 u u<br />
⎜<br />
u<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0,5 5,5 5,5 5,5<br />
105,5<br />
( ) = ⎡ + ⋅ ⎤ = ⋅[ − ] + ⋅[ − ]<br />
K 100 ⎣30u 650 ln u ⎦ 30 105,5 5,5 650 ln105,5 ln5,5<br />
105,5<br />
K ( 100) = 30 ⋅ 100 + 650 ⋅ln ≈ 40920,07589...<br />
5,5<br />
Begründung <strong>für</strong> den Ansatz dieses Integrals:<br />
Die Funktion f ist eine stetige Funktion, die modellhaft<br />
die Produktionskosten angibt.<br />
Da es aber nur <strong>für</strong> ganzzahlige x Produktionskosten<br />
gibt, liegt in Wirklichkeit eine Punktfolge vor.<br />
5,5<br />
Die Produktionskosten <strong>für</strong> jedes x kann man dann durch<br />
ein Rechteck der Breite 1 und der Höhe f(x) darstellen.<br />
So entsteht die in der nächsten Abbildung dargestellte<br />
Rechtecksfläche. Sie stimmt grob mit der Fläche zwischen<br />
dem Schaubild von und der x-Achse überein.<br />
Diese aber hat (hier) ihren linken Rand bei 0,5 und den<br />
rechten bei 5,5. In der Aufgabe ist der rechte Rand daher<br />
bei 100,5. Die linken und rechten Grenzen ragen somit<br />
um 0,5 nach links und rechts über das Intervall [ 1; 100 ]<br />
hinaus.<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
Man kann die Güte dieser Integralberechnung mit<br />
einem CAS-Rechner vergleichen. Mit ihm kann man<br />
alle 100 Rechtecke aufsummieren lassen und das<br />
Ergebnis mit dem Integrationsergebnis vergleichen:<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 25<br />
Wenn die Herstellungskosten <strong>für</strong> die ersten 100 Produktionseinheiten 4920 ⋅ 10.000 = 49.200.000 €<br />
sind, und jede Einheit aus 10.000 Packungen besteht, dann entfallen in dieser Serie auf eine<br />
Packung durchschnittlich<br />
4920 ⋅10.000<br />
k = = 49,20 €<br />
100 ⋅10.000<br />
(Denn in dieser Serie wurden ja 100 ⋅ 10.000 Packungen produziert.<br />
So groß muss also der Verkaufspreis mindestens sein, damit die Firma Gewinn erzielt.<br />
c) Die Injektion des Rheumamittels hat eine exponentielle Abnahme des Wirkstoffes zur Folge.<br />
eine Abnahme um 18% in der Zeitspanne Δ t = 6 (h) führt zu einem Abnahmefaktor von<br />
q = 1 – p = 1 – 0,18 = 0 82. Es gibt nun 2 Zahlenfolgen: an gibt den Wirkstoffgehalt im<br />
6-Stundenraster jeweils direkt nach der Injektion an, bn gibt den Wirkstoffgehalt im<br />
6-Stundenraster jeweils direkt vor der nächsten Injektion an.<br />
Wertetabelle der Folge bn Wertetabelle der Folge an.<br />
b00 = Zuerst war kein Wirkstoff im Blut. aO= 50 Anfangswert nach der 1. Spritze.<br />
b150 0,82 41<br />
= ⋅ = Nach 6 h 18% weniger. a1= 50⋅ 0,82 + 50 = 91 Neue Injektion ergibt +50.<br />
b291 0,82 74,62<br />
= ⋅ = a291 0,82 50<br />
12 4, 62<br />
+<br />
= ⋅ =<br />
b3 124,62 0,82 102,1884<br />
= ⋅ = a3 124,62 0,82 5 0 152, 1884<br />
+<br />
= ⋅ =<br />
b4 152,1884 0,82 124,79<br />
= ⋅ ≈ a4 = 152,1889 ⋅0, 82 50 ≈174,79<br />
+<br />
Man erkennt sehr schön die Berechnungsabfolge <strong>für</strong> an:<br />
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( )<br />
Dies ist der gesuchte Wert nach der<br />
5. Spritze: Also etwa 175 mg.<br />
a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a<br />
+ 50 + 50 + 50 + 50<br />
0 ⋅0,82 1 1 ⋅0,82 2<br />
2 ⋅0,82 3 3 ⋅0,824<br />
4<br />
bzw. mit Zahlen:<br />
50 ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ 91 ⎯⎯⎯→b ⎯⎯⎯→ 124,62 ⎯⎯⎯→b ⎯⎯⎯→ 152,19 ⎯⎯⎯→b ⎯⎯⎯→ 174,79<br />
+ 50 + 50 + 50 + 50<br />
⋅0,82 1 ⋅0,82 2 ⋅0,82 3 ⋅0,<br />
82 4<br />
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:<br />
a 50<br />
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0 = zusammen mit n n−1 a = a ⋅ 0,82+ 50<br />
Hinweis: Man liest ab und zu die Formulierung: „Rekursive Folge“. Dies ist natürlich Unsinn.<br />
Eine Folge kann nicht rekursiv sein, denn wenn man nur die Werte der Folge anschaut,<br />
dann erkennt man ja nicht, ob diese rekursiv (also jeweils aus dem Vorgänger) berechnet<br />
worden sind oder explizit, also aus einem Funktionsterm. Lediglich die Bildungsvorschrift<br />
kann rekursiv sein!
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 26<br />
Die Frage nach der langfristigen Entwicklung ist im Grunde die Frage nach dem Grenzwert dieser<br />
Folge an. Man kann diesen hier durch eine sachliche Überlegung finden:<br />
Der Wirkstoffgehalt hat sein Maximum erreicht, wenn in den 6 Folgestunden gerade diese<br />
Menge abgebaut wird, die dann wieder durch die Injektion zugeführt wird, also 50 mg.<br />
Bezeichnen wir den Maximalwert des Wirkstoffgehalts als a*, dann bedeutet dies, dass<br />
die nach 6 Stunden noch vorhandene Menge a* ⋅ 0,82 durch die Injektion um 50 mg<br />
erhöht wird, aber dadurch wieder a* entsteht. Dies heißt:<br />
a* = a * ⋅ 0,82 + 50<br />
a* − a* ⋅ 0,82= 50<br />
| - a* ⋅ 0,82<br />
( )<br />
a* 1− 0,82= 50<br />
a* ⋅ 0,18= 50<br />
(*)<br />
50<br />
a* = ≈ 277,78<br />
0,18<br />
Man hätte auch den Ansatz so machen können:<br />
Hinweis:<br />
Der Grenzwert a* ist dann „erreicht“, wenn die Wirkstoffabnahme, und das ist a* ⋅ 0,18,<br />
genau so groß ist wie die Wirkstoffzufuhr 50 (mg). Dies entspricht der Gleichung (*).<br />
Ich habe das Wort „erreicht“ in Anführungszeichen gesetzt, weil streng mathematisch<br />
eine Folge niemals ihren Grenzwert erreicht sondern sich ihm asymptotisch nähert.<br />
Rundet man jedoch (was in der medizinischen Praxis natürlich der Fall ist, weil man nicht<br />
beliebig feine Messungen durchführen kann, dann wird dieser Grenzwert sehr wohl „erreicht“.<br />
Die langfristige Schwankung im Blut bewegt sich dann zwischen diesem Maximalwert von<br />
gerundeten 278 mg und 278 mg ⋅0,82 ≈ 228 mg vor der nächsten Injektion.<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 27<br />
Zusätze:<br />
(1) Welche Exponentialfunktionen beschreiben die fallenden Teilkurven?<br />
k t<br />
f x =C ⋅e (Basis e)<br />
1. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion ( ) ⋅<br />
1 1<br />
kt<br />
Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t C1 e ⋅<br />
= ⋅ .<br />
Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte:<br />
P1( 0|50 ) : 1 ( )<br />
P ( 6|50⋅ 0,82)<br />
( )<br />
2<br />
f 0 50<br />
1<br />
= ergibt: 1<br />
f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt:<br />
−0,033 ⋅t<br />
Ergebnis: f () t = 50⋅ e mit 0 ≤ t < 6<br />
1<br />
C = 50 (Startwert!)<br />
6k<br />
50 ⋅ e = 50 ⋅ 0,82<br />
6k<br />
e = 0,82<br />
6k = ln0,82<br />
ln0,82<br />
k = ≈ − 0,033<br />
6<br />
t<br />
2. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion f1( x ) =C1⋅b .<br />
t<br />
Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t = C1⋅ b .<br />
Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte:<br />
P1( 0|50 ) : 1 ( )<br />
P ( 6|50⋅ 0,82)<br />
( )<br />
2<br />
f 0 50<br />
1<br />
= ergibt: 1<br />
f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt:<br />
t<br />
Ergebnis: f () t = 50 ⋅ 0,967 mit 0 ≤ t < 6<br />
1<br />
Umrechnung dieser Abnahmefunktionen ineinander:<br />
Oder:<br />
1<br />
−0,033 ⋅t<br />
() = ⋅ soll übergehen in die Form ( )<br />
f t 50 e<br />
Dann muss gelten:<br />
Also ist<br />
1<br />
()<br />
b = e<br />
t −0,033 ⋅t<br />
( ) t<br />
t<br />
b<br />
0,033<br />
e −<br />
=<br />
−0,033<br />
b = e ≈ 0,967...<br />
t<br />
= ⋅ soll übergehen in die Form 1 ()<br />
f t 50 0,967<br />
Dann muss gelten:<br />
k ⋅ t t<br />
e = 0,967<br />
( ) t<br />
k<br />
e<br />
t<br />
= 0,967 bzw.<br />
Also ist k = ln0,967 ≈ − 0,0335...<br />
C = 50 (Startwert!)<br />
t<br />
50 ⋅ b = 50 ⋅ 0,82<br />
6<br />
b = 0,82<br />
6 b = 0,82 ≈ 0,967465....<br />
f t = 50⋅ b<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
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1<br />
t<br />
kt<br />
f t 50 e ⋅<br />
= ⋅<br />
k<br />
e = 0,967.
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 28<br />
Bestimmung der 2. Teilfunktion (nach der 2. Injektion):<br />
Die 2. Teilfunktion ist ebenfalls eine fallende Exponentialfunktion. Man kann <strong>für</strong> sie auch den<br />
rt<br />
Ansatz f2() t = C2 ⋅ e machen. Jetzt aber ist C2 kein Wert der Folge an, denn C2 stellt ja den<br />
Wert dieser Funktion <strong>für</strong> t = 0 dar, auch wenn diese Funktion nur <strong>für</strong> 6 ≤ t < 12 gebraucht wird.<br />
1. Methode: Bestimmung der beiden Konstanten mit zwei Zustandspunkten:<br />
(Ich bleibe bei der Basis e).<br />
Q1( 6|91 ) : ( )<br />
Q ( 12|91⋅ 0,82)<br />
( )<br />
2<br />
f2 6<br />
6r<br />
C2 e ⋅<br />
= ⋅ ergibt<br />
6r<br />
91 = C2 ⋅ e<br />
(1)<br />
f 12 C<br />
12 r<br />
e ⋅<br />
= ⋅ ergibt<br />
12r<br />
91⋅ 0,82 = C2 ⋅ e (2)<br />
2 2<br />
Elimination von C2 durch Division (2)<br />
(1) :<br />
12r<br />
91⋅ 0,82 C2⋅e = 6r<br />
91 C2⋅e 6r<br />
0,82 = e<br />
(3)<br />
Das ergibt wie oben r ≈ − 0,033 .<br />
Dies sollte nicht verwundern, denn wir haben ja dieselbe prozentuale Abnahme!<br />
Berechnung von C2 durch Einsetzen von (3) in (1): 91 = C2 ⋅ 0,82<br />
91<br />
C2 = = 110,9756<br />
0,82<br />
−0,033 ⋅ t<br />
Ergebnis: f () t = 110,9756 ⋅ e mit 0 ≤ t < 6<br />
2<br />
2. Methode: Erzeugung dieser Funktion durch eine Zeitverschiebung.<br />
Wir denken uns die Uhr erst ab der 2. Spritze laufen. Dann können wir die 1. Funktion mit<br />
angepasster Startmenge verwenden und verschieben dann die Kurve um 6 nach rechts (t-6) statt t.<br />
−0,033⋅⋅t −0,033⋅⋅t 2() = 1⋅<br />
= ⋅<br />
f t a e 91 e<br />
Diese Funktion verwendet eine Zeitmessung, deren Nullpunkt der Moment der 2. Injektion ist.<br />
Da dieser Zeitpunkt jedoch (idealisiert) 6 Stunden nach der 1. Spritze liegt, muss man <strong>für</strong> eine<br />
einheitliche Zeitachse die „Kurve“ um 6 nach rechts verschieben: (Weiter rechts bedeutet „später“):<br />
Bestimmung der weiteren Teilfunktionen:<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
−0,033 ⋅(t−6) −0,033 ⋅(t−6) 2() 1<br />
f t = a ⋅ e = 91⋅ e .<br />
−0,033 ⋅(t−12) −0,033 ⋅(t−12) Die 3. Funktion wird dann f3() t = a2 ⋅ e = 124,62 ⋅ e<br />
−0,033 ⋅(t−18) −0,033 ⋅(t−18) 4. Funktionsterm: f4() t = a3 ⋅ e = 152,2 ⋅ e<br />
−0,033 ⋅(t−24) −0,033 ⋅(t−24) 5. Funktionsterm: f5() t = a4 ⋅ e = 174,79 ⋅ e<br />
−0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) 6. Funktionsterm: f6() t = a5 ⋅ e = 193,33⋅ e<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 29<br />
Hier diese 4 Schaubilder <strong>für</strong> x ≥ 0:<br />
Und dann die Funktionen abschnittsweise:<br />
Jeder Hochpunkt beschreibt den Wirkstoffgehalt nach einer neuen Injektion.<br />
(2) Aufstellen einer expliziten Bildungsvorschrift <strong>für</strong> die Folge an.<br />
Aus der Lösung der Aufgabe kennen wir bereits die rekursive Vorschrift:<br />
a 50<br />
0 = zusammen mit n n−1 Mit ihrer Hilfe bilden wir die ersten Werte ganz ausführlich:<br />
a050 =<br />
a1 = aO ⋅ 0,82+ aO<br />
( ) 2<br />
a = a ⋅ 0,82+ a ⋅ 0,82+ a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82+ a<br />
<br />
2 O O O O O O<br />
a1<br />
( )<br />
a = a ⋅ 0,82+ 50<br />
a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a<br />
2 3 2<br />
3 O O O<br />
<br />
a2<br />
O O O O O<br />
Man folgert intuitiv:<br />
a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + ... + a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a (S1)<br />
n n−1 2<br />
n O O O O O<br />
Dies ist eine geometrische Reihe, <strong>für</strong> die es eine Berechnungsformel gibt:<br />
Grundwissen zur geometrischen Reihe<br />
Unter einer geometrischen Reihe versteht man eine Summe dieser Bauart:<br />
s a a q a q a q ... a q −<br />
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ .<br />
2 3 n 1<br />
n 1 1 1 1 1<br />
O<br />
Das sind insgesamt n Summanden (der erste lautet eigentlich a ⋅ q ).<br />
Die Summenformel da<strong>für</strong> lautet.<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
n<br />
n<br />
1−<br />
q q −1<br />
= a1<br />
⋅ = a1<br />
⋅<br />
1 − q q−<br />
1<br />
Die erste Formel ist günstig <strong>für</strong> 0
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 30<br />
Unsere Summe (S1) ist erstens anders angeordnet, zweitens verwendet sie aO statt a1 und<br />
drittens besteht sie aus (n+1) Summanden, was man an den Exponenten 0 bis n sieht (das<br />
sind n+1 Zahlen).<br />
Daher muss man die Summenformel so anpassen:<br />
Dabei ist q = 0,82 und aO = 50. Damit folgt:<br />
1−q sn+ 1= aO⋅<br />
1−q n+ 1<br />
n n−1 2<br />
1−0,82 sn+ 1= aO⋅ 0,82 + aO⋅ 0,82 + ... + aO⋅ 0,82 + aO⋅ 0,82+ aO= aO⋅ = a n !!<br />
1−0,82 Umformen:<br />
1−0,82 an= 50⋅<br />
0,18<br />
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n+ 1<br />
50<br />
an= ⋅ 1− 0,82<br />
0,18<br />
n+ 1 ( )<br />
an n 1<br />
277,78 ( 1 0,82 ) +<br />
= ⋅ −<br />
Wir testen diese Formel: 1 = ⋅( −<br />
2 ) =<br />
2 = ⋅( −<br />
3 ) =<br />
Anwendung:<br />
a 277,78 1 0,82 91<br />
a 277,78 1 0,82 124,62<br />
usw.<br />
Dies ist die Folge der Hochpunkte in unserer Funktion f,<br />
welche den Wirkstoffgehalt des Rheumamittels im Blut beschreibt,<br />
wenn nach jeweils 6 Stunden eine neue Injektion erfolgt.<br />
Verbinden wir diese Punkte zu einer stetigen Kurve, dann lautet deren<br />
t<br />
Funktionsgleichung 6 ()<br />
1<br />
h t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞<br />
= ⋅⎜ − ⎟,<br />
denn wegen der<br />
⎝ ⎠<br />
Schrittweite Δ t = 6 müssen wir t stets durch 6 dividieren um auf<br />
Δ t = 1 zu kommen, was <strong>für</strong> die Funktion erforderlich ist.<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
Rechts sehen wir das Schaubild von h zusätzlich eingezeichnet.<br />
Und dies ist eine andere Darstellung des Schaubildes von h<br />
mit ihrer waagerechten Asymptote y = 277,78.<br />
n+ 1<br />
Die Aufstellung des Funktions-<br />
terms von h mittels CAS und<br />
exponentieller Regression folgt<br />
weiter hinten.
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 31<br />
(3) Zeigen Sie, dass die Funktion h(t) die Differentialgleichung des beschränkten<br />
Wachstums erfüllt.<br />
Diese lautet (Siehe Datei 49402): f'( t) = r⋅ S−f( t)<br />
⎡⎣ ⎤⎦<br />
Diese DGL. besagt, dass die momentane Wachstumsrate, welche durch die Ableitung<br />
der Wachstumsfunktion definiert wird, proportional zur Differenz zum Grenzwert ist.<br />
t<br />
6 1<br />
h() t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞<br />
= ⋅⎜ − ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
t<br />
6 1<br />
() 6<br />
1 ⎛ ⎞<br />
= ⋅ − ⋅<br />
h' t 277,78 0,82 +<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
Die Konstante S ist der Grenzwert S = 277,78<br />
Dann ist<br />
⎛<br />
S − h() t = 277,78 −277,78 ⋅⎜1− 0,82<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟ = 277,78 ⋅0,82<br />
⎠<br />
Setzt man links und rechts in die Differentialgleichung ein, folgt:<br />
t t<br />
6 1<br />
6<br />
6<br />
1<br />
1<br />
277,78 0,82 r 277,78 0,82 +<br />
+ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤<br />
⋅⎜− ⎟⋅ = ⋅⎢ ⋅ ⎥<br />
⎝ ⎠ ⎣ ⎦<br />
1<br />
Man erkennt: Für r =− ist die DGL erfüllt.<br />
6<br />
t+ 1 t+<br />
1<br />
6 6<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 32<br />
(4) Untersuchung der Folgen an und bn mit dem CAS-Rechner TI Nspire.<br />
Es gibt 2 Möglichkeiten, diese Zahlenfolgen mit einem CAS-Rechner<br />
darzustellen:<br />
1. Methode:<br />
Man benötigt drei Spalten. In die Spalte A trägt man x bzw. t ein.<br />
In den Spaltenkopf sollte man nicht d oder t eintragen sondern<br />
z.B. lt (zur Erinnerung an Liste t), dann die Spalte B <strong>für</strong> die Folge bn<br />
(Spaltenkopf lb) und C <strong>für</strong> an (Spaltenkopf la).<br />
Dann füllt man die erste Zeile aus und setzt den Cursor auf das<br />
Feld a1. Mit dem Menü b33 wird die Umrandung<br />
gestrichelt, und mit der Cursortaste zieht man sie so weit nach<br />
unten, wie man das<br />
haben möchte.<br />
Dann berechnet man b2 durch die Eingabe = c1⋅ 0,82 und das<br />
Feld c2 durch = b2 + 50 . Jetzt markiert man b2 und c2 mit und<br />
zieht mit b33 die Markierung nach unten.<br />
So erhält man die dargestellten Werte der beiden Folgen.<br />
Diese Folgen kann man graphisch darstellen.<br />
Man öffnet ein Grafikfenster und ruft Streu-Plot auf.<br />
In die beiden Rahmen<br />
am unteren Bildrand<br />
trägt lt und la<br />
(<strong>für</strong> die zweite Folge<br />
lt und lb) ein.<br />
Dazu drückt man auf<br />
die Zeigertaste in der Mitte des Cursors, wählt das<br />
Passende aus und schließt mit · .<br />
Auf diese Weise entstehen dann die beiden Folgen.<br />
Man muss jedoch die Fensterparameter günstig wählen<br />
(b41 ), sonst sieht man zunächst gar nichts.<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 33<br />
2. Methode:<br />
Eingabe der rekursiven Vorschrift.<br />
Nebenstehend erkennt man, wie man die<br />
Formel eingibt. Wir wissen:<br />
a0= 50 mit an = an−1⋅ 0,82+ 50.<br />
Das Ergebnis steht rechts im Screenshot.<br />
Ermittlung der expliziten Vorschrift <strong>für</strong> die Folge an durch exponentielle Regression.<br />
WISSEN: Da mit dieser Regressionsmethode nur Funktionen vom Typ<br />
x<br />
f(x) = a⋅ b berechnet<br />
x<br />
können, hier aber der Typ h( x) = S−a⋅ b vorliegt, muss man zuerst die Hilfsfunktion<br />
x<br />
f( x) = S− h(x) = a⋅ g bestimmen. Man benötigt also zuerst eine noch zu erstellende<br />
Wertetabelle <strong>für</strong> S – h(x), wobei h(x) hier durch die Folge an repräsentiert wird.<br />
Folglich ergänzt man die oben erstellte Tabelle durch eine<br />
neue Spalte lw. In d1 trägt man ein: = 277,78 − c1.<br />
Dieses Feld wird dann nach unten so weit verlängert,<br />
bis man die gewünschten Daten hat.<br />
Dann erst folgt die eigentliche Regression.<br />
Man setzt den Cursor in den Kopf der Spalte E.<br />
Über das Menü b41 ruft man diese Methode auf.<br />
Dazu will Nspire einiges wissen:<br />
Nach „OK“ erhält man die Ergebnisse:<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
x x<br />
Die Werte der Spalte D gehören also zu dieser Funktion: f ( x) = a ⋅ b = 227,743 ⋅ 0,82<br />
x<br />
Daraus gewinnen wir die gesuchte Funktion h(t) so: h( x) = S−a⋅ b<br />
x 227,743 x<br />
( ) = − ⋅ = ( − ⋅ )<br />
h x 277,78 227,743 0,82 277,78 1<br />
277,78<br />
0,82<br />
h x<br />
x<br />
= 277,78 1−0,82⋅ 0,82<br />
( ) ( )<br />
Ergebnis:<br />
x 1<br />
h( x) 277,78( 1 0,82 ) +<br />
= − .<br />
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la
43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 34<br />
(5) Erweiterung der Aufgabe durch diese Teilaufgabe:<br />
Lösung:<br />
Ein Patient soll von diesem Wirkstoff maximal 200 mg im Blut haben. Nach der wievielten<br />
Injektion ist diese Grenze überschritten?<br />
Der behandelnde Arzt möchte daher zu diesem Zeitpunkt die folgende Injektion so lange<br />
hinauszögern, bis gesichert ist, dass die Folgeinjektion einen neuen Wirkstoffgehalt von 200 mg<br />
ergibt. Berechne den Zeitpunkt der neuen Injektion. Wie geht das mit den Folgeinjektionen<br />
weiter?<br />
1. Schritt: Ermittlung des Zeitpunkts, wann der Wirkstoffgehalt<br />
200 mg übersteigen würde.<br />
Man benötigt hierzu entweder die Wertetafel, die oben mit dem<br />
CAS-Rechner erstellt worden ist und die man auch mit jedem<br />
anderen Rechner aufstellen kann. Daraus ersieht man, dass<br />
schon die 7. Injektion (a6 = 205,5) zu einer Überschreitung<br />
des Grenzwerts führt.<br />
Oder man verwendet den expliziten Berechnungsterm <strong>für</strong> die Folge an:<br />
Daraus folgt diese Ungleichung: an200 ><br />
n<br />
n 1 ( )<br />
a 277,78 1 0,82 +<br />
= ⋅ −<br />
( n+ 1)<br />
( 1<br />
n+ 1<br />
0,82 )<br />
200<br />
277,78 ⋅ 1− 0,82 > 200<br />
− > | -1<br />
277,78<br />
n+ 1 200 −77,78<br />
− 0,82 > − 1 =<br />
277,78 277,78<br />
0,82<br />
n+ 1<br />
><br />
n 1<br />
Logarithmieren ergibt: ( )<br />
77,78<br />
277,78<br />
+ 77,78<br />
log 0,82 > log<br />
277,78<br />
Logarithmengesetze anwenden ( n + 1) ⋅ log( 0,82) > log77,78 − log 277,78<br />
Also ist a5 < 200 und a6 > 200 mg.<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
log77,78 − log 277,78<br />
n+ 1><br />
log 0,82<br />
log77,78 − log 277,78<br />
n > −1≈ 5,4<br />
log 0,82<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 35<br />
Zweiter Schritt: Die zu n = 5 gehörende 6. Injektion führt zu einem Wirkstoffgehalt von<br />
a = 193,331 (mg). Die nächste Injektion darf erste verabreicht werden, wenn<br />
5<br />
der Wirkstoffgehalt im Blut auf 150 mg abgesungen ist. Dann nämlich erreicht<br />
durch die folgende Verabreichung der Wirkstoffgehalt die 200 mg-Grenze.<br />
Wir stellen die Uhr bei Verabreichung der 6. Injektion auf 0 und gehen von dem Wert aus,<br />
dass in 6 Stunden der Wirkstoffanteil um 18% auf 82% abnimmt:<br />
5<br />
t<br />
( ) = ⋅<br />
f x 193,331 0,82<br />
Wann ist der Wert 150 erreicht?<br />
t<br />
193,331⋅ 0,82 = 150<br />
t 150<br />
0,82 =<br />
193,331<br />
t 150<br />
log 0,82 = log<br />
193,331<br />
t ⋅ log 0,82 = log 150 − log193,331<br />
log 150 − log193,331<br />
t = ≈ 1,23<br />
log 0,82<br />
Die Einheit <strong>für</strong> t ist hierbei 6 Stunden. Also entspricht der Wert t = 1,23 etwa 7,4 Stunden<br />
also 7 Stunden und 23 Minuten.<br />
−0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) Verwendet man die oben errechnete Teilfunktion f ( t) a e 193,33 e<br />
6 = 5 ⋅ = ⋅ ,<br />
welche die zeitliche Abnahme nach 30 h beschreibt (also nach der 6. Injektion),<br />
dann kann man hier die auch die Gleichung f6( t) = 150 lösen lassen.<br />
Mit TI Nspire CAS erhält als Lösung t = 37,7 Stunden (nach Behandlungsbeginn).<br />
Das sind 7 h und 42 Minuten nach der letzten Injektion.<br />
Wenn der Arzt dann seine 50 mg verabreicht, steigt der Wirkstoffgehalt auf den Maximalwert<br />
von 200 mg an. Jetzt muss er nur noch den Zeitpunkt kennen, in dem der Gehalt wieder auf 150 mg<br />
gesunken ist.<br />
Die angegebene Abnahme um 18% pro 6 Stunden (als Zeiteinheit) führt auf diese<br />
gt = 2000,82 ⋅ (t ab dem Zeitpunkt der Injektion).<br />
Abnahmefunktion: () t<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
t<br />
Bedingung: g() t = 150 ⇔ 200 ⋅ 0,82 = 150<br />
150<br />
200<br />
t ⋅ log 0,82 = log 0,75<br />
log0,75<br />
t = ≈ 1,45<br />
log0,82<br />
t<br />
0,82 = = 0,75<br />
Das sind 1, 45 ⋅ 6 = 8, 7 Stunden, also 8 Stunden und 42 Minuten.<br />
In diesem Zeitabstand sind also die Injektionen zu verabreichen, damit der Wirkstoffgehalt nach<br />
jeder Injektion wieder 200 mg beträgt.<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 36<br />
Die letzte Frage gibt dem Schüler Spielraum <strong>für</strong> eigene Ideen.<br />
Wir haben diesen Sachverhalt: Der Arzt injiziert alle 6 Stunden 50 mg eines Rheumamittels.<br />
In dieser Zeitspanne 6 Stunden nimmt der Wirkstoffanteil im Blut exponentiell (prozentual) ab.<br />
Im Laufe der Zeit schaukelt sich dies aber so auf, dass das Maximum der Wirkstoffgehaltes sich dem<br />
Grenzwert 277,78 mg nähert. Der Patient soll aber die Obergrenze von 200 mg nicht überschreiten.<br />
In der letzten Teilaufgabe wurde dies so erreicht, dass nach der 6 Injektion die Zeitspanne bis zur<br />
Verabreichung der Folgeinjektion so vergrößert worden ist, dass sie den Wirkstoffanteil auf gerade<br />
200 mg erhöht. Dann wurde gewartet, bis dieser Wert wieder auf 150 mg abgesunken ist.<br />
Es sind Injektionsmodelle denkbar, die mit einem konstanten Injektionsrhythmus einher gehen.<br />
1. Modell: Der Arzt behält den 6-Stunden-Rhythmus bei, spritzt aber weniger als 50 mg.<br />
Welche Dosis muss er verabreichen, damit der Grenzwert genau 200 mg ist?<br />
2. Modell: Der Arzt injiziert regelmäßig 50 mg, vergrößert jedoch die Zeitspanne zwischen den<br />
Injektionen.<br />
<strong>Mathe</strong>matische Untersuchung des 1. Modells:<br />
Die Injektion des Rheumamittels hat eine exponentielle Abnahme des Wirkstoffes um 18% in der<br />
Zeitspanne Δ t = 6 h zur Folge. Dies führt zu einem Abnahmefaktor von q = 1 – p = 1 – 0,18 = 0 82.<br />
Die Zahlenfolge an gibt den Wirkstoffgehalt im 6-Stundenraster jeweils direkt nach der Injektion an.<br />
Die noch zu bestimmende Dosis der Injektion wird zunächst mit d bezeichnet:<br />
Wertetabelle der Folge an.<br />
a d =<br />
Anfangswert nach der 1. Spritze. O<br />
Nach 6 h 18% weniger., dann neue Injektion (+d); a1 = a0 ⋅ 0,82 + d<br />
Nach 6 h 18% weniger., dann neue Injektion (+d); a2 = a1⋅ 0,82 + d<br />
a = a ⋅ 0,82 + d<br />
usw.<br />
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:<br />
a d<br />
Berechnung des Grenzwertes a*:<br />
Wegen lim an = d und n−1 n→∞ n→∞ a* a * 0,82 d<br />
3 2<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
0 = zusammen mit n n−1 = ⋅ + bzw. ( )<br />
a = a ⋅ 0,82+ d<br />
(G)<br />
lim a = d folgt aus der Gleichung (G) <strong>für</strong> n →∞:<br />
d = a * − a * ⋅ 0,82 = a * 1− 0,82 = a * 0,18<br />
Für den gewünschten Grenzwert a* = 200 folgt somit eine Injektionsdosis<br />
d = 200 ⋅ 0,18 = 36 ( mg)<br />
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43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 37<br />
<strong>Mathe</strong>matische Untersuchung des 2. Modells:<br />
Im Zusatz (1) dieser Aufgabe wurde die Abnahmefunktion ermittelt, die den Wirkstoffgehalt im Blut<br />
beschreibt. Das Ergebnis war<br />
−0,033 ⋅ t<br />
f () t = 50⋅ e<br />
1<br />
Wir müssen jetzt die Zeitspanne herausfinden, die benötigt wird, damit dieser so weit absinkt, dass<br />
langfristig ein Grenzwert von 200 mg herauskommt.<br />
Wertetabelle der Folge an.<br />
Anfangswert nach der 1. Spritze. O<br />
a 50 =<br />
Die gesuchte prozentuale Abnahme sei p%, wir schreiben dies als Dezimalzahl-Faktor q<br />
Dann ist der Restbestand nach der Zeit t noch 50 ⋅ ( 1− q)<br />
. Damit folgt:<br />
Nach t h p% weniger., dann neue Injektion (+50); 1 0<br />
a = a ⋅(1− q)<br />
+ 50<br />
a2 = a1⋅ 1− q + 50<br />
a = a ⋅(1− q)<br />
+ 50<br />
Nach t h p% weniger., dann neue Injektion (+50); ( )<br />
usw.<br />
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:<br />
a 50<br />
Der Grenzwertes soll a* = 200 sein.<br />
3 2<br />
0 = zusammen mit n n−1 Wegen lim an = 200 und n−1 n→∞ n→∞ a = a ⋅(1− q) + 50<br />
(G)<br />
lim a = 200 folgt aus der Gleichung (G) <strong>für</strong> n →∞:<br />
200 = 200 ⋅(1− q) + 50 bzw.<br />
200 −200 ⋅ 1− q = 50 ⇔ 200 1− 1− q = 50 ⇔ 200 ⋅ q = 50 ⇔ q = 0,25<br />
( ) ( ( ) )<br />
Das heißt: In unserer zu bestimmenden Zeitspanne muss der Wirkstoffgehalt um 25%<br />
abnehmen.<br />
Nach der Zeit t muss also der neue Wert 50 ⋅ 0,75 sein: f ( t) = 50 ⋅ 0,75<br />
−0,033 ⋅ t<br />
Aus f () t = 50⋅ e folgt somit<br />
1<br />
Daraus erhält man<br />
<strong>Demo</strong>: <strong>Mathe</strong>-<strong>CD</strong><br />
−0,033 ⋅t<br />
50 ⋅ e = 50 ⋅ 0,75<br />
−0,033 ⋅ t<br />
e = 0,75<br />
Logarithmieren ergibt: −0,033 ⋅ t = ln 0,75<br />
ln0,75<br />
t = ≈ 8,7176<br />
−0,033<br />
Dies entspricht etwa 8 Stunden und 43 Minuten.<br />
Ergebnis: Im 1. Modell hat man die günstige Zeitspanne von 6 Stunden und die Dosis 36 mg.<br />
Im 2. Modell wird die leicht zu messende Dosis von 50 mg injiziert, aber in der<br />
nicht so leicht zu planenden Zeitspanne von 43Stunden, 43 Minuten.<br />
Der Arzt muss selbst entscheiden, was <strong>für</strong> den Patienten und ihn günstiger ist.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
.