Demo: Mathe-CD - Internetbibliothek für Schulmathematik

Gebrochen rationale Funktionen
Aufgabensammlung
Teilweise Abituraufgaben
Wird fortgesetzt …
Die Lösungen stammen alle vom Autor dieses Heftes-
Datei 43200
Stand: 16. März 2009
Friedrich Buckel
Demo: Mathe-CD
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Anwendungsaufgaben
Analysis

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 2
Aufgabe 801: f( x)
Aufgabe 802: f( x)
Aufgabe 803: f( x)
2
x − 36
2
=
x + 16
Inhalt
Kanalquerschnitt, Lichtschwächung.
Auch CAS-Lösung. 4
427x + 15
0,08 x
=
und g( x) 214 214 e
2x + 15
−
= − ⋅
Zahnpasta-Verkauf in 2 Supermärkten.
Schwierige Integralproblematik, auch CAS-Lösung 14
30x + 800
=
Verkauf eines Rheumamittels
x+ 5
Absenkung des Wirkstoffgehalts im Blut nach Injektion.
Viele Zusatzaufgaben:
Zu rekursiv definierter Folge die explizierte Vorschrift ermitteln,
Zerfallsfunktion nach aufeinander folgenden Injektionen
Injektionsrhythmus bei Beachtung einer maximal verträglichen
Wirkstoffmenge Auch CAS-Lösung 21
Aufgabe 810: Testfahrt mit Versuchsfahrzeug.
1600 ⋅ t
v() t =
10 t + 1
als Geschwindigkeits-Funktion
1000
k( x)
=
250 − x
Kraftstoffverbrauch.
Schwierige Denkaufgaben – Auch CAS-Lösung. 38
Weitere Aufgaben folgen ab jetzt monatlich
Demo: Mathe-CD
Es handelt sich um Abituraufgaben, die durch Zusatzfragen ergänzt worden sind. Ausführliche
Behandlung verschiedener Lösungswege, stets auch mit CAS-Einsatz.
Beachten Sie den Umfang des Lösungsteils. Es wird ausführlich auf alles eingegangen!
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 21
Aufgabe 803
(Abitur 2007 – BW – ergänzt durch viele Zusatzaufgaben – ideale Projektaufgabe)
Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels werden durch eine Funktion f mit
ax + b
+
f( x)
= , x ∈R 0 .
x+ 5
modellhaft kalkuliert.
Hierbei gibt f(x) die Kosten in 10.000 € für die x-te Produktionseinheit am, wobei die Einheiten
nacheinander produziert werden.
Die fünfte Produktionseinheit kostet in der Herstellung 950.000 €, die zwanzigste nur noch 560.000 €.
a) Bestimmen Sie a und b. Skizzieren Sie das Schaubild von f.
Weisen Sie nach, dass die Herstellungskosten für eine Produktionseinheit im Laufe der Zeit
sinken. Ab der wievielten Produktionseinheit sind die Herstellungskosten für eine
Produktionseinheit geringer als 400.000 €?
Mit welchen Herstellungskosten für eine Produktionseinheit muss man langfristig rechnen?
(Teilergebnis:
30x + 800
f( x)
= ).
x+ 5
(7 VP)
b) Ab der wievielten Produktionseinheit unterscheiden sich die Herstellungskosten von zwei
aufeinanderfolgenden Produktionseinheiten um weniger als 10.000 €?
Jede Produktionseinheit besteht aus 10.000 Packungen. Wie hoch muss der Verkaufspreis
für eine Packung sein, damit die Einnahmen aus den ersten 100 verkauften Produktionseinheiten
ihren Herstellungskosten entsprechen? (5 VP)
Bei klinischen Studien wird dieses Rheumamittel Patienten, die den Wirkstoff bisher nicht im Blut
harren, zugeführt und die Menge des Wirkstoffs im Blut gemessen.
c) Ein Patient erhält alle 6 Stunden eine Spritze mit 50 mg Wirkstoff. Bis zur nächsten Spritze
hat der Körper 18% des im Blut vorhandenen Wirkstoffs abgebaut.
Beschreiben Sie mittels einer rekursiv definierten Folge, wie viel Wirkstoff sich jeweils direkt
nach Verabreichung einer Spritze im Blut befindet.
Welche Wirkstoffmenge befindet sich direkt nach der fünften Spritze im Blut?
In welchem Bereich schwankt die Wirkstoffmenge im Blut langfristig?
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der im Blut vorhandenen Wirkstoffmenge für die erste
24 Stunden.
Zusatzaufgaben:
(1) Welche Exponentialfunktionen beschreiben die fallenden Teilkurven?
(2) Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift für die Folge an auf, welche die Wirkstoffmaxima
Demo: Mathe-CD
n 1
im Blut beschreibt. Ergebnis: an 277,78 ( 1 0,82 ) +
= ⋅ −
t 1
(3) Zeigen Sie dass die Funktion h() t 277,78( 1 0,82 ) +
= − die Differenzialgleichung für
(4)
beschränktes Wachstum erfüllt. Was besagt diese Differenzialgleichung?
Berechne die ersten 20 Glieder der Folge an mit einem CAS-Rechner.
Erstelle daraus mittels Regression den Funktionsterm für h(t) aus (3).
(5) Ein Patient soll von diesem Wirkstoff maximal 200 mg im Blut haben. Nach der wievielten
Injektion ist diese Grenze überschritten? Der behandelnde Arzt möchte daher zu diesem
Zeitpunkt die folgende Injektion so lange hinauszögern, bis gesichert ist, dass die Folgeinjektion
einen neuen Wirkstoffgehalt von 200 mg ergibt. Berechne den Zeitpunkt der neuen Injektion.
In welchem Rhythmus darf der Arzt spritzen, wenn er jedes Mal 200 mg erreichen will?
Welchen gleichförmigen Injektionsrhythmus können Sie vorschlagen, der diese Obergrenze
respektiert?
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 22
Lösung 803
a) Gesucht ist die Funktion f( x)
f( 5) = 95 eingesetzt:
f( 20) = 56 eingesetzt:
ax + b
= , wobei 2 Wertepaare („Zustandspunkte“) gegeben sind:
x+ 5
5a + b
= 95
10
⇔ 5a + b = 950 (1)
20a + b
= 56
25
⇔ 20a + b = 1400 (2).
Elimination von b durch: (2) – (1): 15a = 450 | :15
a = 30
Eingesetzt in (1): 5 ⋅ 30 + b = 950 ⇒ b = 950 − 150 = 800 .
Ergebnis: f( x)
30x + 800
= .
x+ 5
x ist die Nummer der Produktionseinheit,
y hat die Einheit 10.000 €.
Die Abnahme bedeutet streng monoton abnehmend.
Dazu muss man zeigen, dass f'( x) < 0 ist
für x ≥ 0.
Ableitungsfunktion:
30 ⋅ ( x + 5) −1⋅ ( 30x + 800) 30x + 150 −30x −800 −650
f'( x)
= = = .
2 2 2
( x+ 5) ( x+ 5) ( x+ 5)
Weil der Nenner stets positiv ist und der Zähler konstant negativ, hat f'( x ) stets negative Werte.
Also fällt f streng monoton, die Produktionskosten nehmen also ab.
Ab wann sind die Herstellungskosten geringer als 400.000 €?
f( x) < 40 ⇔
30x + 800
< 40
x+ 5
30x + 800 < 40 ⋅ ( x + 5)
30x + 800 < 40x + 200
30x + 800 < 40x + 200
600 < 10x
60 < x bzw. x > 60 .
Ergebnis: Ab der 61. Produktionseinheit liegen die Herstellungskosten unter 400.000 €.
Die langfristige Entwicklung berechnet man durch diesen Grenzwert:
30x + 800 30 + 30
lim f ( x) = lim = lim = = 30
x+ 5 1+ 1
x→∞ x→∞ x→∞
Demo: Mathe-CD
Ergebnis: Langfristig muss man mit 300.000 ,3 Herstellungskosten rechnen.
800
x
5
x
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 23
b) Die Differenz zweier aufeinander folgenden Produktionseinheiten wird so berechnet:
( )
( )
30x + 800 30 x + 1 + 800 30x + 800 30x + 830
f( x) − f( x+ 1)
= − = −
x+ 5 x+ 1 + 5 x+ 5 x+ 6
( ) ( )
f x − f x+ 1 =
( ) ( )
f x − f x+ 1 =
( ) ( )
f x − f x+ 1 =
( ) ( )
f x − f x+ 1 =
( 30x + 800) ⋅ ( x + 6) − ( 30x + 830)( x + 5)
( x+ 5)( x+ 6)
+ + + − ⎡
⎣ + + + ⎤
⎦
2 2
30x 180x 800x 4800 30x 150x 830x 4150
2
30x
Bedingung: ( ) ( )
( x+ 5)( x+ 6)
2
+ 180x + 800x + 4800 − 30x
x+ 5 x+ 6
650
( x+ 5)( x+ 6)
650
( x+ 5)( x+ 6)
( )( )
−150x −830x −4150
2 2
f x − f x + 1 < 1 ⇔ < 1 ⇔ 650 < x + 11x + 30 ⇔ x + 11x − 620 > 0
Zur Lösung der quadratischen Ungleichung untersucht man z. B. die Hilfsparabel:
2
h(x) = x + 11x − 620
Sie ist nach oben geöffnet und hat diese beiden Nullstellen:
x
1,2
− 11± 121+ 4 ⋅620 − 11± 2601 − 11± 51 ⎧10
= = = = ⎨
2 2 2 ⎩−31
Daher hat sie zwischen ihren Nullstellen negative Werte
und im Außenbereich positive Werte. Weil hier x ≥ 0 gilt
folgt: h( x) > 0 für x > 20.
Und weil x im Grunde natürliche Zahlen sind, lautet das
Ergebnis: Ab x = 21 ist der Kosten-Unterschied zwischen zwei aufeinander folgenden
Produktionseinheiten kleiner als 10.000 €.
Eine Lösung mit einem Grafikrechner oder einem CAS-Rechner ist selbstverständlich auch
möglich.
Berechnung der Herstellungskosten für die ersten 100 Produktionseinheiten.
100,5
( ) ( )
K 100 = ∫ f x dx ≈ 4920,08 (Siehe Folgeseite!
0,5
Demo: Mathe-CD
Also belaufen sich diese Herstellungskosten auf 4920 ⋅ 10.000 = 49.200.000 € .
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 24
Manuelle Berechnung dieses Integrals:
100,5
30x + 800
K100 ( ) = ∫
dx
x+ 5
0,5
Vereinfachung durch Substitution: u = x + 5 ⇒ du = 1⋅ dx = dx
Ersetzung des Zählers: x = u− 5
Umrechnung der Grenzen: x = 0,5 ⇒ u = 5,5 und x = 100,5 ⇒ u = 105,5
30( u − 5) + 800
∫ ∫ ∫ ∫
100,5 105,5 105,5 105,5
30x + 800 30u + 650 ⎛ 650 ⎞
K ( 100) = dx = du = du = 30 + du
x+ 5 u u
⎜
u
⎟
⎝ ⎠
0,5 5,5 5,5 5,5
105,5
( ) = ⎡ + ⋅ ⎤ = ⋅[ − ] + ⋅[ − ]
K 100 ⎣30u 650 ln u ⎦ 30 105,5 5,5 650 ln105,5 ln5,5
105,5
K ( 100) = 30 ⋅ 100 + 650 ⋅ln ≈ 40920,07589...
5,5
Begründung für den Ansatz dieses Integrals:
Die Funktion f ist eine stetige Funktion, die modellhaft
die Produktionskosten angibt.
Da es aber nur für ganzzahlige x Produktionskosten
gibt, liegt in Wirklichkeit eine Punktfolge vor.
5,5
Die Produktionskosten für jedes x kann man dann durch
ein Rechteck der Breite 1 und der Höhe f(x) darstellen.
So entsteht die in der nächsten Abbildung dargestellte
Rechtecksfläche. Sie stimmt grob mit der Fläche zwischen
dem Schaubild von und der x-Achse überein.
Diese aber hat (hier) ihren linken Rand bei 0,5 und den
rechten bei 5,5. In der Aufgabe ist der rechte Rand daher
bei 100,5. Die linken und rechten Grenzen ragen somit
um 0,5 nach links und rechts über das Intervall [ 1; 100 ]
hinaus.
Demo: Mathe-CD
Man kann die Güte dieser Integralberechnung mit
einem CAS-Rechner vergleichen. Mit ihm kann man
alle 100 Rechtecke aufsummieren lassen und das
Ergebnis mit dem Integrationsergebnis vergleichen:
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 25
Wenn die Herstellungskosten für die ersten 100 Produktionseinheiten 4920 ⋅ 10.000 = 49.200.000 €
sind, und jede Einheit aus 10.000 Packungen besteht, dann entfallen in dieser Serie auf eine
Packung durchschnittlich
4920 ⋅10.000
k = = 49,20 €
100 ⋅10.000
(Denn in dieser Serie wurden ja 100 ⋅ 10.000 Packungen produziert.
So groß muss also der Verkaufspreis mindestens sein, damit die Firma Gewinn erzielt.
c) Die Injektion des Rheumamittels hat eine exponentielle Abnahme des Wirkstoffes zur Folge.
eine Abnahme um 18% in der Zeitspanne Δ t = 6 (h) führt zu einem Abnahmefaktor von
q = 1 – p = 1 – 0,18 = 0 82. Es gibt nun 2 Zahlenfolgen: an gibt den Wirkstoffgehalt im
6-Stundenraster jeweils direkt nach der Injektion an, bn gibt den Wirkstoffgehalt im
6-Stundenraster jeweils direkt vor der nächsten Injektion an.
Wertetabelle der Folge bn Wertetabelle der Folge an.
b00 = Zuerst war kein Wirkstoff im Blut. aO= 50 Anfangswert nach der 1. Spritze.
b150 0,82 41
= ⋅ = Nach 6 h 18% weniger. a1= 50⋅ 0,82 + 50 = 91 Neue Injektion ergibt +50.
b291 0,82 74,62
= ⋅ = a291 0,82 50
12 4, 62
+
= ⋅ =
b3 124,62 0,82 102,1884
= ⋅ = a3 124,62 0,82 5 0 152, 1884
+
= ⋅ =
b4 152,1884 0,82 124,79
= ⋅ ≈ a4 = 152,1889 ⋅0, 82 50 ≈174,79
+
Man erkennt sehr schön die Berechnungsabfolge für an:
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
( )
Dies ist der gesuchte Wert nach der
5. Spritze: Also etwa 175 mg.
a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ a
+ 50 + 50 + 50 + 50
0 ⋅0,82 1 1 ⋅0,82 2
2 ⋅0,82 3 3 ⋅0,824
4
bzw. mit Zahlen:
50 ⎯⎯⎯→ b ⎯⎯⎯→ 91 ⎯⎯⎯→b ⎯⎯⎯→ 124,62 ⎯⎯⎯→b ⎯⎯⎯→ 152,19 ⎯⎯⎯→b ⎯⎯⎯→ 174,79
+ 50 + 50 + 50 + 50
⋅0,82 1 ⋅0,82 2 ⋅0,82 3 ⋅0,
82 4
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:
a 50
Demo: Mathe-CD
0 = zusammen mit n n−1 a = a ⋅ 0,82+ 50
Hinweis: Man liest ab und zu die Formulierung: „Rekursive Folge“. Dies ist natürlich Unsinn.
Eine Folge kann nicht rekursiv sein, denn wenn man nur die Werte der Folge anschaut,
dann erkennt man ja nicht, ob diese rekursiv (also jeweils aus dem Vorgänger) berechnet
worden sind oder explizit, also aus einem Funktionsterm. Lediglich die Bildungsvorschrift
kann rekursiv sein!

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 26
Die Frage nach der langfristigen Entwicklung ist im Grunde die Frage nach dem Grenzwert dieser
Folge an. Man kann diesen hier durch eine sachliche Überlegung finden:
Der Wirkstoffgehalt hat sein Maximum erreicht, wenn in den 6 Folgestunden gerade diese
Menge abgebaut wird, die dann wieder durch die Injektion zugeführt wird, also 50 mg.
Bezeichnen wir den Maximalwert des Wirkstoffgehalts als a*, dann bedeutet dies, dass
die nach 6 Stunden noch vorhandene Menge a* ⋅ 0,82 durch die Injektion um 50 mg
erhöht wird, aber dadurch wieder a* entsteht. Dies heißt:
a* = a * ⋅ 0,82 + 50
a* − a* ⋅ 0,82= 50
| - a* ⋅ 0,82
( )
a* 1− 0,82= 50
a* ⋅ 0,18= 50
(*)
50
a* = ≈ 277,78
0,18
Man hätte auch den Ansatz so machen können:
Hinweis:
Der Grenzwert a* ist dann „erreicht“, wenn die Wirkstoffabnahme, und das ist a* ⋅ 0,18,
genau so groß ist wie die Wirkstoffzufuhr 50 (mg). Dies entspricht der Gleichung (*).
Ich habe das Wort „erreicht“ in Anführungszeichen gesetzt, weil streng mathematisch
eine Folge niemals ihren Grenzwert erreicht sondern sich ihm asymptotisch nähert.
Rundet man jedoch (was in der medizinischen Praxis natürlich der Fall ist, weil man nicht
beliebig feine Messungen durchführen kann, dann wird dieser Grenzwert sehr wohl „erreicht“.
Die langfristige Schwankung im Blut bewegt sich dann zwischen diesem Maximalwert von
gerundeten 278 mg und 278 mg ⋅0,82 ≈ 228 mg vor der nächsten Injektion.
Demo: Mathe-CD
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 27
Zusätze:
(1) Welche Exponentialfunktionen beschreiben die fallenden Teilkurven?
k t
f x =C ⋅e (Basis e)
1. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion ( ) ⋅
1 1
kt
Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t C1 e ⋅
= ⋅ .
Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte:
P1( 0|50 ) : 1 ( )
P ( 6|50⋅ 0,82)
( )
2
f 0 50
1
= ergibt: 1
f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt:
−0,033 ⋅t
Ergebnis: f () t = 50⋅ e mit 0 ≤ t < 6
1
C = 50 (Startwert!)
6k
50 ⋅ e = 50 ⋅ 0,82
6k
e = 0,82
6k = ln0,82
ln0,82
k = ≈ − 0,033
6
t
2. Methode: Verwendung der Abnahmefunktion f1( x ) =C1⋅b .
t
Die 1. Teilfunktion ist eine exponentielle Abnahmefunktion mit der Gleichung f1() t = C1⋅ b .
Zur Bestimmung der beiden Konstanten benötigt man zwei Punkte:
P1( 0|50 ) : 1 ( )
P ( 6|50⋅ 0,82)
( )
2
f 0 50
1
= ergibt: 1
f 6 = 50 ⋅ 0,82 ergibt:
t
Ergebnis: f () t = 50 ⋅ 0,967 mit 0 ≤ t < 6
1
Umrechnung dieser Abnahmefunktionen ineinander:
Oder:
1
−0,033 ⋅t
() = ⋅ soll übergehen in die Form ( )
f t 50 e
Dann muss gelten:
Also ist
1
()
b = e
t −0,033 ⋅t
( ) t
t
b
0,033
e −
=
−0,033
b = e ≈ 0,967...
t
= ⋅ soll übergehen in die Form 1 ()
f t 50 0,967
Dann muss gelten:
k ⋅ t t
e = 0,967
( ) t
k
e
t
= 0,967 bzw.
Also ist k = ln0,967 ≈ − 0,0335...
C = 50 (Startwert!)
t
50 ⋅ b = 50 ⋅ 0,82
6
b = 0,82
6 b = 0,82 ≈ 0,967465....
f t = 50⋅ b
Demo: Mathe-CD
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
1
t
kt
f t 50 e ⋅
= ⋅
k
e = 0,967.

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 28
Bestimmung der 2. Teilfunktion (nach der 2. Injektion):
Die 2. Teilfunktion ist ebenfalls eine fallende Exponentialfunktion. Man kann für sie auch den
rt
Ansatz f2() t = C2 ⋅ e machen. Jetzt aber ist C2 kein Wert der Folge an, denn C2 stellt ja den
Wert dieser Funktion für t = 0 dar, auch wenn diese Funktion nur für 6 ≤ t < 12 gebraucht wird.
1. Methode: Bestimmung der beiden Konstanten mit zwei Zustandspunkten:
(Ich bleibe bei der Basis e).
Q1( 6|91 ) : ( )
Q ( 12|91⋅ 0,82)
( )
2
f2 6
6r
C2 e ⋅
= ⋅ ergibt
6r
91 = C2 ⋅ e
(1)
f 12 C
12 r
e ⋅
= ⋅ ergibt
12r
91⋅ 0,82 = C2 ⋅ e (2)
2 2
Elimination von C2 durch Division (2)
(1) :
12r
91⋅ 0,82 C2⋅e = 6r
91 C2⋅e 6r
0,82 = e
(3)
Das ergibt wie oben r ≈ − 0,033 .
Dies sollte nicht verwundern, denn wir haben ja dieselbe prozentuale Abnahme!
Berechnung von C2 durch Einsetzen von (3) in (1): 91 = C2 ⋅ 0,82
91
C2 = = 110,9756
0,82
−0,033 ⋅ t
Ergebnis: f () t = 110,9756 ⋅ e mit 0 ≤ t < 6
2
2. Methode: Erzeugung dieser Funktion durch eine Zeitverschiebung.
Wir denken uns die Uhr erst ab der 2. Spritze laufen. Dann können wir die 1. Funktion mit
angepasster Startmenge verwenden und verschieben dann die Kurve um 6 nach rechts (t-6) statt t.
−0,033⋅⋅t −0,033⋅⋅t 2() = 1⋅
= ⋅
f t a e 91 e
Diese Funktion verwendet eine Zeitmessung, deren Nullpunkt der Moment der 2. Injektion ist.
Da dieser Zeitpunkt jedoch (idealisiert) 6 Stunden nach der 1. Spritze liegt, muss man für eine
einheitliche Zeitachse die „Kurve“ um 6 nach rechts verschieben: (Weiter rechts bedeutet „später“):
Bestimmung der weiteren Teilfunktionen:
Demo: Mathe-CD
−0,033 ⋅(t−6) −0,033 ⋅(t−6) 2() 1
f t = a ⋅ e = 91⋅ e .
−0,033 ⋅(t−12) −0,033 ⋅(t−12) Die 3. Funktion wird dann f3() t = a2 ⋅ e = 124,62 ⋅ e
−0,033 ⋅(t−18) −0,033 ⋅(t−18) 4. Funktionsterm: f4() t = a3 ⋅ e = 152,2 ⋅ e
−0,033 ⋅(t−24) −0,033 ⋅(t−24) 5. Funktionsterm: f5() t = a4 ⋅ e = 174,79 ⋅ e
−0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) 6. Funktionsterm: f6() t = a5 ⋅ e = 193,33⋅ e
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 29
Hier diese 4 Schaubilder für x ≥ 0:
Und dann die Funktionen abschnittsweise:
Jeder Hochpunkt beschreibt den Wirkstoffgehalt nach einer neuen Injektion.
(2) Aufstellen einer expliziten Bildungsvorschrift für die Folge an.
Aus der Lösung der Aufgabe kennen wir bereits die rekursive Vorschrift:
a 50
0 = zusammen mit n n−1 Mit ihrer Hilfe bilden wir die ersten Werte ganz ausführlich:
a050 =
a1 = aO ⋅ 0,82+ aO
( ) 2
a = a ⋅ 0,82+ a ⋅ 0,82+ a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82+ a
2 O O O O O O
a1
( )
a = a ⋅ 0,82+ 50
a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a
2 3 2
3 O O O
a2
O O O O O
Man folgert intuitiv:
a = a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + ... + a ⋅ 0,82 + a ⋅ 0,82 + a (S1)
n n−1 2
n O O O O O
Dies ist eine geometrische Reihe, für die es eine Berechnungsformel gibt:
Grundwissen zur geometrischen Reihe
Unter einer geometrischen Reihe versteht man eine Summe dieser Bauart:
s a a q a q a q ... a q −
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ .
2 3 n 1
n 1 1 1 1 1
O
Das sind insgesamt n Summanden (der erste lautet eigentlich a ⋅ q ).
Die Summenformel dafür lautet.
Demo: Mathe-CD
n
n
1−
q q −1
= a1
⋅ = a1
⋅
1 − q q−
1
Die erste Formel ist günstig für 0

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 30
Unsere Summe (S1) ist erstens anders angeordnet, zweitens verwendet sie aO statt a1 und
drittens besteht sie aus (n+1) Summanden, was man an den Exponenten 0 bis n sieht (das
sind n+1 Zahlen).
Daher muss man die Summenformel so anpassen:
Dabei ist q = 0,82 und aO = 50. Damit folgt:
1−q sn+ 1= aO⋅
1−q n+ 1
n n−1 2
1−0,82 sn+ 1= aO⋅ 0,82 + aO⋅ 0,82 + ... + aO⋅ 0,82 + aO⋅ 0,82+ aO= aO⋅ = a n !!
1−0,82 Umformen:
1−0,82 an= 50⋅
0,18
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
n+ 1
50
an= ⋅ 1− 0,82
0,18
n+ 1 ( )
an n 1
277,78 ( 1 0,82 ) +
= ⋅ −
Wir testen diese Formel: 1 = ⋅( −
2 ) =
2 = ⋅( −
3 ) =
Anwendung:
a 277,78 1 0,82 91
a 277,78 1 0,82 124,62
usw.
Dies ist die Folge der Hochpunkte in unserer Funktion f,
welche den Wirkstoffgehalt des Rheumamittels im Blut beschreibt,
wenn nach jeweils 6 Stunden eine neue Injektion erfolgt.
Verbinden wir diese Punkte zu einer stetigen Kurve, dann lautet deren
t
Funktionsgleichung 6 ()
1
h t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞
= ⋅⎜ − ⎟,
denn wegen der
⎝ ⎠
Schrittweite Δ t = 6 müssen wir t stets durch 6 dividieren um auf
Δ t = 1 zu kommen, was für die Funktion erforderlich ist.
Demo: Mathe-CD
Rechts sehen wir das Schaubild von h zusätzlich eingezeichnet.
Und dies ist eine andere Darstellung des Schaubildes von h
mit ihrer waagerechten Asymptote y = 277,78.
n+ 1
Die Aufstellung des Funktions-
terms von h mittels CAS und
exponentieller Regression folgt
weiter hinten.

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 31
(3) Zeigen Sie, dass die Funktion h(t) die Differentialgleichung des beschränkten
Wachstums erfüllt.
Diese lautet (Siehe Datei 49402): f'( t) = r⋅ S−f( t)
⎡⎣ ⎤⎦
Diese DGL. besagt, dass die momentane Wachstumsrate, welche durch die Ableitung
der Wachstumsfunktion definiert wird, proportional zur Differenz zum Grenzwert ist.
t
6 1
h() t 277,78 1 0,82 + ⎛ ⎞
= ⋅⎜ − ⎟
⎝ ⎠
t
6 1
() 6
1 ⎛ ⎞
= ⋅ − ⋅
h' t 277,78 0,82 +
⎜
⎝
⎟
⎠
Die Konstante S ist der Grenzwert S = 277,78
Dann ist
⎛
S − h() t = 277,78 −277,78 ⋅⎜1− 0,82
⎝
⎞
⎟ = 277,78 ⋅0,82
⎠
Setzt man links und rechts in die Differentialgleichung ein, folgt:
t t
6 1
6
6
1
1
277,78 0,82 r 277,78 0,82 +
+ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
⋅⎜− ⎟⋅ = ⋅⎢ ⋅ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
1
Man erkennt: Für r =− ist die DGL erfüllt.
6
t+ 1 t+
1
6 6
Demo: Mathe-CD
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 32
(4) Untersuchung der Folgen an und bn mit dem CAS-Rechner TI Nspire.
Es gibt 2 Möglichkeiten, diese Zahlenfolgen mit einem CAS-Rechner
darzustellen:
1. Methode:
Man benötigt drei Spalten. In die Spalte A trägt man x bzw. t ein.
In den Spaltenkopf sollte man nicht d oder t eintragen sondern
z.B. lt (zur Erinnerung an Liste t), dann die Spalte B für die Folge bn
(Spaltenkopf lb) und C für an (Spaltenkopf la).
Dann füllt man die erste Zeile aus und setzt den Cursor auf das
Feld a1. Mit dem Menü b33 wird die Umrandung
gestrichelt, und mit der Cursortaste zieht man sie so weit nach
unten, wie man das
haben möchte.
Dann berechnet man b2 durch die Eingabe = c1⋅ 0,82 und das
Feld c2 durch = b2 + 50 . Jetzt markiert man b2 und c2 mit und
zieht mit b33 die Markierung nach unten.
So erhält man die dargestellten Werte der beiden Folgen.
Diese Folgen kann man graphisch darstellen.
Man öffnet ein Grafikfenster und ruft Streu-Plot auf.
In die beiden Rahmen
am unteren Bildrand
trägt lt und la
(für die zweite Folge
lt und lb) ein.
Dazu drückt man auf
die Zeigertaste in der Mitte des Cursors, wählt das
Passende aus und schließt mit · .
Auf diese Weise entstehen dann die beiden Folgen.
Man muss jedoch die Fensterparameter günstig wählen
(b41 ), sonst sieht man zunächst gar nichts.
Demo: Mathe-CD
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 33
2. Methode:
Eingabe der rekursiven Vorschrift.
Nebenstehend erkennt man, wie man die
Formel eingibt. Wir wissen:
a0= 50 mit an = an−1⋅ 0,82+ 50.
Das Ergebnis steht rechts im Screenshot.
Ermittlung der expliziten Vorschrift für die Folge an durch exponentielle Regression.
WISSEN: Da mit dieser Regressionsmethode nur Funktionen vom Typ
x
f(x) = a⋅ b berechnet
x
können, hier aber der Typ h( x) = S−a⋅ b vorliegt, muss man zuerst die Hilfsfunktion
x
f( x) = S− h(x) = a⋅ g bestimmen. Man benötigt also zuerst eine noch zu erstellende
Wertetabelle für S – h(x), wobei h(x) hier durch die Folge an repräsentiert wird.
Folglich ergänzt man die oben erstellte Tabelle durch eine
neue Spalte lw. In d1 trägt man ein: = 277,78 − c1.
Dieses Feld wird dann nach unten so weit verlängert,
bis man die gewünschten Daten hat.
Dann erst folgt die eigentliche Regression.
Man setzt den Cursor in den Kopf der Spalte E.
Über das Menü b41 ruft man diese Methode auf.
Dazu will Nspire einiges wissen:
Nach „OK“ erhält man die Ergebnisse:
Demo: Mathe-CD
x x
Die Werte der Spalte D gehören also zu dieser Funktion: f ( x) = a ⋅ b = 227,743 ⋅ 0,82
x
Daraus gewinnen wir die gesuchte Funktion h(t) so: h( x) = S−a⋅ b
x 227,743 x
( ) = − ⋅ = ( − ⋅ )
h x 277,78 227,743 0,82 277,78 1
277,78
0,82
h x
x
= 277,78 1−0,82⋅ 0,82
( ) ( )
Ergebnis:
x 1
h( x) 277,78( 1 0,82 ) +
= − .
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
la

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 34
(5) Erweiterung der Aufgabe durch diese Teilaufgabe:
Lösung:
Ein Patient soll von diesem Wirkstoff maximal 200 mg im Blut haben. Nach der wievielten
Injektion ist diese Grenze überschritten?
Der behandelnde Arzt möchte daher zu diesem Zeitpunkt die folgende Injektion so lange
hinauszögern, bis gesichert ist, dass die Folgeinjektion einen neuen Wirkstoffgehalt von 200 mg
ergibt. Berechne den Zeitpunkt der neuen Injektion. Wie geht das mit den Folgeinjektionen
weiter?
1. Schritt: Ermittlung des Zeitpunkts, wann der Wirkstoffgehalt
200 mg übersteigen würde.
Man benötigt hierzu entweder die Wertetafel, die oben mit dem
CAS-Rechner erstellt worden ist und die man auch mit jedem
anderen Rechner aufstellen kann. Daraus ersieht man, dass
schon die 7. Injektion (a6 = 205,5) zu einer Überschreitung
des Grenzwerts führt.
Oder man verwendet den expliziten Berechnungsterm für die Folge an:
Daraus folgt diese Ungleichung: an200 >
n
n 1 ( )
a 277,78 1 0,82 +
= ⋅ −
( n+ 1)
( 1
n+ 1
0,82 )
200
277,78 ⋅ 1− 0,82 > 200
− > | -1
277,78
n+ 1 200 −77,78
− 0,82 > − 1 =
277,78 277,78
0,82
n+ 1
>
n 1
Logarithmieren ergibt: ( )
77,78
277,78
+ 77,78
log 0,82 > log
277,78
Logarithmengesetze anwenden ( n + 1) ⋅ log( 0,82) > log77,78 − log 277,78
Also ist a5 < 200 und a6 > 200 mg.
Demo: Mathe-CD
log77,78 − log 277,78
n+ 1>
log 0,82
log77,78 − log 277,78
n > −1≈ 5,4
log 0,82
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 35
Zweiter Schritt: Die zu n = 5 gehörende 6. Injektion führt zu einem Wirkstoffgehalt von
a = 193,331 (mg). Die nächste Injektion darf erste verabreicht werden, wenn
5
der Wirkstoffgehalt im Blut auf 150 mg abgesungen ist. Dann nämlich erreicht
durch die folgende Verabreichung der Wirkstoffgehalt die 200 mg-Grenze.
Wir stellen die Uhr bei Verabreichung der 6. Injektion auf 0 und gehen von dem Wert aus,
dass in 6 Stunden der Wirkstoffanteil um 18% auf 82% abnimmt:
5
t
( ) = ⋅
f x 193,331 0,82
Wann ist der Wert 150 erreicht?
t
193,331⋅ 0,82 = 150
t 150
0,82 =
193,331
t 150
log 0,82 = log
193,331
t ⋅ log 0,82 = log 150 − log193,331
log 150 − log193,331
t = ≈ 1,23
log 0,82
Die Einheit für t ist hierbei 6 Stunden. Also entspricht der Wert t = 1,23 etwa 7,4 Stunden
also 7 Stunden und 23 Minuten.
−0,033 ⋅(t−30) −0,033 ⋅(t−30) Verwendet man die oben errechnete Teilfunktion f ( t) a e 193,33 e
6 = 5 ⋅ = ⋅ ,
welche die zeitliche Abnahme nach 30 h beschreibt (also nach der 6. Injektion),
dann kann man hier die auch die Gleichung f6( t) = 150 lösen lassen.
Mit TI Nspire CAS erhält als Lösung t = 37,7 Stunden (nach Behandlungsbeginn).
Das sind 7 h und 42 Minuten nach der letzten Injektion.
Wenn der Arzt dann seine 50 mg verabreicht, steigt der Wirkstoffgehalt auf den Maximalwert
von 200 mg an. Jetzt muss er nur noch den Zeitpunkt kennen, in dem der Gehalt wieder auf 150 mg
gesunken ist.
Die angegebene Abnahme um 18% pro 6 Stunden (als Zeiteinheit) führt auf diese
gt = 2000,82 ⋅ (t ab dem Zeitpunkt der Injektion).
Abnahmefunktion: () t
Demo: Mathe-CD
t
Bedingung: g() t = 150 ⇔ 200 ⋅ 0,82 = 150
150
200
t ⋅ log 0,82 = log 0,75
log0,75
t = ≈ 1,45
log0,82
t
0,82 = = 0,75
Das sind 1, 45 ⋅ 6 = 8, 7 Stunden, also 8 Stunden und 42 Minuten.
In diesem Zeitabstand sind also die Injektionen zu verabreichen, damit der Wirkstoffgehalt nach
jeder Injektion wieder 200 mg beträgt.
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 36
Die letzte Frage gibt dem Schüler Spielraum für eigene Ideen.
Wir haben diesen Sachverhalt: Der Arzt injiziert alle 6 Stunden 50 mg eines Rheumamittels.
In dieser Zeitspanne 6 Stunden nimmt der Wirkstoffanteil im Blut exponentiell (prozentual) ab.
Im Laufe der Zeit schaukelt sich dies aber so auf, dass das Maximum der Wirkstoffgehaltes sich dem
Grenzwert 277,78 mg nähert. Der Patient soll aber die Obergrenze von 200 mg nicht überschreiten.
In der letzten Teilaufgabe wurde dies so erreicht, dass nach der 6 Injektion die Zeitspanne bis zur
Verabreichung der Folgeinjektion so vergrößert worden ist, dass sie den Wirkstoffanteil auf gerade
200 mg erhöht. Dann wurde gewartet, bis dieser Wert wieder auf 150 mg abgesunken ist.
Es sind Injektionsmodelle denkbar, die mit einem konstanten Injektionsrhythmus einher gehen.
1. Modell: Der Arzt behält den 6-Stunden-Rhythmus bei, spritzt aber weniger als 50 mg.
Welche Dosis muss er verabreichen, damit der Grenzwert genau 200 mg ist?
2. Modell: Der Arzt injiziert regelmäßig 50 mg, vergrößert jedoch die Zeitspanne zwischen den
Injektionen.
Mathematische Untersuchung des 1. Modells:
Die Injektion des Rheumamittels hat eine exponentielle Abnahme des Wirkstoffes um 18% in der
Zeitspanne Δ t = 6 h zur Folge. Dies führt zu einem Abnahmefaktor von q = 1 – p = 1 – 0,18 = 0 82.
Die Zahlenfolge an gibt den Wirkstoffgehalt im 6-Stundenraster jeweils direkt nach der Injektion an.
Die noch zu bestimmende Dosis der Injektion wird zunächst mit d bezeichnet:
Wertetabelle der Folge an.
a d =
Anfangswert nach der 1. Spritze. O
Nach 6 h 18% weniger., dann neue Injektion (+d); a1 = a0 ⋅ 0,82 + d
Nach 6 h 18% weniger., dann neue Injektion (+d); a2 = a1⋅ 0,82 + d
a = a ⋅ 0,82 + d
usw.
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:
a d
Berechnung des Grenzwertes a*:
Wegen lim an = d und n−1 n→∞ n→∞ a* a * 0,82 d
3 2
Demo: Mathe-CD
0 = zusammen mit n n−1 = ⋅ + bzw. ( )
a = a ⋅ 0,82+ d
(G)
lim a = d folgt aus der Gleichung (G) für n →∞:
d = a * − a * ⋅ 0,82 = a * 1− 0,82 = a * 0,18
Für den gewünschten Grenzwert a* = 200 folgt somit eine Injektionsdosis
d = 200 ⋅ 0,18 = 36 ( mg)
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

43200 gebr. rat. Funktionen Anwendungen 37
Mathematische Untersuchung des 2. Modells:
Im Zusatz (1) dieser Aufgabe wurde die Abnahmefunktion ermittelt, die den Wirkstoffgehalt im Blut
beschreibt. Das Ergebnis war
−0,033 ⋅ t
f () t = 50⋅ e
1
Wir müssen jetzt die Zeitspanne herausfinden, die benötigt wird, damit dieser so weit absinkt, dass
langfristig ein Grenzwert von 200 mg herauskommt.
Wertetabelle der Folge an.
Anfangswert nach der 1. Spritze. O
a 50 =
Die gesuchte prozentuale Abnahme sei p%, wir schreiben dies als Dezimalzahl-Faktor q
Dann ist der Restbestand nach der Zeit t noch 50 ⋅ ( 1− q)
. Damit folgt:
Nach t h p% weniger., dann neue Injektion (+50); 1 0
a = a ⋅(1− q)
+ 50
a2 = a1⋅ 1− q + 50
a = a ⋅(1− q)
+ 50
Nach t h p% weniger., dann neue Injektion (+50); ( )
usw.
Rekursive Bildungsvorschrift der Folge an:
a 50
Der Grenzwertes soll a* = 200 sein.
3 2
0 = zusammen mit n n−1 Wegen lim an = 200 und n−1 n→∞ n→∞ a = a ⋅(1− q) + 50
(G)
lim a = 200 folgt aus der Gleichung (G) für n →∞:
200 = 200 ⋅(1− q) + 50 bzw.
200 −200 ⋅ 1− q = 50 ⇔ 200 1− 1− q = 50 ⇔ 200 ⋅ q = 50 ⇔ q = 0,25
( ) ( ( ) )
Das heißt: In unserer zu bestimmenden Zeitspanne muss der Wirkstoffgehalt um 25%
abnehmen.
Nach der Zeit t muss also der neue Wert 50 ⋅ 0,75 sein: f ( t) = 50 ⋅ 0,75
−0,033 ⋅ t
Aus f () t = 50⋅ e folgt somit
1
Daraus erhält man
Demo: Mathe-CD
−0,033 ⋅t
50 ⋅ e = 50 ⋅ 0,75
−0,033 ⋅ t
e = 0,75
Logarithmieren ergibt: −0,033 ⋅ t = ln 0,75
ln0,75
t = ≈ 8,7176
−0,033
Dies entspricht etwa 8 Stunden und 43 Minuten.
Ergebnis: Im 1. Modell hat man die günstige Zeitspanne von 6 Stunden und die Dosis 36 mg.
Im 2. Modell wird die leicht zu messende Dosis von 50 mg injiziert, aber in der
nicht so leicht zu planenden Zeitspanne von 43Stunden, 43 Minuten.
Der Arzt muss selbst entscheiden, was für den Patienten und ihn günstiger ist.
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
.