18020 - Internetbibliothek für Schulmathematik

Der Anfang:
Parabelgleichungen:
Scheitelgleichung und Normalform
Parabeln zeichnen
Mit Wertetafel oder
mit dem Parabelprinzip
(charakteristische Gleichung)
Die Lösungen zu allen Aufgaben bilden einen eigenen Text: 18021
Weitere Übungsbeispiele dazu stehen in 18022
Datei Nr. 18020
Stand 14. August 2010
Friedrich Buckel
Demo für www.mathe-cd.de
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
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Parabeln
Teil 1

18020 Parabeln Teil 1 2
Vorwort
Dadurch, dass meine Texte jetzt immer mehr von Schulen als Sammlungen von Übungsaufgaben
eingesetzt werden, muss ich viele Texte umstrukturieren, also gründlich überarbeiten. Die Texte zu
quadratischen Funktionen und Parabeln wurden daher in viele kleinere Einheiten gegliedert.
Übersicht über die Texte zu Parabelfunktionen
18020 Parabeln 1 Normalparabeln und gestreckte Parabeln.
Zeichnen dieser Parabeln,
Aufstellen der Scheitelgleichung. (Dieser Text)
18021 Lösungen zu den Aufgaben aus 18020
18022 Weitere Übungen zu 18020
18023 Parabeln 2 Berechnung des Scheitels einer Parabel in Normalform.
Quadratische Ergänzung und Scheitelformel
Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse.
Extremwertaufgaben.
18024 Parabeln 3 Parabeldiskussionen (ohne Ableitungen)
18025 Parabeln 4 Weitere Parabeldiskussionen
18026 Parabeln 5 Aufstellen von Parabelgleichungen wenn
Scheitel und 1 Punkt gegeben sind,
3 Punkte gegeben sind, oder
2 Nullstellen und ein weiterer Punkt gegeben sind.
18027 Parabeln 6 Abbildung von Parabeln durch
Verschiebungen, Streckungen, Spiegelungen
18028 Parabeln 7 Schnitt von Parabeln mit Geraden oder Parabeln.
Tangenten an Parabeln
18029 Parabeln 8 Sammlung der Grundaufgaben zu Parabeln
18030 Lösungen zu den Aufgaben aus 18029
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18035 Extremwertaufgaben zu quadratischen Funktionen
Als grundlegendes Hilfsmittel wird das Kurvenzeichenprogramm MatheGrafix verwendet, das man
unter www.mathegrafix.de in der neuesten Version beziehen kann.
Weil es bei diesem Thema um grundlegende mathematische Fähigkeiten und Methoden geht, wurde
darauf verzichtet, Grafikrechner oder CAS-Rechner mit einzubeziehen.
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18020 Parabeln Teil 1 3
Inhalt
1 Normalparabeln 4
1.0 Übersicht 4
1.1 Die Normalparabel
1.2 Die Normalparabel
y x
2
= - die Wertetafel-Methode 5
2
y x c
= ± 6
1.3 Normalparabel (nach oben geöffnet) mit beliebigem Scheitel zeichnen 7
1.4 Gleichung einer Normalparabel mit bekanntem Scheitel aufstellen 8
Die Scheitelgleichung verstehen 9
Musterbeispiele 10
1.5 Nach unten geöffnete Normalparabeln 11
1.6 Trainingsaufgaben zu Normalparabeln 12
2 Gestreckte Parabeln 19
2.1 Die Parabeln y kx
2.2 Gestreckte Parabeln mit dem Scheitel S( x S | y S)
21
Die Scheitelgleichung verstehen 23
2.3 Noch zwei kleine Anwendungsaufgaben 24
Liegt ein Punkt auf einer Parabel 24
Streckfaktor aus Scheitel und einem Punkt berechnen 24
2.4 Parabelgleichungen zum Schaubild aufstellen 25
2.5 Trainingsaufgaben zu gestreckten Parabeln 26
2
= als Grundlage 19
Zu diesem Text gehören zwei weitere Übungstexte:
Alle Aufgaben dieses Textes und ihre Lösungen stehen im Text 18021.
Weitere Übungsaufgaben dazu enthält der Text 18022.
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18020 Parabeln Teil 1 4
1.0 Übersicht
Die bekannteste Parabel hat die Gleichung
1 Normalparabeln
2
y = x . Sie heißt Normalparabel.
Verschiebt man diese Parabel im Koordinatensystem, ändert sich die Gleichung, nicht aber
ihre Form, und damit auch nicht ein grundlegendes Parabel-Punkt-Verfahren, das wir gleich
kennen lernen wollen. Alle Parabeln, die durch Verschiebung der Parabel y = x 2 entstehen,
heißen Normalparabel. Dieser Name charakterisiert also die gemeinsame Form dieser Kurven.
Für die allgemeine Normalparabel gibt es zwei Gleichungsformen:
1. Die Normalform lautet:
2
y = x + bx+ c
2. Die Scheitelform lautet: ( ) 2
y = x− x + y
S S
Man verwendet oft auch Parabeln, die in Richtung der y-Achse gestreckt worden sind.
Dazu benötigt man einen Streckfaktor k, der angibt, mit welcher Zahl die y-Koordinaten
der Punkte einer Normalparabel multipliziert worden sind.
Streckt man beispielsweise die Parabel
2
= , dann entsteht die Parabel
y x
2
y = k⋅ x .
Verschiebt man diese gestreckte Parabel im Koordinatensystem, ändert sich die Gleichung,
nicht aber ihre Form, und damit auch nicht ein grundlegendes Parabel-Punkt-Verfahren.
Für die allgemeine gestreckte Parabel gibt es zwei Gleichungen:
1. Die Normalform lautet:
2
y = ax + bx+ c
2. Die Scheitelform lautet: ( ) 2
y = k x− x + y
Noch ein Wort zur Erstellung der Parabelschaubilder.
S S
Hier gibt zwei grundsätzlich verschiedene Methoden zur Berechnung noch Punkten.
1. Mit einer Wertetafel kann man zu verschiedenen x-Werten die y-Koordinaten berechnen.
2. Ausgehend vom Parabelscheitel, den man dazu kennen muss, wird das Parabelprinzip
durchgeführt. Kurz angedeutet: Der x-Abstand eines Punktes vom Scheitel wird
quadriert, daraus erhält man durch Quadrieren und Multiplizieren mit dem Streckfaktor
den y-Abstand des neuen Punktes vom Scheitel. Das gilt für jede Parabel.
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Die Formel dazu lautet:
Dies alles wird in den folgenden Abschnitten besprochen.
2
Δ y = k⋅Δ x und heißt oft charakteristische Gleichung.
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18020 Parabeln Teil 1 5
1.1 Die Normalparabel
2 y= x und die Wertetafel-Methode.
2
Diese Parabel gehört zur Quadratfunktion f( x) = x . Man berechnet eine Liste von
Funktionswerten, die man dann als y-Koordinaten von Parabelpunkten verwendet.
Für die ganze Parabeltheorie ist es wesentlich, dass man eine Reihe von Quadratzahlen
auswendig gelernt hat. Dann kann man schnell arbeiten.
MERKE: 2
1 = 1
2
2 = 4
2
3 = 9
2
4 = 16
1 = 1 ( ) 2
3 = 9 1 = 2
( ) 2
5 25 = 1 = 6
Und vor allem: ( ) 2
2 4
2 4 4
2 4 4
2
Die Wertetafel für die einfache Quadratfunktion y = f( x) = x lautet:
x 0 ± 1 ± 2 ± 3
f( x) 0 1 4 9 1
Wer nur die ganzzahligen Werte verwendet, erhält in der Umgebung des Ursprungs meist
eine zu spitze Kurve, siehe links unten.
Die folgenden Abbildungen zeigen, welche Punkte man für eine Parabel einzeichnen sollte.
1 3 5
Speziell die Zwischenpunkte mit x-Werten ± , ± und ± sind wichtig, damit man eine
2 2 2
schöne Rundung in der Umgebung des Scheitels bekommt.
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Links: So sieht keine Parabel aus. Rechts: Viele Punkte am Parabelscheitel (z.B. U und
W) ergeben eine schöne runde Kurve!
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±
1
2
4
±
3
2
±
5
2
9 1 25 1
= 2 = 6
4 4 4 4
O0|0
( )
LERNEN

18020 Parabeln Teil 1 6
1.2 Die Normalparabel
Beispiel:
2
y = x − 4
Diese Parabel entsteht aus
1
3
Δx 0 ± ± 1 ± ± 2
1
4
2
9
4
Δy 0 1 4
2
2
±
y= x c
2
y = x durch
Verschiebung um 4 nach unten. Daher verschiebt
man das Achsenkreuz samt Parabel im 4 nach
unten. Dann erhält man den Scheitel S0| ( − 4)
.
Von da aus zeichnet man (ins verschobene
Koordinatensystem) die Parabel so ein, wie wenn
2
sie die Gleichung y = x hätte, man nimmt S als
neuen Ursprung.
Man geht also von S aus um 1 zur Seite und
2
um 1 nach oben. Dann um 1 zur Seite und
4
um 1 nach oben. Dann um 3 zur Seite und
2
um ( ) 2
3 9 1 = = 2 nach oben. Dann um 2
2 4 4
zur Seite und um 4 nach oben usw.
Die Strecke, um die man in x-Richtung geht, bezeichnet man mit Δ x , in y-Richtung mit Δ y .
Ist Δ x positiv, geht man nach rechts, ist Δ x negativ, nach links. Daher stellt Δ x nicht die Länge
der Strecke dar, sondern eigentlich Länge zusammen mit Richtung.
Das Grundprinzip einer Normalparabel, auch wenn sie verschoben ist, lautet:
1
2
±
5
2
25
4
Δ y = Δ x
Die „Konstruktion“ der Parabelpunkte kann man damit so beschreiben:
Man geht von S aus um Δ x =± zur Seite und dann um ( ) 2
1 1
Δ y = = nach oben.
Dann um Δ x = ± 1 zur Seite und um Δ y = 1 nach oben.
Beispiel:
2 4
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2
2
Die Parabel y = x + 1 entsteht aus y = x durch
Verschiebung um 1 nach oben. Daher habe ich auch
die x-Achse um 1 nach oben verschoben und somit
mit S0|1 ( ) den neuen Scheitel bekommen.
Von ihm aus geht man um Δ x zur Seite und um
Δ y nach oben, wie es in der Tabelle steht.
( −
)
S0| 4
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S
2

18020 Parabeln Teil 1 7
1.3 Normalparabel (nach oben geöffnet) mit beliebigem Scheitel zeichnen
a) Ich wähle den „zufälligen“ Scheitel S3|-2 ( )
MERKE:
Die charakteristische Gleichung
für eine Normalparabel lautet
Zeichenprinzip:
2 Δ y =Δ x .
Wähle Δ x und berechne dazu Δ y . Dann geht man
von S aus um Δ x zur Seite und um Δ y nach oben
zum nächsten Parabelpunkt.
2
Δ x = 1 ⇒ Δ y = 1 = 1
1 P →
( ) 2
x 1 y 1 1
( ) 2
x 2 y 2 4
( ) 2
x 3 y 3 9
Δ = − ⇒ Δ = − = 2 P →
Δ = ± ⇒ Δ = ± = → P3,4
Δ = ± ⇒ Δ = ± = → P5,6
usw.
b) Jetzt die umgekehrte Übung:
Rechts wurde mit „Mathegrafix“ die Normalparabel
mit dem Scheitel S1,5|4 ( ) erstellt. Darin habe ich die
Punkte P und Q markiert und ihre Koordinaten abgelesen.
Es soll überprüft werden, ob die Koordinaten richtig
abgelesen worden sind.
Methode: Man berechnet Δ x und Δ y relativ
zum Scheitel und prüft nach, ob die
charakteristische Gleichung einer
Normalparabel erfüllt wird.
(1) Abgelesen: Punkt P3| ( − 1,75)
:
(2) Abgelesen: Punkt Q( 4|2,3 )
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Δ x = xQ − xS = 4− 1,5 = 2,5
Δ y = y − y = 2,3 − − 4 = 2,3 + 4 = 6,3
Gilt
Q S
2
Δ y = Δ x ?
( )
P4 3 P
WISSEN: Δ x ist die Differenz der x-Koordinaten
zweier Punkte: Für S1,5|4 ( ) und P( 3| − 1,75)
gilt: Δ x = xP −
xS
Δ x = xP − xS = 3− 1,5 = 1,5
Δ y = yP − yS = −1,75−( − 4) = − 1,75+ 4 = 2,25
2
Gilt Δ y = Δ x ?
2 2
Δ x = 1,5 = 2,25 = Δ y.
Richtig abgelesen!
2 2
Δ x = 2,5 = 6,25 ≠ Δ y . Ungenau abgelesen!
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P6
P
2
S
P
1
P5

18020 Parabeln Teil 1 8
1.4 Gleichung einer Normalparabel mit bekanntem Scheitel aufstellen.
Die Parabel sei nach oben geöffnet.
Beispiel 1: Scheitel im 1. Feld Beispiel 2: Scheitel im 4. Feld
2
WISSEN: Für jede Normalparabel gilt die charakteristische Gleichung: Δ y =Δ x
Methode: Berechne Δ x und Δ y für den Parabelpunkt P( x| y ) und den Scheitel S:
Eingesetzt in
Δ x = x− 1
Δ x = x− 3
Δ y = y− 2
Δ y = y−( − 2) = y+ 2
y− 2 = x− 1
( ) 2
y+ 2 = x− 3
2
Δ y = Δ x : ( ) 2
Oder: ( ) 2
y = x− 1 + 2 oder: ( ) 2
Normalform:
2
y = x − 2x+ 3
y = x−3 − 2
2
y = x + 6x+ 7
Beispiel 3: Scheitel im 2. Feld Beispiel 4: Scheitel im 3. Feld
Eingesetzt in
Δ x = x−( − 1) = x+ 1
( )
Δ y = y− 2
( )
Δ x = x− − 2 = x+ 2
Δ y = y− − 4 = y+ 4
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2
Δ y = Δ x : ( ) 2
y 2 x 1
− = + ( ) 2
y+ 4 = x+ 2
Oder: ( ) 2
y = x+ 1 + 2 oder: ( ) 2
Normalform:
Δx
Δx
2
y = x + 2x+ 3
Δy
Δy
y = x+ 2 − 4
2
y = x + 4x
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Δx
Δx
Δy
Δy

18020 Parabeln Teil 1 9
Die Scheitelgleichung verstehen:
Auf der vorigen Seite haben wir folgende Gleichungen aufgestellt:
Beispiel 1: ( ) 2
y− 2 = x− 1 bzw. ( ) 2
Scheitel: yS= + 2,
xS1 =+ S
y = x− 1 + 2
x 1 = + , yS= + 2
Umwandlung in die Normalform durch Anwenden der binomischen Formel:
y =
2
x − 2x+ 1 + 2
2
ergibt: y = x − 2x+ 3
( )
Beispiel 2: ( ) 2
y+ 2 = x− 3 bzw. ( ) 2
Scheitel: yS= − 2,
xS3 Normalform der Parabelgleichung:
=+ S
2
y = x − 6x+ 7
y = x−3 − 2
x 3 = + , yS= − 2
Beispiel 3: ( ) 2
y− 2 = x+ 1 bzw. ( ) 2
Scheitel: yS= + 2,
xS1 Normalform der Parabelgleichung:
=− S
2
y = x + 2x+ 3
y = x+ 1 + 2
x 1 = − , yS= + 2
Beispiel 4: ( ) 2
y+ 4 = x+ 2 bzw. ( ) 2
Scheitel: yS= − 4,
xS2 Normalform der Parabelgleichung:
=− S
2
y = x + 4x
y = x+ 2 − 4
x 2 = − , yS= − 4
In den Parabelgleichungen der ersten Art stehen die Scheitelkoordinaten links bzw.
rechts mit dem jeweils umgekehrten Vorzeichen.
Stellt man die Parabelgleichung nach y um, dann stehen beide Scheitelkoordinaten
rechts. Dann zeigt die x-Koordinate des Scheitels noch immer des entgegengesetzte
Vorzeichen, während die y-Koordinate des Scheitels das richtige Vorzeichen zeigt.
Beide Gleichungen sind im Gebrauch. Man nennt sie Scheitelgleichung einer Parabel.
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( ) 2
− = − bzw.
S S
( ) 2
y y x x
y= x− x + y
S S
Durch Anwendung der binomischen Formeln erhält man die Normalform:
S( 1| 2)
( ) 2 2 2
a− b = a − 2ab+ b
S( 3 | −2)
S( −1|
2)
S( −2 | −4)
2
y = x + bx+ c
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18020 Parabeln Teil 1 10
Musterbeispiele
Rest auf CD
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