62111 - Internetbibliothek für Schulmathematik
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62111 Matrizen 1 17 Beispiel 3: Falksches Schema: ⎛ 5 0 1⎞ ⎜ 3 2 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−2 −1 0⎟ ⎝ ⎠ Ergebnis : ⎛ 5 0 1⎞ ⎜ 3 2 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−2 −1 0⎟ ⎝ ⎠ Vertauschung: ⎛2 1 5 ⎞ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 4 −2⎟ ⎝ ⎠ Ergebnis : ⎛2 1 5 ⎞ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 4 −2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 5 0 1⎞ ⎛2 1 5 ⎞ ⎜ 3 2 9 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 3 ⎟ = ? ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−2 −1 0⎟ ⎜1 4 −2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2 1 5 ⎞ ⎛ 5 0 1⎞ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 9 ⎟ = ? ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 4 −2⎟ ⎜−2 −1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2 1 5⎞ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 4 − 2⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ⎛ 5⋅ 2+ 0⋅ 2+ 1⋅1 5⋅ 1+ 0⋅ 0+ 1⋅4 5⋅ 5+ 0⋅ 3+ 1⋅ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⋅ 2+ 2⋅ 0+ 9⋅1 3⋅ 1+ 2⋅ 0+ 9⋅4 3⋅ 5+ 2⋅ 3+ 9⋅ −2 ⎟ ⎜−2⋅2−10 ⋅ + 01 ⋅ −2⋅2−10 ⋅ + 0⋅4 −25 ⋅ −13 ⋅ + 0⋅ −2⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 1 5 ⎞ ⎜ 0 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 4 −2⎟ ⎝ ⎠ ⎛11 9 23 ⎞ ⎜ 15 39 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−4 −4 −13⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 5 0 1⎞ ⎜ 3 2 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−2 −1 0⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎛2⋅ 5+ 1⋅ 3+ 5⋅ −2 2⋅ 0+ 1⋅ 2+ 5⋅ −1 2⋅ 1+ 1⋅ 9+ 5⋅0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⋅ 5+ 0⋅ 3+ 3⋅ −2 0⋅ 0+ 0⋅ 2+ 3⋅ −1 0⋅ 1+ 0⋅ 9+ 3⋅0⎟ ⎜15 ⋅ + 4⋅3−2⋅ −2 10 ⋅ + 4⋅2−2⋅ −1 11 ⋅ + 4⋅9−2⋅0⎟ ⎝ ⎠ Demo: Mathe-CD ⎛ 5 0 1⎞ ⎜ 3 2 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−2 −1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 −3 11⎞ ⎜ −6 −3 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜21 10 37⎟ ⎝ ⎠ Beobachtung: Vertauscht man die beiden Matrizen, erhält man (meistens) ein anderes Ergebnis: Die Matrizen-Multiplikation ist also NICHT KOMMUTATIV! Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
62111 Matrizen 1 18 ⎛ 5 ⎞ Beispiel 4: ( 3 1 −2) ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = ( 3⋅ 5+ 1⋅( − 2) + ( −2) ⋅ 3) = ( 7) ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ Die beiden Matrizen ( 3 1 − 2) und ⎛ 5 ⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ (also ein Zeilenvektor und ein Spaltenvektor) ergeben wieder eine Matrix, das muss man beachten. Und diese Matrix hat nur 1 Element, nämlich die Zahl 7. ⎛ 5 ⎞ Die Schreibweise ( 3 1 −2) ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = 3⋅ 5+ 1⋅( − 2) + ( −2) ⋅ 3 = 7 ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ weist zwei Fehler auf, der mittlere und der rechte Term benötigen die Matrixklammern, wie dies in der ersten Zeile dargestellt ist! Beispiel 5: −2 ⋅( 3 1 −2) Begründung: ⎛ 5 ⎞ ⎛15 5 −10⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −6 −2 4 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 9 3 −6 ⎟ ⎝ ⎠ Zuerst einmal wurden die beiden Matrizen aus Beispiel 4 vertauscht. Es wird also multipliziert: A ⋅ B = C . ( 3,1 ) ( 1,3) ( 3,3) Das Ergebnis ist also eine (3,3)-Matrix (3 Zeilen, 3 Spalten). Dagegen ist in Beispiel 3 das passiert : B ⋅ A = D . ( 1, 3 ) ( 3 ,1 ) ( 1,1 ) Das Ergebnis ist also eine (1,1)-Matrix mit 1 Zeile und 1 Spalte, also mit nur 1 Element! Nun zur Rechnung mit dem Falkschen Schema: ⎛ 5 ⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ( 3 1 −2) ( ) ( ) ( ) ⎛ 5⋅3 5⋅1 5⋅ −2 ⎞ ⎛15 5 −10⎞ ⎜ ⎟ 2 3 2 1 2 2 ⎜ 6 2 4 ⎟ ⎜− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⎟ = − − ⎜ ⎟ ⎜ 3⋅3 3⋅1 3⋅ −2 ⎟ ⎜ 9 3 −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hier die Lösung mit dem Cas-Rechner TI Nspire: Demo: Mathe-CD Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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<strong>62111</strong> Matrizen 1 18<br />
⎛ 5 ⎞<br />
Beispiel 4: ( 3 1 −2) ⋅<br />
⎜<br />
− 2<br />
⎟<br />
= ( 3⋅ 5+ 1⋅( − 2) + ( −2) ⋅ 3) = ( 7)<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Die beiden Matrizen ( 3 1 − 2)<br />
und<br />
⎛ 5 ⎞<br />
⎜<br />
−2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
(also ein Zeilenvektor und ein Spaltenvektor)<br />
ergeben wieder eine Matrix, das muss man beachten. Und diese Matrix hat nur 1 Element,<br />
nämlich die Zahl 7.<br />
⎛ 5 ⎞<br />
Die Schreibweise ( 3 1 −2) ⋅<br />
⎜<br />
− 2<br />
⎟<br />
= 3⋅ 5+ 1⋅( − 2) + ( −2) ⋅ 3 = 7<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
weist zwei Fehler auf, der mittlere und der rechte Term benötigen die Matrixklammern,<br />
wie dies in der ersten Zeile dargestellt ist!<br />
Beispiel 5: −2 ⋅( 3 1 −2)<br />
Begründung:<br />
⎛ 5 ⎞<br />
⎛15 5 −10⎞<br />
⎜ ⎟<br />
=<br />
⎜<br />
−6 −2<br />
4<br />
⎟<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎜<br />
⎝ ⎠<br />
9 3 −6 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Zuerst einmal wurden die beiden Matrizen aus Beispiel 4 vertauscht.<br />
Es wird also multipliziert:<br />
A ⋅ B = C .<br />
( 3,1 ) ( 1,3)<br />
( 3,3)<br />
Das Ergebnis ist also eine (3,3)-Matrix (3 Zeilen, 3 Spalten).<br />
Dagegen ist in Beispiel 3 das passiert :<br />
B ⋅ A = D .<br />
( 1, 3 ) ( 3 ,1 ) ( 1,1 )<br />
Das Ergebnis ist also eine (1,1)-Matrix mit 1 Zeile und 1 Spalte, also mit nur 1 Element!<br />
Nun zur Rechnung mit dem Falkschen Schema:<br />
⎛ 5 ⎞<br />
⎜<br />
−2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
( 3 1 −2)<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
⎛ 5⋅3 5⋅1 5⋅ −2 ⎞ ⎛15 5 −10⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 3 2 1 2 2<br />
⎜<br />
6 2 4<br />
⎟<br />
⎜− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⎟ = − −<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 3⋅3 3⋅1 3⋅ −2 ⎟ ⎜ 9 3 −6<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Hier die Lösung mit dem Cas-Rechner TI Nspire:<br />
Demo: Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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