62111 - Internetbibliothek für Schulmathematik
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62111 Matrizen 1 46 ⎛ 2 ⎜ 1 Als nächstes berechnen wir das Inverse zu A = ⎜− 2 ⎜ ⎝ −1 1 0 1 1 ⎞ 2 ⎟ 1⎟ und zwar über die 2⎟ ⎠ Gleichung 9 ⎛ 2 ⎜ 1 ⎜− 2 ⎜ ⎝ −1 1 0 1 1 ⎞ 2 ⎛1 ⎟ −1 1 A ⎜ ⎟⋅ = 0 2⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ 0 1 0 0⎞ 0⎟ 1 ⎟ ⎠ 1 ⎛ 2 1 2 1 0 0⎞ ⋅ 2 ⎛ 4 2 1 2 0 0⎞ + 4⋅Z3 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ A|E = ⎜− 0 1 0 1 0 2 1 0 2 0 2 0 Z3 2 ⎟ ⋅ ∼ ⎜ − ⎟ − ∼ ⎜ −1 1 2 0 0 1⎟ ⎜ −1 1 2 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ⎛ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ −1 6 −1 1 9 0 2 2 0 0 0 2 0 4 ⎞ −1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠ + 6⋅Z2 ∼ ⎛ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎝−1 0 −1 1 9 0 2 2 0 0 12 2 0 −2⎞ −1⎟ ⎟ 1 ⎠ → Z3 → Z1 ∼ ⎛ −1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 1 −1 0 2 0 9 0 0 2 0 2 12 1 ⎞ ⋅− ( 1) ⎟ −1⎟ ⋅( −1) −2⎟ :9 ⎠ ⎛1 ∼ ⎜ ⎜ 0 ⎜0 ⎝ −1 1 0 −2 0 1 0 0 2 9 0 −2 12 9 − 1⎞ 1 ⎟ ⎟ 2 − ⎟ 9⎠ ⎛ + Z2+ 2⋅Z3 1 ⎜ ∼ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 1 0 0 0 1 4 9 0 2 9 2 3 −2 4 3 4 − ⎞ 9 ⎟ 1 ⎟ 2 − ⎟ 9⎠ Ergebnis: Friedrich Buckel www.mathe-cd.de A − 1 4 2 4 ⎛ − ⎞ 9 3 9 = ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ 2 4 2 ⎝ − ⎟ 9 3 9⎠ HINWEIS: Wenn man sich diese Seite anschaut, dann stellt man fest, dass man eigentlich gar keine Matrixgleichung braucht, wenn man eine inverse Matrix berechnen soll. Musteraufgabe 10 Berechne die inverse Matrix zu Musterlösung: ⎛ 2 ( A|E) = ⎜ ⎜ −2 ⎜ ⎝ 0 −1 − 4 1 5 1 − 4 1 0 0 0 1 0 0⎞ 0 ⎟ ⎟ 1⎟ ⎠ + Z1 ∼ ⎛2 ⎜0 ⎜ ⎝0 −1 −5 1 5 6 −4 1 1 0 0 1 0 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠ ∼ + Z1 ⎛2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 −1 − 5 1 5 6 −4 1 1 0 0 1 0 0⎞ 0 ⎟ ⎟ 1⎟ ⎠ + 5⋅Z3 ∼ ⎛2 ⎜0 ⎜ ⎝0 −1 0 1 5 −14 −4 1 1 0 0 1 0 0⎞ 5⎟ ⎟ 1⎠ → Z3 → Z2 ∼ ⎛2 ⎜0 ⎜ ⎝0 −1 1 0 5 −4 −14 1 0 1 0 0 1 0⎞ 1⎟ ⎟ 5⎟ ⎠ : ( −14) ∼ ⎛2 ⎜ ⎜ 0 ⎜0 ⎝ −1 1 0 5 − 4 1 1 0 1 − 14 0 0 1 − 14 0 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 5 − ⎟ 14 ⎠ + 4⋅Z3 ∼ Ergebnis: ⎛2 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 0 5 0 1 1 4 − 14 1 − 14 0 4 −14 1 −14 0 ⎞ 6 ⎟ − 14 ⎟ 5 − ⎟ 14 ⎠ −5⋅Z3 ∼ ⎛2 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ − 1 1 0 0 0 1 19 14 4 −14 1 −14 15 14 4 − 14 1 − 14 25 ⎞ 14 6 ⎟ −14 ⎟ 5 − ⎟ 14 ⎠ + Z2 ∼ ⎛ 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ 0 1 0 0 0 1 15 14 4 − 14 1 − 14 1 14 4 − 14 1 − 14 19 ⎞ 14 6 ⎟ − 14 ⎟ 5 − ⎟ 14⎠ :2 ∼ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0 1 0 0 0 1 15 28 2 − 7 1 − 14 1 28 2 − 7 1 − 14 19 ⎞ 28 3 ⎟ − 7 ⎟ 5 − ⎟ 14⎠ 1 A − 15 1 19 ⎛ ⎞ 28 28 28 ⎜ 2 2 3 ⎟ = ⎜ − − − 7 7 7 ⎟ ⎜ 1 1 5 − − − ⎟ ⎝ 14 14 14 ⎠ ⎛ 2 −1 5 ⎞ A = ⎜−2 −4 1 ⎟ ⎜ 0 1 −4 ⎟ ⎝ ⎠ Demo: Mathe-CD
62111 Matrizen 1 59 Aufgabe 4 (1991) ⎛ t t −1⎞ Gegeben ist die Matrix At = ⎜ 0 t t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜t+ 1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ Lösung Gegeben: −A1⋅ X : Löse die Gleichung nach X auf und berechne dann X. −1 2 1 1 A ⋅ X = 4⋅ A + A ⋅ X mit t ∈R . −1 2 1 1 A ⋅ X = 4⋅ A + A ⋅ X 1 2 ⋅ − 1⋅ = ⋅ 1 A X A X 4 A − 1 X nach rechts ausklammern: ( A A ) X 4 A − − ⋅ = ⋅ 2 1 1 1 (A2 A 1) − − : −1 −1 −1 ( A2 −A1) ⋅( A2 −A1) ⋅ X = ( A2 −A1) ⋅4⋅ A1 2 − 1 −1 ⋅ 2 − 1 = : ( ) 1 − −1 E⋅ X = A2 −A1 ⋅4⋅ A1 X = 4⋅ A2 −A1 − − ⋅ A1 −1 −1 −1 Von links mal ( ) ( ) A A A A E E X X ⋅ = : ( ) 1 1 Es gibt die Inversenregel (A ⋅ B) = B ⋅ A . Wendet man sie in umgekehrter Reihenfolge an, −⋅ 1 dann wird aus B −1 A −1 (A B) X 4 A A A − = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ : ( ( ) ) 1 1 2 1 oder ausmultipliziert in der Klammer: ( ) 1 2 X 4 A A A − = ⋅ ⋅ − Aus 1 ⎛1 1 −1⎞ A = ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 2 −1⎞ A = ⎜ 0 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ , 2 A1⋅A2 ⎛1 1 −1⎞ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ A1⋅A1 ⎛1 1 −1⎞ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ Berechnung des Inversen dazu: ⎛2 2 −1⎞ ⎜ 0 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 wird nun berechnet: ⎛2+ 0− 3 2+ 2−1 − 1+ 2−1⎞ ⎛−1 3 0⎞ ⎜ 0+ 0+ 3 0+ 2+ 1 0+ 2+ 1 ⎟ = ⎜ 3 3 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4+ 0+ 3 4+ 2+ 1 − 2+ 2+ 1⎟ ⎜ 7 7 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 −1⎞ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ Demo: Mathe-CD ⎛1+ 0− 2 1+ 1−1 − 1+ 1−1⎞ ⎛−1 1 −1⎞ ⎜ 0+ 0+ 2 0+ 1+ 1 0+ 1+ 1 ⎟ = ⎜ 2 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2+ 0+ 2 2+ 1+ 1 − 2+ 1+ 1⎟ ⎜ 4 4 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛−1 3 0⎞ ⎛−1 1 −1⎞ ⎛0 2 1⎞ 2 A1⋅A2 − A1 = ⎜ 3 3 3 ⎟ − ⎜ 2 2 2 ⎟ = ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 7 7 1⎟ ⎜ 4 4 0 ⎟ ⎜3 3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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<strong>62111</strong> Matrizen 1 59<br />
Aufgabe 4 (1991)<br />
⎛ t t −1⎞<br />
Gegeben ist die Matrix At =<br />
⎜<br />
0 t t<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜t+ 1 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Lösung<br />
Gegeben:<br />
−A1⋅ X :<br />
Löse die Gleichung<br />
nach X auf und berechne dann X.<br />
−1<br />
2 1 1<br />
A ⋅ X = 4⋅ A + A ⋅ X<br />
mit t ∈R .<br />
−1<br />
2 1 1<br />
A ⋅ X = 4⋅ A + A ⋅ X<br />
1<br />
2 ⋅ − 1⋅ = ⋅ 1<br />
A X A X 4 A −<br />
1<br />
X nach rechts ausklammern: ( A A ) X 4 A −<br />
− ⋅ = ⋅<br />
2 1 1<br />
1<br />
(A2 A 1)<br />
−<br />
− :<br />
−1 −1 −1<br />
( A2 −A1) ⋅( A2 −A1) ⋅ X = ( A2 −A1) ⋅4⋅ A1<br />
2 − 1<br />
−1<br />
⋅ 2 − 1 = : ( ) 1 − −1<br />
E⋅ X = A2 −A1 ⋅4⋅ A1<br />
X = 4⋅ A2 −A1 − −<br />
⋅ A1<br />
−1 −1 −1<br />
Von links mal<br />
( ) ( )<br />
A A A A E<br />
E X X<br />
⋅ = : ( ) 1 1<br />
Es gibt die Inversenregel (A ⋅ B) = B ⋅ A . Wendet man sie in umgekehrter Reihenfolge an,<br />
−⋅ 1<br />
dann wird aus B<br />
−1 A<br />
−1<br />
(A B)<br />
X 4 A A A −<br />
= ⋅ ⋅ −<br />
⋅ = ⋅ : ( ( ) ) 1<br />
1 2 1<br />
oder ausmultipliziert in der Klammer: ( ) 1<br />
2<br />
X 4 A A A −<br />
= ⋅ ⋅ −<br />
Aus 1<br />
⎛1 1 −1⎞<br />
A =<br />
⎜<br />
0 1 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜2 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛2 2 −1⎞<br />
A =<br />
⎜<br />
0 2 2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜3 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
, 2<br />
A1⋅A2 ⎛1 1 −1⎞<br />
⎜<br />
0 1 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜2 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
A1⋅A1 ⎛1 1 −1⎞<br />
⎜<br />
0 1 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜2 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Berechnung des Inversen dazu:<br />
⎛2 2 −1⎞<br />
⎜<br />
0 2 2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜3 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1 2 1<br />
wird nun berechnet:<br />
⎛2+ 0− 3 2+ 2−1 − 1+ 2−1⎞ ⎛−1 3 0⎞<br />
⎜<br />
0+ 0+ 3 0+ 2+ 1 0+ 2+ 1<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
3 3 3<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜4+ 0+ 3 4+ 2+ 1 − 2+ 2+ 1⎟ ⎜ 7 7 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛1 1 −1⎞<br />
⎜<br />
0 1 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜2 1 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Demo: Mathe-CD<br />
⎛1+ 0− 2 1+ 1−1 − 1+ 1−1⎞ ⎛−1 1 −1⎞<br />
⎜<br />
0+ 0+ 2 0+ 1+ 1 0+ 1+ 1<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
2 2 2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜2+ 0+ 2 2+ 1+ 1 − 2+ 1+ 1⎟ ⎜ 4 4 0 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛−1 3 0⎞ ⎛−1 1 −1⎞<br />
⎛0 2 1⎞<br />
2<br />
A1⋅A2 − A1 =<br />
⎜<br />
3 3 3<br />
⎟<br />
−<br />
⎜<br />
2 2 2<br />
⎟<br />
=<br />
⎜<br />
1 1 1<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ 7 7 1⎟ ⎜ 4 4 0 ⎟ ⎜3 3 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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