62111 - Internetbibliothek für Schulmathematik

62111 Matrizen 1 46
⎛ 2
⎜ 1
Als nächstes berechnen wir das Inverse zu A = ⎜− 2
⎜
⎝
−1
1
0
1
1 ⎞ 2
⎟
1⎟
und zwar über die
2⎟
⎠
Gleichung 9
⎛ 2
⎜ 1
⎜− 2
⎜
⎝
−1 1
0
1
1 ⎞ 2 ⎛1 ⎟ −1
1 A ⎜
⎟⋅ = 0
2⎟
⎜
0
⎠ ⎝
0
1
0
0⎞
0⎟
1
⎟
⎠
1 ⎛ 2 1 2 1 0 0⎞ ⋅ 2 ⎛ 4 2 1 2 0 0⎞ + 4⋅Z3 ⎜ 1
⎟ ⎜ ⎟
A|E = ⎜− 0 1 0 1 0 2 1 0 2 0 2 0 Z3
2
⎟ ⋅ ∼ ⎜ − ⎟ − ∼
⎜ −1
1 2 0 0 1⎟ ⎜ −1
1 2 0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
⎛ 0
⎜
⎜
0
⎜
⎝
−1 6
−1 1
9
0
2
2
0
0
0
2
0
4 ⎞
−1 ⎟
⎟
1 ⎟
⎠
+ 6⋅Z2 ∼
⎛ 0
⎜ 0
⎜
⎝−1 0
−1 1
9
0
2
2
0
0
12
2
0
−2⎞ −1⎟
⎟
1 ⎠
→ Z3
→ Z1
∼
⎛ −1
⎜
⎜ 0
⎜
⎝
0
1
−1
0
2
0
9
0
0
2
0
2
12
1 ⎞ ⋅− ( 1)
⎟
−1⎟ ⋅( −1) −2⎟
:9
⎠
⎛1 ∼
⎜
⎜
0
⎜0 ⎝
−1 1
0
−2 0
1
0
0
2
9
0
−2
12
9
− 1⎞ 1
⎟
⎟
2 − ⎟
9⎠
⎛
+ Z2+ 2⋅Z3 1
⎜
∼ ⎜0 ⎜0
⎝
0
1
0
0
0
1
4
9
0
2
9
2
3
−2
4
3
4 − ⎞
9
⎟
1 ⎟
2 − ⎟
9⎠
Ergebnis:
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
A −
1
4 2 4
⎛ − ⎞
9 3 9
=
⎜
0 2 1
⎟
⎜
−
⎟
⎜ 2 4 2
⎝
− ⎟
9 3 9⎠
HINWEIS: Wenn man sich diese Seite anschaut, dann stellt man fest, dass man eigentlich
gar keine Matrixgleichung braucht, wenn man eine inverse Matrix berechnen soll.
Musteraufgabe 10
Berechne die inverse Matrix zu
Musterlösung:
⎛ 2
( A|E) =
⎜
⎜
−2 ⎜
⎝
0
−1
− 4
1
5
1
− 4
1
0
0
0
1
0
0⎞
0
⎟
⎟
1⎟
⎠
+ Z1 ∼
⎛2 ⎜0 ⎜
⎝0 −1
−5
1
5
6
−4
1
1
0
0
1
0
0⎞
0⎟
⎟
1⎟ ⎠
∼
+ Z1
⎛2 ⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
−1
− 5
1
5
6
−4 1
1
0
0
1
0
0⎞ 0
⎟
⎟
1⎟ ⎠
+ 5⋅Z3 ∼
⎛2 ⎜0 ⎜
⎝0 −1
0
1
5
−14 −4 1
1
0
0
1
0
0⎞
5⎟ ⎟
1⎠ → Z3
→ Z2
∼
⎛2 ⎜0 ⎜
⎝0 −1
1
0
5
−4 −14
1
0
1
0
0
1
0⎞ 1⎟ ⎟
5⎟ ⎠ : ( −14) ∼
⎛2 ⎜
⎜
0
⎜0 ⎝
−1
1
0
5
− 4
1
1
0
1 − 14
0
0
1 − 14
0 ⎞
1
⎟
⎟
5 − ⎟
14 ⎠
+ 4⋅Z3 ∼
Ergebnis:
⎛2 ⎜
⎜0 ⎜0 ⎝
−1 1
0
5
0
1
1
4 − 14
1 − 14
0
4 −14 1 −14 0 ⎞
6 ⎟
− 14 ⎟
5 − ⎟
14 ⎠
−5⋅Z3 ∼
⎛2 ⎜
⎜0 ⎜0 ⎝
− 1
1
0
0
0
1
19
14
4 −14 1 −14 15
14
4 − 14
1 − 14
25 ⎞
14
6 ⎟
−14
⎟
5 − ⎟
14 ⎠
+ Z2
∼
⎛ 2
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎝
0
1
0
0
0
1
15
14
4 − 14
1 − 14
1
14
4 − 14
1 − 14
19 ⎞
14
6 ⎟
− 14 ⎟
5 − ⎟
14⎠ :2
∼
⎛1 ⎜
⎜0 ⎜0 ⎝
0
1
0
0
0
1
15
28
2 − 7
1 − 14
1
28
2 − 7
1 − 14
19 ⎞
28
3 ⎟
− 7 ⎟
5 − ⎟
14⎠
1
A −
15 1 19
⎛ ⎞
28 28 28
⎜ 2 2 3 ⎟
= ⎜ − − −
7 7 7 ⎟
⎜ 1 1 5
− − − ⎟
⎝ 14 14 14 ⎠
⎛ 2 −1
5 ⎞
A = ⎜−2 −4
1 ⎟
⎜
0 1 −4
⎟
⎝ ⎠
Demo: Mathe-CD