62111 - Internetbibliothek für Schulmathematik
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62111 Matrizen 1 37 Berechnung der Lösung ⎛ 2 1 0 4 3 2⎞ ⎛2 1 0 4 3 2⎞ A|B = ⎜ 0 0 2 −228⎟ ∼ ⎜ 0 0 2 2 2 8 ⎟ ⎜ − ⎟ −2⋅Z3∼ ⎜ ⎟ −2 1 1 − 1 0 2⎟ + Z1 ⎜0 2 1 3 3 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ⎛2 1 0 4 3 2⎞ ⎛2 1 0 4 3 2⎞ ⎜ 0 4 0 8 4 0 ⎟ :( 4) ⎜0 1 0 2 1 0⎟ ⎜ − − − ⎟ − ∼ ∼ ⎜ ⎟ ⎜02 1 3 3 4⎟ ⎜ 0 2 1 3 3 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −2⋅Z2 ⎛2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 1 1 0 0 0 1 4 2 −1 3 1 1 2⎞ 0 ⎟ ⎟ 4⎟ ⎠ −Z2 ∼ ⎛ 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 1 0 0 0 1 2 2 −1 2 1 1 2 ⎞ 0 ⎟ ⎟ 4⎟ ⎠ :2 ∼ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1 −1 1 1⎞ 0⎟ ⎟ 4⎠ Ergebnis: ⎛ 1 1 X = ⎜ 2 1 ⎜ ⎝−1 1 1⎞ 0⎟ 4 ⎟ ⎠ Man kann also diese Proben machen: ⎛ 2 ⎜ 0 ⎜ ⎝−2 1 0 1 0⎞ ⎛ 1 1 2⎟⋅ ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝−1 1 1⎞ ⎛ 4 0⎟ = ⎜−2 4 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝−1 3 2 0 2⎞ 8⎟ 2 ⎟ ⎠ oder stattdessen diese 3 Vektorgleichungen nachrechnen: ⎛ 2 1 0⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ 0 0 2⎟⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜−2⎟ ⎜ −2 1 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎝ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ Gleichung 6: ( ) ⎛ 2 1 0⎞ ⎛1⎞ ⎛3⎞ ⎜ 0 0 2⎟⋅ ⎜1⎟ = ⎜2⎟ ⎜ −2 1 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛12 0 1 ⎞ ⎛13 24 37 47⎞ ⎜ 1 3 5 ⎟⋅ X = ⎜18 11 14 2 ⎟ ⎜ 3 1 −1 ⎟ ⎜ 6 9 10 14 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1 0⎞ ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎜ 0 0 2⎟⋅ ⎜0⎟ = ⎜8⎟. ⎜ −2 1 1 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 12 0 1 13 24 37 47⎞ −12⋅Z2⎛0−36 −59 −203 −108 −131 23⎞ → Z2 A |B = ⎜ 1 3 5 18 11 14 2 ⎟ ⎜1351811142⎟ ⎜ ⎟ ∼ → Z1∼ ⎜ 3 1 1 6 9 10 14 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ −3⋅Z2 ⎝0−8−16 −48 −24 −32 8 ⎠ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎝0 3 −36 −8 5 −59 −16 18 −203 −48 11 −108 −24 14 −131 −32 2 ⎞ ⎛1 23⎟ ∼ ⎜0 ⎟ ⎜ 8 ⎠: 8 ⎝0 3 −36 1 5 −59 2 18 −203 6 11 −108 3 14 − 131 4 2 ⎞ 23⎟ + 36 ⋅Z3 ⎟ −1⎠ ∼ ⎛1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 3 −36 1 5 −59 2 18 −203 6 11 −108 3 14 − 131 4 2 ⎞ 23 ⎟ ⎟ −1⎟ ⎠ + 36 ⋅Z3∼ ⎛1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 3 0 1 5 13 2 18 13 6 11 14 0 13 3 4 2 ⎞ −13 ⎟ ⎟ −1⎟ ⎠ : 13 ∼ Ergebnis: Demo: Mathe-CD Die Kunst besteht oft darin, die richtige Idee für den nächsten Umformungsschritt zu haben. Studieren Sie meine Lösung! ⎛1 3 5 18 11 14 2 ⎞ ⎛1 3 5 18 11 14 2 ⎞ −3⋅Z3−5⋅Z2 ⎜0 0 1 1 0 1 −1⎟ ∼ ⎜ 0 0 1 1 0 1 1 ⎟ ⎜ − ⎟ ∼ ⎜ ⎟ 0 1 2 6 3 4 −1⎟ −2⋅Z2 ⎜0 1 0 4 3 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎝0 0 0 1 0 1 0 1 1 4 2 0 3 3 1 2 4 ⎞ −1⎟ ⎟ 1 ⎠ → Z3 → Z2 ∼ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 1 1 4 1 2 3 0 3 2 1 4 ⎞ 1 ⎟ ⎟ −1⎠ ⎛1 X = ⎜4 ⎜ ⎝1 2 3 0 3 2 1 4 ⎞ 1 ⎟ −1 ⎟ ⎠ Probe mit TI Nspire: Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
62111 Matrizen 1 38 Gleichung 7 ( A|B) Ergebnis: ⎛ 2 1 4 −3⎞ ⎛ 30 −19⎞ ⎜ 2 −1 0 2 ⎟ ⎜ −5 0 ⎟ ⎜ X 1 0 8 1 ⎟⋅ = ⎜ 17 11 ⎟ ⎜ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −3502 ⎟ ⎜ −21 22 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ ⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ ⎜ 2 −1 0 2 − 5 0 ⎟ + Z1 ⎜ 4 0 4 −1 25 − 19 ⎟ + 4⋅Z3 = ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼ ⎜−1 0 8 1 17 −11⎟ ⎜ −1 0 8 1 17 −11⎟ ⎜ 3 5 0 2 −2122 ⎟ −5⋅Z1⎜ 13 0 20 17 −171 117 ⎟ ⎝− ⎠ ⎝ − − ⎠ −13 ⋅Z3 ⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ → Z3 ⎛−1 0 8 1 17 −11⎞ ⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ ⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ → Z3 ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼ ⎜−108117−11 → Z1 2 1 4 −330 −19 → Z2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎜ 0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛−1 0 8 1 17 −11⎞ ⎛−108117 −11 ⎞ ⋅( −1) ⎜ 2 1 4 3 30 − 19⎟ + 2 ⋅Z1⎜ 0 1 20 −164 −41⎟ ⎜ − ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼ ⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ ⎜ 0 0 36 3 93 −63 ⎟ : 3 ⎜ 0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎜ 0 0 −124 4 −392 260 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ : 4 ⎛1 0 −8 −1 −1711 ⎞ ⎛1 0 −8 −1 −17 11 ⎞ ⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜ 0 0 12 1 ⎟ ∼ ⎜ 31 21 0 0 12 1 ⎟ ∼ ⎜ − ⎟ ⎜ 31 −21⎟ ⎜ 0 0 31 1 98 65 ⎟ Z3 ⎜0 0 43 0 129 86 ⎟ ⎝ − − ⎠ − ⎝ − − ⎠ : ( −43) ⎛1 0 −8 −1 −1711 ⎞ ⎛10−8−1−17 11 ⎞ ⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜0120 −164 −41⎟ ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼ ⎜0 0 12 1 31 −21⎟ −12 ⋅Z4⎜0001−53⎟ → Z4 ⎜ 0 0 1 0 3 −2 ⎟ ⎜0 0 1 0 3 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → Z3 Probe mit TI Nspire in ⎛1 0 −8 −1 − 17 11 ⎞ + 8⋅Z3 ⎛1 0 0 −1 7 − 5⎞ + Z4 ⎜ 0 1 20 1 64 41 ⎟ 20 Z3 ⎜ 0 1 0 1 4 1 ⎟ ⎜ − − ⎟ − ⋅ − + Z4 ∼ ⎜ − ⎟ ∼ ⎜0 0 1 0 3 −2 ⎟ ⎜0 0 1 0 3 −2⎟ ⎜ 0 0 0 1 −5 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 1 −5 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∼ ⎛1 0 0 0 2 −2⎞ ⎜0 1 0 0 −1 2 ⎟ ⎜ ⎟1 ⎜0 0 1 0 3 −2 ⎜ ⎟ 0 0 0 1 −5 3 ⎟ ⎝ ⎠ Demo: Mathe-CD ⎛ 2 −2⎞ ⎜−1 2 ⎟ X = ⎜ 3 2 ⎟ ⎜ − ⎜ ⎟ 5 3 ⎟ ⎝−⎠ ⎛ 2 1 4 −3⎞ ⎛ 30 −19⎞ ⎜ 2 −1 0 2 ⎟ ⎜ −5 0 ⎟ ⎜ X 1 0 8 1 ⎟⋅ = ⎜ 17 11 ⎟: ⎜ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −3 5 0 2 ⎟ ⎜ −21 22 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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<strong>62111</strong> Matrizen 1 38<br />
Gleichung 7<br />
( A|B)<br />
Ergebnis:<br />
⎛ 2 1 4 −3⎞ ⎛ 30 −19⎞<br />
⎜ 2 −1 0 2 ⎟ ⎜ −5<br />
0 ⎟<br />
⎜ X<br />
1 0 8 1<br />
⎟⋅ = ⎜<br />
17 11<br />
⎟<br />
⎜<br />
− −<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−3502 ⎟ ⎜<br />
−21<br />
22<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ ⎛ 2 1 4 −3<br />
30 −19⎞<br />
⎜<br />
2 −1 0 2 − 5 0<br />
⎟<br />
+ Z1<br />
⎜<br />
4 0 4 −1<br />
25 − 19<br />
⎟<br />
+ 4⋅Z3 = ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼<br />
⎜−1 0 8 1 17 −11⎟ ⎜ −1<br />
0 8 1 17 −11⎟<br />
⎜ 3 5 0 2 −2122 ⎟ −5⋅Z1⎜ 13 0 20 17 −171 117 ⎟<br />
⎝− ⎠ ⎝ − −<br />
⎠<br />
−13 ⋅Z3<br />
⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ → Z3 ⎛−1 0 8 1 17 −11⎞<br />
⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ ⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ → Z3<br />
⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼<br />
⎜−108117−11 → Z1 2 1 4 −330 −19 → Z2<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎜ 0 0 −124 4 −392<br />
260⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛−1 0 8 1 17 −11⎞ ⎛−108117 −11 ⎞ ⋅( −1)<br />
⎜<br />
2 1 4 3 30 − 19⎟ + 2 ⋅Z1⎜ 0 1 20 −164 −41⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼<br />
⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ ⎜ 0 0 36 3 93 −63<br />
⎟ : 3<br />
⎜<br />
0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎜ 0 0 −124 4 −392<br />
260 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ : 4<br />
⎛1 0 −8 −1 −1711 ⎞ ⎛1 0 −8 −1<br />
−17<br />
11 ⎞<br />
⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜0 1 20 −1<br />
64 −41⎟<br />
⎜<br />
0 0 12 1<br />
⎟ ∼ ⎜<br />
31 21 0 0 12 1<br />
⎟ ∼<br />
⎜ − ⎟ ⎜ 31 −21⎟<br />
⎜<br />
0 0 31 1 98 65 ⎟ Z3 ⎜0 0 43 0 129 86 ⎟<br />
⎝ − − ⎠ − ⎝ − − ⎠ : ( −43)<br />
⎛1 0 −8 −1<br />
−1711 ⎞ ⎛10−8−1−17 11 ⎞<br />
⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜0120 −164 −41⎟<br />
⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼<br />
⎜0 0 12 1 31 −21⎟ −12 ⋅Z4⎜0001−53⎟ → Z4<br />
⎜<br />
0 0 1 0 3 −2 ⎟<br />
⎜0 0 1 0 3 −2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ → Z3<br />
Probe mit TI Nspire in<br />
⎛1 0 −8 −1 − 17 11 ⎞ + 8⋅Z3 ⎛1 0 0 −1 7 − 5⎞ + Z4<br />
⎜<br />
0 1 20 1 64 41<br />
⎟<br />
20 Z3<br />
⎜<br />
0 1 0 1 4 1<br />
⎟<br />
⎜ − −<br />
⎟<br />
− ⋅ − + Z4<br />
∼ ⎜ −<br />
⎟ ∼<br />
⎜0 0 1 0 3 −2 ⎟ ⎜0 0 1 0 3 −2⎟<br />
⎜<br />
0 0 0 1 −5 3 ⎟ ⎜<br />
0 0 0 1 −5<br />
3 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
∼<br />
⎛1 0 0 0 2 −2⎞<br />
⎜0 1 0 0 −1<br />
2 ⎟<br />
⎜ ⎟1<br />
⎜0 0 1 0 3 −2<br />
⎜<br />
⎟<br />
0 0 0 1 −5<br />
3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Demo: Mathe-CD<br />
⎛ 2 −2⎞<br />
⎜−1 2 ⎟<br />
X = ⎜<br />
3 2<br />
⎟<br />
⎜<br />
−<br />
⎜ ⎟<br />
5 3<br />
⎟<br />
⎝−⎠ ⎛ 2 1 4 −3⎞ ⎛ 30 −19⎞<br />
⎜ 2 −1 0 2 ⎟ ⎜ −5<br />
0 ⎟<br />
⎜ X<br />
1 0 8 1<br />
⎟⋅ = ⎜<br />
17 11<br />
⎟:<br />
⎜<br />
− −<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
−3 5 0 2<br />
⎟ ⎜<br />
−21<br />
22<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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