62111 - Internetbibliothek für Schulmathematik

Hier einige Demoseiten
aus dem Originaltext!
LINEARE ALGEBRA
Formale Matrizenrechnung
Themenheft mit viel Trainingsmaterial:
Grundlagen
Formales Rechnen mit Matrizen
und Lösen von Matrizengleichungen
Datei Nr. 62 111
Stand 17.09.2008
Demo: Mathe-CD
FRIEDRICH W. BUCKEL
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de

Vorwort
Dies ist der erste Text einer Serie über Matrizenrechnung.
Dieser Stoff wird vor allem an beruflichen Gymnasien unterrichtet.
In diesem ersten Themenheft geht es zunächst um die Grundlagen, also das rein formale Rechnen
mit Matrizen. Man kann sie addieren und subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und auch miteinander
multiplizieren. Diese Matrizenmultiplikation ist allerdings schon ein Stolperstein, denn sie ist ziemlich
aufwendig. Bemerkenswert ist es dabei, dass man die Faktoren im Gegensatz zum Zahlenprodukt
nicht vertauschen darf. Dann gibt es Ersatz für die Zahl 1, das ist die Einheitsmatrix E, und es gibt
auch eine Art Kehrwert zu vielen Matrizen, man nennt sie inverse Matrizen, die man etwa braucht, um
Matrizengleichungen zu lösen. Daneben gibt es eine neue Operation, das ist das Transponieren von
Matrizen, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht.
Dieses Heft wird ergänzt durch eine sehr große Zahl an Musterbeispielen und Trainingsaufgaben mit
über 30 Seiten Musterlösungen am Ende des Textes.
Ich habe in diesem Text bewusst auf jede Form der Anwendung verzichtet, denn wer den formalen
Umgang mit Matrizen und Matrizengleichungen nicht beherrscht, kann auch keine
Anwendungsaufgaben lösen. Daher liegt der Schwerpunkt hier auf Training mit dem Ziel einer
sicheren Beherrschung der behandelten Verfahren.
Bei vielen Rechnungen kommt das Gauß-Verfahren zur Anwendung. Zu diesem gibt es einen
gesonderten, schon älteren Text (Nummer 62011). Dort wurde es ausführlich besprochen. Hier
erfolgt nur eine kurze Einführung. Wer also Hilfe benötigt, kann dort üben.
Die Fortsetzungen zu diesem Text sind in Planung:
62112 Lösbarkeit von Gleichungssystemen (Herbst 2008)
62121 Wirtschaftsanwendungen der Matrizenrechnung Teil 1 (Winter 2008/9)
62122 Wirtschaftsanwendungen der Matrizenrechnung Teil 2. (Winter 2008/9)
Torgelow am See, 15.9.2008 Friedrich Buckel
Demo: Mathe-CD

Inhalt
§ 1 Was sind Matrizen? 1
§ 2 Formales Rechnen mit Matrizen 5
2.1 Gleichheit von Matrizen 5
2.2 Addition von Matrizen 6
Rechengesetze für die Matrizenaddition 7
Existenzgesetze für die Matrizenaddition 9
2.3 Vielfache von Matrizen 11
Rechengesetze für die S-Multiplikation 11
2.4 Subtraktion von Matrizen 12
2.5 Multiplikation von Matrizen 13
2.5.1 Erinnerung an das Skalarprodukt der Vektorrechnung 13
2.5.2 Einführung der Matrizenmultiplikation 14
Rechnen mit der Einheitsmatrix 19
Potenzieren von Matrizen 21
2.5.3 Trainingsaufgaben 22
2.5.4 Rechengesetze für die Matrizen-Multiplikation 23
2.5.5 Existenzgesetze für die Matrizen-Multiplikation 24
2.6 Transponieren von Matrizen 25
Rechenregeln dazu 25
§ 3 Gleichungen mit Matrizen – Gauß-Verfahren 27
3.1 Matrizengleichung mit einem Variablenvektor 27
Elementare Matrizenumformungen 28
3.2 Matrizengleichung mit zwei Variablenvektoren 32
3.3 Weitere unterschiedliche Gleichungen 35
3.4 Unterschiedliche Gleichungen: A ⋅ X = B und X⋅ A = B
39
3.5 Trainingsaufgaben 43
Demo: Mathe-CD
§ 4 Inverse Matrizen 44
4.1 Lineare Zahlengleichung mit einer Variablen 44
4.2 Lösung einer Matrizengleichung mit einer inversen Matrix 46
Wichtiges zu inversen Matrizen 47
4.3 Berechnung inverser Matrizen mit dem Gauß-Verfahren 48
4.4 Trainingsaufgaben zu inversen Matrizen 52
4.5 Alternative Berechnungsverfahren für inverse Matrizen 53
Das Wichtigste über Determinanten 53
Berechnung einer inversen (3,3)-Matrix mit Determinanten 55
Inverse (2,2)-Matrizen und Diagonalmatrizen 56

§ 5 Formales Lösen komplizierter Matrizengleichungen 59
§ 6 Lösen von Matrizengleichungen nach Aufgaben aus dem Abitur
für berufliche Schulen in BW 60
6.1 Musteraufgaben 60
6.2 Trainingsaufgaben 71
§ 7 Lösungen der Trainingsaufgaben 72
7.1 Trainingsaufgaben aus 2.5.3 (Matrizen-Multiplikation) 72
7.2 Trainingsaufgaben aus 3.5 (Matrizengleichungen) 80
7.3 Trainingsaufgaben aus 4.4 (Inverse Matrizen) 88
7.4 Trainingsaufgaben aus 6.2 (Umfassendere Teile aus Abituraufgaben) 98
Demo: Mathe-CD

62111 Matrizen 1 16
Beispiel 2:
⎛ 5 0 1⎞ ⎛1 −2⎞
⎜
3 2 9
⎟
⋅
⎜
0 1
⎟
= ?
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜−2 −1 0⎟ ⎜3 −3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Zuerst sollte man die Machbarkeit überprüfen: Die erste Matrix hat 3 Spalten, die zweite 3 Zeilen,
also lässt sich die Matrizenmultiplikation durchführen. Wir verwenden das Falksche Schema:
⎛ 5 0 1⎞
⎜
3 2 9
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠
⎛ 5 0 1⎞
⎜
3 2 9
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠
Nun vertauschen wir die Faktoren:
⎛1 −2⎞
⎛ 5 0 1⎞
⎜
0 1
⎟
⋅
⎜
3 2 9
⎟
= ?
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜3 −3⎟ ⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 − 2⎞
⎜
0 1
⎟
⎜ ⎟
⎜3 − 3 ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
⎛ 51 ⋅ + 00 ⋅ + 13 ⋅ 5⋅ − 2+ 01 ⋅ + 1⋅ −3
⎞
⎜ ⎟
⎜ 31 ⋅ + 20 ⋅ + 93 ⋅ 3⋅ − 2+ 21 ⋅ + 9⋅ −3
⎟
⎜−21 ⋅ −10 ⋅ + 03 ⋅ −2⋅ − 2+ −1⋅ 1+ 0⋅ −3⎟
⎝ ⎠
⎛1 −2⎞
⎜
0 1
⎟
⎜ ⎟
⎜3 −3⎟
⎝ ⎠
⎛ 8 −13⎞
⎜
30 −31
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 3 ⎟
⎝ ⎠
Überprüfung der Machbarkeit: Die linke Matrix hat 2 Spalten, die rechte hat dagegen 3 Zeilen.
Daher kann man dieses Produkt gar nicht berechnen!
Demo: Mathe-CD
Konsequenz: Bei der Matrizen-Multiplikation sind die Faktoren nicht (immer) vertauschbar.
In diesem Beispiel gibt es nach der Vertauschung nicht einmal ein Ergebnis.
Könnte es sein, dass es aber dann vielleicht klappt, wenn die Vertauschung berechenbar ist?
Dazu verwenden wir jetzt zwei quadratische (3,3)-Matrizen.
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

62111 Matrizen 1 17
Beispiel 3:
Falksches Schema:
⎛ 5 0 1⎞
⎜
3 2 9
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠
Ergebnis :
⎛ 5 0 1⎞
⎜
3 2 9
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠
Vertauschung:
⎛2 1 5 ⎞
⎜
0 0 3
⎟
⎜ ⎟
⎜1 4 −2⎟
⎝ ⎠
Ergebnis :
⎛2 1 5 ⎞
⎜
0 0 3
⎟
⎜ ⎟
⎜1 4 −2⎟
⎝ ⎠
⎛ 5 0 1⎞ ⎛2 1 5 ⎞
⎜
3 2 9
⎟
⋅
⎜
0 0 3
⎟
= ?
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜−2 −1 0⎟ ⎜1 4 −2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛2 1 5 ⎞ ⎛ 5 0 1⎞
⎜
0 0 3
⎟
⋅
⎜
3 2 9
⎟
= ?
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜1 4 −2⎟ ⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛2 1 5⎞
⎜
0 0 3
⎟
⎜ ⎟
⎜1 4 − 2⎟
⎝ ⎠
( )
( )
( )
⎛ 5⋅ 2+ 0⋅ 2+ 1⋅1 5⋅ 1+ 0⋅ 0+ 1⋅4 5⋅ 5+ 0⋅ 3+ 1⋅ −2
⎞
⎜ ⎟
⎜ 3⋅ 2+ 2⋅ 0+ 9⋅1 3⋅ 1+ 2⋅ 0+ 9⋅4 3⋅ 5+ 2⋅ 3+ 9⋅ −2
⎟
⎜−2⋅2−10 ⋅ + 01 ⋅ −2⋅2−10 ⋅ + 0⋅4 −25 ⋅ −13 ⋅ + 0⋅ −2⎟
⎝ ⎠
⎛2 1 5 ⎞
⎜
0 0 3
⎟
⎜ ⎟
⎜1 4 −2⎟
⎝ ⎠
⎛11 9 23 ⎞
⎜
15 39 3
⎟
⎜ ⎟
⎜−4 −4 −13⎟
⎝ ⎠
⎛ 5 0 1⎞
⎜
3 2 9
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⎛2⋅ 5+ 1⋅ 3+ 5⋅ −2 2⋅ 0+ 1⋅ 2+ 5⋅ −1 2⋅ 1+ 1⋅ 9+ 5⋅0⎞ ⎜ ⎟
⎜0⋅ 5+ 0⋅ 3+ 3⋅ −2 0⋅ 0+ 0⋅ 2+ 3⋅ −1 0⋅ 1+ 0⋅ 9+ 3⋅0⎟ ⎜15 ⋅ + 4⋅3−2⋅ −2 10 ⋅ + 4⋅2−2⋅ −1 11 ⋅ + 4⋅9−2⋅0⎟ ⎝ ⎠
Demo: Mathe-CD
⎛ 5 0 1⎞
⎜
3 2 9
⎟
⎜ ⎟
⎜−2 −1
0⎟
⎝ ⎠
⎛ 3 −3
11⎞
⎜
−6 −3
0
⎟
⎜ ⎟
⎜21 10 37⎟
⎝ ⎠
Beobachtung:
Vertauscht man die beiden Matrizen,
erhält man (meistens) ein anderes
Ergebnis:
Die Matrizen-Multiplikation ist also
NICHT KOMMUTATIV!
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62111 Matrizen 1 18
⎛ 5 ⎞
Beispiel 4: ( 3 1 −2) ⋅
⎜
− 2
⎟
= ( 3⋅ 5+ 1⋅( − 2) + ( −2) ⋅ 3) = ( 7)
⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
Die beiden Matrizen ( 3 1 − 2)
und
⎛ 5 ⎞
⎜
−2
⎟
⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
(also ein Zeilenvektor und ein Spaltenvektor)
ergeben wieder eine Matrix, das muss man beachten. Und diese Matrix hat nur 1 Element,
nämlich die Zahl 7.
⎛ 5 ⎞
Die Schreibweise ( 3 1 −2) ⋅
⎜
− 2
⎟
= 3⋅ 5+ 1⋅( − 2) + ( −2) ⋅ 3 = 7
⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
weist zwei Fehler auf, der mittlere und der rechte Term benötigen die Matrixklammern,
wie dies in der ersten Zeile dargestellt ist!
Beispiel 5: −2 ⋅( 3 1 −2)
Begründung:
⎛ 5 ⎞
⎛15 5 −10⎞
⎜ ⎟
=
⎜
−6 −2
4
⎟
.
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ 3 ⎟
⎜
⎝ ⎠
9 3 −6 ⎟
⎝
⎠
Zuerst einmal wurden die beiden Matrizen aus Beispiel 4 vertauscht.
Es wird also multipliziert:
A ⋅ B = C .
( 3,1 ) ( 1,3)
( 3,3)
Das Ergebnis ist also eine (3,3)-Matrix (3 Zeilen, 3 Spalten).
Dagegen ist in Beispiel 3 das passiert :
B ⋅ A = D .
( 1, 3 ) ( 3 ,1 ) ( 1,1 )
Das Ergebnis ist also eine (1,1)-Matrix mit 1 Zeile und 1 Spalte, also mit nur 1 Element!
Nun zur Rechnung mit dem Falkschen Schema:
⎛ 5 ⎞
⎜
−2
⎟
⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
( 3 1 −2)
( )
( )
( )
⎛ 5⋅3 5⋅1 5⋅ −2 ⎞ ⎛15 5 −10⎞
⎜ ⎟
2 3 2 1 2 2
⎜
6 2 4
⎟
⎜− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⎟ = − −
⎜ ⎟
⎜ 3⋅3 3⋅1 3⋅ −2 ⎟ ⎜ 9 3 −6
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hier die Lösung mit dem Cas-Rechner TI Nspire:
Demo: Mathe-CD
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62111 Matrizen 1 22
2.5.3 Trainingsaufgaben zur Matrizenmultiplikation
1. a)
⎛ 2 3 ⎞ ⎛1 5⎞
⎜ ⋅
−2 −3
⎟ ⎜
3 6
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b)
⎛8⎞ ⎜ ⋅
−9
⎟
⎝ ⎠
2. a) ( 7 6)
3. a)
4. a)
5. a)
6. Gegeben sind:
⎛5 1 −3⎞
⎛1 0 0⎞
⎜
2 −2 5
⎟
⋅
⎜
0 1 0
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 2 7 ⎟ ⎜0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 1 2⎞
⎜
2 3 3
⎟
⎛32−11 15 3⎞
⎜ ⎟
⎜ 4 4 0
0 2 10 8 1
⎟⋅⎜
⎟
⎝ −
⎠ ⎜0 1 2⎟
⎜
⎟
3 4 5
⎟
⎝ ⎠
2
⎛2 −1⎞
⎜
5 1
⎟
⎝ ⎠ b)
Berechne dazu
⎛2 5 ⎞
A = ⎜
1 −1
⎟
⎝ ⎠ ,
⎛−2 1⎞
B = ⎜
6 2
⎟
⎝ ⎠ ,
a) ( A⋅B) ⋅ C und A⋅( B⋅ C)
b) ( A + B) ⋅ C,
A ⋅ C+ B⋅ C und C ⋅ (A + B)
⎛1 2 1 ⎞
7. Gegeben sind: A1 =
⎜
0 1 0
⎟
⎜ ⎟
⎜1 1 −1⎟
⎝ ⎠
Berechne dazu:
, 2
a) ( A1⋅A2) ⋅ A3
und A1⋅( A2 ⋅ A3)
b) ( A A ) A
c)
+ ⋅ und A1⋅ A3 + A2 ⋅ A3
1 2 3
2
A 1 und
3
A 1 .
⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ 4 −5⎞
⎜
6 −5 −4 ⎟
⋅
⎜
2 3
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜−2 0 4 ⎟ ⎜−3 8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⋅ ⎜
−9
⎟
⎝ ⎠
b) ( ) 8
7 6
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b)
b)
⎛0 1 1⎞
A =
⎜
1 0 1
⎟
⎜ ⎟
⎜0 1 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 3 −3⎞
C = ⎜
−2 −1
⎟
⎝ ⎠ .
⎛1 0 0⎞ ⎛5 1 −3⎞
⎜
0 1 0
⎟
⋅
⎜
2 −2
5
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 0 1⎟ ⎜0 2 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0 1 0⎞
⎜ 1 1 0 0
1 1 0
⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⋅
⎜
0 1 1 0
⎟
⎜0 1 1⎟
⎜ ⎟
⎜1 1 1 1⎟
⎜
1 1 1
⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛1 2 3⎞
⎜
3 2 1
⎟
⎜ ⎟
⎜2 3 1⎟
⎝ ⎠
und 3
Die Lösungen stehen am Ende des Textes.
2
⎛1 1 1⎞
A =
⎜
0 1 1
⎟
⎜ ⎟
⎜1 1 0⎟
⎝ ⎠
Demo: Mathe-CD

62111 Matrizen 1 36
3.3 Weitere unterschiedliche Gleichungen
Gleichung 5:
⎛ 2 1 0⎞ ⎛ 4 3 2⎞
⎜ 0 0 2⎟⋅ X = ⎜−2 2 8⎟
⎜
−2 1 1
⎟ ⎜
−1
0 2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Wir wollen zuerst klären, von welcher Bauart die gesuchte Matrix X ist.
Erinnern Sie sich an die Regel für die Matrizenmultiplikation: In 2.4.2 wurde in einem Beispiel
festgestellt:
A ⋅ B ⎛2, 4 ⎞ ⎛ 4,2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= C
( 2,2)
Im letzten Beispiel 3 hatten wir A
3, 3
⋅ X⎛3,2⎞ = B
3,2
( ) ⎜ ⎟ ( )
⎝ ⎠
Die Spaltenzahl des 1. Faktors muss identisch sein mit der Zeilenzahl des 2. Faktors.
Jetzt haben wir:
A ⋅ X = B
3, 3 a,b 3,3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es ist unschwer zu erkennen, dass a = 3 und b = 3 sein muss. Also ist unsere Unbekannte X eine
⎛x11 (3,3)-Matrix, die man entweder so schreiben kann: ⎜x21 ⎜
⎝x31 x12 x22 x32 x13
⎞
⎛x1 x ⎟
23 oder auch so ⎜x2 ⎟
⎜
x33
⎠
⎝x3 y1 y2 y2 z1⎞
z ⎟
2 .
⎟
z3⎠
Verwendet man die zweie Schreibweise, dann kann man die Matrixgleichung als Kopplung dreier
Vektorengleichungen ansehen:
A⋅ x = b
⋅ =
A⋅ z = b
,
⎛ 2 1 0⎞ ⎛ 4 ⎞
⎜ 0 0 2⎟
⋅ x = ⎜−2⎟ ⎜
−2 1 1
⎟ ⎜
−1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1,
A y b2
⎛ 2 1 0⎞ ⎛3⎞ ⎜ 0 0 2⎟
⋅ y = ⎜2⎟ ⎜
−2
1 1
⎟ ⎜
0
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 1 0⎞ ⎛2⎞ ⎜ 0 0 2⎟
⋅ z = ⎜8⎟ ⎜
−2
1 1
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die Lösung erfolgt nun für das ganze System auf einmal mit Hilfe des Gaußschen Verfahrens.
Demo: Mathe-CD
Dazu bilden wir zuerst die um B erweiterte Matrix ( )
⎛ 2 1 0 4 3 2⎞
A |B = ⎜ 0 0 2 −228⎟
⎜ ⎟
⎝−2 1 1 −1
0 2⎠
Wir formen sie durch die drei elementaren Matrizenumformungen so um, dass der linke Teil zur
Einheitsmatrix wird, dann wird aus dem rechten Teil die gesuchte Matrix X.
Zur Erinnerung: Folgende elementare Matrizenumformungen sind zulässig:
1. Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
2. Multiplizieren/Dividieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0.
3. Vertauschen zweier Zeilen der Matrix.
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3

62111 Matrizen 1 37
Berechnung der Lösung
⎛ 2 1 0 4 3 2⎞ ⎛2 1 0 4 3 2⎞
A|B = ⎜ 0 0 2 −228⎟ ∼
⎜
0 0 2 2 2 8
⎟
⎜
−
⎟
−2⋅Z3∼ ⎜
⎟
−2
1 1 − 1 0 2⎟ + Z1 ⎜0 2 1 3 3 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
⎛2 1 0 4 3 2⎞ ⎛2 1 0 4 3 2⎞
⎜
0 4 0 8 4 0
⎟
:( 4) ⎜0 1 0 2 1 0⎟
⎜
− − −
⎟
− ∼ ∼
⎜ ⎟
⎜02 1 3 3 4⎟ ⎜
0 2 1 3 3 4⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
−2⋅Z2
⎛2 ⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
1
1
0
0
0
1
4
2
−1 3
1
1
2⎞ 0
⎟
⎟
4⎟ ⎠
−Z2
∼
⎛ 2
⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
0
1
0
0
0
1
2
2
−1 2
1
1
2 ⎞
0
⎟
⎟
4⎟
⎠
:2
∼
⎛1 ⎜0 ⎜
⎝0 0
1
0
0
0
1
1 1
2 1
−1
1
1⎞
0⎟
⎟
4⎠
Ergebnis:
⎛ 1 1
X = ⎜ 2 1
⎜
⎝−1 1
1⎞
0⎟
4
⎟
⎠
Man kann also diese Proben machen:
⎛ 2
⎜ 0
⎜
⎝−2 1
0
1
0⎞ ⎛ 1 1
2⎟⋅ ⎜ 2 1
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝−1 1
1⎞
⎛ 4
0⎟
= ⎜−2 4
⎟ ⎜
⎠ ⎝−1
3
2
0
2⎞
8⎟
2
⎟
⎠
oder stattdessen diese 3 Vektorgleichungen nachrechnen:
⎛ 2 1 0⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎜ 0 0 2⎟⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜−2⎟ ⎜
−2 1 1
⎟ ⎜
−1
⎟ ⎜
⎝ −1
⎟
⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
Gleichung 6:
( )
⎛ 2 1 0⎞ ⎛1⎞ ⎛3⎞ ⎜ 0 0 2⎟⋅ ⎜1⎟ = ⎜2⎟ ⎜
−2
1 1
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
0
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛12 0 1 ⎞ ⎛13 24 37 47⎞
⎜ 1 3 5 ⎟⋅ X = ⎜18 11 14 2 ⎟
⎜
3 1 −1
⎟ ⎜
6 9 10 14
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 1 0⎞ ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎜ 0 0 2⎟⋅ ⎜0⎟ = ⎜8⎟. ⎜
−2
1 1
⎟ ⎜
4
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 12 0 1 13 24 37 47⎞ −12⋅Z2⎛0−36 −59 −203 −108 −131 23⎞ → Z2
A |B =
⎜
1 3 5 18 11 14 2
⎟ ⎜1351811142⎟ ⎜ ⎟
∼ → Z1∼
⎜ 3 1 1 6 9 10 14 ⎟
⎜ ⎟
⎝ − ⎠
−3⋅Z2 ⎝0−8−16 −48 −24 −32
8 ⎠
⎛1 ⎜0 ⎜
⎝0 3
−36 −8 5
−59 −16 18
−203 −48 11
−108 −24 14
−131 −32 2 ⎞ ⎛1 23⎟ ∼ ⎜0 ⎟ ⎜
8 ⎠: 8 ⎝0 3
−36 1
5
−59 2
18
−203 6
11
−108 3
14
− 131
4
2 ⎞
23⎟ + 36 ⋅Z3
⎟
−1⎠
∼
⎛1 ⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
3
−36 1
5
−59 2
18
−203 6
11
−108 3
14
− 131
4
2 ⎞
23
⎟
⎟
−1⎟ ⎠
+ 36 ⋅Z3∼ ⎛1 ⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
3
0
1
5
13
2
18
13
6
11 14
0 13
3 4
2 ⎞
−13
⎟
⎟
−1⎟
⎠
: 13 ∼
Ergebnis:
Demo: Mathe-CD
Die Kunst besteht oft darin, die richtige Idee
für den nächsten Umformungsschritt zu
haben. Studieren Sie meine Lösung!
⎛1 3 5 18 11 14 2 ⎞ ⎛1 3 5 18 11 14 2 ⎞ −3⋅Z3−5⋅Z2 ⎜0 0 1 1 0 1 −1⎟ ∼
⎜
0 0 1 1 0 1 1
⎟
⎜
−
⎟
∼
⎜
⎟
0 1 2 6 3 4 −1⎟ −2⋅Z2 ⎜0 1 0 4 3 2 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 ⎜0 ⎜
⎝0 0
0
1
0
1
0
1
1
4
2
0
3
3
1
2
4 ⎞
−1⎟ ⎟
1 ⎠
→ Z3
→ Z2
∼
⎛1 ⎜0 ⎜
⎝0 0
1
0
0
0
1
1
4
1
2
3
0
3
2
1
4 ⎞
1 ⎟
⎟
−1⎠
⎛1 X = ⎜4 ⎜
⎝1 2
3
0
3
2
1
4 ⎞
1 ⎟
−1
⎟
⎠
Probe mit TI Nspire:
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

62111 Matrizen 1 38
Gleichung 7
( A|B)
Ergebnis:
⎛ 2 1 4 −3⎞ ⎛ 30 −19⎞
⎜ 2 −1 0 2 ⎟ ⎜ −5
0 ⎟
⎜ X
1 0 8 1
⎟⋅ = ⎜
17 11
⎟
⎜
− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−3502 ⎟ ⎜
−21
22
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ ⎛ 2 1 4 −3
30 −19⎞
⎜
2 −1 0 2 − 5 0
⎟
+ Z1
⎜
4 0 4 −1
25 − 19
⎟
+ 4⋅Z3 = ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼
⎜−1 0 8 1 17 −11⎟ ⎜ −1
0 8 1 17 −11⎟
⎜ 3 5 0 2 −2122 ⎟ −5⋅Z1⎜ 13 0 20 17 −171 117 ⎟
⎝− ⎠ ⎝ − −
⎠
−13 ⋅Z3
⎛ 2 1 4 −3 30 −19⎞ → Z3 ⎛−1 0 8 1 17 −11⎞
⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ ⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ → Z3
⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼
⎜−108117−11 → Z1 2 1 4 −330 −19 → Z2
⎜
⎟ ⎜ ⎟
0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎜ 0 0 −124 4 −392
260⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛−1 0 8 1 17 −11⎞ ⎛−108117 −11 ⎞ ⋅( −1)
⎜
2 1 4 3 30 − 19⎟ + 2 ⋅Z1⎜ 0 1 20 −164 −41⎟
⎜
−
⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼
⎜ 0 0 36 3 93 −63⎟ ⎜ 0 0 36 3 93 −63
⎟ : 3
⎜
0 0 −124 4 −392 260⎟ ⎜ 0 0 −124 4 −392
260 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ : 4
⎛1 0 −8 −1 −1711 ⎞ ⎛1 0 −8 −1
−17
11 ⎞
⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜0 1 20 −1
64 −41⎟
⎜
0 0 12 1
⎟ ∼ ⎜
31 21 0 0 12 1
⎟ ∼
⎜ − ⎟ ⎜ 31 −21⎟
⎜
0 0 31 1 98 65 ⎟ Z3 ⎜0 0 43 0 129 86 ⎟
⎝ − − ⎠ − ⎝ − − ⎠ : ( −43)
⎛1 0 −8 −1
−1711 ⎞ ⎛10−8−1−17 11 ⎞
⎜0 1 20 −1 64 −41⎟ ⎜0120 −164 −41⎟
⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎟ ∼
⎜0 0 12 1 31 −21⎟ −12 ⋅Z4⎜0001−53⎟ → Z4
⎜
0 0 1 0 3 −2 ⎟
⎜0 0 1 0 3 −2 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ → Z3
Probe mit TI Nspire in
⎛1 0 −8 −1 − 17 11 ⎞ + 8⋅Z3 ⎛1 0 0 −1 7 − 5⎞ + Z4
⎜
0 1 20 1 64 41
⎟
20 Z3
⎜
0 1 0 1 4 1
⎟
⎜ − −
⎟
− ⋅ − + Z4
∼ ⎜ −
⎟ ∼
⎜0 0 1 0 3 −2 ⎟ ⎜0 0 1 0 3 −2⎟
⎜
0 0 0 1 −5 3 ⎟ ⎜
0 0 0 1 −5
3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼
⎛1 0 0 0 2 −2⎞
⎜0 1 0 0 −1
2 ⎟
⎜ ⎟1
⎜0 0 1 0 3 −2
⎜
⎟
0 0 0 1 −5
3 ⎟
⎝ ⎠
Demo: Mathe-CD
⎛ 2 −2⎞
⎜−1 2 ⎟
X = ⎜
3 2
⎟
⎜
−
⎜ ⎟
5 3
⎟
⎝−⎠ ⎛ 2 1 4 −3⎞ ⎛ 30 −19⎞
⎜ 2 −1 0 2 ⎟ ⎜ −5
0 ⎟
⎜ X
1 0 8 1
⎟⋅ = ⎜
17 11
⎟:
⎜
− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−3 5 0 2
⎟ ⎜
−21
22
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

62111 Matrizen 1 46
⎛ 2
⎜ 1
Als nächstes berechnen wir das Inverse zu A = ⎜− 2
⎜
⎝
−1
1
0
1
1 ⎞ 2
⎟
1⎟
und zwar über die
2⎟
⎠
Gleichung 9
⎛ 2
⎜ 1
⎜− 2
⎜
⎝
−1 1
0
1
1 ⎞ 2 ⎛1 ⎟ −1
1 A ⎜
⎟⋅ = 0
2⎟
⎜
0
⎠ ⎝
0
1
0
0⎞
0⎟
1
⎟
⎠
1 ⎛ 2 1 2 1 0 0⎞ ⋅ 2 ⎛ 4 2 1 2 0 0⎞ + 4⋅Z3 ⎜ 1
⎟ ⎜ ⎟
A|E = ⎜− 0 1 0 1 0 2 1 0 2 0 2 0 Z3
2
⎟ ⋅ ∼ ⎜ − ⎟ − ∼
⎜ −1
1 2 0 0 1⎟ ⎜ −1
1 2 0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
⎛ 0
⎜
⎜
0
⎜
⎝
−1 6
−1 1
9
0
2
2
0
0
0
2
0
4 ⎞
−1 ⎟
⎟
1 ⎟
⎠
+ 6⋅Z2 ∼
⎛ 0
⎜ 0
⎜
⎝−1 0
−1 1
9
0
2
2
0
0
12
2
0
−2⎞ −1⎟
⎟
1 ⎠
→ Z3
→ Z1
∼
⎛ −1
⎜
⎜ 0
⎜
⎝
0
1
−1
0
2
0
9
0
0
2
0
2
12
1 ⎞ ⋅− ( 1)
⎟
−1⎟ ⋅( −1) −2⎟
:9
⎠
⎛1 ∼
⎜
⎜
0
⎜0 ⎝
−1 1
0
−2 0
1
0
0
2
9
0
−2
12
9
− 1⎞ 1
⎟
⎟
2 − ⎟
9⎠
⎛
+ Z2+ 2⋅Z3 1
⎜
∼ ⎜0 ⎜0
⎝
0
1
0
0
0
1
4
9
0
2
9
2
3
−2
4
3
4 − ⎞
9
⎟
1 ⎟
2 − ⎟
9⎠
Ergebnis:
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
A −
1
4 2 4
⎛ − ⎞
9 3 9
=
⎜
0 2 1
⎟
⎜
−
⎟
⎜ 2 4 2
⎝
− ⎟
9 3 9⎠
HINWEIS: Wenn man sich diese Seite anschaut, dann stellt man fest, dass man eigentlich
gar keine Matrixgleichung braucht, wenn man eine inverse Matrix berechnen soll.
Musteraufgabe 10
Berechne die inverse Matrix zu
Musterlösung:
⎛ 2
( A|E) =
⎜
⎜
−2 ⎜
⎝
0
−1
− 4
1
5
1
− 4
1
0
0
0
1
0
0⎞
0
⎟
⎟
1⎟
⎠
+ Z1 ∼
⎛2 ⎜0 ⎜
⎝0 −1
−5
1
5
6
−4
1
1
0
0
1
0
0⎞
0⎟
⎟
1⎟ ⎠
∼
+ Z1
⎛2 ⎜
⎜
0
⎜
⎝
0
−1
− 5
1
5
6
−4 1
1
0
0
1
0
0⎞ 0
⎟
⎟
1⎟ ⎠
+ 5⋅Z3 ∼
⎛2 ⎜0 ⎜
⎝0 −1
0
1
5
−14 −4 1
1
0
0
1
0
0⎞
5⎟ ⎟
1⎠ → Z3
→ Z2
∼
⎛2 ⎜0 ⎜
⎝0 −1
1
0
5
−4 −14
1
0
1
0
0
1
0⎞ 1⎟ ⎟
5⎟ ⎠ : ( −14) ∼
⎛2 ⎜
⎜
0
⎜0 ⎝
−1
1
0
5
− 4
1
1
0
1 − 14
0
0
1 − 14
0 ⎞
1
⎟
⎟
5 − ⎟
14 ⎠
+ 4⋅Z3 ∼
Ergebnis:
⎛2 ⎜
⎜0 ⎜0 ⎝
−1 1
0
5
0
1
1
4 − 14
1 − 14
0
4 −14 1 −14 0 ⎞
6 ⎟
− 14 ⎟
5 − ⎟
14 ⎠
−5⋅Z3 ∼
⎛2 ⎜
⎜0 ⎜0 ⎝
− 1
1
0
0
0
1
19
14
4 −14 1 −14 15
14
4 − 14
1 − 14
25 ⎞
14
6 ⎟
−14
⎟
5 − ⎟
14 ⎠
+ Z2
∼
⎛ 2
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎝
0
1
0
0
0
1
15
14
4 − 14
1 − 14
1
14
4 − 14
1 − 14
19 ⎞
14
6 ⎟
− 14 ⎟
5 − ⎟
14⎠ :2
∼
⎛1 ⎜
⎜0 ⎜0 ⎝
0
1
0
0
0
1
15
28
2 − 7
1 − 14
1
28
2 − 7
1 − 14
19 ⎞
28
3 ⎟
− 7 ⎟
5 − ⎟
14⎠
1
A −
15 1 19
⎛ ⎞
28 28 28
⎜ 2 2 3 ⎟
= ⎜ − − −
7 7 7 ⎟
⎜ 1 1 5
− − − ⎟
⎝ 14 14 14 ⎠
⎛ 2 −1
5 ⎞
A = ⎜−2 −4
1 ⎟
⎜
0 1 −4
⎟
⎝ ⎠
Demo: Mathe-CD

62111 Matrizen 1 59
Aufgabe 4 (1991)
⎛ t t −1⎞
Gegeben ist die Matrix At =
⎜
0 t t
⎟
⎜ ⎟
⎜t+ 1 1 1 ⎟
⎝ ⎠
Lösung
Gegeben:
−A1⋅ X :
Löse die Gleichung
nach X auf und berechne dann X.
−1
2 1 1
A ⋅ X = 4⋅ A + A ⋅ X
mit t ∈R .
−1
2 1 1
A ⋅ X = 4⋅ A + A ⋅ X
1
2 ⋅ − 1⋅ = ⋅ 1
A X A X 4 A −
1
X nach rechts ausklammern: ( A A ) X 4 A −
− ⋅ = ⋅
2 1 1
1
(A2 A 1)
−
− :
−1 −1 −1
( A2 −A1) ⋅( A2 −A1) ⋅ X = ( A2 −A1) ⋅4⋅ A1
2 − 1
−1
⋅ 2 − 1 = : ( ) 1 − −1
E⋅ X = A2 −A1 ⋅4⋅ A1
X = 4⋅ A2 −A1 − −
⋅ A1
−1 −1 −1
Von links mal
( ) ( )
A A A A E
E X X
⋅ = : ( ) 1 1
Es gibt die Inversenregel (A ⋅ B) = B ⋅ A . Wendet man sie in umgekehrter Reihenfolge an,
−⋅ 1
dann wird aus B
−1 A
−1
(A B)
X 4 A A A −
= ⋅ ⋅ −
⋅ = ⋅ : ( ( ) ) 1
1 2 1
oder ausmultipliziert in der Klammer: ( ) 1
2
X 4 A A A −
= ⋅ ⋅ −
Aus 1
⎛1 1 −1⎞
A =
⎜
0 1 1
⎟
⎜ ⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝ ⎠
⎛2 2 −1⎞
A =
⎜
0 2 2
⎟
⎜ ⎟
⎜3 1 1 ⎟
⎝ ⎠
, 2
A1⋅A2 ⎛1 1 −1⎞
⎜
0 1 1
⎟
⎜ ⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝ ⎠
A1⋅A1 ⎛1 1 −1⎞
⎜
0 1 1
⎟
⎜ ⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝ ⎠
Berechnung des Inversen dazu:
⎛2 2 −1⎞
⎜
0 2 2
⎟
⎜ ⎟
⎜3 1 1 ⎟
⎝ ⎠
1 2 1
wird nun berechnet:
⎛2+ 0− 3 2+ 2−1 − 1+ 2−1⎞ ⎛−1 3 0⎞
⎜
0+ 0+ 3 0+ 2+ 1 0+ 2+ 1
⎟
=
⎜
3 3 3
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜4+ 0+ 3 4+ 2+ 1 − 2+ 2+ 1⎟ ⎜ 7 7 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 1 −1⎞
⎜
0 1 1
⎟
⎜ ⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝ ⎠
Demo: Mathe-CD
⎛1+ 0− 2 1+ 1−1 − 1+ 1−1⎞ ⎛−1 1 −1⎞
⎜
0+ 0+ 2 0+ 1+ 1 0+ 1+ 1
⎟
=
⎜
2 2 2
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜2+ 0+ 2 2+ 1+ 1 − 2+ 1+ 1⎟ ⎜ 4 4 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛−1 3 0⎞ ⎛−1 1 −1⎞
⎛0 2 1⎞
2
A1⋅A2 − A1 =
⎜
3 3 3
⎟
−
⎜
2 2 2
⎟
=
⎜
1 1 1
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 7 7 1⎟ ⎜ 4 4 0 ⎟ ⎜3 3 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

62111 Matrizen 1 60
⎛ 0 2 1 1 0 0⎞ ⎛0 2 1 1 0 0⎞ → Z2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A ⋅A − A |E = ⎜ 1 1 1 0 1 0⎟ ∼
⎜
1 1 1 0 1 0
⎟
→ Z1∼
⎜ 3 3 1 0 0 1⎟ −3⋅Z2 ⎜0 0 −2 0 −3
1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
( 1 2 1 )
⎛1 1 1 0 1 0⎞ ⎛1 1 1 0 1 0 ⎞ ⎛1 1 1 0 1 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 1
⎜0 2 1 1 0 0⎟ ∼ ⎜0 2 1 1 0 0 ⎟ −Z3 ∼ ⎜0 2 0 1 − :2
2 2 ⎟ ∼
⎜ 3 1 0 3 1 :( 2) 0 0 1 0 0 0 3 1
0 0 2 − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ 1
2 2 0 −
⎟
⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2⎠
Letzte Rechnung und Ergebnis:
⎛ 1 1 1
1 1 1 0 1 0 ⎞ −Z2−Z3 ⎛1 0 −
⎞
2 4 4
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 3 1
1 3 1
⎜0 1 0 −
0 1 0
2 4 4 ⎟ ∼ ⎜ − 2 4 4 ⎟
⎜001 3 1
0 0
3 1
0
⎟ ⎜ 1 0
⎟
⎝
− 2 2⎠
⎝
− 2 2⎠
1 1 1
⎛−⎞ 2 4 4 ⎛−2 1 1 ⎞
−1
2 ⎜ 1 3 1 ⎟
X = 4⋅( A1⋅A2
− A1) = 4⋅
− =
⎜
⎜ 2 3 2
2 4 4 ⎟ −
⎟
⎜ ⎟
⎜ 3 1
0 − ⎟ ⎜ 0 6 −2⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝
⎠
Demo: Mathe-CD
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de