Brechungsgesetz

4. Extremalprobleme
Das Fermatsche Prinzip der kürzesten Lichtzeit (Pierre de Fermat 1601-1665)
Lichtstrahlen wählen unter allen möglichenWegen denjenigen aus, bei dem die benötigte Zeit
ein Minimum annimmt.
Reflexion:
In einer Ebene liegen die Gerade g und die Punkte
A und B auf der gleichen Seite von g. Wird ein
von A ausgehender Lichtstrahl an der Geraden g
nach B reflektiert, so liegt nach dem
Brechungsgesetz der Reflexionspunkt C so, dass
der Einfallswinkel α mit dem Ausfallswinkel β
übereinstimmt (C liegt auf der
Verbindungsgeraden von B und dem Spiegelpunkt
A' von A bezüglich g). Dieser Lichtweg ist
gerade der minimale, denn für jeden andern
Reflexionspunkt D wäre der Lichtweg grösser. Da
ein homogenes Medium vorliegt ist damit auch
die Lichtzeit minimal.
Refraktion:
Wir nehmen an, oberhalb der x-Achse sei ein
dünneres Medium I, z.B. Luft, unterhalb der x-
Achse ein Medium II, z.B. Wasser mit den
zugehörigen Brechungsindizes n1 bzw. n2, d.h.
das Licht pflanzt sich mit den Geschwindigc
c
keiten c 1 = bzw. c 2 = fort.
n
n
brechgesetz 28.11.2011/ul
1
2
Licht gelangt vom Punkt A(0,a) zum Punkt B(b, -d) über den Punkt C(x,0) so, dass das
Brechungsgesetz (Refraktionsgesetz) gilt:
sin α n 2
= bzw. n sin α = n 2 sin β
sin β n
1
1 Brechungsgesetz
Wir zeigen, dass die zugehörige Zeit minimal ist.
Lichtwege:
zugehörige Lichtzeiten:
A C +
2 2
= a x
( ) 2
2
CB = d + b − x
2
AC a +
v
1
=
v
1
x
2
( b x)
2
CB + −
v
2
=
d
v
2
2
9

Für die gesamte Lichtzeit t gilt damit:
brechgesetz 28.11.2011/ul
( b − x)
t(
x)
=
2 2
a + x
+
v1
2
d +
v 2
Für das Minimum muss gelten:
2x
2
( )
( b − x)
⋅ ( −1)
t′
x =
+
2 2
2
2
2v
a + x 2v
d + b − x
= 0 also:
v
1
1
a
x
2
1
+ x
2
2
=
v
2
2
( )
( ) 2
2
b − x
+ b − x
OC CD sin α sinβ
= oder =
v AC v CB v v
d
1
2
2
( )
und wegen x = OC bzw. b - x = CD schliesslich:
oder
sin α
v
=
sin β v
1
2
c
n1
n
= =
c n
n
2
2
1
10