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Mathematik für Klasse 6
Anfang der Mengenlehre
9 Trainingseinheiten zum Unterricht
Im Internet nur Auszüge
Vollständige Version auf der Mathe-CD
Datei Nr. 10210
Friedrich W. Buckel
Demo: Mathe-CD
Stand 17. März 2008
Vielfache und Teiler
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de

Wichtiges Vorwort
Dieses Manuskript für die Klassenstufe 6 hat folgende Konzeption:
Die Zielgruppe sind in erster Linie die Eltern, die ihren Kindern helfen wollen, sowie
Schüler der Klasse 6 selbst, was jedoch problematisch ist, weil die Abstraktionsfähigkeit
in diesem Alter noch nicht sehr weit entwickelt ist. Dementsprechend fällt es
Kindern der Klasse 6 noch schwer, einen mathematischen Text alleine zu lesen und
so den Gedankengängen zu folgen.
Daher verzichte ich weitgehend auf Herleitungen, die bestimmte Methoden oder
Tatsachen begründen oder erklären sollen. Diese wären für den Lehrer wichtiger,
und sie gehören in den Unterricht, damit die Kinder auch lernen, solchen
Überlegungen zu folgen.
Daher liefere ich hier zu wichtigen Themen die Berechnungsmethoden in
sogenannten Trainingseinheiten und zeige an Musterbeispielen, wie man bestimmte
Aufgaben löst und (was sehr wichtig ist) wie man den Lösungsweg darstellt.
Ich verwende beim Thema Vielfache und Teiler zunächst die Mengenlehre als
Schreibweise und Hilfsmittel zur Darstellung. Den Lehrern empfehle ich stets,
nicht auf dieses elegante Mittel zu verzichten. Es schult das Denkvermögen auf
andere Weise als Rechnen und zwingt Kinder zu exaktem Denken und erweist sich
außerdem als äußerst anregend und macht Spaß – solange man nicht stur drillt …
Wenn Eltern oder Kinder Methoden zur Berechnung von kgV (kleinstes
gemeinsames Vielfaches) oder ggT (größter gemeinsamer Teiler) suchen, dann
gibt es dazu zweierlei: Einmal über die Mengenlehre, also über das Auflisten der
Vielfachen bzw. Teiler, dann aber auch über die Primfaktor-Zerlegung. Ich biete
beides an !
Der Abschnitt 1.3 enthält Ergänzendes zur Mengenlehre, was man in Klasse 6
durchaus machen kann, was aber nicht erforderlich ist. Es kann übergangen
werden!
Demo: Mathe-CD
Friedrich Buckel

Inhalt
1. Training: Grundbegriffe der Mengenlehre 1
1.1 Schreibweisen, Mengenbilder und Schnittmengen 1
1.2 Mengenbilder für 3 Mengen *) 6
1.3 Weitere Mengen*) 13
2. Training: Vielfachmengen 19
3. Training: Teiler und Teilermengen 25
Primzahlen 27
4. Training: Der größte gemeinsame Teiler 31
5. Training: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln 32
Teilbarkeit durch 4 34
Teilbarkeit durch 8 35
Teilbarkeit durch 3 und 9 (Quersummenregeln) 36
6. Training: Potenzen von Zahlen 39
Lernblatt zu Potenzen und Quadratzahlen 40
7. Training: Primfaktorzerlegung von Zahlen 43
8. Training: Aus den Primfaktoren einer Zahl
erstellen wir ihre Teiler: 44
9. Training: ggT / kgV mit Primfaktoren berechnen 46
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*) Diese beiden Abschnitte werden für den Rest der Datei nicht benötigt,
sie stellen lediglich eine Erweiterung der Mengenlehre dar und können
hier übergangen werden.

10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
1. Training: Grundbegriffe der Mengenlehre
Für viele Darstellungen und Beschreibungen bildet man Mengen. Diese kann man auf
geeignete Weise darstellen, und es gibt neue Schreibweisen dafür. Man kann die
Mathematik der Klasse 6 auch ohne diese Mengenschreibweisen durchführen. Ich verwende
sie hier, weil man damit vieles veranschaulichen und damit einfacher darstellen kann. Wer
die Mengenschreibweise in seiner Klasse nicht gelernt hat, kann nach Durchlesen des
Abschnitts 1.1 dennoch alles verstehen.
1.1 Schreibweisen, Mengenbilder und Schnittmengen
Ich bezeichne jetzt mit A die Menge der Zahlen von 1 bis 8. Das kann man so
aufschreiben:
A = { 1;2;3;4;5;6;7;8}
Zwischen die Zahlen schreibt man am besten Semikolons, Kommas gehen auch.
Doch mit ihnen kann es Verwechslungen mit Dezimalzahlen geben.
Als Mengenbild kann man einen Kreis oder ein Oval verwenden:
6
1 2
Den Inhalt einer Menge nennt man ihre Elemente.
Die Menge B hat diese Elemente: B= { 5;6;7;8;9;10}
.
Man kann für beide Mengen ein gemeinsames Mengenbild zeichnen. Da A und B
gemeinsame Elemente besitzen, müssen sich ihre Mengenbilder dann überlappen:
A
3
7
5
4
8
1
3
Die Menge der gemeinsamen Elemente von A und B nennt man ihre Schnittmenge:
Man schreibt für sie: A ∩ B= { 5;6;7;8}
Lies: A geschnitten mit B ist die Menge 5, 6, 7, 8.
2
A
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6
7
9
Demo: Mathe-CD
4 5 6
7 8
9
10
5
8
B
10
B

10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Arbeitsblatt 1: Mengenbilder
(1) Schreibe auf, welche Elemente die Mengen A und B enthalten:
A
(2) Schreibe auf, welche Elemente die Mengen A und B enthalten:
A
0 2
5
8 12
5
11
4 6
3
9 1
(3) Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für A und B:
A = { 5;6;8;9;10;11 } ; B= { 2;4;8;9;11}
(4) Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für A und B:
A = { 5;6;7;8;9 } ; B= { 6;7;8;9;10}
(5) Zeichne ein eigenes gemeinsames Mengenbild für A und B:
A = { 5;6;7;8;9 } ; B= { 6;7;8}
2
7
9
7
A B
B
B
A = { }
B= { }
A∩ B=
{ }
A = { }
B= { }
A∩ B=
{ }
Demo: Mathe-CD
A B
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Lösungsblatt 1: Mengenbilder
(1) Schreibe auf, welche Elemente die Mengen A und B enthalten:
A
0 2
5
4 6
3
9 1
(2) Schreibe auf, welche Elemente die Mengen A und B enthalten:
A
8 12
5
11
2
(3) Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für A und B:
A = { 5;6;8;9;10;11 } ; B= { 2;4;8;9;11}
(4) Zeichne ein gemeinsames Mengenbild für A und B:
A = { 5;6;7;8;9 } ; B= { 6;7;8;9;10}
1
7
9
7
(5) Zeichne ein eigenes gemeinsames Mengenbild für A und B:
B
B
A= { 0;2;3;4;5;6}
B= { 1;3;4;6;7;9}
A∩ B= { 3;4;6}
A= { 2;5;8;11;12}
B= { 2;7;9}
A∩ B= { 2}
8
8
6
10
5 6 9
9 2
5
A 7 B A 10 11 4 B
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A = { 5;6;7;8;9 } ; B= { 6;7;8}
Es fällt auf, dass hier alle
Elemente von B auch zu A
gehören. Daher ist B ein Teil
9 8
6
von A, man sagt jedoch besser:
B ist Teilmenge von A:
A
5 7
B
A
9
5
8
6
7 B
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Das letzte Beispiel war ein Sonderfall: B war eine Teilmenge von A. Damit blieb
das rechts Feld im gemeinsamen Mengenbild von A und B leer.
Wir wollen weitere Mengenbilder untersuchen:
Hier gehören alle Elemente von A auch zu B,
daher ist A eine Teilmenge von B:
A = { 8;9;11}
, B= { 2;4;8;9;11}
Daher ist auch dieses Teilmengenbild
möglich:
Die Schnittmenge ist hier A,
denn die gemeinsamen Elemente
von A und B sind gerade die von B!
A ∩ B= A
Hier haben wir A = { 1; 8 ; 9}
und B= { 2;4}
.
A und B haben keine gemeinsamen
8
Elemente, die Schnittmenge ist also
2
leer. Man schreibt das so:
9
A 4 B
A∩ B=
{} .
1
Aufgabe 6
2 8
B
4
9 11
A
Zeichne Mengenbilder zu diesen Mengen A, B. Wenn ein spezieller Fall vorliegt,
schreibe das auf und fertige wenn möglich ein spezielles Mengenbild an.
Gib die Schnittmenge an!
a) A = { 2;4;6;8;10;12;14}
, B= { 3;6;9;12}
b) A = { 4;5;6;7;8;9}
, B= { 4;6;8}
c) A = { 3;5;7;9}
, …. B= { 4;6;8}
d) A = { 4;7;8;9;10}
, B= { 3;4;...;12}
Aufgabe 7 (hier ohne Lösung)
Erfinde selbst zwei Mengen A und B, so dass
(a) A Teilmenge von B ist, (b) B Teilmenge von A ist
(c) die Schnittmenge von A und B leer ist.
8
9 2
A 11 4 B
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Lösung Aufgabe 6
a) A = { 2;4;6;8;10;12;14}
, B= { 3;6;9;12}
. A ∩ B= { 6;12}
8
9
2 6
10
4 12 3
A 14
B
b) A = { 4;5;6;7;8;9}
, B= { 4;6;8}
B ist Teilmenge von A, daher gilt
A ∩ B= { 4;6;8} = B
und es gibt ein spezielles Mengenbild:
7
A
5
9
4
6
8
B A
5
7
9
4
8
6
B
c) A = { 3;5;7;9}
, …. B= { 4;6;8}
Die Schnittmenge ist leer:
A∩ B=
{}
7
5
9
6
A
3
4 B
d) A = { 4;7;8;9;10}
, B= { 3;4;...;12}
A ist Teilmenge von B, daher ist
A
4
8
7 9
10
3
5
Demo: Mathe-CD
6
11
12
B
A ∩ B= A und es gibt ein
spezielles Teilmengenbild:
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8
A
4
7 8
9
10
3
6
5
11
12
B

10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
1.2 Mengenbilder für drei Mengen
Aufgabe 8
Betrachte diese Mengen und schreibe auf, was Du an Besonderheiten entdeckst.
Denke dabei auch an die Schnittmengen!
A = { 1;2;3;4;5;6}
,
B= { 3;4;5;6;7;8;9}
C= { 0;2;4;6;8}
.
Versuche dann ein Mengenbild aus drei Kreisen zu zeichnen, in das Du alle
Elemente der Mengen A , B und C einträgst.
Schaue erst dann auf die nächste Seite, wenn Du fertig bist.
Aufgabe 9
Mache nun dasselbe mit folgenden Mengen:
a) A = { 1;3;5;6}
,
B= { 3;4;7}
C= { 3;4;6;8}
.
b) A = { 1;3;5;7;9;... } ,
B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ;10 ; ... }
C = { 3 ; 6 ; 9 ;12 ; ... } .
Hier sind die Mengen unendlich groß, man kann nicht alle Elemente eintragen.
c) A = { 2;3;4}
,
B= { 2; 3;4;5;6;7}
C= { 3;4;6}
.
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Erkennst Du, was hier für Besonderheiten vorliegen ?
Findest Du ein dazu passendes anderes Mengenbild ?
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Wir wollen die Lösung zu Aufgabe 8 jetzt gemeinsam beginnen:
Man sieht, dass die Mengen eine Reihe gemeinsamer Elemente besitzen.
Daher notieren wir uns zunächst die Schnittmengen.
A = { 1;2;3;4;5;6}
,
B= { 3;4;5;6;7;8;9}
,
C= { 0;2;4;6;8}
.
Daraus findet man:
A ∩ B= { 3;4;5;6}
, A ∩ C= { 2;4;6}
und B∩ C= { 4;6;8}
.
Aber wer gut aufpasst, entdeckt noch etwas: Es gibt zwei Zahlen (Elemente), die zu
allen drei Mengen gehören, nämlich 4 und 6. Sie bilden daher die Schnittmenge
aller drei Mengen:
A ∩B∩ C= { 4;6}
.
Ein Mengenbild für drei Mengen zeichnet man am besten so, dass man 3 Kreise
zeichnet, und zwar so, dass jeder durch die Mittelpunkte der beiden anderen Kreise
geht. Dann gibt es innen genug Platz zum Eintragen der Schnittmengen:
A
Zum Eintragen der Elemente muss man folgendes wissen:
In das Feld 1 gehören alle Elemente, die zu A, B und C zugleich
gehören, also A ∩B∩ C= { 4;6}
.
Die Schnittmenge A ∩ B= { 3;4;5;6}
gehört zu dem Feldern 1 und 2.
Die Schnittmenge A ∩ C= { 2;4;6}
gehört zu den Feldern 1 und 3.
Die Schnittmenge B∩ C= { 4;6;8}
gehört zu den Feldern 1 und 4.
Fülle nun alle Felder aus !
3
2
1
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4
C
B
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
5. Training: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln
1. Teilbarkeit einer Summe oder Differenz
a) 12 ist ein Teiler von 600 (12⋅ 50 = 600 ) und
12 ist ein Teiler von 24 ( 2⋅ 12= 24)
also folgt:
12 ist auch ein Teiler von 600 + 24 = 624 ! ( 52⋅ 12 = 624 ) und
12 ist auch ein Teiler von 600 – 24 = 576 ! ( 48⋅ 12 = 576 ).
Wenn daher die Aufgabe so gestellt wird:
Ist 12 ein Teiler von 624 ?
dann geht man den umgekehrten Weg:
Man zerlegt 624 in die Summe 600 + 24 und beweist die Teilbarkeit so:
Also ist 12 ein Teiler von 624.
Oder: Ist 12 ein Teiler von 576 ?
624= 600+ 24 52⋅12
50⋅12
=
2⋅12
Man zerlegt 576 in die Differenz 600 - 24 und beweist die Teilbarkeit so:
Also ist 12 ein Teiler von 576.
576= 600 24 48⋅12
− =
50⋅12
2⋅12
b) Ist 8 ein Teiler von 1032 ?
Man zerlegt 1032 in 1000 + 32 und weiß: 125⋅ 8 = 1000 und 48 ⋅ = 32
1032= 1000+ 32 129⋅8
=
125⋅8
4⋅8
8 ist auch ein Teiler von 1000 – 32 = 968 (125 – 4 = 121 mal ! ).
c) Ist 18 ein Teiler von 3690 ?
Wir zerlegen 3690 in eine geeignete Summe: 3690 = 3600 + 90:
Also ist 18 ein Teiler von 3690.
Demo: Mathe-CD
3690= 3600+ 90 205⋅18
=
200⋅18
5⋅18
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
d) Ist 35 ist ein Teiler von 805 und
Also ist 35 ein Teiler von 805.
805= 700+ 105 23⋅
35
=
20⋅35 3⋅35
e) Ist 7 ein Teiler von 28735 ? (Schwer !)
Wir zerlegen 28735 in eine Summe aus drei Zahlen, von denen jede durch
7 teilbar ist:
28735 = 28000 + 700 + 35.
7 ist ein Teiler von 28000 (4000 mal) und
7 ist ein Teiler von 700 (100 mal) und
7 ist ein Teiler von 35 (5 mal), also folgt
7 ist ein Teiler von 28000 + 700 + 35 (4105 mal) !
f) Ist 13 ein Teiler von 390247 ? (Schwer !)
Wir zerlegen 390247 in 390.000 + 260 – 13
Jede dieser Zahlen ist durch 13 teilbar, also auch 390247,
nämlich 30.000 + 20 – 1 = 30.019 mal !
g) Ist 9 ein Teiler von 63.891 ? (Schwer !)
Wir zerlegen 63891 in 63.000 + 900 – 9
Jede dieser Zahlen ist durch 9 teilbar, also auch 63.891,
nämlich 7000 + 100 - 1 = 7099 mal !
h) Ist 28 ein Teiler von 5601 ? (Schwer! )
Wir zerlegen 5601 = 5600 + 1
Demo: Mathe-CD
5600 = 28⋅ 200 , also ist 5600 durch 28 teilbar, nicht aber 1 , also ist auch
5601 nicht durch 28 teilbar !
Damit erhalten wir eine wichtige Methode zur Überprüfung der Teilbarkeit:
Kennt man eine Zahl, die durch die gegebene Zahl teilbar ist, dann kann man
eine andere Zahl überprüfen, indem man einfach die Differenz untersucht:
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Teilbarkeit durch 4
Die Zahl 100 ist durch 4 teilbar, denn es gilt ja 100 = 25⋅ 4 .
Wenn man daher eine mindestens dreistellige Zahl hat, dann geht man so vor:
Ist 132 durch 4 teilbar ?
Zerlege 132 = 100 + 32 . 4 ist ein Teiler von 100, und der Hunderter-Rest 32
ist auch durch 4 teilbar, also auch die gegebene Zahl 132 !
Ist 732 durch 4 teilbar ?
Zerlege 732 = 7⋅ 100
+ 32
. 4 ist ein Teiler von 100, also auch von 700.
und der Hunderter-Rest 32 ist auch durch 4 teilbar, also auch die gegebene
Zahl /32 !
Ist 2560 durch 4 teilbar ?
Zerlege 2560 = 2500 + 60 = 25⋅ 100+ 60
.
4 ist ein Teiler von 100, also auch von 25⋅ 100 = 2500 . Daher muss man nur
noch den Hunderter-Rest 60 überprüfen. Und er ist durch 4 teilbar (60 = 15⋅ 4 ),
also auch 2560.
Ist 15012 durch 4 teilbar ?
Zerlege 15012 = 15.000 + 12 = 150⋅ 100+ 12
.
4 ist ein Teiler von 100, also auch von 150⋅ 100 = 15000.
Daher muss man nur
noch den Hunderter-Rest 12 überprüfen. Und er ist durch 4 teilbar, also auch
die gegebene Zahl 15.012 .
Ist 158.598 durch 4 teilbar ?
Wir übergehen die Tatsache, dass 158.500 durch 4 teilbar ist und betrachten
nur noch den Hunderterrest 98:
Die Antwort heißt nein, denn der Hunderterrest 98 ist nicht durch 4 teilbar.
Ist 3.567.752 durch 4 teilbar ?
Ja, denn der Hunderterrest 52 ist durch 4 teilbar: 52 = 13⋅ 4 !
Ist 257.597.169 durch 4 teilbar ?
Merke:
Demo: Mathe-CD
Nein, denn der Hunderterrest ist eine ungerade Zahl und somit nicht durch
4 teilbar.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihr Hunderterrest
(d.h. die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl)
durch 4 teilbar ist.
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10210 Klasse 6 Vielfache und Teiler
Teilbarkeit durch 8
Jetzt braucht man die Tatsache, dass 1000 durch 8 teilbar ist: 1000 : 8 = 125 .
Also muss man hier „nur“ die Tausenderreste untersuchen:
Ist 3.160 durch 8 teilbar ?
Ganz ausführlich sieht die Überlegung so aus: Zerlegt man 3160 so
3160 = 3000 + 160 = 3⋅ 1000 + 160, dann kann man sagen
3000 ist durch 8 teilbar, und 160 auch, also auch 3160.
Die Kurzmethode geht so:
3160 ist durch 8 teilbar, weil auch 160 durch 8 teilbar ist.
Ist 167 432 durch 8 teilbar ?
Wir müssen nur die Teilbarkeit des Tausenderrests 432 untersuchen.
Dazu zerlege ich: 432 = 400 + 32. Beide Summanden sind durch 8 teilbar,
also die ganze Zahl auch !
Ist 7.115.384 durch 8 teilbar ?
Wir müssen nur 384 untersuchen. Dies kann man nun richtig durchrechnen:
384 : 8 = 48. Besser ist es zu denken statt zu rechnen: 384 = 400 – 16.
400 und 16 sind Vielfache von 8, also auch 384 und somit die gegebene Zahl.
Ist 24.900 durch 8 teilbar ?
900 ist nicht durch 8 teilbar, wenn 900 = 1000 – 100 und 100 ist nicht durch
8 teilbar !
Nun haben wir die Teilbarkeit mit 4 und 8 im Griff, aber es
gibt noch drei andere Regeln, die viel einfacher sind:
(1) Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar
(2) Jede Zahl, deren letzte Ziffer eine 0 ist, ist durch 10 teilbar
Demo: Mathe-CD
(3) Jede Zahl, deren letzte Ziffer 0 oder 5 ist, ist durch 5 teilbar.
Dazu nochmals die beiden besprochenen Regeln:
(4) Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihr Hunderterrest (d.h. die aus den
letzten beiden Ziffern gebildete Zahl) durch 4 teilbar ist.
(5) Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihr Tausenderrest (d.h. die aus den
letzten drei Ziffern gebildete Zahl) durch 8 teilbar ist.
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