Exponentialfunktionen - Internetbibliothek für Schulmathematik

Demoseiten für
www.mathe-cd.de
Teil 1
Grundeigenschaften
Behandlung ohne Ableitungen
Ein Trainingsheft für Klasse 10
Datei Nr. 18200
Stand: 1. Juni 2010
Friedrich Buckel
Exponentialfunktionen
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Grundlagen

18200 Exponentialfunktionen Einführung 2
Inhalt
§ 1 Wichtige Grundbegriffe für Funktionen 4
1.1 Grundmenge, Definitionsbereich, Wertmenge 4
1.2 Algebraische und geometrische Fachausdrücke 5
1.3 Grenzwerte und Asymptoten 6
§ 2 Exponentialfunktionen 7
2.1 Grundlagen 7
Schaubilder einiger Exponentialfunktionen 7
2.2 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen 8
Verschiebung in y-Richtung 8
x
x
x
y = 2 + 2,
y = 2 − 2,
y = 3 + a
8
Verschiebung in x-Richtung 9
x 3
y 2 −
= ,
x 3
y 2 +
= 9
Spiegelung an der y-Achse 10
x
y 2 −
−x−3 − x+ 3
= , y = 2 , y = 2 10
Weitere Beispiele: 11
x+ 2
y = 3 + 4 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 11
1 ( )
x−2 2
y =
− x+ 2
+ 1 und y = 2 + 1
12
Spiegelung an der x-Achse 13
x
y =− 2 ,
x
y =− 2 + 3 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 13
x
y 5 4 −
= − (Schnittpunkt mit der x-Achse) 14
Trainingsaufgaben 1 14
Trainingsaufgaben 2 15
2.3 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen zur Basis e 16
x
y = e ,
x
y e −
= ,
x
y = 4− e ,
x 2
y e −
= ,
y e
−x−2 = ,
x 2
y e +
= ,
− x+ 2
y = e ,
x
y = e + 2,
−x−2 y e 2
x
y = e − 2
16
= − 17
x
y 3 e −
= − 18
2.4 Zusammenfassung und Übersicht 19
§ 3 Gestreckte Exponentialfunktionen 21
3.1 Streckung in y-Richtung 21
2
1 2
Streckung von Parabeln y = 2⋅ x und y = ⋅ x 2
21
x
1 x
Streckung von Exp.-Kurven y = 2⋅ 2 , y = ⋅ 2 2
22
x
y 4 2 −
x
x 1,37
= ⋅ , y = 2⋅ 3 . y 4 −
= 23
x
x
x
y = 20⋅ 1,2 , y = 30⋅ 0,8 , y = 50⋅( 1− 0,05 )
24
3.2
3x
x/2
Streckung in x-Richtung y = 2 und y 3 −
= 25
Trainingsaufgaben 3 bis 6 26
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

18200 Exponentialfunktionen Einführung 3
§ 4 Nullstellen von Exponentialfunktionen – Schnittpunkte mit der x-Achse 27
Berechnung von Nullstellen = Lösen von Exponentialgleichungen 27
Typ 1 27
Typ 2 29
Trainingsaufgaben 7 und 8 31
§ 5 Asymptoten von Exponentialkurven 32
§ 6 Aufstellen von Kurvengleichungen 34
6.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen 34
6.2 Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich 38
Trainingsaufgaben 9 bis 12 41
6.3 Identifikation der Gleichung aus dem Schaubild 42
Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve 42
11 Beispiele 42 – 46
Trainingsaufgabe 13 47
§ 7 Zusammenstellung der Trainingsaufgaben 49 – 54
Die Lösungen der Trainingsaufgaben bilden ein eigenes „Heft“ mit der Nummer 18201
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

18200 Exponentialfunktionen Einführung 11
Beispiel 14: ( )
f x 5 4 −
= −
Zuerst versuchen wir durch eine Abbildungskette das
Schaubild zu bestimmen.
Grundkurve ist:
x
y = 4 .
Gespiegelt an der y-Achse:
x
y 4 −
=
Gespiegelt an der x-Achse:
x
y 4 −
=−
Um 5 in y-Richtung verschoben:
−x
y = − 4 + 5
Funktionseigenschaften:
Definitionsbereich: D = R
Wertebereich: W = ] −∞;5
[
Verhalten im Unendlichen: ( x→∞ −x
)
lim ( 5
x
4− )
Eigenschaften des Schaubilds:
x
lim 5 − 4 = 5
x→−∞ Waagerechte Asymptote für x →−∞: y = 5
− =−∞
Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve
mit der x-Achse berechnen. Diese Stelle auf der x-Achse nennt man die Nullstelle:
Bedingung: y = 0
d. h.
Logarithmieren:
−x
5− 4 = 0
x
5 4 −
=
− x
log 4 = log 5
3. Logarithmenregel: −x⋅ log 4 = log 5
log 5
log 4
Durch log 2 dividieren: − xN = ⇒ xN ≈ − 1,16
Schnittpunkt mit der x-Achse: S( − 1,16|0)
.
(Siehe Abbildung).
Trainingsaufgaben 1
Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 14, durch welche
Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind.
Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte für das Schaubild.
Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse:
a)
x+ 3
f( x) = 3 − 2
b)
x
f( x) = − 2 + 4
c) ( )
d) 1
x−1 f( x) = ( ) − 2 e)
x
f( x) = − 2,5 + 4 f) ( )
3
x
y 4 −
=
−x
y = − 4 + 5
x
y 4 −
=−
f x 4 −
= −
f x = 12− 3
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
x
−x−2 x
y = 4
x
y = −2

18200 Exponentialfunktionen Einführung 12
1
Trainingsaufgaben 2
Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu.
( ) =
−x
−
x
f2( x) =− 2 + 3
3 ( )
=−
x+ 2
+ f
− x+ 2
( x) = 3− 3 ( )
f x 3 2
f(x) 3 2
4
K3
5
f x = 2
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
−x−2 x−2 f6x = 2 − 2
K2
K1

18200 Exponentialfunktionen Einführung 34
§ 6 Aufstellen von Gleichungen aus Punkten
6.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen
Zur Aufstellung der Gleichung einer Exponentialkurve des Typs
Punkte. Hier die beste Methode dazu:
Beispiel 1
Die Kurve mit der Gleichung
Berechne a und q.
x
y = a⋅ q benötigt man zwei
x
y = a⋅ q geht durch die Punkte A( 0|4 ) und B( 4|16 ) .
Lösung
Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung
A( 0|4 ) eingesetzt:
B( 4|16 ) eingesetzt:
Auswertung:
Aus (1) folgt wegen q 0 = 1 sofort a = 4
Setzt man dies in (2) ein, folgt:
4
16 = 4 ⋅ q
4
q = 4
0
4 = a⋅ q
(1)
4
16 = a ⋅ q
(2)
x
y= a⋅ q ein:
2 1
4 4 2 4 2
=± =± =± =± =± !!!
q 4 2 2 2 2
Da man nur positive Zahlen als Basis verwendet, lautet das Ergebnis q ≈ 1,41.
Ergebnis:
Hierzu das Schaubild:
x
y 4 1,41
= ⋅
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
A
B

18200 Exponentialfunktionen Trainingsaufgaben 42
6.3 Identifikation der Gleichung einer Exponentialfunktionen aus
dem Schaubild
Beispiel 1:
Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve
x
y 1,5
= bzw. ( )
f x = 1,5
Ausgehend vom Punkt EO der um 1 über der
waagrechten Asymptote liegt, denkt man sich 3
Pfeile eingezeichnet: Zum Ursprung, 1 nach rechts
und dann hinauf zur Kurve bis E1.
Diese drei Pfeile und der Kurvenbogen EE O 1
Bilden ein „krummliniges Trapez“.
(Trapez – weil zwei Gegenseiten parallel sind.)
Die Bedeutung dieses sogenannten charakteristischen
x
Trapezes liegt darin, dass die Aufwärtsstrecke von der x-Achse bis E1 gerade die Länge hat, welche
1
die Basis angibt: f() 1 = 1,5 = 1,5 .
Daher können wir später bei der Lösung der eigentlichen Aufgabe (die Basis bestimmen) mit diesem
Trapez arbeiten. Zuvor schauen wir es uns noch bei anderen Kurven an.
Beispiel 2
Hier kann es sich nur um die Funktion ( )
f x 4
x
Kurve mit der Gleichung y = 4 handeln,
1
denn der Wert f() 1 = 4 = 4 liefert uns die Basis, und diese
Zahl ist auch die Länge des Pfeils von der x-Achse bis E1.
Beispiel 4
x
= bzw. die
x
Jetzt wurde die Kurve y = 4 samt Trapez an der y-Achse
gespiegelt. Folglich liegt dieses links von der y-Achse und
zwar E1 liebt bei x = -1. Dies macht auch Sinn, denn die
x
Gleichung lautet jetzt y f( x) 4 −
= = . Und um die Basis als
Ergebnis zu bekommen muss man für x die Zahl -1 einsetzen:
+ 1
f − 1 = 4 = 4.
( )
Übrigens könnte man das Trapez auch rechts einzeichnen,
dann hätte der Pfeil von x = 1 aufwärts die Länge 1 , was aber
4
1 4 −
= wäre das auch richtig.
schlecht ablesbar ist, und wegen ( ) x x
4
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
E1
4
1, 5
EO
EO
4
E1