Exponentialfunktionen - Internetbibliothek für Schulmathematik
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Demoseiten für www.mathe-cd.de Teil 1 Grundeigenschaften Behandlung ohne Ableitungen Ein Trainingsheft für Klasse 10 Datei Nr. 18200 Stand: 1. Juni 2010 Friedrich Buckel Exponentialfunktionen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de Grundlagen
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Demoseiten <strong>für</strong><br />
www.mathe-cd.de<br />
Teil 1<br />
Grundeigenschaften<br />
Behandlung ohne Ableitungen<br />
Ein Trainingsheft <strong>für</strong> Klasse 10<br />
Datei Nr. 18200<br />
Stand: 1. Juni 2010<br />
Friedrich Buckel<br />
<strong>Exponentialfunktionen</strong><br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de<br />
Grundlagen
18200 <strong>Exponentialfunktionen</strong> Einführung 2<br />
Inhalt<br />
§ 1 Wichtige Grundbegriffe <strong>für</strong> Funktionen 4<br />
1.1 Grundmenge, Definitionsbereich, Wertmenge 4<br />
1.2 Algebraische und geometrische Fachausdrücke 5<br />
1.3 Grenzwerte und Asymptoten 6<br />
§ 2 <strong>Exponentialfunktionen</strong> 7<br />
2.1 Grundlagen 7<br />
Schaubilder einiger <strong>Exponentialfunktionen</strong> 7<br />
2.2 Untersuchung einfacher <strong>Exponentialfunktionen</strong> 8<br />
Verschiebung in y-Richtung 8<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y = 2 + 2,<br />
y = 2 − 2,<br />
y = 3 + a<br />
8<br />
Verschiebung in x-Richtung 9<br />
x 3<br />
y 2 −<br />
= ,<br />
x 3<br />
y 2 +<br />
= 9<br />
Spiegelung an der y-Achse 10<br />
x<br />
y 2 −<br />
−x−3 − x+ 3<br />
= , y = 2 , y = 2 10<br />
Weitere Beispiele: 11<br />
x+ 2<br />
y = 3 + 4 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 11<br />
1 ( )<br />
x−2 2<br />
y =<br />
− x+ 2<br />
+ 1 und y = 2 + 1<br />
12<br />
Spiegelung an der x-Achse 13<br />
x<br />
y =− 2 ,<br />
x<br />
y =− 2 + 3 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 13<br />
x<br />
y 5 4 −<br />
= − (Schnittpunkt mit der x-Achse) 14<br />
Trainingsaufgaben 1 14<br />
Trainingsaufgaben 2 15<br />
2.3 Untersuchung einfacher <strong>Exponentialfunktionen</strong> zur Basis e 16<br />
x<br />
y = e ,<br />
x<br />
y e −<br />
= ,<br />
x<br />
y = 4− e ,<br />
x 2<br />
y e −<br />
= ,<br />
y e<br />
−x−2 = ,<br />
x 2<br />
y e +<br />
= ,<br />
− x+ 2<br />
y = e ,<br />
x<br />
y = e + 2,<br />
−x−2 y e 2<br />
x<br />
y = e − 2<br />
16<br />
= − 17<br />
x<br />
y 3 e −<br />
= − 18<br />
2.4 Zusammenfassung und Übersicht 19<br />
§ 3 Gestreckte <strong>Exponentialfunktionen</strong> 21<br />
3.1 Streckung in y-Richtung 21<br />
2<br />
1 2<br />
Streckung von Parabeln y = 2⋅ x und y = ⋅ x 2<br />
21<br />
x<br />
1 x<br />
Streckung von Exp.-Kurven y = 2⋅ 2 , y = ⋅ 2 2<br />
22<br />
x<br />
y 4 2 −<br />
x<br />
x 1,37<br />
= ⋅ , y = 2⋅ 3 . y 4 −<br />
= 23<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y = 20⋅ 1,2 , y = 30⋅ 0,8 , y = 50⋅( 1− 0,05 )<br />
24<br />
3.2<br />
3x<br />
x/2<br />
Streckung in x-Richtung y = 2 und y 3 −<br />
= 25<br />
Trainingsaufgaben 3 bis 6 26<br />
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18200 <strong>Exponentialfunktionen</strong> Einführung 3<br />
§ 4 Nullstellen von <strong>Exponentialfunktionen</strong> – Schnittpunkte mit der x-Achse 27<br />
Berechnung von Nullstellen = Lösen von Exponentialgleichungen 27<br />
Typ 1 27<br />
Typ 2 29<br />
Trainingsaufgaben 7 und 8 31<br />
§ 5 Asymptoten von Exponentialkurven 32<br />
§ 6 Aufstellen von Kurvengleichungen 34<br />
6.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen 34<br />
6.2 Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich 38<br />
Trainingsaufgaben 9 bis 12 41<br />
6.3 Identifikation der Gleichung aus dem Schaubild 42<br />
Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve 42<br />
11 Beispiele 42 – 46<br />
Trainingsaufgabe 13 47<br />
§ 7 Zusammenstellung der Trainingsaufgaben 49 – 54<br />
Die Lösungen der Trainingsaufgaben bilden ein eigenes „Heft“ mit der Nummer 18201<br />
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18200 <strong>Exponentialfunktionen</strong> Einführung 11<br />
Beispiel 14: ( )<br />
f x 5 4 −<br />
= −<br />
Zuerst versuchen wir durch eine Abbildungskette das<br />
Schaubild zu bestimmen.<br />
Grundkurve ist:<br />
x<br />
y = 4 .<br />
Gespiegelt an der y-Achse:<br />
x<br />
y 4 −<br />
=<br />
Gespiegelt an der x-Achse:<br />
x<br />
y 4 −<br />
=−<br />
Um 5 in y-Richtung verschoben:<br />
−x<br />
y = − 4 + 5<br />
Funktionseigenschaften:<br />
Definitionsbereich: D = R<br />
Wertebereich: W = ] −∞;5<br />
[<br />
Verhalten im Unendlichen: ( x→∞ −x<br />
)<br />
lim ( 5<br />
x<br />
4− )<br />
Eigenschaften des Schaubilds:<br />
x<br />
lim 5 − 4 = 5<br />
x→−∞ Waagerechte Asymptote <strong>für</strong> x →−∞: y = 5<br />
− =−∞<br />
Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve<br />
mit der x-Achse berechnen. Diese Stelle auf der x-Achse nennt man die Nullstelle:<br />
Bedingung: y = 0<br />
d. h.<br />
Logarithmieren:<br />
−x<br />
5− 4 = 0<br />
x<br />
5 4 −<br />
=<br />
− x<br />
log 4 = log 5<br />
3. Logarithmenregel: −x⋅ log 4 = log 5<br />
log 5<br />
log 4<br />
Durch log 2 dividieren: − xN = ⇒ xN ≈ − 1,16<br />
Schnittpunkt mit der x-Achse: S( − 1,16|0)<br />
.<br />
(Siehe Abbildung).<br />
Trainingsaufgaben 1<br />
Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 14, durch welche<br />
Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind.<br />
Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte <strong>für</strong> das Schaubild.<br />
Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse:<br />
a)<br />
x+ 3<br />
f( x) = 3 − 2<br />
b)<br />
x<br />
f( x) = − 2 + 4<br />
c) ( )<br />
d) 1<br />
x−1 f( x) = ( ) − 2 e)<br />
x<br />
f( x) = − 2,5 + 4 f) ( )<br />
3<br />
x<br />
y 4 −<br />
=<br />
−x<br />
y = − 4 + 5<br />
x<br />
y 4 −<br />
=−<br />
f x 4 −<br />
= −<br />
f x = 12− 3<br />
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x<br />
−x−2 x<br />
y = 4<br />
x<br />
y = −2
18200 <strong>Exponentialfunktionen</strong> Einführung 12<br />
1<br />
Trainingsaufgaben 2<br />
Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu.<br />
( ) =<br />
−x<br />
−<br />
x<br />
f2( x) =− 2 + 3<br />
3 ( )<br />
=−<br />
x+ 2<br />
+ f<br />
− x+ 2<br />
( x) = 3− 3 ( )<br />
f x 3 2<br />
f(x) 3 2<br />
4<br />
K3<br />
5<br />
f x = 2<br />
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−x−2 x−2 f6x = 2 − 2<br />
K2<br />
K1
18200 <strong>Exponentialfunktionen</strong> Einführung 34<br />
§ 6 Aufstellen von Gleichungen aus Punkten<br />
6.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen<br />
Zur Aufstellung der Gleichung einer Exponentialkurve des Typs<br />
Punkte. Hier die beste Methode dazu:<br />
Beispiel 1<br />
Die Kurve mit der Gleichung<br />
Berechne a und q.<br />
x<br />
y = a⋅ q benötigt man zwei<br />
x<br />
y = a⋅ q geht durch die Punkte A( 0|4 ) und B( 4|16 ) .<br />
Lösung<br />
Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung<br />
A( 0|4 ) eingesetzt:<br />
B( 4|16 ) eingesetzt:<br />
Auswertung:<br />
Aus (1) folgt wegen q 0 = 1 sofort a = 4<br />
Setzt man dies in (2) ein, folgt:<br />
4<br />
16 = 4 ⋅ q<br />
4<br />
q = 4<br />
0<br />
4 = a⋅ q<br />
(1)<br />
4<br />
16 = a ⋅ q<br />
(2)<br />
x<br />
y= a⋅ q ein:<br />
2 1<br />
4 4 2 4 2<br />
=± =± =± =± =± !!!<br />
q 4 2 2 2 2<br />
Da man nur positive Zahlen als Basis verwendet, lautet das Ergebnis q ≈ 1,41.<br />
Ergebnis:<br />
Hierzu das Schaubild:<br />
x<br />
y 4 1,41<br />
= ⋅<br />
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A<br />
B
18200 <strong>Exponentialfunktionen</strong> Trainingsaufgaben 42<br />
6.3 Identifikation der Gleichung einer <strong>Exponentialfunktionen</strong> aus<br />
dem Schaubild<br />
Beispiel 1:<br />
Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve<br />
x<br />
y 1,5<br />
= bzw. ( )<br />
f x = 1,5<br />
Ausgehend vom Punkt EO der um 1 über der<br />
waagrechten Asymptote liegt, denkt man sich 3<br />
Pfeile eingezeichnet: Zum Ursprung, 1 nach rechts<br />
und dann hinauf zur Kurve bis E1.<br />
Diese drei Pfeile und der Kurvenbogen EE O 1<br />
Bilden ein „krummliniges Trapez“.<br />
(Trapez – weil zwei Gegenseiten parallel sind.)<br />
Die Bedeutung dieses sogenannten charakteristischen<br />
x<br />
Trapezes liegt darin, dass die Aufwärtsstrecke von der x-Achse bis E1 gerade die Länge hat, welche<br />
1<br />
die Basis angibt: f() 1 = 1,5 = 1,5 .<br />
Daher können wir später bei der Lösung der eigentlichen Aufgabe (die Basis bestimmen) mit diesem<br />
Trapez arbeiten. Zuvor schauen wir es uns noch bei anderen Kurven an.<br />
Beispiel 2<br />
Hier kann es sich nur um die Funktion ( )<br />
f x 4<br />
x<br />
Kurve mit der Gleichung y = 4 handeln,<br />
1<br />
denn der Wert f() 1 = 4 = 4 liefert uns die Basis, und diese<br />
Zahl ist auch die Länge des Pfeils von der x-Achse bis E1.<br />
Beispiel 4<br />
x<br />
= bzw. die<br />
x<br />
Jetzt wurde die Kurve y = 4 samt Trapez an der y-Achse<br />
gespiegelt. Folglich liegt dieses links von der y-Achse und<br />
zwar E1 liebt bei x = -1. Dies macht auch Sinn, denn die<br />
x<br />
Gleichung lautet jetzt y f( x) 4 −<br />
= = . Und um die Basis als<br />
Ergebnis zu bekommen muss man <strong>für</strong> x die Zahl -1 einsetzen:<br />
+ 1<br />
f − 1 = 4 = 4.<br />
( )<br />
Übrigens könnte man das Trapez auch rechts einzeichnen,<br />
dann hätte der Pfeil von x = 1 aufwärts die Länge 1 , was aber<br />
4<br />
1 4 −<br />
= wäre das auch richtig.<br />
schlecht ablesbar ist, und wegen ( ) x x<br />
4<br />
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E1<br />
4<br />
1, 5<br />
EO<br />
EO<br />
4<br />
E1