Analysis mit dem CASIO ClassPad 300PLUS

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 5
2.4 Aufstellen von Kurvengleichungen
Im Zuge des neuen Trends, mit CAS-Rechnern mehr Anwendungsaufgaben rechnen
zu lassen, gewinnen ganzrationale Funktionen höheren Grades an Bedeutung.
Man kann ihre Schaubilder relativ gut an vorgegebene Formen annähern und so eine
ganze Reihe von Anwendungsaufgaben erstellen.
Dabei treten folgende Grundprinzipien auf:
(1) Wenn eine Kurve durch einen bestimmten Punkt gehen soll, sagen wir
A ( a 1|a 2)
, dann muss f( a1) = a2
sein. Eine erste Bedingung für die
gesuchte Funktion.
(2) Die Steigung einer Kurve ist ganz wichtig. Damit es an der Stelle x = b keinen
Knick gibt, muss die Tangentensteigung genau passen, also einen Wert m1
f' b = m .
übernehmen. So kommt man auf Bedingungen wie ( ) 1
(3) Schließlich kann die Krümmung eine wichtige Rolle spielen. Wenn sie genau
passen soll, muss die 2. Ableitungsfunktion f'' noch einen bestimmten Wert
übernehmen. Oft sind es Wendepunkte, die man beachten muss. Dann
f'' c = 0,
wenn c die Wendestelle ist.
benötigt man die Bedingung ( )
ClassPad kann diese Bedingungen problemlos übernehmen und auswerten, so dass
man auch komplizierte Formen jetzt algebraisch in den Griff bekommen kann.
Beispiel 1
Für einen Kinderspielplatz soll eine Rutsche geplant werden, deren Form
etwa dem Verlauf diese Kurven entspricht, die im gestrichelten Rahmen verlaufen.
Die erste Funktion ist ganzrational 3. Grades, die zweite Funktion hat den Grad 4.
Folgende Vorgaben werden gemacht: Die Höhe der Rutsche soll 4 m sein,
das Fußende soll 5 m weiter außen liegen als der Startplatz.
Wir wollen beide Funktionsgleichungen aufstellen und dann weiter untersuchen.
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1. Fall: Ansatz: f ( x) = ax + bx + cx + d
Die gezeigten Schaubilder geben nur ungefähr die Form an. Wir verwenden jetzt
eine Lage, in der das Ende der Rutsche, also der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt.
Dann erhalten wir folgende Koordinaten:
Hochpunkt H0|4 ( ) und Tiefpunkt T( 5|0 ) .
Daraus ergeben sich diese 4 Bedingungen:
DEMOSEITEN