Analysis mit dem CASIO ClassPad 300PLUS

Arbeitsmanuskript
Dieser Text ist noch in
Entwicklung und kann
noch deutlich verändert
werden.
Analysis
mit dem
CASIO ClassPad 300PLUS
Teil 1:
Ganzrationale Funktionen
Demoseiten aus der CD fürs Internet
Datei Nr. 49901
Friedrich W. Buckel
Stand: 12. Dezember 2006
DEMOSEITEN
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de

Inhalt
1 Einführungskurs 1
2 Ganzrationale Funktionen 9
2.1 Parabelfunktionen 9
2.2 Funktionen 3. Grades 15
2.3 Funktionen 4. Grades 26
2.4 Aufstellen von Funktionen 30
2.4 Funktionen 5. Grades (offen)
2.5 Funktionen 6. Grades
30
Vorbemerkung
Dieser Lehrgang wird ziemlich frei entwickelt und orientiert sich zunächst an
Beispielen, die mir beim Suchen in die Hände fallen.
Abschließend wird daher die Struktur noch verändert und auch ein ausführlicher
Index angegliedert, so dass man nach Befehlen und Begriffen suchen kann.
Der Kurs wird sehr weit geführt. Es sind viele Texte zu erwarten.
DEMOSEITEN

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 1
2.3 Ganzrationale Funktionen 4 Grades
Beispiel 5
Von einer Kurve, die zu
einer ganzrationalen Funktion
4. Grades gehört, ist die
Abbildung bekannt und man
weiß, dass die rechte
Nullstelle bei 12 liegt.
Ermittele die Gleichung
der Funktion.
Lösung
Das Schaubild der Funktion ist symmetrisch zur
y-Achse, also kommen nur gerade Exponenten vor.
Daher definieren wir die Funktion durch
4 2
f ( x) = ax + bx + c und geben folgende
5
Punkte vor: N( 12 |0 ) , A( 2|2 ) und B0|4,5 ( )
Den Rest erledigt ClassPad:
Ergebnis: 5
Zusatzaufgabe:
f(x) = x − x +
1 4 3 2 9
32 4 2
Wir wollen noch die beiden Wendepunkte graphisch
ermitteln: (Analysis – Graphische Lösung)
Wir erhalten W1,2 ( ± 2|2)
Jetzt wollen wir herausfinden,
wo die Tangente i linken Wendepunkt die Kurve noch
einmal schneidet!
Über Analysis – Skizze zeichnen wir die Tangente,
wozu wir den Berührpunkt nach x = -2 steuern müssen.
Nachdem sie gezeichnet ist, können wir ihre Gleichung
im Kasten ablesen: Wir runden auf: y= 2x+ 6
Wir müssen dann die Abbildung so verschieben, dass
der Schnittpunkt ins Bild kommt. Dann folgt
Analysis – Graphische Lösung - Schnittpunkt
und wir lesen ab: S6|18. ( )
DEMOSEITEN
B
A
N

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 2
f(x) = x − x + x − 2x
Beispiel 6: 1 4 3 3 2
4 2
a) Erstelle ein Schaubild der Funktion.
Bestimme ihren Wertebereich und die Nullstellen
b) Erstelle eine Wertetafel für die Funktion im Intervall 2,5 bis 3,5 mit der
Schrittweite 0,1.
c) Wo nimmt diese Funktion Werte an, die größer als 1000 sind ?
d) Die Normalen in den Nullstellen bilden zusammen mit der x-Achse ein Dreieck.
ermittle dessen Inhalt.
Lösung
a)
Als Nullstellen erhalten wir exakt 0 und näherungsweise
2,88812394.
Für den Wertebereich benötigt man das absolute Minimum
und das absolute Maximum. Dazu gibt es im Menü
Aktion – Berechnung die Befehle fMin und fMax .
Man erkennt an der Ausgabe:
Der Minimalwert ist -2, er liegt bei x = 2. Dort hat die
Kurve auch ihren Tiefpunkt.
Der Maximalwert ist Unendlich, er tritt zweimal auf:
für x →±∞. Es ist nicht zulässig, die Schreibweise
von ClassPad zu übernehmen und x =∞ zu schreiben.
Ergebnis: Die Wertmenge ist = [ 2; ∞[
DEMOSEITEN
W .

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 3
b) Zur Erstellung der Wertetafel benötigen wir das Hauptmenü und dort das
Untermenü Statistik.
Gemäß unserer Aufgaben tragen wir in die 1. Spalte (Liste 1) die Zahlen 2.5
2.6 usw. bis 3.5 ein (Dezimalpunkte verwenden !).
Dann öffnen wir das Hauptmenü Main, klicken dort auf das Icon für die
Funktionenliste und haben das 2. Bild vor Augen. Nun aktivieren wir das
Listen-Icon und vergrößern es mit Resize.
c) Wo nimmt diese Funktion Werte an, die größer als 1000 sind ?
Für diese Frage kehren wir ins Hauptmenü zurück
und übergeben ClassPad diese Ungleichung:
Solve( f(x)>1000
Zur Überraschung gibt er sie uns in ausführlicher
Form zurück – ungelöst.
Also lassen wir die Gleichung lösen:
Solve( f(x) = 1000
Wir erhalten x =− 6,939... und x = 8,970... .
Wir müssen nun der Anschauung entnehmen,
dass für x < - 6,9394 und für x > 8,971 gilt f(x)>1000.
DEMOSEITEN
Da es offenbar keine weiteren Nullstellen gibt, ist es auch nicht möglich, dass
das Schaubild unserer Funktion im linken Berech oder im rechten Bereich
nochmals unter den Wert 1000 absinkt.

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 4
d) Die Normalen in den Nullstellen bilden zusammen mit der x-Achse ein Dreieck.
ermittle dessen Inhalt.
Wir rufen zuerst die Funktionenliste auf und lassen
nochmals das Schaubild zeichnen. Dieses sollte man
noch zweimal vergrößern und dann durch Anklicken
des rechten Dreiecks auf der x-Achse in die Bildmitte
rücken.
Dann rufen wir über das Menü Analysis – Skizze
die Normale ab. Wir bewegen den blinkenden Cursor
zuerst zur linken Nullstelle 0 und geben EXE ein.
Dann bewegen wir den Cursor mit der Cursortaste
nach rechts und versuchen die rechte Nullstelle zu
erreichen, was nicht klappt. Daher lassen wir uns die
Umgebung der rechten Nullstelle vergrößern.
Dazu lassen wir uns zunächst den rechten Teil der
Iconleiste anzeigen (rechtes Dreieck) und klicken
das Lupen-Icon an.
Jetzt zeichnen wir ein kleines Rechteck um die
Nullstelle und erhalten einen Bildausschnitt. Dies
kann man mehrfach wiederholen und dann die
Normale einzeichnen lassen. Wie man sieht, kommt
man der Nullstelle immer näher.
2.8811564 | − 0.0004693
erreicht, was sich weiter verbessern ließe.
(Ich habe rechts den Punkt ( )
Ich lasse nun die Abbildung neu zeichnen
(Zoom – Quick-Initialisierung) und vergrößere
noch zweimal.
Zur Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks
sollt man zuerst den Normalenschnittpunkt ermitteln.
Er liegt bei 0,7518671.
Dann benötigt man den Befehl ∫ dx aus dem Menü
Analysis – Graphische Lösung. Man muss als erstes
den blickenden Cursor auf die durch den Ursprung
gehende Normale setzen, dann wird diese Normale
mit EXE ausgewählt. Den dann erscheinenden
Cursorpunkt bewegt man entlang der Normalen zum
Ursprung (linke Ecke des Dreiecks) und nach EXE
weiter zum Schnittpunkte der Normalen (obere Ecke
des Dreiecks. Wir erhalten 0,137 als Näherungswert für
diese Fläche. Dasselbe macht man mit der rechten
Dreiecks“hälfte“ und ermittelt 0,404.
DEMOSEITEN
Ergebnis: Dreiecksinhalt 0,137 + 0,404 = 0,541 FE.

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 5
2.4 Aufstellen von Kurvengleichungen
Im Zuge des neuen Trends, mit CAS-Rechnern mehr Anwendungsaufgaben rechnen
zu lassen, gewinnen ganzrationale Funktionen höheren Grades an Bedeutung.
Man kann ihre Schaubilder relativ gut an vorgegebene Formen annähern und so eine
ganze Reihe von Anwendungsaufgaben erstellen.
Dabei treten folgende Grundprinzipien auf:
(1) Wenn eine Kurve durch einen bestimmten Punkt gehen soll, sagen wir
A ( a 1|a 2)
, dann muss f( a1) = a2
sein. Eine erste Bedingung für die
gesuchte Funktion.
(2) Die Steigung einer Kurve ist ganz wichtig. Damit es an der Stelle x = b keinen
Knick gibt, muss die Tangentensteigung genau passen, also einen Wert m1
f' b = m .
übernehmen. So kommt man auf Bedingungen wie ( ) 1
(3) Schließlich kann die Krümmung eine wichtige Rolle spielen. Wenn sie genau
passen soll, muss die 2. Ableitungsfunktion f'' noch einen bestimmten Wert
übernehmen. Oft sind es Wendepunkte, die man beachten muss. Dann
f'' c = 0,
wenn c die Wendestelle ist.
benötigt man die Bedingung ( )
ClassPad kann diese Bedingungen problemlos übernehmen und auswerten, so dass
man auch komplizierte Formen jetzt algebraisch in den Griff bekommen kann.
Beispiel 1
Für einen Kinderspielplatz soll eine Rutsche geplant werden, deren Form
etwa dem Verlauf diese Kurven entspricht, die im gestrichelten Rahmen verlaufen.
Die erste Funktion ist ganzrational 3. Grades, die zweite Funktion hat den Grad 4.
Folgende Vorgaben werden gemacht: Die Höhe der Rutsche soll 4 m sein,
das Fußende soll 5 m weiter außen liegen als der Startplatz.
Wir wollen beide Funktionsgleichungen aufstellen und dann weiter untersuchen.
3 2
1. Fall: Ansatz: f ( x) = ax + bx + cx + d
Die gezeigten Schaubilder geben nur ungefähr die Form an. Wir verwenden jetzt
eine Lage, in der das Ende der Rutsche, also der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt.
Dann erhalten wir folgende Koordinaten:
Hochpunkt H0|4 ( ) und Tiefpunkt T( 5|0 ) .
Daraus ergeben sich diese 4 Bedingungen:
DEMOSEITEN

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 6
f( 0) = 4 (1)
f( 5) = 0 (2)
f'( 0) = 0 (3)
f'( 5) = 0 (4)
Die erste kann man sofort verwenden, denn f( 0) = d führt zu d = 4.
Genauso kann man mit (3) umgehen.
3 2
Aus f ( x) = ax + bx + cx + d folgt
f'( 0) = c und dies führt zu c = 0.
( ) 2
Unsere Funktionsvorgabe lautet also nur noch:
3 2
f( x) = ax + bx + 4
Jetzt lassen wir ClassPad arbeiten:
Wir definieren f wie eben notiert
f' x = 3ax + 2bx+ c und damit wird
Dann geben wir die Gleichungsbedingungen (2) und (4)
ein und lassen das System lösen:
8 3 12 2
Ergebnis: ( )
f x = x − x + 4
125 25
Die graphische Darstellung liefert uns das „ganze“
Schaubild. Wir erkennen im Intervall [ 0;5 ] die gewollte
Rutschbahn. Es gelingt, mit geeigneter Vergrößerung
(beim 2. mal Faktor 1,5 verwenden) dies so darzustellen.
4 3 2
2. Fall: Ansatz: g( x) = ax + bx + cx + dx + e
Dieser verlangt eigentlich 5 Bedingungen. Wir haben jedoch
nur (1) bis (4) zur Verfügung.
Nun sollte man aber sehen, dass hier eine zur y-Achse
symmetrische Kurve vorliegt. Daher treten keine ungeraden
Exponenten auf. Die Funktion hat daher folgende Gleichung:
4 2
g( x) = ax + cx + e
Damit taucht ein neues Problem auf: Für drei Koeffizienten
liegen 4 Bedingungen vor, also eine zuviel. Dieses klären wir
schnell auf: Wegen der Achsensymmetrie liegt auf der
y-Achse ein Extrempunkt, d.h. f'( 0) = 0 (3)
ist automatisch erfüllt und stellt keine neue Bedingung dar.
Bevor wir nun ClassPad arbeiten lassen, wenden wir (1) an
und erhalten e = 4.
Nun lassen wir ClassPad wieder arbeiten:
g(x) = 4 4 8 x −
2
x + 4
625 25
DEMOSEITEN

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 7
Auch hier eine Vergrößerung:
Die Abbildung zeigt beide Schaubilder. Die oben liegende
gehört zur Funktion 4. Grades.
Die Entscheidung, welche Funktion genommen werden soll,
wird unter diesem Gesichtspunkt getroffen, dass die Kurve
am wenigsten Gefälle haben soll.
Darunter versteht man die Steigung des Schaubildes.
Und diese wird berechnet durch die 1. Ableitungsfunktion.
Also müssen wir nach dem Minimum der Ableitungs-
funktionen fragen. Dazu benötigt man die zweiten
Ableitungen. (Minimum weil die Kurve fällt !)
Theorie:
Das Maximum der Funktion f' gewinnt man, indem man die Nullstelle ihrer
f'' x = 0.
(Das ist die Wendepunktsberechnung!)
Ableitungsfunktion berechnet: ( )
Die Kontrolle für ein Minimum muss dann f'''( x) > 0 sein.
Lassen wir ClassPad arbeiten.
Das linke Fenster zeigt die Berechnung für f, rechts für g.
Das Minimum der Steigung liegt jeweils im Wendepunkt. Und dieser liegt beim
Schaubild von f bei 5
5
, während g zu einen Wendepunkt bei 3 ≈ 2,89 führt.
2 3
Die Kontrolle (Wert der 3. Ableitung) ist jeweils positiv, wie es bei einem Minimum
sein muss. Der minimale Steigungswert ist dann
( )
=− =− bzw. ( )
f' 1,2
5 6
2 5
DEMOSEITEN
g' 3 =− 3 ≈− 1,23 .
5 32
3 45
Wir stellen also fest, dass die Rutsche, welche durch g festgelegt wird etwas
steiler wird.

42901 Funktionen 1 mit ClassPad 300 8
Zusatzaufgabe:
Wie lang wird die Rutschbahn in beiden Versionen ?
Lösung
Die Theorie (siehe Datei 48130) liefert für die Bogenlänge einer Kurve die Formel:
Wir müssen hier also berechnen:
3
5
a
b
( ) = ∫ + ( )
2
∫ ( ) und 4 = ∫ + ( )
L = 1+ f' x dx
0
5
0
L b 1 f' x dx
L 1 g' x dx.
Mit ClassPad ist das leicht zu machen, ohne ihn hätten wir diverse Probleme !
Wenn man es ganz schlau machen will, nämlich so:
5
2
L3 = 1+ diff(f ( x ) ) dx
0
∫ erhält man eine Fehlermeldung.
Zwar stellt diff(f(x) die erste Ableitungsfunktion dar, aber
so verschachtelt liebt es ClassPad doch nicht. Daher sollte
man die ersten Ableitungsfunktionen erst mal definieren
wie es rechts geschehen ist.
Dann kann man die Integralformeln eingeben.
Dazu verwendet man das 2D-Menü und zwar den zunächst
unsichtbaren unteren Teil. Die Wurzel steht dann wieder
im oberen Teil.
Die Ergebnisse sind 6,58 (m) für die Funktion 3. Grades
und 6,59 (m) für die Funktion 4. Grades.
a
2
DEMOSEITEN
2