Lineare Gleichungssysteme - Internetbibliothek für Schulmathematik

Teil 1
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
mit Textaufgaben
und
3 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Datei Nr. 12180
Friedrich Buckel
Stand 11. April 2011
Lineare
Gleichungssysteme
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12180 Gleichungssysteme 2
Vorwort
Das ist ein völlig neuer Text – doppelt so umfangreich wie der alte, didaktisch überarbeitet und ergänzt
durch sehr viele Textaufgaben und andere Aufgaben.
Ein Teil der Textaufgaben sind sogenannte Bewegungsaufgaben. Um die Grundkenntnisse dazu
nicht auch noch in diesen Text hineinstecken zu müssen, gibt es ab sofort einen eigenen Text mit der
Nummer 12185, den ich Bewegungs-Algebra genannt habe.
In diesem Text findet man am Anfang auf 10 Seiten eine große Sammlung an Aufgaben. Deren
Lösungen sind dann entweder die Beispiele des folgenden Textes, oder sie stehen am Textende –
oder im Text 12185. Die Fundstelle steht jeweils an der Aufgabe.
Inhalt
1 Aufgabensammlung 3
Textaufgaben 6
Aufgaben mit 3 Gleichungen 12
2 Grundwissen zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 13
2.1 Was muss man über eine Gleichung mit einer Unbekannten wissen 13
2.2 Was muss man über eine Gleichung mit zwei Unbekannten wissen 14
2.3 Deutung zur Lösung eines Systems aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 15
3 Lösungsmethoden zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 16
3.1 Das Gleichsetzungsverfahren 16
3.2 Das Additionsverfahren 17
3.3 Das Subtraktionsverfahren 18
3.4 Das Einsetzungsverfahren 19
3.4 Das Determinantenverfahren 20
4 Sonderfälle bei Gleichungssystemen 21
1. Sonderfall: Ein Gleichungssystem ohne Lösungen 21
2. Sonderfall: Ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen 21
5 Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten 22
6 Textaufgaben 25
6.1 Zahlenrätsel 25
6.2 Wer ist wie alt? 30
6.3 Geometrische Berechnungen 32
6.4 Mischungsaufgaben 35
6.5 Aufgaben aus der Wirtschaft 38
6.6 Aufgaben, die auf drei Gleichungen führen 41
6.7 Bewegungsaufgaben (Verweis auf Text 12185) 44
Lösungen der restlichen Aufgaben 45
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12180 Gleichungssysteme 3
1 Aufgabensammlung
Zusammenstellung aller Aufgaben, die in diesem Text teilweise sehr ausführlich behandelt werden.
Aufgabe 1
Zeichne die Geraden g und h in ein gemeinsames Achsenkreuz. Lies die Koordinaten des
Schnittpunktes ab und berechne diese auch durch Lösen eines Gleichungssystems.
a) g: y = 2x + 4 und h: y = − x+ 1
Lösung Seite 15 / Beispiel 1
b) g: y = 3x − 4 und h: y = x+ 1
Lösung: Seite 16 / Beispiel 2
1
c) g: y = x+ 2 und h: y = − 2x + 4,5 Lösung: Seite 16 / Beispiel 3
2
2 3
d) g: y = x+
und h: y = − x+ 5
Lösung: Seite 16 / Beispiel 4
5 2
Trainingsaufgabe 2
a) g: y = − 2x + 4 und h: y = 1, 5 x − 1, 6 Lösung Seite 46
2 1
5
b) g: y = − x+
und h: y = 2x − Lösung: Seite 46
5 2
Aufgabe 3 Bestimme die Lösungsmenge durch das Additionsverfahren:
3x + 4y = 4
a) { 5x − 4y = 4}
b)
c)
d)
e)
⎧⎪3x + 4y = 4⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 6x − 2y = 7⎪⎭
⎧⎪3x + 4y = 18⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 5x − 3y = 1 ⎪⎭
3x 4y 32
9x 8y 72
2x 6y 3
3x 4y 11
2
Lösung Seite 17 / B5
Lösung Seite 17 / B6
Lösung Seite 17 / B7
Lösung Seite 47
Lösung Seite 47
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12180 Gleichungssysteme 4
Aufgabe 4 Bestimme die Lösungsmenge durch das Subtraktionsverfahren:
3x + 4y = 4
a) { 5x + 4y = 1}
3x + 2y = 12
b) { − 5x + 4y = 2}
4x 7y 15
c)
3x 5y 8
Lösung Seite 18 / B8
Lösung Seite 18 / B9
Lösung Seite 18 / B10
Aufgabe 5 Bestimme die Lösungsmenge durch das Einsetzungsverfahren:
4x 2y 3
a) y x3
13x 2y12 b) x 16y 9
5x + 2y = 18
c) { 2y = 24 − 3x}
x + 5y + 13 = 0
d) { 2x − 7y = 25 }
Lösung Seite 19 / B11
Lösung Seite 19 / B12
Lösung Seite 47
Lösung Seite 47
Aufgabe 6 Bestimme die Lösungsmenge durch das Determinantenverfahren:
3x12x2 7
a)
5x 4x 1
1 2
3x 2y 5
b)
Aufgabe 7
2x 5y13 Lösung Seite 20 / B13
Lösung Seite 20 / B14
Determinanten werden ausführlich im Text 61012 besprochen.
3x2y 4
a)
6x 4y 1
12x 8y 28
b)
15x 10y 35
Lösung Seite 21 / B15
Lösung Seite 21 / B16
Aufgabe 8 Lösung Seite 47
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⎧ax 1 + by 1 = c1
⎫
Gegeben sei ein Gleichungssystem ⎨
ax 2 by 2 c
⎬
⎩ + = 2⎭
.
Erkläre, welche Möglichkeiten es für die zugehörige Lösungsmenge geben kann.
Begründe dies damit, dass jede dieser beiden Gleichungen eine Gerade darstellt.
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12180 Gleichungssysteme 5
Trainingsaufgabe 9 Bestimme die Lösungsmengen: Lösungen Seite 48 bis 51
3x + 2y = 12
a) { − 5x + 4y = 2}
6x + 5y = 12
d) { 3x + 4y = 2}
6x + 11y = 4
b) { 2x + 7y = 8}
3x 2y 5
e)
2x 5y13 3x 2x 7
1 2
g) 5x 4x 1
h) 4x 7y 15
1 2
42x 30y 12
j)
28x 20y 13
3x 5y 8
3x 5y 11
k)
7x 3y 3
5x + 2y = 1
c) { 7x + 3y = 2}
14x 6y 8
f)
21x 9y12 x14x2 13
i)
2x 3x11 1 2
8x 12y 11
l)
6x 5y 3
Aufgabe 10 Zeige, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Berechne zwei Lösungspaare:
12x 8y 28
a)
15x 10y 35
35x 14x 84
1 2
b)
30x 12x 72
1 2
Lösungen Seite 51
18x 15y 12
c)
30x 25y 20
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12180 Gleichungssysteme 6
Textaufgaben
Aufgabe 11 Zahlenrätsel Lösungen Seite 25 ff / B1 bis B10
a) Addiert man zum Dreifachen einer Zahl eine zweite Zahl, erhält man 22. Subtrahiert man aber
vom 12-fachen der ersten Zahl das 5-fache der zweiten, dann erhält man 25. Wie heißen die
beiden Zahlen?
b) Die Einerziffer einer zweistelligen Zahl ist dreimal so groß wie ihre Zehnerziffer.
Die Quersumme der Zahl ist 12. Wie lautet diese Zahl?
c) Von zwei ganzen Zahlen ist die doppelte Summe und die 9-fache Differenz gleich groß und
zwar 36. Um welche Zahlen handelt es sich?
d) Vermehrt man die erste von zwei Zahlen um 7, so erhält man das Doppelte der zweiten Zahl.
Vermindert man die zweite Zahl um 5, so erhält man den dritten Teil der ersten Zahl.
e) Wie heißen zwei Zahlen, deren Summe 25 und deren Quotient 4 ist?
f) Ein Zahlenpaar hat die Eigenschaft, dass ein Drittel der ersten Zahl, vermehrt um ein Fünftel der
zweiten Zahl 5 ergibt, während ein Sechstel der ersten plus ein Drittel der zweiten Zahl 6 ergibt.
g) Die Summe aus Zähler und Nenner eines Bruches ist 9. Verkleinert man Zähler und Nenner
dieses Bruches um 3, dann entsteht der Bruch 1 . Wie heißt der Bruch?
h) Vertauscht man die Ziffern einer zweistelligen Zahl, dann bekommt man eine Zahl, die um 27
größer ist. Die Summe der beiden Zahlen ist 121. Wie heißt die Zahl?
i) Die Quersumme einer Zahl ist 12. Vertauscht man die Ziffern dieser Zahl und addiert dann
beide Zahlen, das Elffache der ursprünglichen Quersumme.
j) Verdreifacht man die Zehnerziffer und nimmt den vierten Teil der Einerziffer, dann erhält man
dieselbe Zahl 62, als wenn man von der Einerziffer 2 subtrahiert und dann die Ziffern vertauscht.
Aufgabe 12 Wert ist wie alt? Lösungen ab Seite 30 / B11 bis B14
a) Großvater und Enkel sind zusammen 78 Jahre alt. Vor 4 Jahren war der Opa sechsmal so alt
wie sein Enkel. Wie alt sind sie heute?
b) Ein Vater war vor 5 Jahren viermal so alt wie seine Tochter. In 7 Jahren wird er nur noch
doppelt so alt sein wie sie. Wie alt sind sie heute?
c) Von zwei Brüdern ist der in zwei Jahren eineinhalbmal so alt wie der andere. Vor vier
Jahren war er doppelt so alt wie er. Wie alt sind sie heute?
d) Franz ist heute 28 Jahre alt. Dies ist doppelt so alt wie Gerhard war, also Franz so alt war,
wie Gerhard heute ist. Wie alt ist Gerhard?
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2
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12180 Gleichungssysteme 7
Aufgabe 13 Geometrische Berechnungen Lösungen ab Seite 32 / B15 bis B20
a) In einem Rechteck ist eine Seite um 5 cm länger als die andere. Der Umfang des Rechtecks ist
um 2 cm größer als das Fünffache der kürzeren Seite. Berechne die Seitenlängen über ein
Gleichungssystem.
b) Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Vergrößert man die eine Seite um 2 cm und die andere
um 3 cm, dann wird der Flächeninhalt um 30 cm 2 größer.
c) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel um 12 O größer als der andere.
Wie groß sind diese Winkel?
d) Ein Draht der Länge 76 cm soll zu einem Rechteck zusammen gebogen werden, bei dem
die eine Seite um 10 cm größer ist als die andere. Wie lange werden dann die Rechteckseiten?
e) Die Mittelparallele eines Trapezes ist 12 cm lang. Die eine der parallelen Seiten ist um
5 cm größer als die andere. Wie lang sind die Parallelen?
f) Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist um 1 cm größer als die andere.
Verkürzt man beide Katheten um 2 cm, dann nimmt der Dreiecksinhalt um 9 cm 2 ab.
Aufgabe 14 Mischungsaufgaben Lösungen ab Seite 36 / B21 bis B23
a) Ein Goldschmied will aus zwei Silberlegierungen vom Feingehalt 600 und vom Feingehalt 800
einen Ring vom Feingehalt 750 herstellen. Er benötigt davon 12 g. Wie viel Silber muss er von
seinen vorhandenen Sorten verwenden?
b) Zu 200 kg Messing 72, das zu 72% aus Kupfer und zu 28% aus Zink besteht, soll durch Beigabe
von Zink die Messingsorte Ms60 entstehen, deren Kupferanteil nur noch 60 % beträgt. Wie viel
Zink wird benötigt?
c) Wie viel Kupfer und Silber braucht man zu 5 kg einer Legierung, welche die Dichte 10 hat. 3
Tabellen kann man entnehmen, dass Kupfer die Dichte 8,9 hat und Silber 10,5 .
3
3
Aufgabe 15 Aufgaben aus der Wirtschaft Lösungen ab Seite 38 / B24 bis B26
a) Klaus hat bei der Bank A eine Geldanlage von 4280 € und bei Bank B 2300 €.
Am Jahresende erhält er zusammen 143,10 € an Zinsen. Am Jahresende stockt er sein
Guthaben bei A auf 5000 € auf, und bei B auf 3000 €. Das bringt ihm am folgenden Jahresende
175 € Zinsen. Wie hoch waren die Zinssätze bei diesen Banken?
b) Herr Plan hat für seinen Neubau einen Bausparvertrag abgeschlossen und einen Kredit
bei der KVB aufgenommen. Der Jahreszins beträgt bei der Bausparkasse 4,5 % und bei der
Bank 6,5%. Seine Jahresbelastung beträgt alleine durch den Zins 6850 €.
Weil er jedoch befürchtet, dass der Bankzins auf 7,5% steigen könnte, überlegt er bei der
Bausparkasse einen Tarif zu nehmen, bei dem er durch höhere Tilgungsraten einen Zinssatz
von nur 4% bekommen würde. Die Jahres-Zinsbelastung würde dann um 100 € ansteigen.
Welche Geldbeträge hat er als Darlehen abzuzahlen?
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g
cm
g
cm
g
cm
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12180 Gleichungssysteme 8
c) Herr Plan hat für seinen Neubau einen Bausparvertrag in Höhe von 80.000 € abgeschlossen
und einen Kredit bei der KVB in Höhe von 50.000 € aufgenommen. Seine Jahresbelastung
beträgt alleine durch den Zins 6850 €.
Nun gewinnt Herr Plan im Lotto 30.000 €. Damit reduziert er das das Darlehen der Bausparkasse
um 10.000 € und das der KVB um 20.000 €. (Wir nehmen der Einfachheit an, dass Herr
Plan inzwischen 1 Jahr lang nichts an den Darlehen zurückgezahlt hat.)
Im folgenden Jahr stellt er fest, dass er nur noch 5100 € Zinsen bezahlt hat.
Welche Zinssätze haben beide Kreditinstitute in diesen zwei Jahren zugrunde gelegt?
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12180 Gleichungssysteme 9
Bewegungsaufgaben aus dem Text 12185
Aufgabe 16 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 9 – B2
Zwei Autos starten zur selben Zeit an zwei verschiedenen Stellen einer Autobahn.
Ihr Abstand beträgt im Moment des Startens genau 10 km. Wir nehmen für unsere Aufgabe an,
dass das Auto A mit der konstanten Geschwindigkeit
Auto B mit
km
B h
v = 130 fährt, und dass vor ihm das
km
A h
v = 90 startet. Beide fahren in die gleiche Richtung.
a) Stelle die Bewegungsgleichungen für beide Fahrzeuge auf.
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 10 min und t2 = 20 min befinden.
c) Wann hat B das Auto A eingeholt?
Aufgabe 17 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 10 – B3
Zwei Autos starten zur selben Zeit an zwei verschiedenen Stellen einer Autobahn.
Ihr Abstand beträgt im Moment des Startens genau 70 km. Wir nehmen für unsere Aufgabe an,
dass das Auto A mit der konstanten Geschwindigkeit
Auto B mit
v = 90 startet. Beide fahren aufeinander zu.
km
B h
v = 130 fährt, und dass vor ihm das
km
A h
a) Stelle die Bewegungsgleichungen für beide Fahrzeuge auf.
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 10 min und t2 = 30 min befinden.
c) Wann begegnen sich die beiden Autos?
Aufgabe 18 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 11 – B4
Zwei Autos starten im Abstand von 10 Minuten an derselben Stelle.
A fahre mit der konstanten Geschwindigkeit
Beide fahren in die gleiche Richtung.
v 90
a) Stelle die Bewegungsgleichungen für beide Fahrzeuge auf.
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 20 min befinden.
c) Wann hat B das Auto A eingeholt?
km
km
A = los und das Auto B mit v h
B 120 h
= startet.
Aufgabe 19 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 13 – B5
Das Auto A fahre mit der konstanten Geschwindigkeit
Das Auto B fährt mit
km
B h
v = 90 in U-Stadt los, Richtung V-Stadt.
km
A h
v = 120 von V-Stadt nach U-Stadt, fährt aber 15 Minuten später ab als A.
Die Entfernung von U-Stadt und V-Stadt beträgt 70 km.
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a) Stelle die Bewegungsgleichungen für beide Fahrzeuge auf.
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 30 min befinden.
c) Wann und wo begegnen sich die Autos?
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12180 Gleichungssysteme 10
Aufgabe 20 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 17 – A1
km
a) Der Zug F1 startet in Adorf um 12 Uhr und fährt mit der Durchschnittsgeschwindigkeit v = 80 .
Er fährt bis Bdorf, das 60 km entfernt ist. Der Zug F2 startet in Adorf um 12.30 Uhr und fährt mit
v = 120 auch in Richtung Bdorf.
km
h
a) Holt F2 den Zug F1 bis Bdorf ein?
b) Wo sind die beiden Züge nach 2 Stunden?
c) Wann hat F2 den F1 eingeholt?
Aufgabe 21 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 18 – A2
Klaus und Simone wollen gemeinsam ins Kino gehen. Sie wohnen 24 km voneinander entfernt.
das Kino ist 10 km von Simones Wohnhaus entfernt. Klaus fährt mit einer Durchschnittsgeschwindig-
km
km
keit von 18 , Simone mit 15 . Sie fahren beide um 14.20 Uhr ab.
h
a) Wann treffen sie am Kino ein?
h
b) Wann und wo würden sie sich begegnen, wenn sie nicht am Kino anhalten, sondern sich zuerst
treffen wollen?
Aufgabe 22 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 19 – A3
Fritz besitzt eine Autorennbahn mit folgenden Maßen:
Die beiden Halbkreise haben einen Radius von 89 cm
und die beiden geraden Teile haben die Länge von je 1m.
m
a) Wie lange braucht ein Spielauto, das mit v = 0,8
die Bahn durchfahren kann, für einen Umlauf
(von A nach A)?
A s
b) Klaus lässt gleichzeitig in A und B zwei Fahrzeuge starten, von denen
m
das Auto in A mit v 0,8
v = 1, 0 .
m
A = fährt, das andere mit s
b s
Nach welcher Zeit holt B A ein. Wie viele Umläufe hat dann A gemacht?
c) Berechne denselben Vorgang wie in b), nur dass B mit 2 s Verzögerung startet.
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h

12180 Gleichungssysteme 11
Aufgabe 23 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 20 – A4
Der Zug „Silberstreif“ fährt die Strecke um 8.20 Uhr in A-Stadt ab nach B-dorf mit der (als
konstant angenommenen) Geschwindigkeit
km
1 h
v 120 .
Der Zug „Himmelsblitz“ fährt 30 Minuten später in B-Dorf in Richtung A-Stadt mit der ebenfalls
konstanten Geschwindigkeit
v 90 ab. Die Entfernung beträgt AB = 150 km.
2
km
h
a) Stelle die Bewegungsgleichungen für beide auf (Ort s in Abhängigkeit von der Zeit t).
Wähle ein günstiges Koordinatensystem. Stelle beide Kurven graphisch dar.
b) Wo begegnen sich die beiden Züge?
c) Wann kommen die beiden Züge an ihrem Zielort an?
Aufgabe 24 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 22 – A5
Im Wüstenstaat Olmat wird eine Hochgeschwindigkeitsstrecke geplant, welche die beiden
400 km entfernten Städte Magbad und Kundad verbinden soll.
In der ersten Bauphase soll nur eine eingleisige Strecke verwendet werden, allerdings mit
Ausweichstationen um entgegenkommende Züge passieren lassen zu können.
Die Züge sollen mit einer Durchschnittgeschwindigkeit von 240 km
h fahren.
Wo müssen Ausweichstationen eingeplant werden, wenn zu jeder vollen Stunde in beiden
Städten ein Zug abfahren soll. Wie lange hat ein durchgefahrener Zug Aufenthalt bis zur
Rückfahrt und wie viele Züge werden mindestens benötigt?
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12180 Gleichungssysteme 12
Aufgaben mit 3 Gleichungen
Aufgabe 25 Lösungen auf den Seiten 22 bis 24
a)
c)
3x2y11
4x 5y 30
7x 6y 23
2x y 7
x 3y 6
4x2y 3
b)
d)
2x y 7
x 3y 6
xy 1
3
2x y
2
x 3y 6
4x2y 3
Aufgabe 26 Löse diese Systeme: Lösung auf Seite 52.
a)
⎧2x+ 5y = −29
⎪
⎫
⎪
⎨3x− 2y = 23 ⎬
⎪⎩5x− 11y = 92 ⎪⎭
b)
⎧3x + 5y = −5
⎪
⎫
⎪
⎨− 2x + y = 12⎬
⎪⎩5x − 7y = 13⎪⎭
Aufgabe 27 Lösung auf Seite 41 B 52
Von zwei Zahlen weiß man, dass
(1) das Dreifache der ersten plus das Vierfache der zweiten Zahl 72 ergibt,
(2) ihre Summe siebenmal so groß ist wie ihre Differenz,
(3) die Differenz aus dem Zehnfachen der ersten und dem Zwölffachen der zweiten Zahl
so groß wie die erste Zahl ist.
Gibt es Zahlen, die dies alles erfüllen?
Aufgabe 28 Bewegungsaufgabe Lösung auf Seite 42 / B27
In A und B starten gleichzeitig zwei Züge auf einer zweigleisigen Strecke.
Zug 1 fährt von A nach B, Zug 2 von B nach A. A und B liegen 150 km auseinander.
An Zwischenstationen wird nicht gehalten. Über diese Fahrten weiß man folgendes:
(1) Sie begegnen sich nach 50 Minuten.
(2) Nach einer halben Stunde Fahrzeit sind sie noch 60 km voneinander entfernt.
(3) Zug 2 befindet sich nach 45 Minuten 1,25 mal so weit von A weg ist wie Zug 1.
Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten der Züge.
Aufgabe 29 Lösung auf Seite 43 / B28
Franz behauptet, er habe ein Rechteck gezeichnet, bei dem die Differenz der Seiten 15 cm
beträgt, ihre Summe 35 cm und sein Flächeninhalt 275 cm 2 .
Was sagst du dazu?
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12180 Gleichungssysteme 13
2 Grundwissen zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
2.1 Was man über eine Gleichung mit einer Unbekannten wissen muss
Auf der linken Seite steht der Term 4x − 5 .
Mit Termen kann man Werte berechnen:
Untersuchung am Beispiel 4x − 5 = 23
Setzt man für x die Zahl 3 ein, liefert der Term den Wert: 4 ⋅ 3 − 5 = 12 − 5 = 7
Setzt man für x die Zahl -2 ein, liefert der Term den Wert: 4⋅ −2 − 5 = −8− 5 = − 13
Die gegebene Gleichung kann man als eine Frage interpretieren:
Für welche Zahl x liefert der Term den Wert 23?
Man kann diese Zahl mit Glück durch Probieren finden. Man nennt dies „die Probe machen“ und geht
dabei so vor, indem man die Gleichung abschreibt und für x die angenommene Lösungszahl einsetzt.
So entsteht im Falle x = 8 eine falsche Aussage:
Probe für x = 8:
4 ⋅ 8 − 5 = 23
Und im Falle x = 7 entsteht eine wahre Aussage:
Probe für x = 7:
27
4 ⋅ 7 − 5 = 23
23
Es ist eine falsche Aussage entstanden.
Wahre Aussage.
Weil es keine weitere Lösungszahl gibt, besteht die Lösungsmenge nur aus der Zahl 7: = { 7}
L .
Dass es keine weitere Lösungszahl gibt, kann man schön nachweisen, wird aber jetzt nicht untersucht.
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12180 Gleichungssysteme 14
2.2 Was man über eine Gleichung mit zwei Unbekannten wissen muss
Untersuchung am Beispiel 2x − y = 3
Jetzt muss man für die Unbekannten x und y je eine Zahl einsetzen. Eine Lösung dieser Gleichung
besteht also aus einem Zahlenpaar, das durch Einsetzen eine wahre Aussage liefert.
(1) Ob ein Zahlenpaar eine Lösung ist, kann man durch eine Probe feststellen:
Beispielsweise das Paar
2|1 : Für x die wird Zahl 2 und für y die Zahl 1 eingesetzt.
Man erhält dann aus 2x y 3 die wahre Aussage 2 2 1 3.
Also ist
2|1 eine Lösung, ein Lösungspaar der Gleichung.
Dagegen führt das Einsetzen des Paares
Daher ist
{ ( 2 | 1 ) , ... }
1| 4 zu einer falschen Aussage:
1| 4 keine Lösung der Gleichung und gehört nicht zur Lösungsmenge.
L =
Es gibt unendlich viele Lösungspaare.
(2) Man kann aber auch Lösungspaare berechnen:
2 1 4 3.
Dazu stellt die Gleichung z. B. nach y um und erhält y 2x 3 . Man wählt dann für x eine
beliebige Zahl, setzt diese ein und berechnet dazu die Partnerzahl y. Dann bilden beide
zusammen eine Lösung, ein Lösungspaar:
Beispiel: Wählt man x = − 4 folgt y 2 4 3 11
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2
: Also ist 4 | 11
eine
Lösung der Gleichung, was man auch so schreiben kann: 1
4 | 1 L
Bei dieser Gleichung kann man auf diese Weise beliebig (unendlich) viele Lösungspaare finden.
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten hat also unendlich viele Paare
(Elemente).
WISSEN: (Siehe Datei 12170)
Die Lösungspaare der Gleichung y 2x 3 kann man als Punkte
im x-y-Achsenkreuz darstellen kann. Sie liegen auf einer Geraden.
Man erkennt, dass der Punkt A1| 4 nicht zur Geraden
gehört – was dasselbe bedeutet wie 1| 4 gehört nicht
zur Lösungsmenge der Gleichung.
Aber B2|1 liegt auf der Geraden, und das Paar ( )
Lösungsmenge der Gleichung.
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2|1 gehört zur
A
B

12180 Gleichungssysteme 15
2.3 Deutung zur Lösung eines Systems aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Beispiel 1
Die Gleichung y = 2x + 4 stellt eine Gerade g dar.
Die Gleichung y = − x+ 1 stellt eine Gerade h dar.
Der Punkt S( 1| 2)
Das Zahlenpaar ( 1| 2)
− ist der Schnittpunkt von g und h.
− gehört also zur Lösungsmenge
beider Gleichungen. Das heißt, wenn man es in die
Gleichung von g einsetzt, erhält man eine wahre
Aussage, und ebenso, wenn man es in die von h einsetzt.
Umkehrung
Aufgabe
Wir vergessen nun, was wir über den Schnittpunkt von g und h wissen und lösen diese
Berechne den Schnittpunkt der Geraden g: y = 2x + 4 und h: y = − x+ 1.
Anders formuliert:
y = 2x + 4
Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems { y = − x+ 1}
Überlegung zur Lösung: Weil der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegt, liefern für ihn der Term
2x + 4 und der Term − x+ 1 dasselbe Ergebnis.
Dies schreibt man dann so auf: 2x + 4 = − x + 1
| +x und -4
3x = − 3
| :3
x = − 1
Dies ist die x-Koordinate des Schnittpunkts.
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S
Seine y-Koordinate erhält man dann durch Einsetzen dieser Zahl in einen der beiden Terme:
x 1
y = 2⋅ − 1 + 4 = 2
= − in g ergibt S ( )
= − in h ergibt ( )
x 1
y = − − 1 + 1= 1+ 1= 2
S
Ergebnis: 1. Die Geraden schneiden sich im Punkt S( − 1| 2)
2. Das Gleichungssystem hat die Lösungsmenge = { ( −1|
2)
}
L .
DEMO für Mathe-CD
Beide Aussagen sind gleichwertig. Die erste ist eine geometrische Aussage, die zweite eine
algebraische Aussage. Da sollte jeder verstanden haben und auch erklären können.
Das eben gezeigte Verfahren heißt Gleichsetzungsverfahren. Im nächsten Abschnitt lernen
wir einige Lösungsverfahren kennen und werden sie üben.
h
g
S

12180 Gleichungssysteme 16
3 Lösungsmethoden zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
3.1 Das Gleichsetzungsverfahren
y = 3x − 4
Beispiel 2: Gegeben ist das Gleichungssystem: { y = x+ 1 }
Lösung:
a) Bestimme die Lösungsmenge.
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(1)
(2)
b) Zeichne die zugehörigen Geraden und identifiziere den Schnittpunkt.
a) Da beide Gleichungen in der Form y = .... gegeben sind, empfiehlt sich die Anwendung des
Gleichsetzungsverfahrens: 3x − 4 = x + 1
| -x und +4
2x = 5
| :2
x =
5
S 2
5 7
Einsetzen in (2) (oder (1)): y = + 1=
5 7
Lösungsmenge: L ( )
S 2 2
{ | } { ( 2,5|3.5
2 2
) }
= =
Zeichnung der Geraden g: y = 3x − 4 (-4 ist der y-Achsenabschnitt
und 3 ist die Steigung: Vom Punkt ( 0| 4)
rechts und um 3 nach oben.)
− geht man um 1 nach
Zeichnung der Geraden h: y = x+ 1 (+1 ist der y-Achsenabschnitt und
1 (Koeffizient von x) ist die Steigung. Vom Punkt ( )
also um 1 nach rechts und um 1 nach oben.
Abgelesener Schnittpunkt: S( 2,5|3.5 )
Beispiel 3: Gegeben ist das Gleichungssystem:
Lösung: Gleichsetzen: 1
2
x + 2 = − 2x + 4,5 | 2 ⋅
0|1 aus geht man
1 ⎧y = x+ 2 ⎫
2 ⎨
y = − 2x + 4,5
⎬
⎩ ⎭
x + 4 = − 4x + 9
| +4x -4
5x = 5 ⇔ x = 1
Einsetzen in h: yS = − 2 + 4,5 = 2,5
Schnittpunkt: S ( 1| 2,5 )
Beispiel 4: Gegeben ist das Gleichungssystem:
2 3
Lösung: Gleichsetzen: x+ = − x+ 5
| ⋅ 10
5 2
10 ⋅ ⋅ x + 10 ⋅ = − 10x + 50
2
3
5 2
4x + 15 = − 10x + 50 | -15 +10x
14x = 35
| :14
x = = = 2,5
35 5
S 14 2
S
2 3
⎧y = x+
⎫
5 2
⎨
y = − x+ 5
⎬
⎩ ⎭
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Einsetzen in h: y S = − 2,5 + 5 = 2,5 . Schnittpunkt: S ( 2,5 | 2,5 )

12180 Gleichungssysteme 17
3.2 Das Additionsverfahren
3x + 4y = 4
Beispiel 5: { 5x − 4y = 4}
Beispiel 6:
Hier wird man nicht mehr gleichsetzen. Vielmehr haben wir einen anderen Vorteil.
Beide Gleichungen enthalten 4y. Und weil sie mit unterschiedlichen Vorzeichen da stehen,
wird man die Gleichungen addieren.
Weil dabei dann y herausfällt, schreibt man auch gerne als Überschrift dazu:
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( 1)
(2)
Elimination durch (1) + (2): 8x = 8
| :8
x = 1
Einsetzen in (1) – oder in (2): 3⋅ 1 + 4y = 4 | -3
4y = 1
| :4
y =
1
Lösungsmenge: L = ( 1| )
1
4
{ 4 }
⎧⎪3x + 4y = 4⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 6x − 2y = 7⎪⎭
Jetzt haben den Vorteil aus Beispiel 4 nicht mehr. Aber wenn man die Gleichung (2) mit 2
multipliziert, dann kann man durch Addition der Gleichungen y wieder eliminieren:
( )
2 ⋅ 2:
Beispiel 7:
⎧⎪ 3x + 4y = 4⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 12x − 4y = 14⎪⎭
Elimination von y durch (1) + (3) 15x = 18
| :15
18 6
15 5
( 1)
(2)
( 1)
(3)
x = = (gekürzt durch 3).
6
36
Eingesetzt in (2): 6 ⋅ − 2y = 7 | −
5
− 2y = − = − | : (-2)
y =
6 1
Lösungsmenge: L = ( | )
1
10
35 36 1
5 5 5
{ 5 10 }
⎧⎪3x + 4y = 18⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 5x − 3y = 1 ⎪⎭
( 1)
( 2 )
Jetzt muss man beide Gleichungen verändern, damit man y eliminieren kann:
(1) ⋅3und (2) ⋅ 4 :
⎧⎪ 9x + 12y = 54⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ 20x − 12y = 4 ⎪⎭
(4) + (3): 29x = 58 ⇔ x = 2
Eingesetzt in (2): 10 − 3y = 1 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3
{ }
Lösungsmenge: L = ( 2|3)
(3)
(4)
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5

12180 Gleichungssysteme 18
3.3 Das Subtraktionsverfahren
3x + 4y = 4
Beispiel 8: { 5x + 4y = 1}
3
Elimination von y durch (2) – (1): 2x = −3⇔ x = −
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( 1)
(2)
3
Einsetzen in (1): 3⋅− + 4y = 4 | + 9
2
4y = 4 + = | :4
y =
17
8
9 17
2 2
{ 2 8 }
3 17
Lösungsmenge: L = ( − | )
3x + 2y = 12
Beispiel 9: { − 5x + 4y = 2}
Anpassen der Gleichung (1):
( )
1 ⋅ 2
⎧⎪ 6x + 4y = 24⎫⎪
⎨ ⎬
⎪⎩ − 5x + 4y = 2 ⎪⎭
2
( 1)
(2)
(3)
(2)
Elimination von y durch (3) – (2): 11x = 22
| :11
x = 2
Einsetzen in (1): 6 + 2y = 12 | - 6
2y = 6 ⇔ y = 3
{ }
Lösungsmenge: L = ( 2|3)
4x 7y 15
Beispiel 10:
3x 5y 8
Wenn man hier x eliminieren will, muss man beide Gleichungen so verändern, dass
in beiden „gleichviel x“ steht:
⋅ ( ) und 4⋅ ( 2)
3 1
2
( 1)
( 2 )
12x 21y 45
12x 20y 32
(3)
(4)
Elimination von x durch (3) – (4): y = 13
(5)
Einsetzen in (2): 3x + 65 = 8 ⇔ 3x = −57 ⇔ x = − 19
Lösungsmenge: L 19 | 13
Achtung: Es geht schneller, wenn man gleich am Anfang so rechnet: 3⋅( 1) −4⋅ ( 2)
.
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Man erhält dann sofort Gleichung (5) und spart dann (3) und (4).
Hinweis: Jede Subtraktion ist im Grunde auch eine Addition: 5 – 3 ist dasselbe wie 5 ( 3)
Daher sagt man zum Subtraktionsverfahren auch gerne Additionsverfahren.
+ − .

12180 Gleichungssysteme 19
3.4 Das Einsetzungsverfahren
Es gibt ganz spezielle Gleichungssysteme, bei denen sich auch noch ein anderes Verfahren anbietet.
Beispiel 11:
4x 2y 3
y x 3
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( 1)
( 2 )
Hier liegt die Besonderheit vor, dass die eine Gleichung nach y aufgelöst ist.
Damit hat man die Gelegenheit, y in Gleichung (2) durch ( x 3)
Das führt zu folgender Lösung:
(2) in (1): 4x + 2⋅− x + 3 = 3
− + zu ersetzen.
4x − 2x + 6 = 3 | -6
2x = −3⇔ x = −
3 3 6 9
Einsetzen in (2): y =−− + 3 = + =
3
2
2 2 2 2
3 9
Lösungsmenge: L |
Beispiel 12:
2 2
13x 2y12 x 16y 9
Wenn man hier die Gleichung (2) nach x = 9 + 16y (3)
umstellt, kann man ebenfalls in (1) einsetzen.
Jetzt wird x ersetzt: 13 ⋅ x − 16y + 2y = 12
13x − 208y + 2y = 12
( 1)
( 2 )
210y 105 | :210
y = −
1
Eingesetzt in (3): x = 9 + 16 ⋅− = 9 − 8 = 1
1
Lösungsmenge: L 1|
1
2
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2
2

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3.5 Das Determinantenverfahren
Fortsetzung auf der CD
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