Lineare Gleichungssysteme - Internetbibliothek für Schulmathematik
Lineare Gleichungssysteme - Internetbibliothek für Schulmathematik Lineare Gleichungssysteme - Internetbibliothek für Schulmathematik
Teil 1 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten Datei Nr. 12180 Friedrich Buckel Stand 11. April 2011 Lineare Gleichungssysteme DEMO für Mathe-CD INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
- Seite 2 und 3: 12180 Gleichungssysteme 2 Vorwort D
- Seite 4 und 5: 12180 Gleichungssysteme 4 Aufgabe 4
- Seite 6 und 7: 12180 Gleichungssysteme 6 Textaufga
- Seite 8 und 9: 12180 Gleichungssysteme 8 c) Herr P
- Seite 10 und 11: 12180 Gleichungssysteme 10 Aufgabe
- Seite 12 und 13: 12180 Gleichungssysteme 12 Aufgaben
- Seite 14 und 15: 12180 Gleichungssysteme 14 2.2 Was
- Seite 16 und 17: 12180 Gleichungssysteme 16 3 Lösun
- Seite 18 und 19: 12180 Gleichungssysteme 18 3.3 Das
- Seite 20: 12180 Gleichungssysteme 20 3.5 Das
Teil 1<br />
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten<br />
mit Textaufgaben<br />
und<br />
3 Gleichungen mit 2 Unbekannten<br />
Datei Nr. 12180<br />
Friedrich Buckel<br />
Stand 11. April 2011<br />
<strong>Lineare</strong><br />
<strong>Gleichungssysteme</strong><br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 2<br />
Vorwort<br />
Das ist ein völlig neuer Text – doppelt so umfangreich wie der alte, didaktisch überarbeitet und ergänzt<br />
durch sehr viele Textaufgaben und andere Aufgaben.<br />
Ein Teil der Textaufgaben sind sogenannte Bewegungsaufgaben. Um die Grundkenntnisse dazu<br />
nicht auch noch in diesen Text hineinstecken zu müssen, gibt es ab sofort einen eigenen Text mit der<br />
Nummer 12185, den ich Bewegungs-Algebra genannt habe.<br />
In diesem Text findet man am Anfang auf 10 Seiten eine große Sammlung an Aufgaben. Deren<br />
Lösungen sind dann entweder die Beispiele des folgenden Textes, oder sie stehen am Textende –<br />
oder im Text 12185. Die Fundstelle steht jeweils an der Aufgabe.<br />
Inhalt<br />
1 Aufgabensammlung 3<br />
Textaufgaben 6<br />
Aufgaben mit 3 Gleichungen 12<br />
2 Grundwissen zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 13<br />
2.1 Was muss man über eine Gleichung mit einer Unbekannten wissen 13<br />
2.2 Was muss man über eine Gleichung mit zwei Unbekannten wissen 14<br />
2.3 Deutung zur Lösung eines Systems aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 15<br />
3 Lösungsmethoden zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten 16<br />
3.1 Das Gleichsetzungsverfahren 16<br />
3.2 Das Additionsverfahren 17<br />
3.3 Das Subtraktionsverfahren 18<br />
3.4 Das Einsetzungsverfahren 19<br />
3.4 Das Determinantenverfahren 20<br />
4 Sonderfälle bei <strong>Gleichungssysteme</strong>n 21<br />
1. Sonderfall: Ein Gleichungssystem ohne Lösungen 21<br />
2. Sonderfall: Ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen 21<br />
5 Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten 22<br />
6 Textaufgaben 25<br />
6.1 Zahlenrätsel 25<br />
6.2 Wer ist wie alt? 30<br />
6.3 Geometrische Berechnungen 32<br />
6.4 Mischungsaufgaben 35<br />
6.5 Aufgaben aus der Wirtschaft 38<br />
6.6 Aufgaben, die auf drei Gleichungen führen 41<br />
6.7 Bewegungsaufgaben (Verweis auf Text 12185) 44<br />
Lösungen der restlichen Aufgaben 45<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 3<br />
1 Aufgabensammlung<br />
Zusammenstellung aller Aufgaben, die in diesem Text teilweise sehr ausführlich behandelt werden.<br />
Aufgabe 1<br />
Zeichne die Geraden g und h in ein gemeinsames Achsenkreuz. Lies die Koordinaten des<br />
Schnittpunktes ab und berechne diese auch durch Lösen eines Gleichungssystems.<br />
a) g: y = 2x + 4 und h: y = − x+ 1<br />
Lösung Seite 15 / Beispiel 1<br />
b) g: y = 3x − 4 und h: y = x+ 1<br />
Lösung: Seite 16 / Beispiel 2<br />
1<br />
c) g: y = x+ 2 und h: y = − 2x + 4,5 Lösung: Seite 16 / Beispiel 3<br />
2<br />
2 3<br />
d) g: y = x+<br />
und h: y = − x+ 5<br />
Lösung: Seite 16 / Beispiel 4<br />
5 2<br />
Trainingsaufgabe 2<br />
a) g: y = − 2x + 4 und h: y = 1, 5 x − 1, 6 Lösung Seite 46<br />
2 1<br />
5<br />
b) g: y = − x+<br />
und h: y = 2x − Lösung: Seite 46<br />
5 2<br />
Aufgabe 3 Bestimme die Lösungsmenge durch das Additionsverfahren:<br />
3x + 4y = 4<br />
a) { 5x − 4y = 4}<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
⎧⎪3x + 4y = 4⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ 6x − 2y = 7⎪⎭<br />
⎧⎪3x + 4y = 18⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ 5x − 3y = 1 ⎪⎭<br />
3x 4y 32<br />
9x 8y 72<br />
2x 6y 3<br />
3x 4y 11<br />
2<br />
Lösung Seite 17 / B5<br />
Lösung Seite 17 / B6<br />
Lösung Seite 17 / B7<br />
Lösung Seite 47<br />
Lösung Seite 47<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 4<br />
Aufgabe 4 Bestimme die Lösungsmenge durch das Subtraktionsverfahren:<br />
3x + 4y = 4<br />
a) { 5x + 4y = 1}<br />
3x + 2y = 12<br />
b) { − 5x + 4y = 2}<br />
4x 7y 15<br />
c) <br />
3x 5y 8<br />
Lösung Seite 18 / B8<br />
Lösung Seite 18 / B9<br />
Lösung Seite 18 / B10<br />
Aufgabe 5 Bestimme die Lösungsmenge durch das Einsetzungsverfahren:<br />
4x 2y 3<br />
a) y x3 <br />
13x 2y12 b) x 16y 9<br />
5x + 2y = 18<br />
c) { 2y = 24 − 3x}<br />
x + 5y + 13 = 0<br />
d) { 2x − 7y = 25 }<br />
Lösung Seite 19 / B11<br />
Lösung Seite 19 / B12<br />
Lösung Seite 47<br />
Lösung Seite 47<br />
Aufgabe 6 Bestimme die Lösungsmenge durch das Determinantenverfahren:<br />
3x12x2 7<br />
a) <br />
5x 4x 1<br />
1 2<br />
3x 2y 5<br />
b) <br />
Aufgabe 7<br />
2x 5y13 Lösung Seite 20 / B13<br />
Lösung Seite 20 / B14<br />
Determinanten werden ausführlich im Text 61012 besprochen.<br />
3x2y 4<br />
a) <br />
6x 4y 1<br />
12x 8y 28<br />
b) <br />
15x 10y 35<br />
Lösung Seite 21 / B15<br />
Lösung Seite 21 / B16<br />
Aufgabe 8 Lösung Seite 47<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
⎧ax 1 + by 1 = c1<br />
⎫<br />
Gegeben sei ein Gleichungssystem ⎨<br />
ax 2 by 2 c<br />
⎬<br />
⎩ + = 2⎭<br />
.<br />
Erkläre, welche Möglichkeiten es <strong>für</strong> die zugehörige Lösungsmenge geben kann.<br />
Begründe dies damit, dass jede dieser beiden Gleichungen eine Gerade darstellt.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 5<br />
Trainingsaufgabe 9 Bestimme die Lösungsmengen: Lösungen Seite 48 bis 51<br />
3x + 2y = 12<br />
a) { − 5x + 4y = 2}<br />
6x + 5y = 12<br />
d) { 3x + 4y = 2}<br />
6x + 11y = 4<br />
b) { 2x + 7y = 8}<br />
3x 2y 5<br />
e) <br />
2x 5y13 3x 2x 7<br />
1 2<br />
g) 5x 4x 1<br />
h) 4x 7y 15<br />
<br />
1 2<br />
42x 30y 12<br />
j) <br />
28x 20y 13<br />
3x 5y 8<br />
3x 5y 11<br />
k) <br />
7x 3y 3<br />
5x + 2y = 1<br />
c) { 7x + 3y = 2}<br />
14x 6y 8<br />
f) <br />
21x 9y12 x14x2 13<br />
i) <br />
2x 3x11 1 2<br />
8x 12y 11<br />
l) <br />
6x 5y 3<br />
Aufgabe 10 Zeige, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Berechne zwei Lösungspaare:<br />
12x 8y 28<br />
a) <br />
15x 10y 35<br />
35x 14x 84<br />
1 2<br />
b) <br />
30x 12x 72<br />
1 2<br />
Lösungen Seite 51<br />
18x 15y 12<br />
c) <br />
30x 25y 20<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 6<br />
Textaufgaben<br />
Aufgabe 11 Zahlenrätsel Lösungen Seite 25 ff / B1 bis B10<br />
a) Addiert man zum Dreifachen einer Zahl eine zweite Zahl, erhält man 22. Subtrahiert man aber<br />
vom 12-fachen der ersten Zahl das 5-fache der zweiten, dann erhält man 25. Wie heißen die<br />
beiden Zahlen?<br />
b) Die Einerziffer einer zweistelligen Zahl ist dreimal so groß wie ihre Zehnerziffer.<br />
Die Quersumme der Zahl ist 12. Wie lautet diese Zahl?<br />
c) Von zwei ganzen Zahlen ist die doppelte Summe und die 9-fache Differenz gleich groß und<br />
zwar 36. Um welche Zahlen handelt es sich?<br />
d) Vermehrt man die erste von zwei Zahlen um 7, so erhält man das Doppelte der zweiten Zahl.<br />
Vermindert man die zweite Zahl um 5, so erhält man den dritten Teil der ersten Zahl.<br />
e) Wie heißen zwei Zahlen, deren Summe 25 und deren Quotient 4 ist?<br />
f) Ein Zahlenpaar hat die Eigenschaft, dass ein Drittel der ersten Zahl, vermehrt um ein Fünftel der<br />
zweiten Zahl 5 ergibt, während ein Sechstel der ersten plus ein Drittel der zweiten Zahl 6 ergibt.<br />
g) Die Summe aus Zähler und Nenner eines Bruches ist 9. Verkleinert man Zähler und Nenner<br />
dieses Bruches um 3, dann entsteht der Bruch 1 . Wie heißt der Bruch?<br />
h) Vertauscht man die Ziffern einer zweistelligen Zahl, dann bekommt man eine Zahl, die um 27<br />
größer ist. Die Summe der beiden Zahlen ist 121. Wie heißt die Zahl?<br />
i) Die Quersumme einer Zahl ist 12. Vertauscht man die Ziffern dieser Zahl und addiert dann<br />
beide Zahlen, das Elffache der ursprünglichen Quersumme.<br />
j) Verdreifacht man die Zehnerziffer und nimmt den vierten Teil der Einerziffer, dann erhält man<br />
dieselbe Zahl 62, als wenn man von der Einerziffer 2 subtrahiert und dann die Ziffern vertauscht.<br />
Aufgabe 12 Wert ist wie alt? Lösungen ab Seite 30 / B11 bis B14<br />
a) Großvater und Enkel sind zusammen 78 Jahre alt. Vor 4 Jahren war der Opa sechsmal so alt<br />
wie sein Enkel. Wie alt sind sie heute?<br />
b) Ein Vater war vor 5 Jahren viermal so alt wie seine Tochter. In 7 Jahren wird er nur noch<br />
doppelt so alt sein wie sie. Wie alt sind sie heute?<br />
c) Von zwei Brüdern ist der in zwei Jahren eineinhalbmal so alt wie der andere. Vor vier<br />
Jahren war er doppelt so alt wie er. Wie alt sind sie heute?<br />
d) Franz ist heute 28 Jahre alt. Dies ist doppelt so alt wie Gerhard war, also Franz so alt war,<br />
wie Gerhard heute ist. Wie alt ist Gerhard?<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
2<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 7<br />
Aufgabe 13 Geometrische Berechnungen Lösungen ab Seite 32 / B15 bis B20<br />
a) In einem Rechteck ist eine Seite um 5 cm länger als die andere. Der Umfang des Rechtecks ist<br />
um 2 cm größer als das Fünffache der kürzeren Seite. Berechne die Seitenlängen über ein<br />
Gleichungssystem.<br />
b) Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Vergrößert man die eine Seite um 2 cm und die andere<br />
um 3 cm, dann wird der Flächeninhalt um 30 cm 2 größer.<br />
c) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel um 12 O größer als der andere.<br />
Wie groß sind diese Winkel?<br />
d) Ein Draht der Länge 76 cm soll zu einem Rechteck zusammen gebogen werden, bei dem<br />
die eine Seite um 10 cm größer ist als die andere. Wie lange werden dann die Rechteckseiten?<br />
e) Die Mittelparallele eines Trapezes ist 12 cm lang. Die eine der parallelen Seiten ist um<br />
5 cm größer als die andere. Wie lang sind die Parallelen?<br />
f) Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist um 1 cm größer als die andere.<br />
Verkürzt man beide Katheten um 2 cm, dann nimmt der Dreiecksinhalt um 9 cm 2 ab.<br />
Aufgabe 14 Mischungsaufgaben Lösungen ab Seite 36 / B21 bis B23<br />
a) Ein Goldschmied will aus zwei Silberlegierungen vom Feingehalt 600 und vom Feingehalt 800<br />
einen Ring vom Feingehalt 750 herstellen. Er benötigt davon 12 g. Wie viel Silber muss er von<br />
seinen vorhandenen Sorten verwenden?<br />
b) Zu 200 kg Messing 72, das zu 72% aus Kupfer und zu 28% aus Zink besteht, soll durch Beigabe<br />
von Zink die Messingsorte Ms60 entstehen, deren Kupferanteil nur noch 60 % beträgt. Wie viel<br />
Zink wird benötigt?<br />
c) Wie viel Kupfer und Silber braucht man zu 5 kg einer Legierung, welche die Dichte 10 hat. 3<br />
Tabellen kann man entnehmen, dass Kupfer die Dichte 8,9 hat und Silber 10,5 .<br />
3<br />
3<br />
Aufgabe 15 Aufgaben aus der Wirtschaft Lösungen ab Seite 38 / B24 bis B26<br />
a) Klaus hat bei der Bank A eine Geldanlage von 4280 € und bei Bank B 2300 €.<br />
Am Jahresende erhält er zusammen 143,10 € an Zinsen. Am Jahresende stockt er sein<br />
Guthaben bei A auf 5000 € auf, und bei B auf 3000 €. Das bringt ihm am folgenden Jahresende<br />
175 € Zinsen. Wie hoch waren die Zinssätze bei diesen Banken?<br />
b) Herr Plan hat <strong>für</strong> seinen Neubau einen Bausparvertrag abgeschlossen und einen Kredit<br />
bei der KVB aufgenommen. Der Jahreszins beträgt bei der Bausparkasse 4,5 % und bei der<br />
Bank 6,5%. Seine Jahresbelastung beträgt alleine durch den Zins 6850 €.<br />
Weil er jedoch be<strong>für</strong>chtet, dass der Bankzins auf 7,5% steigen könnte, überlegt er bei der<br />
Bausparkasse einen Tarif zu nehmen, bei dem er durch höhere Tilgungsraten einen Zinssatz<br />
von nur 4% bekommen würde. Die Jahres-Zinsbelastung würde dann um 100 € ansteigen.<br />
Welche Geldbeträge hat er als Darlehen abzuzahlen?<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
g<br />
cm<br />
g<br />
cm<br />
g<br />
cm<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 8<br />
c) Herr Plan hat <strong>für</strong> seinen Neubau einen Bausparvertrag in Höhe von 80.000 € abgeschlossen<br />
und einen Kredit bei der KVB in Höhe von 50.000 € aufgenommen. Seine Jahresbelastung<br />
beträgt alleine durch den Zins 6850 €.<br />
Nun gewinnt Herr Plan im Lotto 30.000 €. Damit reduziert er das das Darlehen der Bausparkasse<br />
um 10.000 € und das der KVB um 20.000 €. (Wir nehmen der Einfachheit an, dass Herr<br />
Plan inzwischen 1 Jahr lang nichts an den Darlehen zurückgezahlt hat.)<br />
Im folgenden Jahr stellt er fest, dass er nur noch 5100 € Zinsen bezahlt hat.<br />
Welche Zinssätze haben beide Kreditinstitute in diesen zwei Jahren zugrunde gelegt?<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 9<br />
Bewegungsaufgaben aus dem Text 12185<br />
Aufgabe 16 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 9 – B2<br />
Zwei Autos starten zur selben Zeit an zwei verschiedenen Stellen einer Autobahn.<br />
Ihr Abstand beträgt im Moment des Startens genau 10 km. Wir nehmen <strong>für</strong> unsere Aufgabe an,<br />
dass das Auto A mit der konstanten Geschwindigkeit<br />
Auto B mit<br />
km<br />
B h<br />
v = 130 fährt, und dass vor ihm das<br />
km<br />
A h<br />
v = 90 startet. Beide fahren in die gleiche Richtung.<br />
a) Stelle die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> beide Fahrzeuge auf.<br />
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 10 min und t2 = 20 min befinden.<br />
c) Wann hat B das Auto A eingeholt?<br />
Aufgabe 17 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 10 – B3<br />
Zwei Autos starten zur selben Zeit an zwei verschiedenen Stellen einer Autobahn.<br />
Ihr Abstand beträgt im Moment des Startens genau 70 km. Wir nehmen <strong>für</strong> unsere Aufgabe an,<br />
dass das Auto A mit der konstanten Geschwindigkeit<br />
Auto B mit<br />
v = 90 startet. Beide fahren aufeinander zu.<br />
km<br />
B h<br />
v = 130 fährt, und dass vor ihm das<br />
km<br />
A h<br />
a) Stelle die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> beide Fahrzeuge auf.<br />
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 10 min und t2 = 30 min befinden.<br />
c) Wann begegnen sich die beiden Autos?<br />
Aufgabe 18 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 11 – B4<br />
Zwei Autos starten im Abstand von 10 Minuten an derselben Stelle.<br />
A fahre mit der konstanten Geschwindigkeit<br />
Beide fahren in die gleiche Richtung.<br />
v 90<br />
a) Stelle die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> beide Fahrzeuge auf.<br />
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 20 min befinden.<br />
c) Wann hat B das Auto A eingeholt?<br />
km<br />
km<br />
A = los und das Auto B mit v h<br />
B 120 h<br />
= startet.<br />
Aufgabe 19 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 13 – B5<br />
Das Auto A fahre mit der konstanten Geschwindigkeit<br />
Das Auto B fährt mit<br />
km<br />
B h<br />
v = 90 in U-Stadt los, Richtung V-Stadt.<br />
km<br />
A h<br />
v = 120 von V-Stadt nach U-Stadt, fährt aber 15 Minuten später ab als A.<br />
Die Entfernung von U-Stadt und V-Stadt beträgt 70 km.<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
a) Stelle die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> beide Fahrzeuge auf.<br />
b) Berechne, wo sich die Fahrzeuge nach t1 = 30 min befinden.<br />
c) Wann und wo begegnen sich die Autos?<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 10<br />
Aufgabe 20 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 17 – A1<br />
km<br />
a) Der Zug F1 startet in Adorf um 12 Uhr und fährt mit der Durchschnittsgeschwindigkeit v = 80 .<br />
Er fährt bis Bdorf, das 60 km entfernt ist. Der Zug F2 startet in Adorf um 12.30 Uhr und fährt mit<br />
v = 120 auch in Richtung Bdorf.<br />
km<br />
h<br />
a) Holt F2 den Zug F1 bis Bdorf ein?<br />
b) Wo sind die beiden Züge nach 2 Stunden?<br />
c) Wann hat F2 den F1 eingeholt?<br />
Aufgabe 21 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 18 – A2<br />
Klaus und Simone wollen gemeinsam ins Kino gehen. Sie wohnen 24 km voneinander entfernt.<br />
das Kino ist 10 km von Simones Wohnhaus entfernt. Klaus fährt mit einer Durchschnittsgeschwindig-<br />
km<br />
km<br />
keit von 18 , Simone mit 15 . Sie fahren beide um 14.20 Uhr ab.<br />
h<br />
a) Wann treffen sie am Kino ein?<br />
h<br />
b) Wann und wo würden sie sich begegnen, wenn sie nicht am Kino anhalten, sondern sich zuerst<br />
treffen wollen?<br />
Aufgabe 22 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 19 – A3<br />
Fritz besitzt eine Autorennbahn mit folgenden Maßen:<br />
Die beiden Halbkreise haben einen Radius von 89 cm<br />
und die beiden geraden Teile haben die Länge von je 1m.<br />
m<br />
a) Wie lange braucht ein Spielauto, das mit v = 0,8<br />
die Bahn durchfahren kann, <strong>für</strong> einen Umlauf<br />
(von A nach A)?<br />
A s<br />
b) Klaus lässt gleichzeitig in A und B zwei Fahrzeuge starten, von denen<br />
m<br />
das Auto in A mit v 0,8<br />
v = 1, 0 .<br />
m<br />
A = fährt, das andere mit s<br />
b s<br />
Nach welcher Zeit holt B A ein. Wie viele Umläufe hat dann A gemacht?<br />
c) Berechne denselben Vorgang wie in b), nur dass B mit 2 s Verzögerung startet.<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
h
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 11<br />
Aufgabe 23 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 20 – A4<br />
Der Zug „Silberstreif“ fährt die Strecke um 8.20 Uhr in A-Stadt ab nach B-dorf mit der (als<br />
konstant angenommenen) Geschwindigkeit<br />
km<br />
1 h<br />
v 120 .<br />
Der Zug „Himmelsblitz“ fährt 30 Minuten später in B-Dorf in Richtung A-Stadt mit der ebenfalls<br />
konstanten Geschwindigkeit<br />
v 90 ab. Die Entfernung beträgt AB = 150 km.<br />
2<br />
km<br />
h<br />
a) Stelle die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> beide auf (Ort s in Abhängigkeit von der Zeit t).<br />
Wähle ein günstiges Koordinatensystem. Stelle beide Kurven graphisch dar.<br />
b) Wo begegnen sich die beiden Züge?<br />
c) Wann kommen die beiden Züge an ihrem Zielort an?<br />
Aufgabe 24 Bewegungsaufgabe Lösung im Text 12185 / S. 22 – A5<br />
Im Wüstenstaat Olmat wird eine Hochgeschwindigkeitsstrecke geplant, welche die beiden<br />
400 km entfernten Städte Magbad und Kundad verbinden soll.<br />
In der ersten Bauphase soll nur eine eingleisige Strecke verwendet werden, allerdings mit<br />
Ausweichstationen um entgegenkommende Züge passieren lassen zu können.<br />
Die Züge sollen mit einer Durchschnittgeschwindigkeit von 240 km<br />
h fahren.<br />
Wo müssen Ausweichstationen eingeplant werden, wenn zu jeder vollen Stunde in beiden<br />
Städten ein Zug abfahren soll. Wie lange hat ein durchgefahrener Zug Aufenthalt bis zur<br />
Rückfahrt und wie viele Züge werden mindestens benötigt?<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 12<br />
Aufgaben mit 3 Gleichungen<br />
Aufgabe 25 Lösungen auf den Seiten 22 bis 24<br />
a)<br />
c)<br />
3x2y11 <br />
<br />
<br />
4x 5y 30<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7x 6y 23<br />
2x y 7<br />
<br />
<br />
<br />
x 3y 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4x2y 3 <br />
b)<br />
d)<br />
2x y 7<br />
<br />
<br />
<br />
x 3y 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xy 1<br />
3<br />
2x y <br />
2 <br />
<br />
x 3y 6 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4x2y 3<br />
Aufgabe 26 Löse diese Systeme: Lösung auf Seite 52.<br />
a)<br />
⎧2x+ 5y = −29<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎨3x− 2y = 23 ⎬<br />
⎪⎩5x− 11y = 92 ⎪⎭<br />
b)<br />
⎧3x + 5y = −5<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎨− 2x + y = 12⎬<br />
⎪⎩5x − 7y = 13⎪⎭<br />
Aufgabe 27 Lösung auf Seite 41 B 52<br />
Von zwei Zahlen weiß man, dass<br />
(1) das Dreifache der ersten plus das Vierfache der zweiten Zahl 72 ergibt,<br />
(2) ihre Summe siebenmal so groß ist wie ihre Differenz,<br />
(3) die Differenz aus dem Zehnfachen der ersten und dem Zwölffachen der zweiten Zahl<br />
so groß wie die erste Zahl ist.<br />
Gibt es Zahlen, die dies alles erfüllen?<br />
Aufgabe 28 Bewegungsaufgabe Lösung auf Seite 42 / B27<br />
In A und B starten gleichzeitig zwei Züge auf einer zweigleisigen Strecke.<br />
Zug 1 fährt von A nach B, Zug 2 von B nach A. A und B liegen 150 km auseinander.<br />
An Zwischenstationen wird nicht gehalten. Über diese Fahrten weiß man folgendes:<br />
(1) Sie begegnen sich nach 50 Minuten.<br />
(2) Nach einer halben Stunde Fahrzeit sind sie noch 60 km voneinander entfernt.<br />
(3) Zug 2 befindet sich nach 45 Minuten 1,25 mal so weit von A weg ist wie Zug 1.<br />
Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten der Züge.<br />
Aufgabe 29 Lösung auf Seite 43 / B28<br />
Franz behauptet, er habe ein Rechteck gezeichnet, bei dem die Differenz der Seiten 15 cm<br />
beträgt, ihre Summe 35 cm und sein Flächeninhalt 275 cm 2 .<br />
Was sagst du dazu?<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 13<br />
2 Grundwissen zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten<br />
2.1 Was man über eine Gleichung mit einer Unbekannten wissen muss<br />
Auf der linken Seite steht der Term 4x − 5 .<br />
Mit Termen kann man Werte berechnen:<br />
Untersuchung am Beispiel 4x − 5 = 23<br />
Setzt man <strong>für</strong> x die Zahl 3 ein, liefert der Term den Wert: 4 ⋅ 3 − 5 = 12 − 5 = 7<br />
Setzt man <strong>für</strong> x die Zahl -2 ein, liefert der Term den Wert: 4⋅ −2 − 5 = −8− 5 = − 13<br />
Die gegebene Gleichung kann man als eine Frage interpretieren:<br />
Für welche Zahl x liefert der Term den Wert 23?<br />
Man kann diese Zahl mit Glück durch Probieren finden. Man nennt dies „die Probe machen“ und geht<br />
dabei so vor, indem man die Gleichung abschreibt und <strong>für</strong> x die angenommene Lösungszahl einsetzt.<br />
So entsteht im Falle x = 8 eine falsche Aussage:<br />
Probe <strong>für</strong> x = 8:<br />
4 ⋅ 8 − 5 = 23<br />
<br />
Und im Falle x = 7 entsteht eine wahre Aussage:<br />
Probe <strong>für</strong> x = 7:<br />
27<br />
4 ⋅ 7 − 5 = 23<br />
<br />
23<br />
Es ist eine falsche Aussage entstanden.<br />
Wahre Aussage.<br />
Weil es keine weitere Lösungszahl gibt, besteht die Lösungsmenge nur aus der Zahl 7: = { 7}<br />
L .<br />
Dass es keine weitere Lösungszahl gibt, kann man schön nachweisen, wird aber jetzt nicht untersucht.<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 14<br />
2.2 Was man über eine Gleichung mit zwei Unbekannten wissen muss<br />
Untersuchung am Beispiel 2x − y = 3<br />
Jetzt muss man <strong>für</strong> die Unbekannten x und y je eine Zahl einsetzen. Eine Lösung dieser Gleichung<br />
besteht also aus einem Zahlenpaar, das durch Einsetzen eine wahre Aussage liefert.<br />
(1) Ob ein Zahlenpaar eine Lösung ist, kann man durch eine Probe feststellen:<br />
Beispielsweise das Paar <br />
2|1 : Für x die wird Zahl 2 und <strong>für</strong> y die Zahl 1 eingesetzt.<br />
Man erhält dann aus 2x y 3 die wahre Aussage 2 2 1 3.<br />
Also ist <br />
2|1 eine Lösung, ein Lösungspaar der Gleichung.<br />
Dagegen führt das Einsetzen des Paares <br />
Daher ist <br />
{ ( 2 | 1 ) , ... }<br />
1| 4 zu einer falschen Aussage:<br />
1| 4 keine Lösung der Gleichung und gehört nicht zur Lösungsmenge.<br />
L =<br />
Es gibt unendlich viele Lösungspaare.<br />
(2) Man kann aber auch Lösungspaare berechnen:<br />
2 1 4 3.<br />
<br />
Dazu stellt die Gleichung z. B. nach y um und erhält y 2x 3 . Man wählt dann <strong>für</strong> x eine<br />
beliebige Zahl, setzt diese ein und berechnet dazu die Partnerzahl y. Dann bilden beide<br />
zusammen eine Lösung, ein Lösungspaar:<br />
Beispiel: Wählt man x = − 4 folgt y 2 4 3 11<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
2<br />
: Also ist 4 | 11<br />
eine<br />
Lösung der Gleichung, was man auch so schreiben kann: 1<br />
4 | 1 L<br />
Bei dieser Gleichung kann man auf diese Weise beliebig (unendlich) viele Lösungspaare finden.<br />
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten hat also unendlich viele Paare<br />
(Elemente).<br />
WISSEN: (Siehe Datei 12170)<br />
Die Lösungspaare der Gleichung y 2x 3 kann man als Punkte<br />
im x-y-Achsenkreuz darstellen kann. Sie liegen auf einer Geraden.<br />
Man erkennt, dass der Punkt A1| 4 nicht zur Geraden<br />
gehört – was dasselbe bedeutet wie 1| 4 gehört nicht<br />
zur Lösungsmenge der Gleichung.<br />
Aber B2|1 liegt auf der Geraden, und das Paar ( )<br />
Lösungsmenge der Gleichung.<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
2|1 gehört zur<br />
A<br />
B
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 15<br />
2.3 Deutung zur Lösung eines Systems aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten<br />
Beispiel 1<br />
Die Gleichung y = 2x + 4 stellt eine Gerade g dar.<br />
Die Gleichung y = − x+ 1 stellt eine Gerade h dar.<br />
Der Punkt S( 1| 2)<br />
Das Zahlenpaar ( 1| 2)<br />
− ist der Schnittpunkt von g und h.<br />
− gehört also zur Lösungsmenge<br />
beider Gleichungen. Das heißt, wenn man es in die<br />
Gleichung von g einsetzt, erhält man eine wahre<br />
Aussage, und ebenso, wenn man es in die von h einsetzt.<br />
Umkehrung<br />
Aufgabe<br />
Wir vergessen nun, was wir über den Schnittpunkt von g und h wissen und lösen diese<br />
Berechne den Schnittpunkt der Geraden g: y = 2x + 4 und h: y = − x+ 1.<br />
Anders formuliert:<br />
y = 2x + 4<br />
Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems { y = − x+ 1}<br />
Überlegung zur Lösung: Weil der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegt, liefern <strong>für</strong> ihn der Term<br />
2x + 4 und der Term − x+ 1 dasselbe Ergebnis.<br />
Dies schreibt man dann so auf: 2x + 4 = − x + 1<br />
| +x und -4<br />
3x = − 3<br />
| :3<br />
x = − 1<br />
Dies ist die x-Koordinate des Schnittpunkts.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
S<br />
Seine y-Koordinate erhält man dann durch Einsetzen dieser Zahl in einen der beiden Terme:<br />
x 1<br />
y = 2⋅ − 1 + 4 = 2<br />
= − in g ergibt S ( )<br />
= − in h ergibt ( )<br />
x 1<br />
y = − − 1 + 1= 1+ 1= 2<br />
S<br />
Ergebnis: 1. Die Geraden schneiden sich im Punkt S( − 1| 2)<br />
2. Das Gleichungssystem hat die Lösungsmenge = { ( −1|<br />
2)<br />
}<br />
L .<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Beide Aussagen sind gleichwertig. Die erste ist eine geometrische Aussage, die zweite eine<br />
algebraische Aussage. Da sollte jeder verstanden haben und auch erklären können.<br />
Das eben gezeigte Verfahren heißt Gleichsetzungsverfahren. Im nächsten Abschnitt lernen<br />
wir einige Lösungsverfahren kennen und werden sie üben.<br />
h<br />
g<br />
S
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 16<br />
3 Lösungsmethoden zu 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten<br />
3.1 Das Gleichsetzungsverfahren<br />
y = 3x − 4<br />
Beispiel 2: Gegeben ist das Gleichungssystem: { y = x+ 1 }<br />
Lösung:<br />
a) Bestimme die Lösungsmenge.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
(1)<br />
(2)<br />
b) Zeichne die zugehörigen Geraden und identifiziere den Schnittpunkt.<br />
a) Da beide Gleichungen in der Form y = .... gegeben sind, empfiehlt sich die Anwendung des<br />
Gleichsetzungsverfahrens: 3x − 4 = x + 1<br />
| -x und +4<br />
2x = 5<br />
| :2<br />
x =<br />
5<br />
S 2<br />
5 7<br />
Einsetzen in (2) (oder (1)): y = + 1=<br />
5 7<br />
Lösungsmenge: L ( )<br />
S 2 2<br />
{ | } { ( 2,5|3.5<br />
2 2<br />
) }<br />
= =<br />
Zeichnung der Geraden g: y = 3x − 4 (-4 ist der y-Achsenabschnitt<br />
und 3 ist die Steigung: Vom Punkt ( 0| 4)<br />
rechts und um 3 nach oben.)<br />
− geht man um 1 nach<br />
Zeichnung der Geraden h: y = x+ 1 (+1 ist der y-Achsenabschnitt und<br />
1 (Koeffizient von x) ist die Steigung. Vom Punkt ( )<br />
also um 1 nach rechts und um 1 nach oben.<br />
Abgelesener Schnittpunkt: S( 2,5|3.5 )<br />
Beispiel 3: Gegeben ist das Gleichungssystem:<br />
Lösung: Gleichsetzen: 1<br />
2<br />
x + 2 = − 2x + 4,5 | 2 ⋅<br />
0|1 aus geht man<br />
1 ⎧y = x+ 2 ⎫<br />
2 ⎨<br />
y = − 2x + 4,5<br />
⎬<br />
⎩ ⎭<br />
x + 4 = − 4x + 9<br />
| +4x -4<br />
5x = 5 ⇔ x = 1<br />
Einsetzen in h: yS = − 2 + 4,5 = 2,5<br />
Schnittpunkt: S ( 1| 2,5 )<br />
Beispiel 4: Gegeben ist das Gleichungssystem:<br />
2 3<br />
Lösung: Gleichsetzen: x+ = − x+ 5<br />
| ⋅ 10<br />
5 2<br />
10 ⋅ ⋅ x + 10 ⋅ = − 10x + 50<br />
2<br />
3<br />
5 2<br />
4x + 15 = − 10x + 50 | -15 +10x<br />
14x = 35<br />
| :14<br />
x = = = 2,5<br />
35 5<br />
S 14 2<br />
S<br />
2 3<br />
⎧y = x+<br />
⎫<br />
5 2<br />
⎨<br />
y = − x+ 5<br />
⎬<br />
⎩ ⎭<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Einsetzen in h: y S = − 2,5 + 5 = 2,5 . Schnittpunkt: S ( 2,5 | 2,5 )
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 17<br />
3.2 Das Additionsverfahren<br />
3x + 4y = 4<br />
Beispiel 5: { 5x − 4y = 4}<br />
Beispiel 6:<br />
Hier wird man nicht mehr gleichsetzen. Vielmehr haben wir einen anderen Vorteil.<br />
Beide Gleichungen enthalten 4y. Und weil sie mit unterschiedlichen Vorzeichen da stehen,<br />
wird man die Gleichungen addieren.<br />
Weil dabei dann y herausfällt, schreibt man auch gerne als Überschrift dazu:<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
( 1)<br />
(2)<br />
Elimination durch (1) + (2): 8x = 8<br />
| :8<br />
x = 1<br />
Einsetzen in (1) – oder in (2): 3⋅ 1 + 4y = 4 | -3<br />
4y = 1<br />
| :4<br />
y =<br />
1<br />
Lösungsmenge: L = ( 1| )<br />
1<br />
4<br />
{ 4 }<br />
⎧⎪3x + 4y = 4⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ 6x − 2y = 7⎪⎭<br />
Jetzt haben den Vorteil aus Beispiel 4 nicht mehr. Aber wenn man die Gleichung (2) mit 2<br />
multipliziert, dann kann man durch Addition der Gleichungen y wieder eliminieren:<br />
( )<br />
2 ⋅ 2:<br />
Beispiel 7:<br />
⎧⎪ 3x + 4y = 4⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ 12x − 4y = 14⎪⎭<br />
Elimination von y durch (1) + (3) 15x = 18<br />
| :15<br />
18 6<br />
15 5<br />
( 1)<br />
(2)<br />
( 1)<br />
(3)<br />
x = = (gekürzt durch 3).<br />
6<br />
36<br />
Eingesetzt in (2): 6 ⋅ − 2y = 7 | −<br />
5<br />
− 2y = − = − | : (-2)<br />
y =<br />
6 1<br />
Lösungsmenge: L = ( | )<br />
1<br />
10<br />
35 36 1<br />
5 5 5<br />
{ 5 10 }<br />
⎧⎪3x + 4y = 18⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ 5x − 3y = 1 ⎪⎭<br />
( 1)<br />
( 2 )<br />
Jetzt muss man beide Gleichungen verändern, damit man y eliminieren kann:<br />
(1) ⋅3und (2) ⋅ 4 :<br />
⎧⎪ 9x + 12y = 54⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ 20x − 12y = 4 ⎪⎭<br />
(4) + (3): 29x = 58 ⇔ x = 2<br />
Eingesetzt in (2): 10 − 3y = 1 ⇔ 3y = 9 ⇔ y = 3<br />
{ }<br />
Lösungsmenge: L = ( 2|3)<br />
(3)<br />
(4)<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
5
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 18<br />
3.3 Das Subtraktionsverfahren<br />
3x + 4y = 4<br />
Beispiel 8: { 5x + 4y = 1}<br />
3<br />
Elimination von y durch (2) – (1): 2x = −3⇔ x = −<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
( 1)<br />
(2)<br />
3<br />
Einsetzen in (1): 3⋅− + 4y = 4 | + 9<br />
2<br />
4y = 4 + = | :4<br />
y =<br />
17<br />
8<br />
9 17<br />
2 2<br />
{ 2 8 }<br />
3 17<br />
Lösungsmenge: L = ( − | )<br />
3x + 2y = 12<br />
Beispiel 9: { − 5x + 4y = 2}<br />
Anpassen der Gleichung (1):<br />
( )<br />
1 ⋅ 2<br />
⎧⎪ 6x + 4y = 24⎫⎪<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩ − 5x + 4y = 2 ⎪⎭<br />
2<br />
( 1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(2)<br />
Elimination von y durch (3) – (2): 11x = 22<br />
| :11<br />
x = 2<br />
Einsetzen in (1): 6 + 2y = 12 | - 6<br />
2y = 6 ⇔ y = 3<br />
{ }<br />
Lösungsmenge: L = ( 2|3)<br />
4x 7y 15<br />
Beispiel 10: <br />
3x 5y 8<br />
Wenn man hier x eliminieren will, muss man beide Gleichungen so verändern, dass<br />
in beiden „gleichviel x“ steht:<br />
⋅ ( ) und 4⋅ ( 2)<br />
3 1<br />
2<br />
( 1)<br />
( 2 )<br />
12x 21y 45<br />
<br />
<br />
<br />
12x 20y 32<br />
(3)<br />
(4)<br />
Elimination von x durch (3) – (4): y = 13<br />
(5)<br />
Einsetzen in (2): 3x + 65 = 8 ⇔ 3x = −57 ⇔ x = − 19<br />
Lösungsmenge: L 19 | 13<br />
Achtung: Es geht schneller, wenn man gleich am Anfang so rechnet: 3⋅( 1) −4⋅ ( 2)<br />
.<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Man erhält dann sofort Gleichung (5) und spart dann (3) und (4).<br />
Hinweis: Jede Subtraktion ist im Grunde auch eine Addition: 5 – 3 ist dasselbe wie 5 ( 3)<br />
Daher sagt man zum Subtraktionsverfahren auch gerne Additionsverfahren.<br />
+ − .
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 19<br />
3.4 Das Einsetzungsverfahren<br />
Es gibt ganz spezielle <strong>Gleichungssysteme</strong>, bei denen sich auch noch ein anderes Verfahren anbietet.<br />
Beispiel 11:<br />
4x 2y 3<br />
y x 3<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
( 1)<br />
( 2 )<br />
Hier liegt die Besonderheit vor, dass die eine Gleichung nach y aufgelöst ist.<br />
Damit hat man die Gelegenheit, y in Gleichung (2) durch ( x 3)<br />
Das führt zu folgender Lösung:<br />
(2) in (1): 4x + 2⋅− x + 3 = 3<br />
− + zu ersetzen.<br />
4x − 2x + 6 = 3 | -6<br />
2x = −3⇔ x = −<br />
3 3 6 9<br />
Einsetzen in (2): y =−− + 3 = + =<br />
3<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
3 9<br />
Lösungsmenge: L | <br />
Beispiel 12:<br />
2 2<br />
13x 2y12 x 16y 9<br />
Wenn man hier die Gleichung (2) nach x = 9 + 16y (3)<br />
umstellt, kann man ebenfalls in (1) einsetzen.<br />
Jetzt wird x ersetzt: 13 ⋅ x − 16y + 2y = 12<br />
13x − 208y + 2y = 12<br />
( 1)<br />
( 2 )<br />
210y 105 | :210<br />
y = −<br />
1<br />
Eingesetzt in (3): x = 9 + 16 ⋅− = 9 − 8 = 1<br />
1<br />
Lösungsmenge: L 1| <br />
1<br />
2<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
2<br />
2
12180 <strong>Gleichungssysteme</strong> 20<br />
3.5 Das Determinantenverfahren<br />
Fortsetzung auf der CD<br />
DEMO <strong>für</strong> Mathe-CD<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de