75112 - Internetbibliothek für Schulmathematik

75112 Abitur 2012 MV 1
Pflichtaufgaben
und
Wahlaufgaben mit CAS
Datei Nr. 75112
Stand 4. Februar 2013
FRIEDRICH W. BUCKEL
Abiturprüfung 2012
Mecklenburg-Vorpommern
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

75112 Abitur 2012 MV mit CAS 2
Vorwort
Es wurden drei Gruppen von Aufgaben gestellt:
Teil A0 enthält Pflichtaufgaben, die von allen ohne Hilfsmittel zu lösen sind.
Bearbeitungszeit 45 Minuten
Teil A enthält Wahlaufgaben A1, A2 und A3, von denen jeder zwei auszuwählen hat.
Teil B enthält Wahlaufgaben für die Prüfung mit erhöhten Anforderungen (LK-Niveau).
Schüler, die im Fach Mathematik eine Prüfung auf erhöhtem Niveau machen wollen,
müssen aus den Aufgaben B1 und B2 eine auswählen.
Ich habe mich um den ganzen Jahrgang bemüht um einmal zu sehen, welche Inhalte abgeprüft
werden. Dieser Aufgabensatz enthält Aufgaben, die außer dem Pflichtteil A0 mit CAS zu bearbeiten
sind. Ich habe dennoch auch alle Lösungen „manuell“ gelöst, und zwar aus zwei Gründen:
1. Schüler, die diese Aufgaben durcharbeiten, wollen wiederholen. Dazu gehört, dass man die
manuellen Methoden kennt, auch wenn in der Prüfung das Hilfsmittel CAS zugelassen ist,
das für Mathematik-Kenntnisse eher negative Wirkung hat.
2. Es gibt sicher auch interessierte Leser, die nicht mit CAS arbeiten.
An unserer Schule (Internatsgymnasium Schloss Torgelow) ist der CAS-Rechner CASIO-ClassPad
eingeführt. Daher habe ich für diesen Text in erste Linie Screenshots von diesem Gerät verwendet,
die ich allerdings (der Bequemlichkeit wegen) nicht mit dem Handheld erstellt habe, sondern mit der
PC-Software, die diesen Rechner emuliert. Damit habe ich auch einen größeren Bildschirm und kann
mehr darstellen und zeigen, als es auf den kleinen Handgeräten möglich ist. Sonst gibt es kaum einen
Unterschied. Zusätzliche Screenshots wurden von TI Nspire CAS erstellt.
Außerdem entspricht der Text keineswegs dem, was man als Lösung „abgibt“.
Ich habe meine Lösung mit sehr viel Hintergrundinformationen und Hilfen und Tipps versehen,
denn es soll ja ein Trainingstext sein!
Inhalt
Aufgabenblatt Lösung
A0 Pflichtaufgaben 1 – 3 3 13
A1 Analysis (Wahlaufgabe) 7 17
A2 Analytische Geometrie (Wahlaufgabe) 8 23
A3 Analysis und Stochastik (Wahlaufgabe) 9 28
B1 Analysis (Wahlaufgabe für LK-Niveau) 10 32
B2 Analytische Geometrie und Stochastik (Wahl für LK-Niveau) 11 37

75112 Abitur 2012 MV 3
1 Analysis
Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1-3 des Arbeitsblattes)
Arbeitsblatt
1.1 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.
Kennzeichnen Sie in der Abbildung den lokalen
Hochpunkt H und den lokalen Tiefpunkt T.
Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Verlauf
des Graphen der ersten Ableitung von f.
1.2 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx 1,
x
x
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P 1|f 1
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1
.

75112 Abitur 2012 MV 4
3
1.3 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx8x x 1,
x .
Ermitteln Sie die Gleichung der Stammfunktion F von f, für die F2 20gilt.
1.4 Die Abbildung zeigt den Graphen
der Ableitungsfunktion f‘ einer Funktion f.
Prüfen Sie, ob folgende Aussagen wahr
bzw. falsch sind.
Begründen Sie Ihre Entscheidungen.
A: f ist im Intervall a;b streng
monoton wachsend.
B: Der Graph von f hat im Intervall
a;b
mindestens einen Wendepunkt.
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75112 Abitur 2012 MV 5
2 Analytische Geometrie
2.1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Gerade
g:
12 1
x 4 t 1
0 4
, t sowie die Punkte A2|0| 8
und B1| 1| 4
.
Zeigen Sie rechnerisch, dass A und B auf einer zu g parallelen und von g verschiedenen
Geraden h liegen.
2.2 Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt.
Beschreiben Sie rechnerisch ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes von P zu g.
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75112 Abitur 2012 MV 6
2.3 Ermitteln Sie eine Gleichung der dargestellten Ebene E.
(Abbildung nicht maßstäblich)
3 Stochastik
Eine Urne enthält eine gelbe, vier blaue und fünf weiße Kugeln.
3.1 Aus dieser Urne werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln entnommen und
jeweils ihre Farbe notiert.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
Die gezogenen Kugeln haben verschiedene Farben.
3.2 Beschreiben Sie zu der angegebenen Versuchsanordnung ein Zufallsexperiment, sodass
die Wahrscheinlichkeiten binomialverteilt sind.
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x
3
z
4
2
y

75112 Abitur 2012 MV 7
A1 Analysis
1 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung 2
Ihr Graph heißt F.
2
f x 1
mit x .
x 1
1.1 Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an.
Untersuchen Sie F auf die Existenz von Extrem-und Wendepunkten.
Ermitteln Sie gegebenenfalls deren Koordinaten.
Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von F an.
Zeichnen Sie F im Intervall 4 x 4 in ein geeignetes Koordinatensystem.
1.2 Die x-Achse und F begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
1.3 Die Punkte R(-u I f(-u)), S(0 I 0) und T( u I f(u)) mit 0 < u < 1 bestimmen ein Dreieck.
Berechnen Sie den Wert von u so, dass die Dreiecksfläche maximal wird.
1.4 Bestimmen Sie die Gleichungen derjenigen Tangenten an F, die Ursprungsgeraden sind.
1.5 Gegeben ist die Funktionenschar gP mit der Gleichung
gpx 2
px p mit x und p > 0.
Jeder Graph von gP hat Schnittpunkte mit F. Deren Anzahl ist abhängig von p.
Bestimmen Sie für jeden der folgenden Fälle je einen Wert für p.
(a) Die Graphen haben genau zwei Schnittpunkte.
(b) Die Graphen haben genau drei Schnittpunkte.
(c) Die Graphen haben genau vier Schnittpunkte.
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75112 Abitur 2012 MV 8
A2 Analytische Geometrie
2 ln einem kartesischen Koordinatensystem ist ein ebenflächig begrenzter Körper K mit den
Eckpunkten A2| 4|0,
B0|4| 2,
C0|4|2 und D2| 4|0gegeben.
Er besitzt die vier Begrenzungsflächen ABC, ACD, ABO und BCD.
2.1 Stellen Sie K grafisch dar.
2.2 Weisen Sie nach, dass alle Begrenzungsflächen des Körpers zueinander kongruent sind.
Prüfen Sie, ob diese Dreiecke
gleichschenklig
rechtwinklig
sind.
Berechnen Sie für eine der Begrenzungsflächen den Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Neigungswinkel zwischen den Begrenzungsflächen ABC und ACD.
2.3 Die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, DB und DC liegen in einer gemeinsamen Ebene.
Beschreiben Sie die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem.
2.4 Berechnen Sie den Abstand des Punktes C von der Ebene ABD.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers K.
2.5 Gegeben sind Körper Kt durch die Punkte
A 2| 4|0 B 0|t| 2
,
,
C 0|t|2 und D2| 4|0
t
t
.
Prüfen Sie, ob es einen Wert für t gibt, sodass die Begrenzungsfläche ABtCt des Körpers Kt
rechtwinklig ist.
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75112 Abitur 2012 MV 9
A3 Analysis und Stochastik
3.1 Gegeben sind die Funktionen g, f und h mit den Gleichungen
gx 3,7
hx 0,0272 x 2,19
3 2
f x 0,135 x 8,12 x 161,8 x 1065,3
mit x . Ihre Graphen heißen G, F und H.
3.1.1 Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von F.
3.1.2 Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten von F.
3.1.3 Stellen Sie in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen der Funktionen g, f und h
jeweils in diesen Intervallen dar:
G: 0 x 18,5´
F: 18,5 x 21,6 H: 21,6 x 30,5
3.1.4 Eine weitere Funktion w ist folgendermaßen definiert:
gx für0 x18,5
wx f
x für18,5 x 21,6
h
x für 21,6 x 30,5
Es gilt: 1 LE = 1 cm.
Bei der Rotation des Graphen von w um die x-Achse entsteht ein Körper, der näherungsweise
der äußeren Form einer Flasche entspricht.
Berechnen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers.
Auf dem Etikett dieser Flasche ist die Füllmenge mit 700 ml angegeben. Geben Sie zwei
Gründe für mögliche Abweichungen des von Ihnen berechneten Rotationsvolumens von der
angegebenen Füllmenge an.
3.2 Flaschen werden in zwei Abfüllanlagen maschinell befüllt. Die Einhaltung der angestrebten
Füllmenge von 700 ml soll überprüft werden, dazu wurden je 7 Flaschen der laufenden
Produktion entnommen und deren Inhalt gemessen.
Anlage A 716 ml 692 ml 712 ml 702 ml 706 ml 701 ml 714 ml
Anlage B 707 ml 695 ml 726 ml 684 ml 688 ml 711 ml 692 ml
3.2.1 Ermitteln Sie für beide Abfüllanlagen jeweils das arithmetische Mittel und die
Standardabweichung der Füllmengen.
3.2.2 Flaschen, deren Füllmengen um mehr als 20 ml von der angegebenen Füllmenge abweichen,
werden aussortiert. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass dies bei 0,1 %aller
abgefüllten Flaschen der Fall ist.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
A: Genau 3 von 1 000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.
B: Weniger als 3 von 1000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.
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75112 Abitur 2012 MV 10
B1 Analysis
1.1 Gegeben ist die Funktionenschar fa durch die Gleichung
a
fax 0,5
0,2x
1 30 a mit a,x und a > 0,
1.1.1 Untersuchen Sie die Graphen von fa auf gegebenenfalls vorhandene Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen, Extrem-und Wendepunkte. Geben Sie auch jeweils die Koordinaten an.
Geben Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte an.
Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten.
1.1.2 Für a = 40 schließen der Graph von f40, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der
Gleichung x = 50 eine Fläche F ein.
Die Punkte A(0 I 0) und P(50 I f40(50)) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten
parallel zu den Koordinatenachsen liegen.
Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der Rechteckfläche auf die Fläche F entfallen.
1.2 Auf einem Versuchsgelände wurde zu Forschungszwecken das Höhenwachstum einer
bestimmten Grassorte beobachtet. ln der Tabelle sind die Durchschnittswerte der Messungen
der Höhe des Grases h (in cm) zu ausgewählten Zeitpunkten t (in h) ab Beginn der
Beobachtung angegeben.
t in h 0 3 7 10 15 24 36 48
h in cm 1,8 2,8 5,3 8,4 16,5 32,6 39,6 40,4
1.2.1 Stellen Sie die Wertepaare der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar. ·
Zur Beschreibung der Höhe des Grases kann die Funktion h mit der Gleichung
40
ht 0,5
0,2t
1 30 e mit t 0 verwendet werden
Berechnen Sie die durchschnittliche Höhe des Grases nach 20 Stunden sowie den Zeitpunkt,
zu dem etwa 20 cm Höhe erreicht sind.
Beurteilen Sie die Aussage: Höhen über 45 cm sind nicht möglich.
1.2.2 Führen Sie mit den gegebenen Messwerten eine exponentielle Regression durch und geben
Sie die Gleichung der Regressionsfunktion an. Beurteilen Sie die Brauchbarkeit der ermittelten
Funktion hinsichtlich der Darstellung der Messwerte und des zu erwartenden weiteren
Wachstums.
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75112 Abitur 2012 MV 11
B2 Analytische Geometrie und Stochastik
2 Ein Carport wird direkt an einer Hauswand aufgestellt. ln einem kartesischen
Koordinatensystem hat das Carportdach die Eckpunkte
A (3 I 0 I 2,5), B(3 I 4 I 2,3), C(-3,5 I 4 I 2,3) und D(-3,5 I 0 I 2,5) .
Die Hauswand befindet sich in der xz-Ebene. Die Stellfläche für das Auto befindet sich in der
xy-Ebene. Eine Längeneinheit ist ein Meter.
2.1 Erstellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen und
zeigen Sie, dass der Punkt D ebenfalls Punkt dieser Ebene ist.
Damit das Regenwasser auf dem Carportdach von der Hauswand weg geführt werden kann,
muss dieses eine horizontale Neigung von mindestens 2,5° haben.
Überprüfen Sie, ob dies gewährleistet ist.
2.2 Im Punkt M(0 I 0 | 5) befindet sich die Spitze eines Blitzableiters.
1, 35
Die Sonnenstrahlen verlaufen in Richtung des Vektors 1 .
1
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Blitzableiters auf das Carportdach fällt.
2.3 Für die Dachverblendung des Carports sollen quadratische Schieferplatten montiert werden.
Der Hersteller der Schieferplatten gibt an, dass durch Fertigung und Transport mit einem Anteil
defekter Platten von 5% zu rechnen ist.
Oberprüfen Sie, ob die Behauptung des Herstellers mit einem Signifikanzniveau von 0,05
korrekt ist, wenn in einer Teillieferung von 200 Platten höchstens 15 defekt sind.
2.4 Im hinteren Teil des Carports wird mithilfe von Brettern und Schrauben ein Abstellraum
geschaffen.
2.4.1 Die Bretter werden maschinell zugesägt und mit Bohrungen für die Schrauben versehen.
Bei der Endkontrolle wird festgestellt, dass 5 % der Bretter falsch zugesägt wurden und 0,2 %
falsch zugesägt und fehlerhaft gebohrt wurden. Die Fehler treten unabhängig voneinander auf.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Brett richtig zugesägt aber falsch gebohrt
wurde.
2.4.2 Beim Erstellen des Abstellraumes werden Schrauben zur Befestigung der Bretter benötigt.
Der Anteil fehlerhafter Schrauben ist binomialverteilt mit den Parametern 25 4,9371.
Berechnen Sie den Anteil der fehlerhaften Schrauben.
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75112 Abitur 2012 MV mit CAS 12

75112 Abitur 2012 MV mit CAS 13
1 Analysis
Aufgabe A0 - Lösungen
Ausgefülltes Arbeitsblatt
1.1 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.
Kennzeichnen Sie in der Abbildung den lokalen
Hochpunkt H und den lokalen Tiefpunkt T.
Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Verlauf
des Graphen der ersten Ableitung von f.
Für die Abbildung von f´ ermittelt man an einigen
Stellen die Steigung des Schaubilds F und übernimmt sie als
Werte für f´. In H und T sind sie Null. In N2 (-3|0) ist mT = -3,
also ist f‘(-3)=-3. Bei x = 0 könnte mT=2 sein also trägt man
f‘(0)=2 ein.
1.2 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx 1,
x
x
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P1 1|f 1
1
.
Lösung:
Die Gleichung einer Geraden kann man z. B. mit der Punkt-Steigungs-Form ermitteln:
Hinweis 1:
Hinweis 2:
mit 1
yy m x x
und
1 1
x 2
y1f1 112 f(x) x 1 f ' x x
1 2
1. Ableitung.
Tangentensteigung: f'
1
1
m
2 1
1
Eingesetzt: y 2 1 x1
bzw. y2 x1 y x 3
Man kann die Tangentengleichung auch gleich so ansetzen: y fx f'xx
x
Ein anderer Ansatz ist: y mxn y x n
n ermittelt man dann durch Einsetzen des Berührpunktes P1 1| 2
2 1n n 3
Ergebnis: y x 3
1
x
2
:
1 1
1

75112 Abitur 2012 MV 14
3
1.3 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx8x x 1,
x .
Ermitteln Sie die Gleichung der Stammfunktion F von f, für die F2 20gilt.
Lösung:
Stammfunktionen werden mit dem unbestimmten Integral berechnet:
F x f(x)dx 8x x1 dx 8 x x xC
F x 2x x x C
4 1
2
2
C bestimmt man durch die Bedingung F2 20:
Es ist F2 3222C 28 C
Vergleichen: 28 C 20 C 8
Ergebnis:
F x 2x x x 8
4 1
2
2
1.4 Die Abbildung zeigt den Graphen
der Ableitungsfunktion f‘ einer Funktion f.
Lösung:
Prüfen Sie, ob folgende Aussagen wahr
bzw. falsch sind.
Begründen Sie Ihre Entscheidungen.
A: f ist im Intervall a;b streng
monoton wachsend.
B: Der Graph von f hat im Intervall a;b
mindestens einen Wendepunkt.
3 1 4 1 2
4 2
A ist wahr. Man erkennt, dass für alle x a;bgilt: f'x 0 (denn der Graph von f' liegt
über der x-Achse). Also hat d in a;b über alle positive Steigung.
Folglich wächst f in a;b streng monoton.
B ist wahr. An einem Wendepunkt hat der Graph einen Krümmungswechsel.
Für a x 0 hat f' positive Steigung, d. h. die Steigung von f nimmt zu.
Das bedeutet für den Graphen von f Linkskrümmung.
Für 0 x b hat f' negative Steigung, d. h. die Steigung von f nimmt ab.
Das bedeutet für den Graphen von f Rechtskrümmung.
Folglich findet bei x = 0 ein Krümmungswechsel statt.
Der Graph F von f hat also bei x = 0 einen Wendepunkt.
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75112 Abitur 2012 MV 15
2 Analytische Geometrie
2.1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Gerade
g:
12 1
x 4 t 1
0 4
, t sowie die Punkte A2|0| 8
und B1| 1| 4
.
Zeigen Sie rechnerisch, dass A und B auf einer zu g parallelen und von g verschiedenen
Geraden h liegen.
A
Lösung:
B h
1
Richtungsvektor von g: u 1
P1
4
u g
Aufpunkt von g: P112|4|0- 1 2 1
AB b-a 1 0 1
4 8 4
Wegen AB uist
die Gerade h = (AB) parallel zu g.
Es gibt zwei Methoden zum Nachweis, dass die Geraden verschieden sind:
(1): 1
2 12 12 PA 0 4 8
ku
8 0 8
Der Pfeil von P1 nach A hat also eine andere Richtung als u , daher liegt A nicht auf g.
Also können g und h nicht identisch sein.
(2) Man macht die Punktprobe mit A2|0| 8
in g:
2 12 1 10 t
0
4 t 1 4 t
8
0 4
8
4t
Da dieses Gleichungssystem nicht eindeutig für t lösbar ist, liegt A nicht auf g.
Also können g und h nicht identisch sein.
(1) ist schneller erledigt.
2.2 Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt P1, der nicht auf g liegt.
Beschreiben Sie rechnerisch ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes von P zu g.
Lösung:
Man stellt die Gleichung der Ebene EL (Lotebene) auf, die
senkrecht zu g verläuft und durch P1 geht.
Dazu verwendet man den Richtungsvektor der Geraden g
als Normalenvektor und kann dann die Normalengleichung
von EL aufstellen: ux k.
Das Absolutglied k erhält man durch Einsetzen von P1: ux ux1. Als nächstes berechnet man den Schnittpunkt von g und EL durch
koordinatenweises Einsetzen des Geradenterms in die Ebenengleichung.
Der Schnittpunkt ist dann der Fußpunkt des Lotes von P1 auf g.
Der gesuchten Abstand ist dann der Betrag des Vektors PF1
: dP,g PF
1 1
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F
g
n
P1
EL

75112 Abitur 2012 MV 16
2.3 Ermitteln Sie eine Gleichung der dargestellten Ebene E.
(Abbildung nicht maßstäblich)
Beste Möglichkeit: Verwenden der Achsenabschnittsform:
x y z
1 | 12
3 2 4
E: 4x 6y 3z 12
Oder:
Man verwendet z. B: A 3 | 0 | 0 als Aufpunkt
3 0 3 3 0 3
und u 02 2
und v 00 0
0 0 0
0 4 4
E:
3 3 3
x 0r2s 0
0 0 4
3 Stochastik
Eine Urne enthält eine gelbe, vier blaue und vier weiße Kugeln.
(oder andere) als Richtungsvektoren:
3.1 Aus dieser Urne werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln entnommen und
jeweils ihre Farbe notiert.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
A: Die gezogenen Kugeln haben verschiedene Farben.
g
Dem Baumdiagramm entnimmt man:
5 5 5 5
45420520 58
P A
1 4 1 4 1 4 1 4
10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9
P A
90 90
Oder über das Gegenereignis:
4 3 5 4 1220 32
A gg ; bb ; ww mit PA
10 9 10 9 90 90
32 58
PA 1PA 1
90 90
3.2 Beschreiben Sie zu der angegebenen Versuchsanordnung ein Zufallsexperiment, sodass
die Wahrscheinlichkeiten binomialverteilt sind.
Die Voraussetzung für eine Binomialverteilung ist, dass das Experiment eine Bernoulli-Kette ist.
Darunter Versteht man eine Abfolge mehrerer gleicher Experimente (Stufen), in denen man
nur zwischen zwei Ergebnissen unterscheidet, also z. B. gelb und nicht gelb.
Weil in jeder Stufe die Wahrscheinlichkeit gleich bleibt, muss man – wenn es sich um ein
Ziehungsexperiment handelt – nach jeder Ziehung wieder zurücklegen.
Gefordertes Beispiel:
Man zieht n-mal (z. B. 5-mal) eine Kugel aus dieser Urne, notiert die Farbe und legt die Kugel
wieder zurück. Das zu bewertende Ereignis ist z. B. Man zieht genau zwei gelbe Kugeln.
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x
3
4
z
1| 4 | 5
2
1
10
5
10
4
10
0|4|5 b
1| 3 | 5
w
1| 4 | 4
4
9
5
9
y
1
9
3
9
5
9
1
9
4
9
4
9
b
w
g
b
w
g
b
w

75112 Abitur 2012 MV 17
1 Gegeben: 2
A1 Analysis - Lösung
f x
2
1
mit x .
x 1
Manuelle Lösung CAS - Lösung
1.1 Nullstellen: Bedingung: fx 0
2
2
x 1
2
2
1 0 | x 1
2 x 1 0
2
2 x 1
2
x 1 x 1
Ableitungen: 1
2
2
x 1
2
1,2
2
f x 1 2 x 1 1
2
x
2
2
x 1
2 2
2
1x 1
2 x 1
2x x
4 2 4 3
x 1
2 x 1
f' x 2 x 1 2x 4
f'' x 4
f'' x 4 4
2
3x 1
2
3x 1
3 3
2 2
x 1 x 1
Extrempunkte: Bed.: f'x 0 x 0
(Ein Bruch wird 0, wenn sein Zähler 0 wird.)
y-Koordinate:
2
f0 1 1
1
Kontrolle:
1
f''0 4 0
1
Maximum
H 0 | 1 ist Hochpunkt.
Ergebnis:
Wendepunkte: Bed.: f''x 0
d. h.
x 1 4x
2 2
2 2
3x 1 0 3x 1
2 1 x 3 xW 1 3
3
9
1 3 3
f
2 2
1 1 2 1 4 1
1 1 y-Koordinaten: 3 3
Kontrolle:
1 1
3 4 2 2
3 3
1
3 sein.
f'' muss 0
Wenn man keine 3. Ableitung berechnen will, kann man statt
dessen auch so argumentieren, dass die beiden Nullstellen
von f '' einfache Nullstellen sind und folglich f '' dort einen
Vorzeichenwechsel hat, was besagt, dass sich dort die
Krümmungsart ändert, also F einen WP hat.
ACHTUNG Symmetrie!
In der Regel fragt man auch nach dem Symmetrieverhalten. Hier ist das nicht geschehen. Aber
spätestens hier bei der Wendepunktberechnung sollte man darauf achten: Weil f nur x gerade
Exponenten hat, gilt fx fx, also ist F symmetrisch zur y-Achse. Daher reicht es, nur die
Stelle 1
3 3 zu untersuchen. Das Ergebnis gilt dann auch für sein „Spiegelbild“ 1
3 3 .
Das muss man aber auch dazuschreiben!
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3

75112 Abitur 2012 MV 18
Asymptoten:
Der Graph einer gebrochen rationale Funktionen hat dort eine senkrechte Asymptote, wo die Funktion
eine Polstelle hat. Und die findet man dort, wo der Nenner Null wird, aber nicht zugleich der Zähler.
2
Hier heißt der Nenner x 1.
Der Versuch, diesen Null zusetzen führt auf
2 2
x 1 0 x 1 Und dies ist nicht lösbar.
Es gibt also keine senkrechten Asymptoten.
F hat aber eine waagrechte Asymptote, und diese sieht man der
2
Funktionsgleichung an: fx 1.
Für x hat der Bruch den Grenzwert 0
2
x 1
2
Dies sollte man so aufschreiben: lim f x 1,
denn lim 0
x x
2
x 1
Ergebnis: F hat die waagrechte Asymptote y 1
Übrigens braucht man hier schon wieder die Symmetrie, denn die Annäherung
gilt auch für x , was im CAS-Screenshot nicht steht.
Zeichnen Sie F im Intervall 4 x 4 in ein
geeignetes Koordinatensystem.
Hinweis:
Wenn man sich darüber klar wird,
dass der Hochpunkt H0 | 1 ist und
die waagrechte Asymptote y = -1,
dann muss einem klar werden, dass
„geeignet“ hier bedeutet, dass man
die y-Einheit anpassen muss, sonst
wird das Schaubild „schlecht“.
1.2 Flächenberechnung
1
oder wegen der Symmetrie besser
A f x dx
1
1
CAS-Lösung:
A f x dx 1,14
1
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1
A 2 f x dx
1
2
Manuell: A 2 1
dx
2 ist manuell für Schüler kaum zu berechnen, weil die benötigte
0 x 1
Stammfunktion nicht (mehr) im Unterricht behandelt wird.
Für Interessierte sei sie angegeben:
0
b
1 b
dx arctan x (Siehe Text 48017)
2 a
a x 1
Das ist die Arcustangens-Funktion, also die Umkehrfunktion zu Tangensfunktion.
Sie ist im Taschenrechner unter tan -1 gelistet und somit gut abrufbar.
Damit klappt die manuelle Berechnung so:
1 1
1
1
A 4 dx 2 dx 4arctanx2x 4arctan124arctan00 21,14 x 1
2 0
0 0
1 1
O
Hilfe:
4 4
1
4
und
arctan(1) , dann tan tan 45 1
0
arctan 0 0, denn tan 0 0 .

75112 Abitur 2012 MV 19
1.3 Die Punkte R(-u I f(-u)), S(0 I 0) und T( u I f(u)) mit 0 < u < 1 bestimmen ein Dreieck.
Berechnen Sie den Wert von u so, dass die Dreiecksfläche maximal wird.
Extremwertaufgabe:
Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt des
1
Dreiecks. Grundformel: A gh.
Um g und h berechnen zu können, muss
man die Eckpunkte festlegen, was hier schon
im Aufgabentext passiert ist.
Grundseite: g RT 2u
Höhe:
2
h fu 1
2
u 1
1
Zielfunktion: Au u fu CAS-Lösung:
Zuerst wird die Zielfunktion definiert
und angezeigt.
Dann wird die 1. Ableitung als a1(u) definiert
und angezeigt.
In der Zeile mit solve wird die Gleichung
A'u 0 gelöst.
Ich habe das Ergebnis einmal exakt anzeigen lassen
und einmal mit Näherungsdezimalzahlen.
Dann folgt die Kontrolle (hinreichende Bedingung),
also die Überprüfung des Werts A ''0,4859 .
Zuerst habe ich A‘‘(u) anzeigen lassen und dann
den Wert berechnet.
2
2
Bei CASIO ClassPad gibt es für den Befehl diff diese Syntax:
diff(Funktion , Variable , Nr. der Ableitung , Einsetzwert)
a(u) u
2
0,4859
Ergebnis: Für u 5 2 nimmt der Dreiecksinhalt ein Maximum an.
Manuelle Lösung:
1 2
A u 1
2 2
u 1
Definitionsbereich: u 1;1
u 1
u
2
2
u 1
Der Rand ist ausgeschlossen, weil für u = 1 oder -1 das Dreieck zu einer Strecke entartet.
Für die Extremwertberechnung benötigt man zwei Ableitungen:
2
2
2
2 u 1 2
2
2 u 1
2
2u
2 u 2
2
2
1
2 u 1 2u 1u
2 4 3
u 1
3
2 u 1
3 3
2 u 1
1 u 1 2uu 1 1u 1
A' u
A'' u
2u 2u 4u 4u 2u 6u
3 3
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75112 Abitur 2012 MV 20
Extremwertbedingung: A'u 0:
2
1 u 1
2
2 u 1
2
2 2
21 u u 1
2 4 2
22u u 2u 1
4 2
u 4u 1 0
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2
| Über Kreuz multiplizieren
Das ist eine biquadratische Gleichung für u, also eine quadratische Gleichung für u 2 .
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert hier also Lösungen für u 2 :
Aus
Aus
u
2
2 b b 4ac
2a
2 4 u
164 4
2 2
20 42 5
2 2
5
2
u 2 5 folgen die Lösungen u1,2 5 2
2
u 2 5 folgen keine Lösungen, weil 2 5 < 0 ist.
Die einzig brauchbare Lösung für die Extremwertaufgabe ist u 52 0,486D
u
Die Kontrolle mit der 2. Ableitung liefert: A''0,486 0.
Also handelt es sich um ein relatives Maximum.
Randwertuntersuchung:
1 1
lim A u 0 ist kein Maximalwert
x1 2 2
Also hat das Dreieck für u 5 2 0,486 einen maximalen Inhalt.
1.4 Gesucht sind Tangenten an F durch den Ursprung.
Methode: Man stellt die Gleichung der Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt
Bu|fu
auf.
Dann verlangt man, dass die Tangente durch den Ursprung geht,
setzte also in die Tangentengleichung x = 0 und y = 0 ein.
‚ Aus der daraus entstehenden Gleichung kann man u berechnen.
Allgemeine Rechnung: Berührpunkt sei Bu|fu
Die Punktsteigungsform zum Aufstellen einer Geradengleichung lautet:
Tangente in B: t:
yy1 mx x1
yfu f'ux u
(T1)
Bedingung: 0|0 t
0 fu f'u 0 u
d. h. fu u f'u (T2)
CAS-Rechner: (1. Methode):
Man gibt die Gleichung (T2) ein und lässt sie lösen.
(Ergebnis exakt und näherungsweise)
Dann Anzeige der Tangentensteigung.
Ergebnis: Tangente in u1 2 5 : y 0,3x
Tangente in u1 2 5 : y 0,3x

75112 Abitur 2012 MV 21
CAS-Rechner: (2. Methode):
Man definiert die Tangentenfunktion t,
als Funktion mit 2 Variablen:
Dazu stellt man yfu f'ux u
(T1)
nach y um: y f'uxu f(u)
Die Tangentengleichung (T1) heißt dann
y t x,u .
Jetzt folgt die Punktprobe für den Ursprung, d. h. man setzt x = 0 und y = 0 ein: 0 t0, u
Diese Gleichung lässt man mit solve nach u umstellen und erhält u 2 5 .
Jetzt setzt man den Wert u12 5
und lässt das Ergebnis gleich noch mit simplify vereinfachen.
Ergebnis: Die Tangentengleichung lautet y 0,3x .
in die Tangentenfunktion ein: tx, 5 2
,
Aus Symmetriegründen lautet die 2. Tangente, die in u2 2 5 berührt: y 0,3x
Manuelle Rechnung: Sie beginnt mit drei Zeilen der a1llgemeinen Rechnung von (T1) bis (T2):
2 u
In (T2) setzt man f und f‘ ein: 1 u
4
2 2
u 1 2
u 1
Umformen:
2
2 4u
1 u 1 u 1
2
2 2
2
2 u 1 u 1 4u
2
2u
2 2 2
4 2
2u 2u
2
1 4u
| 2
2
u 1
4 2
u 4u 1 0
Biquadratische Gleichung:
2 4 u
164 4 20 42 5
2 2 2 2
5
2
Aus u 2 5 folgt: u 2 5
2
Aus u 2 5 0 folgen keine Lösungen.
Die Steigungen dieser Tangenten sind f'u 4 25 0,3
2 5 1
2
Dann lautet die Gleichung der 1. Tangente, die in u1 2 5 berührt: y 0,3x
Aus Symmetriegründen lautet die 2. Tangente, die in u2 2 5 berührt: y 0,3x
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75112 Abitur 2012 MV 22
1.5 Gegeben:
2
gpx px p
mit x und p > 0.
Gesucht sind drei Beispielfunktionen mit den Eigenschaften
(a) Die Graphen haben genau zwei Schnittpunkte.
(b) Die Graphen haben genau drei Schnittpunkte.
(c) Die Graphen haben genau vier Schnittpunkte.
Graphische Lösung: (Probierlösungen zur Orientierung)
Zuerst definiere ich die Funktionenschar.
Dann lasse ich das vSchaubild von f zusammen mit drei Schaubildern von g anzeigen:
Beobachtung:
Für p = 0,1 erhält man genau 4 Schnittpunkte.
Für p = 1 erhält man genau 3 Schnittpunkte.
Für p = 1,2 erhält man genau 2 Schnittpunkte.
Das kann man ganz einfach durch Berechnung der
Schnittstellen beweisen: (CAS-Lösung)
Manuelle Beispielrechnung ohne CAS für p = 0,1:
2
2 |x 1
2
1 0,1x 0,1
2
x 1
2 2 2
2 x 1 0,1x 0,1 x 1
2 4 2 2
2 x1 0,1x 0,1x 0,1x 0,1
4 2
0,1x x0,9 0
4 2
x 10x 9 0
| 10
Biquadratische Gleichung:
Aus
2 10
x
100 3610 8
9
2 2 1
2
x 9 folgt x1,2 3 und aus
2
x 1 folgt x3,4 1
Es gibt also 4 Schnittpunkte.
Analog dazu gehen die Rechnungen für p = 1 und p = 1,5.
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75112 Abitur 2012 MV 23
A2 Analytische Geometrie - Lösung
2 In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein ebenflächig begrenzter Körper K mit den
Eckpunkten A2| 4|0,
B0|4| 2,
C0|4|2 und D2| 4|0
gegeben.
Er besitzt die vier Begrenzungsflächen ABC, ACD, ABD und BCD.
2.1
2.2 Der Körper hat 4 Dreiecke als Oberfläche.
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn entsprechende Seiten gleich lang sind („SSS“).
0 2 2 AB 4 4 8
2 0 2
0 2 2 AC 44 8
2 0 2
2 2 4 AD 44 0
0 0 0
0 0 0 BC 4 4 0
2 2 4
2 0 2 BD 4 4 8
0 2 2
2 0 2 CD 44 8
0 2 2
AB AB 4 644 72 LE
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AC AC 4 644 72 LE
AD AD 4 LE
BC BC 4 LE
BD BD 4 644 72 LE
CD CD 4 644 72 LE
Dreieck ABC: AB AC 72 LE und BC 4 LE Dreieck ABD: AB BD 72 LE und AD 4 LE Dreieck ACD: AC CD 72 LE und AD 4 LE Dreieck BCD: BD CD 72 LE und BC 4 LE.
Ergebnis: Alle vier Dreiecke sind kongruent und gleichschenklig.

75112 Abitur 2012 MV 24
Wenn ein gleichschenkliges Dreieck rechtwinklig sein soll, kann der rechte Winkel nur an der Spitze,
also gegenüber der 4 LE langen Basis sein.
Überprüfung des Winkels im Dreieck ABC an der Spitze A:
2 2 AB AC 8 8 4 644 0
2
2
Ergebnis: Also ist dieses und somit keines der Dreiecke rechtwinklig.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man mit dem Vektorprodukt berechnen:
Manuelle Berechnung des Vektorprodukts mit dem Schema
16 16 32 4 1 1 1 1
A
AB AC 4 4 8 8 1 4 17
2 2 2 2
16 16
0 0
Berechnung mit CASIO ClassPad:
O O
Es gibt zwischen zwei Ebenen zwei Schnittwinkel, der zweite ist ' 180 93,37 .
Durch die Verwendung des Betrags im Zähler wurde der kleinere Winkel berechnet.
Und dieser gilt auch für den Körper K, weil es dort keine stumpfen Winkel gibt.
Winkel Berechnung mit CAS:
Verwendet man CASIO ClassPad, dann kann man die
einprogrammierte Funktion angle verwenden.
Dazu musste man zuerst den zweiten Normalenvektor verwenden.
2 2
8 8
2
2
2 2
8 8
2
2
Der Neigungswinkel zwischen den Begrenzungsflächen ABC und ACD entspricht dem Winkel
zwischen ihren Normalenvektoren:
2 4
32
nABC ABAC 8 (s. o.)
0
2 4 0
nACD ACAD 8 0 8
2 0 32
8
2
2 8
0
0
4
0
Manuelle Berechnung des Winkels zwischen 2 Vektoren:
2 0
nABC nACD
cos
nABC nACD
32 0
8 8
0 32
4 0
8 1 8 1
0 4
8 64
178 1
17 17
1
1
O
cos 17 86,63 .
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75112 Abitur 2012 MV 25
Verwendet man TI Nspire CAS, muss man den Winkel mit der
Kosinusformel berechnen, denn dort fehlt die angle-Funktion.
Zuerst wurde
16 16 32 4 1 1 1 1
A
AB AC 4 4 8 8 1 4 17
2 2 2 2
16 16
0 0
berechnet.
2 4 0
Dann der Vektor nACD ACAD 8 0 8
2 0 32
Die letzten zwei Berechnungen zeigen die Umsetzung der
Kosinusformel.
Das 1. Ergebnis 1,51.. muss erkennen lassen, dass der Rechner
einen Winkel im Bogenmaß ausgegeben hat.
Nach Änderung der Voreinstellung erhält man den Winkel im
Gradmaß.
Ich zeige noch eine zweite Version für diese Lösungen.
Sie wird kürzer, weil ich für die Normalenvektoren Definitionen
einführe.
Die Eingaben gehen sind schneller erledigt, wenn man die
Normalenvektoren gleichzeitig mit der Berechnung definiert!
2.3 Die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, DB und DC liegen in einer gemeinsamen Ebene.
Beschreiben Sie die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem.
Lösung: Gegeben A2| 4|0,
B0|4| 2,
C0 | 4 | 2 und D2| 4|0
1
Berechnung der Mittelpunkte durch mAB 2 a b
Ergebnisse: M 1|0| 1,
M 1|0|1 ,
M 1|0| 1,
M 1|0|1
AB
AC
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DB
:
DC
.
Hier zeigt es sich wieder einmal, dass man zuerst nachsehen muss, ob einem eine
Besonderheit auffällt, bevor man mit großen Rechnungen beginnt.
Entscheidende Beobachtung:
Die y-Koordinaten aller Punkte dieser Ebene sind 0.
Also hat E die Koordinatengleichung y 0:
E ist also die xz-Ebene.
Durch diese Erkenntnis erspart man sich die unnötige Aufstellung einer Ebenengleichung.

75112 Abitur 2012 MV 26
2.4 Gleichung der Ebene ABD.
Manuelle Lösung:
2 4 0 0
EABD hat den Normalenvektor nABD ABAD 8 0 8 81
2
0 32 4
0
Für die Normalengleichung verwende ich daher n31
4
n x k 0x 1y4z k
EABD: 3
Einsetzen von A2| 4|0:
k 4
Ergebnis: y 4z 4
bzw. y4z 4 0
| 1
Hinweis: Diese Normalengleichung kann auch in einem Rutsch so berechnen:
n x n a
3 3
Abstand des Punktes C0 | 4 | 2 von der Ebene ABD.
Hessesche-Normalform von EABD:
0 x 0 2
1y 14 y4z 4
4
z 4 0
y4z 4
0
2 2
1 4
Abstand: dC,E
CAS-Berechnung:
Vorübungen zum Verständnis des Folgenden!
ABD
484 16
17 17
Zuerst berechne ich den Normalenvektor 3 n der Ebene
und definiere ihn als n3.
Dann lasse ich die Normalengleichung n3 x n3 a
(s. o.)
anzeigen Man könnte sich noch vereinfachen (:8).
Die HNF entsteht aus dieser Ebenengleichung, indem man
die rechte Seite nach links bringt und noch durch den Betrag
des Normalenvektors dividiert.
Für die gesuchte Abstandsberechnung des Punktes C0|4|2
x von der Ebene EABD muss man die Koordinaten von C in y einsetzen:
z Diese einzige Eingabe genügt für die
Abstandsberechnung:
Wenn man wie hier keinen Absolutbetrag
verwendet, kann das Ergebnis negativ werden.
(Mehr dazu siehe Text 64201 – Lernblätter
zur Abstandberechnung).
Volumen des Körpers K (Pyramide mit dem Dreieck ABD als Grundfläche).
Da alle Dreiecke kongruent sind, haben sie alle gleich großen Inhalt, nämlich A 4 17 (siehe 2.2).
Volumen: 1 1
V Ad(C,E 3 ABD ) 4 17
3
16 64
(VE)
17 3
h
2 4
8 0
2
0
2 4
8 0
2
0
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75112 Abitur 2012 MV 27
2.5 Gegeben sind Körper Kt durch die Punkte
A2| 4|0,
B 0|t| 2,
C 0|t|2 und D2| 4|0
t
t
.
Prüfen Sie, ob es einen Wert für t gibt, sodass die Begrenzungsfläche ABtCt des Körpers Kt
rechtwinklig ist.
2
ABt t4
2
2
AC t4
2
, t
Liegt bei A ein rechter Winkel?
0 BC 0
4
, t t
2 2
ABt ACt t4t4 4 t4 4 t4
2
2
2 2
Im Falle eines rechten Winkels muss dieses Produkt Null sein, also muss t = -4 sein.
Dann hat K 4 diese Eckpunkte:
A2| 4|0,
B0| 4| 2,
C0| 4|2und
D2| 4|0
4
4
.
Diese Punkte haben alle die y-Koordinate -4 und liegen daher in der Ebene y = -4.
Somit können sie keinen Körper bilden.
Bei A kann also kein rechter Winkel entstehen.
Kann bei Bt ein rechter Winkel auftreten?
2
0 ABBCt t40 8
Also auch nicht.
2
4
Kann bei Ct ein rechter Winkel auftreten?
2
0 ACt BtCt t40 8 Also auch hier nicht.
2 4
Ergebnis: Für keinen Wert von t ist das Dreieck ABtCt rechtwinklig.
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75112 Abitur 2012 MV 28
A3 Analysis und Stochastik - Lösung
3.1 Gegeben sind die Funktionen g, f und h durch:
gx 3,7
3 2
f x 0,135 x 8,12 x 161,8 x 1065,3
hx 0,0272 x 2,19
mit x . Ihre Graphen heißen G, F und H.
3.1.1 Ableitungen (manuell)
f''x 0,81x 16,24
Extremwertbedingung: f'x 0:
2
f ' x 0,405x 16,24x 161,8
2
0,405x 16,24x 161,8 0
2
16,24 16,24 40,405 161,8 16,24 1,2734
x
21,62
E
2 0,405 0,81 18,48
y-Koordinaten: f 21, 62 1, 60 und f18,48 3,70
Kontrolle: f ''(21,62) 0 T21,52 | 1,60
f ''18,48 0 H16,48 | 3,70
Hinweis: Im Screenshot habe ich die beiden Ableitungsfunktionen erst am Ende
anzeigen lassen. Man benötigt sie ja zum Aufschreiben im Lösungsblatt.
3.1.2 Krümmungsverhalten von F.
WISSEN: Hat f '' in einem Intervall positive Werte, dann bedeutet dies Zunahme der
f' Werte,
also der Tangentensteigungen, also Linkskrümmung von F.
Nullstellen von f '' :
Hat f '' in einem Intervall negative Werte, dann bedeutet dies Abnahme der
f' Werte
, also der Tangentensteigungen, also Rechtskrümmung von F.
Folglich hat F genau dort Wendepunkte von f '' einen Vorzeichenwechsel hat.
Und das ist in den Nullstellen von f '' , wenn dort f ''' nicht den Wert 0 hat.
16,24
0,81 x 16,24 0 x 20,05
0,81
Da f '' eine monoton wachsende lineare Funktion ist (ihr Schaubild ist eine Gerade mit
positiver Steigung), hat f '' links von ihrer Nullstelle 20,05 negative Werte und rechts davon
positive.
Ergebnis: Für x 20,05 besitzt F Rechtskrümmung, für x 20,05 Linkskrümmung.
Bei x = 20,05 hat F ihren einzigen Wendepunkt.
Das zeigt auch der CAS-Rechner:
Die Nullstelle von f '' (vermutliche Wendestelle) ist 20,05.
Positive Krümmungswerte erhält man rechts davon,
das bedeutet Linkskrümmung.
Folgerung: Für x

75112 Abitur 2012 MV 29
3.1.3 Graphen der Funktionen g, f und h:
3.1.4
G: 0 x 18,5
F: 18,5 x 21,6
H: 21,6 x 30,5
gx für0 x18,5
wx f
x für18,5 x 21,6
h
x für 21,6 x 30,5
Volumen dieses Rotationskörpers um die x-Achse.
Formel für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse:
b
a
2
V f x dx
Der linke Teilkörper hat eine horizontale Begrenzungslinie
durch die Funktion g.
Dieser Körper ist daher ein Zylinder und kann auch mit dessen
2
Volumenformel berechnet werden: V r
h
Der Screenshot zeigt zuerst die Berechnung des
linken zylindrischen Teils, einmal berechnet mit der
Integralformel, und dann mit der Zylinderformel.
dabei ist r = 3,7 und h = 18,5.
Dann folgt die Berechnung des gekrümmten schrägen Teils
Und schließlich der Inhalt des Flaschenhalses.
Gesamtinhalt:
1 2 3
3
V V VV 931 cm (ml = cm 3 )
Dass die Füllmenge mit 700 ml angegeben ist, erklärt sich dadurch, dass erstens nur der
Zylinder befüllt wird und zweitens die Wandstärke das berechnete Volumen verkleinert.
Offenbar stellen die angegebenen Funktionen die Außenmaße dar.
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G
F
H

75112 Abitur 2012 MV 30
Stochastik-Teil
3.2 Flaschen werden in zwei Abfüllanlagen maschinell befüllt. Die Einhaltung der angestrebten
Füllmenge von 700 ml soll überprüft werden, dazu wurden je 7 Flaschen der laufenden
Produktion entnommen und deren Inhalt gemessen.
Anlage A 716 ml 692 ml 712 ml 702 ml 706 ml 701 ml 714 ml
Anlage B 707 ml 695 ml 726 ml 684 ml 688 ml 711 ml 692 ml
3.2.1 Ermitteln Sie für beide Abfüllanlagen jeweils das arithmetische Mittel und die
Standardabweichung der Füllmengen.
(1) Berechnung mit diesen Formeln:
Arithmetisches Mittel:
Standardabweichung:
CAS-Rechner CASIO ClassPad:
x ... x
x
7
1 7
xx ... xx 2 2
1 7
Für die Anlage A folgt (Screenshot: Verbreiterte Ansicht am PC)
Mittelwert: x 706 und Standardabweichung 7,9 .
Für die Anlage B folgt (Screenshot: Verbreiterte Ansicht am PC)
Mittelwert: x 700 und Standardabweichung 13,8 .
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7
Man nennt auch mittlere quadratische Abweichung.
Die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert ist bei der Anlage B größer als bei A,
dennoch zeigt der Mittelwert, dass das Füllziel 700 ml eingehalten wird.
Die Anlage A zeigt keine so großen Abweichungen, allerdings wird im Durchschnitt die angestrebte
Füllmenge leicht überschritten.

75112 Abitur 2012 MV 31
Berechnungen mit dem Statistik-Menü von CASIO ClassPad
1. Schritt: Eingabe der Daten in die Listen la und lb:
2. Schritt: Berechnung der Statistik-Ergebnisse:
Aufrufen: CALC Eindim. Variable
Dann den Namen der verwendeten Liste einstellen:
OK drücken:
Ergebnis: Mittelwert: x 706 und Standardabweichung 6,9 .
Dasselbe für die Liste lb:
Ergebnis:
Mittelwert: x 700 und
Standardabweichung 13,8 .
3.2.2 Flaschen, deren Füllmengen um mehr als 20 ml von der angegebenen Füllmenge abweichen,
werden aussortiert. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass dies bei 0,1 % aller
abgefüllten Flaschen der Fall ist.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
A: Genau 3 von 1 000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.
B: Weniger als 3 von 1000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.
Lösung:
A: Wahrscheinlichkeit für „Flasche wird aussortiert“: pa 0,001
Zufallsvariable: X sei die Anzahl der aussortierten Flaschen (aus 1000 geprüften).
X ist binomialverteilt.
3 997
PA P 1000
X 3 0,001 0,997
3
Dies kann man direkt so berechnen.
Oder man verwendet die Binomialverteilung
PA binomiaPDf(3,1000,0.001) 0,0613
PB PX 3 PX 2 binomialCDf 0,2,1000,0.001 0,92
In der 1. Zeile wurde P(A) über die Formel
berechnet wobei der Binomialkoeffizient
1000 3
(„1000 über 3“) durch nCr(1000,3) eingegeben wird.
Hier musste man noch mit simplify vereinfachen.
Zeilen 2 und 3 wurden über das interaktive Menü
Verteilung eingeben (siehe Abbildungen darüber).
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75112 Abitur 2012 MV 32
B1 Analysis - Lösung
(Leistungskursniveau)
1.1 Gegeben ist die Funktionenschar fa durch die Gleichung
a
fax 0,5
0,2x
1 30 e
mit a, x und a > 0,
1.1.1 Untersuchen Sie die Graphen von fa auf gegebenenfalls vorhandene Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen, Extrem-und Wendepunkte. Geben Sie auch jeweils die Koordinaten an.
Geben Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte an.
Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten.
Kurvendiskussion
Schnittpunkte mit der x-Achse gibt es keine,
denn der Bruch wird bei positivem a nie negativ
und somit fa(x) nie Null.
a 1
Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy0|
21 2
,
denn
a a 1
fa0 0,5
0
130e 21 2
Hilfen: (1) Es erweist sich in vielen Fällen als sehr günstig, den Parameter a als zweite
Variable in die Definition einzugeben.
Ableitungen:
(2) Die Nullstellengleichung führt zunächst „scheinbar“ zu einer Lösung, wenn man
für a nicht die Zusatzbedingung a>0 eingibt.
Für eine manuelle Berechnung schreibt man f um, weil der Bruch
im Zähler kein x hat:
a
f x 0,2x
130e 0,2x
1
0,5 a 130e 0,5
0,2x 2
0,2x
f'x a130e 30e 0,2
0,2x
6a e
0,2x
130e 2
Da f ' keine Nullstelle besitzt, gibt es keine Extrempunkte.
Auf eine manuelle 2. Ableitung verzichte ich.
Der Aufwand würde sehr groß werden. (siehe CAS-Ergebnis)
Hinweis: Die erste Ableitung sieht als CAS-Ergebnis völlig
anders aus. Dieses kann man manuell dadurch
berechnen, dass man den Bruch mit 2
f' x
0,2x
0,4x 0,2x
6a ee 6a e
2 2
0,
2x 0,2x
2
0,2x
130e e e30 0,2x 0,4x
e e erweitert:
Wendepunkte: Das CAS-Ergebnis liefert als x-Koordinate für den Wendepunkt x=17,0059…
Man sollte sich das exakte Ergebnis anzeigen lassen:
Dann erkennt man: x 5 ln30 Dieser Wert ist unabhängig von a,
gilt also für alle Scharkurven!
W
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75112 Abitur 2012 MV 33
Mit anderen Worten: Alle Wendepunkte der Scharkurven haben die Koordinate xW5 ln30 liegen also auf der Parallelen zur y-Achse mit der Gleichung x 5 ln30. Das ist die Ortskurve aller Wendepunkte.
Es fehlt noch die y-Koordinate und die Kontrolle:
y-Koordinate: 1 1
fa5ln30 a
2 2
Kontrolle: fa'''5ln30 0
Ergebnis: 1 1
Wendepunkte der Scharkurven sind W5ln30 |
a
2 2
Hinweis: Der Ableitungsbefehl diff von CASIO ClassPad hat die Syntax
diff(Funktion , Variable , Nr. der Ableitung , Einsetzwert)
f(x,a) x
3
5ln(30) Hiermit wurde also fa '''5ln30 Ein toller Befehl!
berechnet!
,
Asymptoten
(1) Senkrechte Asymptoten gibt es keine, weil der Nenner von f keine Nullstellen besitzt.
(2) Die Schaubilder von fa haben zwei waagrechte Asymptoten.
CAS: Für x :
Für x :
y a
1 y 2
Manuell: x
1
2
a a
a
lim f x lim 0,5 0,5 0,5 a 0,5
1 e 0 0
x a
x1
0,2
30 e 30 lim
x
0,2x
1 3
a
lim f x lim 0,5 0,5
x
1 30 e
a
x x0,2
Denn
0,2x
lim e
x , also Nenner
1
Ergebnis: Waagrechte Asymptote für x : y a
Schaubild:
1
Waagrechte Asymptote für x : y 2
Es steht zwar nicht ausführlich in der
Aufgabe, aber dennoch ist ein
Schaubild hilfreich.
Weil in 1.1.2 a = 40 gewählt wird,
lasse ich ClassPad den zugehörigen
Graphen zeichnen.
Um eine günstige Darstellung zu erhalten, muss man wenig
mit den Fenstereinstellungen variieren.
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2

75112 Abitur 2012 MV 34
1.1.2 Für a = 40 schließen der Graph von f40, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der
Gleichung x = 50 eine Fläche F ein.
50 50
40
F f40 xdx 0,5 dx 1338,5
0,2x
1 30 e
0 0
Die manuelle Berechnung des Integrals erfordert eine komplizierte Substitution, die fast
nirgendwo mehr zu den Prüfungsanforderungen gehört. Ich lasse sie daher weg.
Die Punkte A(0 I 0) und P(50 I f40(50)) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten
parallel zu den Koordinatenachsen liegen.
Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der Rechteckfläche auf die Fläche F entfallen.
Rechtecksfläche:
g
F 50 f50 2022,3
Anteil als Bruch:
Prozentualer Anteil:
F
F
g
F
100% 66,2%
F
g
1.2 Höhenwachstum einer Grassorte.
Durchschnittswerte der Messungen der Höhe des Grases h (in cm) zu ausgewählten
Zeitpunkten t (in h) ab Beginn der Beobachtung:
t in h 0 3 7 10 15 24 36 48
h in cm 1,8 2,8 5,3 8,4 16,5 32,6 39,6 40,4
1.2.1 Stellen Sie die Wertepaare der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar. ·
Lösung:
40
ht 0,5
1 30 e
Berechnung der Höhe des Grases nach 20 Stunden mit: 0,2t
und der Zeit, nach der h = 20 cm ist:
Ergebnis:
Nach 20 Stunde hat das Gras
durchschnittlich die Höhe 26,3 cm.
Die Höhe 20 cm wird nach 16,8 Std.
erreicht.
1
Da die Funktion streng monoton steigt und lim f x a 40,5 ist,
x 2
gibt es keine größeren Funktionswerte, also auch nicht größer als 45.
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1.2.2 Exponentielle Regression mit den Messwerten.
Diese Aufgabenstellung ist vielleicht irreführend, denn man sieht dem Schaubild an dass
es sich nicht um exponentielles sondern um logistisches Wachstum handelt.
Also kann eine exponentielle Regression nicht zu einem brauchbaren Ergebnis führen.
Aber die Aufgabensteller wollten gerade, dass der Abiturient dies erkennt und begründet.
Man öffnet das Statistik-Menü. Die Listen nenne ich z.B. lx und ly (Liste für x, Liste für y).
Dann wird die Tabelle übertragen.
Das Calc-Menü verlangt, dass eine
exponentielle Regression durchgeführt
wird.
Dann muss man angeben. wen ClassPad
als X-Liste und wen als Y-Liste verwenden
soll.
Formel kopieren ist wichtig für das
Schaubild.
Das Ergebnis der Regression liefert
die Koeffizienten für die Funktion
f x a e
bx
Interessant ist nun die graphische
Darstellung der Listenpunkte
(Streuplot oder Punkteplot) und der
Regressionskurve.
Man stellt die Statistik-Grafik ein.
Dann lässt man die Punkte ausgeben
zusammen mit der Funktion, die ich oben
y2 genannt habe.
Eventuell muss man noch das Fenster
anpassen:
Beurteilung bei Verwendung der Exponentiellen Regression:
Die angegebene exponentielle Regression spiegelt nicht das Verhalten
des Wachstums wieder.
Die Anfangswerte bis etwa 10 Stunden entsprechen dem exponentiellen
Wachstum. Die Schlussphase des Wachstums ist jedoch nicht mehr
exponentiell sondern kommt asymptotisch zur Ruhe.
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ZUSATZ: Pflanzenwachstum ist sogenanntes logistisches Wachstum, anfänglich exponentiell,
am Ende asymptotisch abklingend.
Führt man also eine logistische Regression durch, erhält man diese Ergebnisse:
Der lange Funktionsterm, der in der Liste als y1
angezeigt wird, passt nicht auf den kleinen Screen
des Handheld. Im PC-Bildschirm kann man mehr
sehen!
c
1 a e
Die Funktion, die das logistische Wachstum beschreibt, lautet bx
f x
40,58
1 26 e
Ergebnis der Regression: 0,193x
Diese Funktion beschreibt viel besser das Wachstum. Natürlich streuen die experimentell bestimmten
Messpunkte, denn das Wachstum findet auch nicht gleichmäßig statt, da es natürlich wetterbedingt ist.
Das Schaubild zeigt die exponentielle und die logistische Regressionskurve!
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f x
.

75112 Abitur 2012 MV 37
B2 Analytische Geometrie und Stochastik - Lösung
2 Carportdach Eckpunkte:
2.1 A (3 I 0 I 2,5), B(3 I 4 I 2,3), C(-3,5 I 4 I 2,3)
und D(-3,5 I 0 I 2,5) .
Die Hauswand befindet sich in der xz-Ebene.
Die Stellfläche für das Auto befindet sich in der
xy-Ebene. Eine Längeneinheit ist ein Meter.
Ebene E durch A, B und C:
3 3 0
Richtungsvektoren: AB 4 0 4
2,3 2,5 0,2
3,5 3 3,7
und AC 4 0 4
2,3 2,5 0,2
Normalenvektor der Ebene:
0 3,7 0,80,8 0
n ABAC 4 4 0,740 0,74
0,2 0,2 0 14,8
14,8
Normalengleichung der Ebene E:
nx na: 0 x 0 3
0,74 y 0,74 0
14,8
z 14,8 2,5
d. h. E: 0,74y 14,8z 37
Punktprobe mit D(-3,5 I 0 I 2,5):
14,8 2,5 37 ist eine wahre Aussage,
also liegt auch D in E.
Neigungswinkel des Daches gegen die xy-Ebene:
Ergebnis:
Die Winkel zwischen 2 Ebenen entsprechen den Winkeln
zwischen ihren Normalenvektoren:
0
nDach 0,74
14,8
0
n 0
1
, xy
Kosinusformel für den „kleineren“ Schnittwinkel:
nDach nxy
cos
nDach nxy
14,8
2
2
0,74 14,8 1
O
2,9
Der Screenshot zeigt drei Berechnungsarten für :
Antenne
Manuell:
0 3,7
4 4
0,2 0,2
0 3,7
4 4
0,2 0,2
CASIO ClassPad hat dafür die Funktion angle.
Andere Rechner müssen mit der Kosinusformel berechnen.
Die dritte Version ist einfach die Fortsetzung der manuellen Berechnung 5 Zeilen höher.
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A
s
D
B
g
C

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Wenn man die Aufgaben vollständig lösen will, muss man beachten, dass es im Text heißt:
„Damit das Regenwasser auf dem Carportdach von der Hauswand weg geführt werden kann, …“
Das ist schnell geklärt, denn die Dachkante BC liegt 2,30 m über dem Boden, AD aber 2,50 m.
1, 35
2.2 Lichtstrahl g durch M0 | 0 | 5 in Richtung s 1
1
0 1,35
g: x 0s 1
5
1
Schnitt mit E durch koordinatenweises Einsetzen:
0,74 s 14,8 5 s 37
0,74s 7414,8s 37
14,06s 37 s 2,63
Schnittpunkt S:
0 1,35 3,55
xS 0 2,63 1 2,63
5 1
2,37
S 3,55 | 2,63 | 2,37
Die x-Koordinaten aller Dachpunkte liegen im Intervall 3; 3,5
Daher liegt S außerhalb des Rechtecks, welches die Dachfläche darstellt.
Ergebnis: Der Schatten der Blitzableiterspitze fällt nicht auf das Dach des Carports.
Stochastik - Teil
2.3 Nullhypothese: Schieferplatten sind mit 5% Wahrscheinlichkeit defekt: pdef 0,05.
Umfang der Stichprobe: n = 200.
Daraus ergibt sich der Erwartungswert für die Anzahl X der defekten Platten:
E np 200 0,05 10
Dies ist ein Durchschnittswert, so dass es auch mehr oder weniger defekte geben kann.
Das Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) von 5 % soll dies beinhalten.
Es ist die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, wenn man testet.
Die Ergebnismenge ist S { 0 ; 1; ... ; 10 ; ... ; L | R ; ... ; 200
A A
A ist der Annahmebereich für HO, A der Ablehnungsbereich.
Die Grenzen L und R sind festzulegen.
Der Fehler 1. Art ist die versehentliche Ablehnung von HO, d.h. ein Textergebnis in A ,
obwohl die Herstellerangabe stimmt.
Die Behauptung des Herstellers (Nullhypothese) HO: p 0,05
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art: PX R
Laut Aufgabe soll 0,05 (Signifikanzniveau, Irrtumswahrscheinlichkeit) sein.
Man muss also R so bestimmen, dass PR X 200 0,05ist.
Dies macht man experimentell, indem man einige Werte mit dem CAS-Rechner bestimmt.
Aus diesen Werten erkennt man, dass für X=16
der Fehler 1. Art kleiner als 5% ist.
Der Annahmebereich ist also A 0;1;...;15 Findet man also 15 defekte, dann kann man der
Aussage des Herstellers vertrauen.
Schnittgleichung :
Ortsvektor des
Schnittpunkts :
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75112 Abitur 2012 MV 39
Zusatz: Man kann dies etwas einfacher gestalten, indem man die Verteilungsfunktion b(x)
definiert: Dies geht mit der interaktiven „Verteilung“ binomialCDf ganz einfach (CASIO
ClassPad). Man kann dann schnell ein paar Werte anzeigen lassen.
Hier zwei Screenshots für TI Nspire CAS:
2.4.1 Wahrscheinlichkeit für falsch zugesägt: p10,05
Wahrscheinlichkeit für fehlerhaft gebohrt: p 2 (noch nicht bekannt).
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit dass beide Fehler zugleich auftreten: p3 0,002 .
Da die Fehler laut Aufgabe unabhängig sind, gilt für das UND-Ereignis:
p3 p1p2
p3 0,002 2 4
p2 0,04
p10,05 50 100
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Brett richtig zugesägt aber falsch gebohrt wurde.
Das ist auch ein UND-Ereignis.
p 1p p 0,95 0,04 0,038
4 1 2
Ergebnis: Ein Brett wird richtig zugesägt, aber falsch gebohrt mit p4 3,8% .
2.4.2 Beim Erstellen des Abstellraumes werden Schrauben zur Befestigung der Bretter benötigt.
Der Anteil fehlerhafter Schrauben ist binomialverteilt mit den Parametern 25 , 4,9371.
Berechnen Sie den Anteil der fehlerhaften Schrauben.
Es gelten diese Formeln:
Arithmetisches Mittel: n p
2
Standardabweichung: np1 p
bzw. np1 p
Daraus folgen die Gleichungen: n p 25
(1)
n p 1p 2
4,9371 (2)
Manuell: (1) in (2) ergibt:
Eingesetzt in (1):
25 1p 4,9371
2
25 25p 4,9371
2
25p 25 4,9371
2
25 4,9371
p 0,025
25
25
n
1000
0,025
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