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75112 Abitur 2012 MV 1 Pflichtaufgaben und Wahlaufgaben mit CAS Datei Nr. 75112 Stand 4. Februar 2013 FRIEDRICH W. BUCKEL Abiturprüfung 2012 Mecklenburg-Vorpommern INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 1<br />
Pflichtaufgaben<br />
und<br />
Wahlaufgaben mit CAS<br />
Datei Nr. <strong>75112</strong><br />
Stand 4. Februar 2013<br />
FRIEDRICH W. BUCKEL<br />
Abiturprüfung 2012<br />
Mecklenburg-Vorpommern<br />
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK<br />
www.mathe-cd.de<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV mit CAS 2<br />
Vorwort<br />
Es wurden drei Gruppen von Aufgaben gestellt:<br />
Teil A0 enthält Pflichtaufgaben, die von allen ohne Hilfsmittel zu lösen sind.<br />
Bearbeitungszeit 45 Minuten<br />
Teil A enthält Wahlaufgaben A1, A2 und A3, von denen jeder zwei auszuwählen hat.<br />
Teil B enthält Wahlaufgaben <strong>für</strong> die Prüfung mit erhöhten Anforderungen (LK-Niveau).<br />
Schüler, die im Fach Mathematik eine Prüfung auf erhöhtem Niveau machen wollen,<br />
müssen aus den Aufgaben B1 und B2 eine auswählen.<br />
Ich habe mich um den ganzen Jahrgang bemüht um einmal zu sehen, welche Inhalte abgeprüft<br />
werden. Dieser Aufgabensatz enthält Aufgaben, die außer dem Pflichtteil A0 mit CAS zu bearbeiten<br />
sind. Ich habe dennoch auch alle Lösungen „manuell“ gelöst, und zwar aus zwei Gründen:<br />
1. Schüler, die diese Aufgaben durcharbeiten, wollen wiederholen. Dazu gehört, dass man die<br />
manuellen Methoden kennt, auch wenn in der Prüfung das Hilfsmittel CAS zugelassen ist,<br />
das <strong>für</strong> Mathematik-Kenntnisse eher negative Wirkung hat.<br />
2. Es gibt sicher auch interessierte Leser, die nicht mit CAS arbeiten.<br />
An unserer Schule (Internatsgymnasium Schloss Torgelow) ist der CAS-Rechner CASIO-ClassPad<br />
eingeführt. Daher habe ich <strong>für</strong> diesen Text in erste Linie Screenshots von diesem Gerät verwendet,<br />
die ich allerdings (der Bequemlichkeit wegen) nicht mit dem Handheld erstellt habe, sondern mit der<br />
PC-Software, die diesen Rechner emuliert. Damit habe ich auch einen größeren Bildschirm und kann<br />
mehr darstellen und zeigen, als es auf den kleinen Handgeräten möglich ist. Sonst gibt es kaum einen<br />
Unterschied. Zusätzliche Screenshots wurden von TI Nspire CAS erstellt.<br />
Außerdem entspricht der Text keineswegs dem, was man als Lösung „abgibt“.<br />
Ich habe meine Lösung mit sehr viel Hintergrundinformationen und Hilfen und Tipps versehen,<br />
denn es soll ja ein Trainingstext sein!<br />
Inhalt<br />
Aufgabenblatt Lösung<br />
A0 Pflichtaufgaben 1 – 3 3 13<br />
A1 Analysis (Wahlaufgabe) 7 17<br />
A2 Analytische Geometrie (Wahlaufgabe) 8 23<br />
A3 Analysis und Stochastik (Wahlaufgabe) 9 28<br />
B1 Analysis (Wahlaufgabe <strong>für</strong> LK-Niveau) 10 32<br />
B2 Analytische Geometrie und Stochastik (Wahl <strong>für</strong> LK-Niveau) 11 37
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 3<br />
1 Analysis<br />
Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1-3 des Arbeitsblattes)<br />
Arbeitsblatt<br />
1.1 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.<br />
Kennzeichnen Sie in der Abbildung den lokalen<br />
Hochpunkt H und den lokalen Tiefpunkt T.<br />
Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Verlauf<br />
des Graphen der ersten Ableitung von f.<br />
1.2 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx 1,<br />
x <br />
x<br />
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P 1|f 1<br />
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1<br />
.
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 4<br />
3<br />
1.3 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx8x x 1,<br />
x .<br />
Ermitteln Sie die Gleichung der Stammfunktion F von f, <strong>für</strong> die F2 20gilt.<br />
1.4 Die Abbildung zeigt den Graphen<br />
der Ableitungsfunktion f‘ einer Funktion f.<br />
Prüfen Sie, ob folgende Aussagen wahr<br />
bzw. falsch sind.<br />
Begründen Sie Ihre Entscheidungen.<br />
A: f ist im Intervall a;b streng<br />
monoton wachsend.<br />
B: Der Graph von f hat im Intervall <br />
a;b<br />
mindestens einen Wendepunkt.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 5<br />
2 Analytische Geometrie<br />
2.1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Gerade<br />
g:<br />
12 1 <br />
<br />
x 4 t 1 <br />
<br />
0 4 <br />
, t sowie die Punkte A2|0| 8<br />
und B1| 1| 4<br />
.<br />
Zeigen Sie rechnerisch, dass A und B auf einer zu g parallelen und von g verschiedenen<br />
Geraden h liegen.<br />
2.2 Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt.<br />
Beschreiben Sie rechnerisch ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes von P zu g.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 6<br />
2.3 Ermitteln Sie eine Gleichung der dargestellten Ebene E.<br />
(Abbildung nicht maßstäblich)<br />
3 Stochastik<br />
Eine Urne enthält eine gelbe, vier blaue und fünf weiße Kugeln.<br />
3.1 Aus dieser Urne werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln entnommen und<br />
jeweils ihre Farbe notiert.<br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> das Ereignis:<br />
Die gezogenen Kugeln haben verschiedene Farben.<br />
3.2 Beschreiben Sie zu der angegebenen Versuchsanordnung ein Zufallsexperiment, sodass<br />
die Wahrscheinlichkeiten binomialverteilt sind.<br />
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x<br />
3<br />
z<br />
4<br />
2<br />
y
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 7<br />
A1 Analysis<br />
1 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung 2<br />
Ihr Graph heißt F.<br />
2<br />
f x 1<br />
mit x .<br />
x 1<br />
1.1 Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an.<br />
Untersuchen Sie F auf die Existenz von Extrem-und Wendepunkten.<br />
Ermitteln Sie gegebenenfalls deren Koordinaten.<br />
Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von F an.<br />
Zeichnen Sie F im Intervall 4 x 4 in ein geeignetes Koordinatensystem.<br />
1.2 Die x-Achse und F begrenzen eine Fläche vollständig.<br />
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.<br />
1.3 Die Punkte R(-u I f(-u)), S(0 I 0) und T( u I f(u)) mit 0 < u < 1 bestimmen ein Dreieck.<br />
Berechnen Sie den Wert von u so, dass die Dreiecksfläche maximal wird.<br />
1.4 Bestimmen Sie die Gleichungen derjenigen Tangenten an F, die Ursprungsgeraden sind.<br />
1.5 Gegeben ist die Funktionenschar gP mit der Gleichung <br />
gpx 2<br />
px p mit x und p > 0.<br />
Jeder Graph von gP hat Schnittpunkte mit F. Deren Anzahl ist abhängig von p.<br />
Bestimmen Sie <strong>für</strong> jeden der folgenden Fälle je einen Wert <strong>für</strong> p.<br />
(a) Die Graphen haben genau zwei Schnittpunkte.<br />
(b) Die Graphen haben genau drei Schnittpunkte.<br />
(c) Die Graphen haben genau vier Schnittpunkte.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 8<br />
A2 Analytische Geometrie<br />
2 ln einem kartesischen Koordinatensystem ist ein ebenflächig begrenzter Körper K mit den<br />
Eckpunkten A2| 4|0,<br />
B0|4| 2,<br />
C0|4|2 und D2| 4|0gegeben.<br />
Er besitzt die vier Begrenzungsflächen ABC, ACD, ABO und BCD.<br />
2.1 Stellen Sie K grafisch dar.<br />
2.2 Weisen Sie nach, dass alle Begrenzungsflächen des Körpers zueinander kongruent sind.<br />
Prüfen Sie, ob diese Dreiecke<br />
gleichschenklig<br />
rechtwinklig<br />
sind.<br />
Berechnen Sie <strong>für</strong> eine der Begrenzungsflächen den Flächeninhalt.<br />
Berechnen Sie den Neigungswinkel zwischen den Begrenzungsflächen ABC und ACD.<br />
2.3 Die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, DB und DC liegen in einer gemeinsamen Ebene.<br />
Beschreiben Sie die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem.<br />
2.4 Berechnen Sie den Abstand des Punktes C von der Ebene ABD.<br />
Berechnen Sie das Volumen des Körpers K.<br />
2.5 Gegeben sind Körper Kt durch die Punkte<br />
A 2| 4|0 B 0|t| 2<br />
,<br />
,<br />
C 0|t|2 und D2| 4|0<br />
t<br />
t<br />
.<br />
Prüfen Sie, ob es einen Wert <strong>für</strong> t gibt, sodass die Begrenzungsfläche ABtCt des Körpers Kt<br />
rechtwinklig ist.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 9<br />
A3 Analysis und Stochastik<br />
3.1 Gegeben sind die Funktionen g, f und h mit den Gleichungen<br />
gx 3,7<br />
<br />
hx 0,0272 x 2,19<br />
3 2<br />
f x 0,135 x 8,12 x 161,8 x 1065,3<br />
mit x . Ihre Graphen heißen G, F und H.<br />
3.1.1 Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von F.<br />
3.1.2 Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten von F.<br />
3.1.3 Stellen Sie in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen der Funktionen g, f und h<br />
jeweils in diesen Intervallen dar:<br />
G: 0 x 18,5´<br />
F: 18,5 x 21,6 H: 21,6 x 30,5<br />
3.1.4 Eine weitere Funktion w ist folgendermaßen definiert:<br />
<br />
<br />
<br />
gx <strong>für</strong>0 x18,5 <br />
wx f<br />
x <strong>für</strong>18,5 x 21,6<br />
<br />
h<br />
x <strong>für</strong> 21,6 x 30,5<br />
Es gilt: 1 LE = 1 cm.<br />
Bei der Rotation des Graphen von w um die x-Achse entsteht ein Körper, der näherungsweise<br />
der äußeren Form einer Flasche entspricht.<br />
Berechnen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers.<br />
Auf dem Etikett dieser Flasche ist die Füllmenge mit 700 ml angegeben. Geben Sie zwei<br />
Gründe <strong>für</strong> mögliche Abweichungen des von Ihnen berechneten Rotationsvolumens von der<br />
angegebenen Füllmenge an.<br />
3.2 Flaschen werden in zwei Abfüllanlagen maschinell befüllt. Die Einhaltung der angestrebten<br />
Füllmenge von 700 ml soll überprüft werden, dazu wurden je 7 Flaschen der laufenden<br />
Produktion entnommen und deren Inhalt gemessen.<br />
Anlage A 716 ml 692 ml 712 ml 702 ml 706 ml 701 ml 714 ml<br />
Anlage B 707 ml 695 ml 726 ml 684 ml 688 ml 711 ml 692 ml<br />
3.2.1 Ermitteln Sie <strong>für</strong> beide Abfüllanlagen jeweils das arithmetische Mittel und die<br />
Standardabweichung der Füllmengen.<br />
3.2.2 Flaschen, deren Füllmengen um mehr als 20 ml von der angegebenen Füllmenge abweichen,<br />
werden aussortiert. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass dies bei 0,1 %aller<br />
abgefüllten Flaschen der Fall ist.<br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten <strong>für</strong> folgende Ereignisse:<br />
A: Genau 3 von 1 000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.<br />
B: Weniger als 3 von 1000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 10<br />
B1 Analysis<br />
1.1 Gegeben ist die Funktionenschar fa durch die Gleichung<br />
a<br />
fax 0,5<br />
0,2x<br />
1 30 a mit a,x und a > 0,<br />
<br />
1.1.1 Untersuchen Sie die Graphen von fa auf gegebenenfalls vorhandene Schnittpunkte mit den<br />
Koordinatenachsen, Extrem-und Wendepunkte. Geben Sie auch jeweils die Koordinaten an.<br />
Geben Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte an.<br />
Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten.<br />
1.1.2 Für a = 40 schließen der Graph von f40, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der<br />
Gleichung x = 50 eine Fläche F ein.<br />
Die Punkte A(0 I 0) und P(50 I f40(50)) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten<br />
parallel zu den Koordinatenachsen liegen.<br />
Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der Rechteckfläche auf die Fläche F entfallen.<br />
1.2 Auf einem Versuchsgelände wurde zu Forschungszwecken das Höhenwachstum einer<br />
bestimmten Grassorte beobachtet. ln der Tabelle sind die Durchschnittswerte der Messungen<br />
der Höhe des Grases h (in cm) zu ausgewählten Zeitpunkten t (in h) ab Beginn der<br />
Beobachtung angegeben.<br />
t in h 0 3 7 10 15 24 36 48<br />
h in cm 1,8 2,8 5,3 8,4 16,5 32,6 39,6 40,4<br />
1.2.1 Stellen Sie die Wertepaare der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar. ·<br />
Zur Beschreibung der Höhe des Grases kann die Funktion h mit der Gleichung<br />
40<br />
ht 0,5<br />
0,2t<br />
1 30 e mit t 0 verwendet werden<br />
<br />
Berechnen Sie die durchschnittliche Höhe des Grases nach 20 Stunden sowie den Zeitpunkt,<br />
zu dem etwa 20 cm Höhe erreicht sind.<br />
Beurteilen Sie die Aussage: Höhen über 45 cm sind nicht möglich.<br />
1.2.2 Führen Sie mit den gegebenen Messwerten eine exponentielle Regression durch und geben<br />
Sie die Gleichung der Regressionsfunktion an. Beurteilen Sie die Brauchbarkeit der ermittelten<br />
Funktion hinsichtlich der Darstellung der Messwerte und des zu erwartenden weiteren<br />
Wachstums.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 11<br />
B2 Analytische Geometrie und Stochastik<br />
2 Ein Carport wird direkt an einer Hauswand aufgestellt. ln einem kartesischen<br />
Koordinatensystem hat das Carportdach die Eckpunkte<br />
A (3 I 0 I 2,5), B(3 I 4 I 2,3), C(-3,5 I 4 I 2,3) und D(-3,5 I 0 I 2,5) .<br />
Die Hauswand befindet sich in der xz-Ebene. Die Stellfläche <strong>für</strong> das Auto befindet sich in der<br />
xy-Ebene. Eine Längeneinheit ist ein Meter.<br />
2.1 Erstellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen und<br />
zeigen Sie, dass der Punkt D ebenfalls Punkt dieser Ebene ist.<br />
Damit das Regenwasser auf dem Carportdach von der Hauswand weg geführt werden kann,<br />
muss dieses eine horizontale Neigung von mindestens 2,5° haben.<br />
Überprüfen Sie, ob dies gewährleistet ist.<br />
2.2 Im Punkt M(0 I 0 | 5) befindet sich die Spitze eines Blitzableiters.<br />
1, 35 <br />
Die Sonnenstrahlen verlaufen in Richtung des Vektors 1 .<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Blitzableiters auf das Carportdach fällt.<br />
2.3 Für die Dachverblendung des Carports sollen quadratische Schieferplatten montiert werden.<br />
Der Hersteller der Schieferplatten gibt an, dass durch Fertigung und Transport mit einem Anteil<br />
defekter Platten von 5% zu rechnen ist.<br />
Oberprüfen Sie, ob die Behauptung des Herstellers mit einem Signifikanzniveau von 0,05<br />
korrekt ist, wenn in einer Teillieferung von 200 Platten höchstens 15 defekt sind.<br />
2.4 Im hinteren Teil des Carports wird mithilfe von Brettern und Schrauben ein Abstellraum<br />
geschaffen.<br />
2.4.1 Die Bretter werden maschinell zugesägt und mit Bohrungen <strong>für</strong> die Schrauben versehen.<br />
Bei der Endkontrolle wird festgestellt, dass 5 % der Bretter falsch zugesägt wurden und 0,2 %<br />
falsch zugesägt und fehlerhaft gebohrt wurden. Die Fehler treten unabhängig voneinander auf.<br />
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Brett richtig zugesägt aber falsch gebohrt<br />
wurde.<br />
2.4.2 Beim Erstellen des Abstellraumes werden Schrauben zur Befestigung der Bretter benötigt.<br />
Der Anteil fehlerhafter Schrauben ist binomialverteilt mit den Parametern 25 4,9371.<br />
Berechnen Sie den Anteil der fehlerhaften Schrauben.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV mit CAS 12
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV mit CAS 13<br />
1 Analysis<br />
Aufgabe A0 - Lösungen<br />
Ausgefülltes Arbeitsblatt<br />
1.1 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.<br />
Kennzeichnen Sie in der Abbildung den lokalen<br />
Hochpunkt H und den lokalen Tiefpunkt T.<br />
Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Verlauf<br />
des Graphen der ersten Ableitung von f.<br />
Für die Abbildung von f´ ermittelt man an einigen<br />
Stellen die Steigung des Schaubilds F und übernimmt sie als<br />
Werte <strong>für</strong> f´. In H und T sind sie Null. In N2 (-3|0) ist mT = -3,<br />
also ist f‘(-3)=-3. Bei x = 0 könnte mT=2 sein also trägt man<br />
f‘(0)=2 ein.<br />
1.2 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx 1,<br />
x <br />
x<br />
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P1 1|f 1<br />
1<br />
.<br />
Lösung:<br />
Die Gleichung einer Geraden kann man z. B. mit der Punkt-Steigungs-Form ermitteln:<br />
Hinweis 1:<br />
Hinweis 2:<br />
mit 1<br />
<br />
yy m x x<br />
und <br />
1 1<br />
x 2 <br />
y1f1 112 f(x) x 1 f ' x x<br />
1 2<br />
<br />
1. Ableitung. <br />
Tangentensteigung: f'<br />
1<br />
1<br />
m <br />
<br />
2 1<br />
1<br />
Eingesetzt: y 2 1 x1<br />
bzw. y2 x1 y x 3<br />
Man kann die Tangentengleichung auch gleich so ansetzen: y fx f'xx<br />
x <br />
Ein anderer Ansatz ist: y mxn y x n<br />
n ermittelt man dann durch Einsetzen des Berührpunktes P1 1| 2<br />
2 1n n 3<br />
Ergebnis: y x 3<br />
1<br />
x<br />
2<br />
:<br />
1 1<br />
1
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 14<br />
3<br />
1.3 Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung fx8x x 1,<br />
x .<br />
Ermitteln Sie die Gleichung der Stammfunktion F von f, <strong>für</strong> die F2 20gilt.<br />
Lösung:<br />
Stammfunktionen werden mit dem unbestimmten Integral berechnet:<br />
<br />
<br />
F x f(x)dx 8x x1 dx 8 x x xC <br />
F x 2x x x C<br />
4 1<br />
2<br />
2<br />
C bestimmt man durch die Bedingung F2 20:<br />
Es ist F2 3222C 28 C<br />
Vergleichen: 28 C 20 C 8<br />
Ergebnis: <br />
F x 2x x x 8<br />
4 1<br />
2<br />
2<br />
1.4 Die Abbildung zeigt den Graphen<br />
der Ableitungsfunktion f‘ einer Funktion f.<br />
Lösung:<br />
Prüfen Sie, ob folgende Aussagen wahr<br />
bzw. falsch sind.<br />
Begründen Sie Ihre Entscheidungen.<br />
A: f ist im Intervall a;b streng<br />
monoton wachsend.<br />
B: Der Graph von f hat im Intervall a;b <br />
mindestens einen Wendepunkt.<br />
3 1 4 1 2<br />
4 2<br />
A ist wahr. Man erkennt, dass <strong>für</strong> alle x a;bgilt: f'x 0 (denn der Graph von f' liegt<br />
über der x-Achse). Also hat d in a;b über alle positive Steigung.<br />
Folglich wächst f in a;b streng monoton.<br />
B ist wahr. An einem Wendepunkt hat der Graph einen Krümmungswechsel.<br />
Für a x 0 hat f' positive Steigung, d. h. die Steigung von f nimmt zu.<br />
Das bedeutet <strong>für</strong> den Graphen von f Linkskrümmung.<br />
Für 0 x b hat f' negative Steigung, d. h. die Steigung von f nimmt ab.<br />
Das bedeutet <strong>für</strong> den Graphen von f Rechtskrümmung.<br />
Folglich findet bei x = 0 ein Krümmungswechsel statt.<br />
Der Graph F von f hat also bei x = 0 einen Wendepunkt.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 15<br />
2 Analytische Geometrie<br />
2.1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Gerade<br />
g:<br />
12 1 <br />
<br />
x 4 t 1 <br />
<br />
0 4 <br />
, t sowie die Punkte A2|0| 8<br />
und B1| 1| 4<br />
.<br />
Zeigen Sie rechnerisch, dass A und B auf einer zu g parallelen und von g verschiedenen<br />
Geraden h liegen.<br />
A<br />
Lösung:<br />
B h<br />
1 <br />
<br />
Richtungsvektor von g: u 1 <br />
<br />
P1<br />
4<br />
u g<br />
<br />
<br />
Aufpunkt von g: P112|4|0- 1 2 1 <br />
AB b-a 1 0 1 <br />
4 8 4 <br />
<br />
<br />
Wegen AB uist<br />
die Gerade h = (AB) parallel zu g.<br />
Es gibt zwei Methoden zum Nachweis, dass die Geraden verschieden sind:<br />
(1): 1<br />
2 12 12 PA 0 4 8 <br />
ku <br />
8 0 8<br />
<br />
<br />
Der Pfeil von P1 nach A hat also eine andere Richtung als u , daher liegt A nicht auf g.<br />
Also können g und h nicht identisch sein.<br />
(2) Man macht die Punktprobe mit A2|0| 8<br />
in g:<br />
2 12 1 10 t <br />
0 <br />
<br />
4 t 1 4 t<br />
<br />
<br />
8 <br />
0 4 <br />
<br />
8<br />
4t<br />
<br />
Da dieses Gleichungssystem nicht eindeutig <strong>für</strong> t lösbar ist, liegt A nicht auf g.<br />
Also können g und h nicht identisch sein.<br />
(1) ist schneller erledigt.<br />
2.2 Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt P1, der nicht auf g liegt.<br />
Beschreiben Sie rechnerisch ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes von P zu g.<br />
Lösung:<br />
Man stellt die Gleichung der Ebene EL (Lotebene) auf, die<br />
senkrecht zu g verläuft und durch P1 geht.<br />
Dazu verwendet man den Richtungsvektor der Geraden g<br />
als Normalenvektor und kann dann die Normalengleichung<br />
<br />
von EL aufstellen: ux k.<br />
<br />
Das Absolutglied k erhält man durch Einsetzen von P1: ux ux1. Als nächstes berechnet man den Schnittpunkt von g und EL durch<br />
koordinatenweises Einsetzen des Geradenterms in die Ebenengleichung.<br />
Der Schnittpunkt ist dann der Fußpunkt des Lotes von P1 auf g.<br />
Der gesuchten Abstand ist dann der Betrag des Vektors PF1<br />
: dP,g PF<br />
<br />
1 1<br />
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F<br />
g<br />
n <br />
P1<br />
EL
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 16<br />
2.3 Ermitteln Sie eine Gleichung der dargestellten Ebene E.<br />
(Abbildung nicht maßstäblich)<br />
Beste Möglichkeit: Verwenden der Achsenabschnittsform:<br />
x y z<br />
1 | 12<br />
3 2 4<br />
E: 4x 6y 3z 12<br />
Oder:<br />
Man verwendet z. B: A 3 | 0 | 0 als Aufpunkt<br />
3 0 3 3 0 3 <br />
<br />
und u 02 2 <br />
und v 00 0 <br />
<br />
0 0 0 <br />
0 4 4 <br />
E:<br />
3 3 3 <br />
<br />
x 0r2s 0 <br />
<br />
0 0 4 <br />
3 Stochastik<br />
Eine Urne enthält eine gelbe, vier blaue und vier weiße Kugeln.<br />
(oder andere) als Richtungsvektoren:<br />
3.1 Aus dieser Urne werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln entnommen und<br />
jeweils ihre Farbe notiert.<br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> das Ereignis:<br />
A: Die gezogenen Kugeln haben verschiedene Farben.<br />
g<br />
Dem Baumdiagramm entnimmt man:<br />
5 5 5 5<br />
<br />
45420520 58<br />
<br />
P A <br />
1 4 1 4 1 4 1 4<br />
10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10 9<br />
P A<br />
90 90<br />
Oder über das Gegenereignis:<br />
4 3 5 4 1220 32<br />
A gg ; bb ; ww mit PA <br />
10 9 10 9 90 90<br />
32 58<br />
PA 1PA 1 <br />
90 90<br />
3.2 Beschreiben Sie zu der angegebenen Versuchsanordnung ein Zufallsexperiment, sodass<br />
die Wahrscheinlichkeiten binomialverteilt sind.<br />
Die Voraussetzung <strong>für</strong> eine Binomialverteilung ist, dass das Experiment eine Bernoulli-Kette ist.<br />
Darunter Versteht man eine Abfolge mehrerer gleicher Experimente (Stufen), in denen man<br />
nur zwischen zwei Ergebnissen unterscheidet, also z. B. gelb und nicht gelb.<br />
Weil in jeder Stufe die Wahrscheinlichkeit gleich bleibt, muss man – wenn es sich um ein<br />
Ziehungsexperiment handelt – nach jeder Ziehung wieder zurücklegen.<br />
Gefordertes Beispiel:<br />
Man zieht n-mal (z. B. 5-mal) eine Kugel aus dieser Urne, notiert die Farbe und legt die Kugel<br />
wieder zurück. Das zu bewertende Ereignis ist z. B. Man zieht genau zwei gelbe Kugeln.<br />
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x<br />
3<br />
4<br />
z<br />
1| 4 | 5<br />
2<br />
1<br />
10<br />
5<br />
10<br />
4<br />
10<br />
0|4|5 b<br />
1| 3 | 5<br />
w<br />
1| 4 | 4<br />
4<br />
9<br />
5<br />
9<br />
y<br />
1<br />
9<br />
3<br />
9<br />
5<br />
9<br />
1<br />
9<br />
4<br />
9<br />
4<br />
9<br />
b<br />
w<br />
g<br />
b<br />
w<br />
g<br />
b<br />
w
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 17<br />
1 Gegeben: 2<br />
A1 Analysis - Lösung<br />
f x<br />
2<br />
1<br />
mit x .<br />
x 1<br />
Manuelle Lösung CAS - Lösung<br />
1.1 Nullstellen: Bedingung: fx 0<br />
2<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
2 <br />
1 0 | x 1<br />
<br />
2 x 1 0<br />
2<br />
2 x 1<br />
2<br />
x 1 x 1<br />
Ableitungen: 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
1,2<br />
2<br />
f x 1 2 x 1 1<br />
2<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 1<br />
2 2<br />
2<br />
1x 1<br />
2 x 1<br />
2x x<br />
<br />
4 2 4 3<br />
x 1<br />
<br />
2 x 1<br />
f' x 2 x 1 2x 4<br />
f'' x 4<br />
<br />
f'' x 4 4 <br />
2<br />
3x 1<br />
2<br />
3x 1<br />
3 3<br />
2 2<br />
x 1 x 1<br />
Extrempunkte: Bed.: f'x 0 x 0<br />
(Ein Bruch wird 0, wenn sein Zähler 0 wird.)<br />
y-Koordinate:<br />
2<br />
f0 1 1<br />
1<br />
Kontrolle:<br />
1<br />
f''0 4 0<br />
1<br />
Maximum<br />
H 0 | 1 ist Hochpunkt.<br />
Ergebnis: <br />
Wendepunkte: Bed.: f''x 0<br />
d. h.<br />
x 1 4x<br />
2 2<br />
2 2<br />
3x 1 0 3x 1<br />
2 1 x 3 xW 1 3<br />
3<br />
9<br />
1 3 3<br />
f <br />
2 2<br />
1 1 2 1 4 1<br />
1 1 y-Koordinaten: 3 3<br />
Kontrolle: <br />
1 1<br />
3 4 2 2<br />
3 3<br />
1<br />
3 sein.<br />
f'' muss 0<br />
Wenn man keine 3. Ableitung berechnen will, kann man statt<br />
dessen auch so argumentieren, dass die beiden Nullstellen<br />
von f '' einfache Nullstellen sind und folglich f '' dort einen<br />
Vorzeichenwechsel hat, was besagt, dass sich dort die<br />
Krümmungsart ändert, also F einen WP hat.<br />
ACHTUNG Symmetrie!<br />
In der Regel fragt man auch nach dem Symmetrieverhalten. Hier ist das nicht geschehen. Aber<br />
spätestens hier bei der Wendepunktberechnung sollte man darauf achten: Weil f nur x gerade<br />
Exponenten hat, gilt fx fx, also ist F symmetrisch zur y-Achse. Daher reicht es, nur die<br />
Stelle 1<br />
3 3 zu untersuchen. Das Ergebnis gilt dann auch <strong>für</strong> sein „Spiegelbild“ 1<br />
3 3 .<br />
Das muss man aber auch dazuschreiben!<br />
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3
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 18<br />
Asymptoten:<br />
Der Graph einer gebrochen rationale Funktionen hat dort eine senkrechte Asymptote, wo die Funktion<br />
eine Polstelle hat. Und die findet man dort, wo der Nenner Null wird, aber nicht zugleich der Zähler.<br />
2<br />
Hier heißt der Nenner x 1.<br />
Der Versuch, diesen Null zusetzen führt auf<br />
2 2<br />
x 1 0 x 1 Und dies ist nicht lösbar.<br />
Es gibt also keine senkrechten Asymptoten.<br />
F hat aber eine waagrechte Asymptote, und diese sieht man der<br />
2<br />
Funktionsgleichung an: fx 1.<br />
Für x hat der Bruch den Grenzwert 0<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
Dies sollte man so aufschreiben: lim f x 1,<br />
denn lim 0<br />
x x<br />
2<br />
x 1<br />
Ergebnis: F hat die waagrechte Asymptote y 1<br />
Übrigens braucht man hier schon wieder die Symmetrie, denn die Annäherung<br />
gilt auch <strong>für</strong> x , was im CAS-Screenshot nicht steht.<br />
Zeichnen Sie F im Intervall 4 x 4 in ein<br />
geeignetes Koordinatensystem.<br />
Hinweis:<br />
Wenn man sich darüber klar wird,<br />
dass der Hochpunkt H0 | 1 ist und<br />
die waagrechte Asymptote y = -1,<br />
dann muss einem klar werden, dass<br />
„geeignet“ hier bedeutet, dass man<br />
die y-Einheit anpassen muss, sonst<br />
wird das Schaubild „schlecht“.<br />
1.2 Flächenberechnung<br />
1<br />
oder wegen der Symmetrie besser <br />
A f x dx<br />
1<br />
1<br />
CAS-Lösung: <br />
A f x dx 1,14<br />
1<br />
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1<br />
A 2 f x dx<br />
1<br />
2 <br />
Manuell: A 2 1<br />
dx<br />
2 ist manuell <strong>für</strong> Schüler kaum zu berechnen, weil die benötigte<br />
0 x 1 <br />
Stammfunktion nicht (mehr) im Unterricht behandelt wird.<br />
Für Interessierte sei sie angegeben: <br />
0<br />
b<br />
1 b<br />
dx arctan x (Siehe Text 48017)<br />
2 a<br />
a x 1<br />
Das ist die Arcustangens-Funktion, also die Umkehrfunktion zu Tangensfunktion.<br />
Sie ist im Taschenrechner unter tan -1 gelistet und somit gut abrufbar.<br />
Damit klappt die manuelle Berechnung so:<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
A 4 dx 2 dx 4arctanx2x 4arctan124arctan00 21,14 x 1 <br />
<br />
2 0<br />
0 0<br />
1 1<br />
O<br />
Hilfe: <br />
4 4 <br />
1<br />
4<br />
und <br />
arctan(1) , dann tan tan 45 1<br />
0<br />
arctan 0 0, denn tan 0 0 .
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 19<br />
1.3 Die Punkte R(-u I f(-u)), S(0 I 0) und T( u I f(u)) mit 0 < u < 1 bestimmen ein Dreieck.<br />
Berechnen Sie den Wert von u so, dass die Dreiecksfläche maximal wird.<br />
Extremwertaufgabe:<br />
Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt des<br />
1<br />
Dreiecks. Grundformel: A gh.<br />
Um g und h berechnen zu können, muss<br />
man die Eckpunkte festlegen, was hier schon<br />
im Aufgabentext passiert ist.<br />
Grundseite: g RT 2u<br />
Höhe:<br />
2<br />
h fu 1<br />
2<br />
u 1<br />
1<br />
Zielfunktion: Au u fu CAS-Lösung:<br />
Zuerst wird die Zielfunktion definiert<br />
und angezeigt.<br />
Dann wird die 1. Ableitung als a1(u) definiert<br />
und angezeigt.<br />
In der Zeile mit solve wird die Gleichung<br />
A'u 0 gelöst.<br />
Ich habe das Ergebnis einmal exakt anzeigen lassen<br />
und einmal mit Näherungsdezimalzahlen.<br />
Dann folgt die Kontrolle (hinreichende Bedingung),<br />
also die Überprüfung des Werts A ''0,4859 .<br />
Zuerst habe ich A‘‘(u) anzeigen lassen und dann<br />
den Wert berechnet.<br />
2<br />
2<br />
Bei CASIO ClassPad gibt es <strong>für</strong> den Befehl diff diese Syntax:<br />
diff(Funktion , Variable , Nr. der Ableitung , Einsetzwert)<br />
<br />
a(u) u<br />
2<br />
0,4859<br />
Ergebnis: Für u 5 2 nimmt der Dreiecksinhalt ein Maximum an.<br />
Manuelle Lösung:<br />
1 2 <br />
A u 1<br />
2 2 <br />
u 1 <br />
Definitionsbereich: u 1;1<br />
u 1<br />
u<br />
2<br />
2<br />
u 1 <br />
Der Rand ist ausgeschlossen, weil <strong>für</strong> u = 1 oder -1 das Dreieck zu einer Strecke entartet.<br />
Für die Extremwertberechnung benötigt man zwei Ableitungen:<br />
<br />
2 <br />
2<br />
2<br />
2 u 1 2<br />
2<br />
2 u 1<br />
2<br />
2u<br />
2 u 2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2 u 1 2u 1u <br />
<br />
2 4 3<br />
u 1<br />
3<br />
<br />
2 u 1 <br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 u 1<br />
1 u 1 2uu 1 1u 1<br />
A' u <br />
<br />
A'' u<br />
<br />
<br />
2u 2u 4u 4u 2u 6u<br />
3 3<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 20<br />
Extremwertbedingung: A'u 0:<br />
<br />
2<br />
1 u 1<br />
2<br />
2 u 1<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
21 u u 1<br />
2 4 2<br />
22u u 2u 1<br />
4 2<br />
u 4u 1 0<br />
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2<br />
| Über Kreuz multiplizieren<br />
Das ist eine biquadratische Gleichung <strong>für</strong> u, also eine quadratische Gleichung <strong>für</strong> u 2 .<br />
Die Lösungsformel <strong>für</strong> quadratische Gleichungen liefert hier also Lösungen <strong>für</strong> u 2 :<br />
Aus<br />
Aus<br />
u<br />
2<br />
2 b b 4ac<br />
<br />
2a<br />
2 4 u <br />
164 4 <br />
2 2<br />
20 42 5<br />
2 2<br />
5<br />
2<br />
u 2 5 folgen die Lösungen u1,2 5 2<br />
2<br />
u 2 5 folgen keine Lösungen, weil 2 5 < 0 ist.<br />
Die einzig brauchbare Lösung <strong>für</strong> die Extremwertaufgabe ist u 52 0,486D<br />
u<br />
Die Kontrolle mit der 2. Ableitung liefert: A''0,486 0.<br />
Also handelt es sich um ein relatives Maximum.<br />
Randwertuntersuchung:<br />
1 1<br />
lim A u 0 ist kein Maximalwert<br />
x1 2 2<br />
Also hat das Dreieck <strong>für</strong> u 5 2 0,486 einen maximalen Inhalt.<br />
1.4 Gesucht sind Tangenten an F durch den Ursprung.<br />
Methode: Man stellt die Gleichung der Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt<br />
Bu|fu <br />
auf.<br />
Dann verlangt man, dass die Tangente durch den Ursprung geht,<br />
setzte also in die Tangentengleichung x = 0 und y = 0 ein.<br />
‚ Aus der daraus entstehenden Gleichung kann man u berechnen.<br />
Allgemeine Rechnung: Berührpunkt sei Bu|fu <br />
Die Punktsteigungsform zum Aufstellen einer Geradengleichung lautet:<br />
Tangente in B: t:<br />
yy1 mx x1<br />
yfu f'ux u<br />
(T1)<br />
Bedingung: 0|0 t<br />
0 fu f'u 0 u<br />
d. h. fu u f'u (T2)<br />
CAS-Rechner: (1. Methode):<br />
Man gibt die Gleichung (T2) ein und lässt sie lösen.<br />
(Ergebnis exakt und näherungsweise)<br />
Dann Anzeige der Tangentensteigung.<br />
Ergebnis: Tangente in u1 2 5 : y 0,3x <br />
Tangente in u1 2 5 : y 0,3x
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 21<br />
CAS-Rechner: (2. Methode):<br />
Man definiert die Tangentenfunktion t,<br />
als Funktion mit 2 Variablen:<br />
Dazu stellt man yfu f'ux u<br />
(T1)<br />
nach y um: y f'uxu f(u)<br />
Die Tangentengleichung (T1) heißt dann<br />
y t x,u .<br />
<br />
Jetzt folgt die Punktprobe <strong>für</strong> den Ursprung, d. h. man setzt x = 0 und y = 0 ein: 0 t0, u<br />
Diese Gleichung lässt man mit solve nach u umstellen und erhält u 2 5 .<br />
Jetzt setzt man den Wert u12 5<br />
und lässt das Ergebnis gleich noch mit simplify vereinfachen.<br />
Ergebnis: Die Tangentengleichung lautet y 0,3x .<br />
in die Tangentenfunktion ein: tx, 5 2<br />
,<br />
Aus Symmetriegründen lautet die 2. Tangente, die in u2 2 5 berührt: y 0,3x <br />
Manuelle Rechnung: Sie beginnt mit drei Zeilen der a1llgemeinen Rechnung von (T1) bis (T2):<br />
<br />
2 u<br />
In (T2) setzt man f und f‘ ein: 1 u <br />
4 <br />
2 2<br />
u 1 2 <br />
u 1<br />
<br />
<br />
Umformen:<br />
2<br />
2 4u<br />
1 u 1 u 1<br />
2 <br />
2 2<br />
2<br />
2 u 1 u 1 4u<br />
2<br />
2u<br />
2 2 2<br />
4 2<br />
2u 2u<br />
2<br />
1 4u<br />
| 2<br />
2<br />
u 1<br />
4 2<br />
u 4u 1 0<br />
Biquadratische Gleichung:<br />
2 4 u <br />
164 4 20 42 5<br />
2 2 2 2<br />
5<br />
2<br />
Aus u 2 5 folgt: u 2 5<br />
2<br />
Aus u 2 5 0 folgen keine Lösungen.<br />
Die Steigungen dieser Tangenten sind f'u 4 25 0,3<br />
2 5 1<br />
2<br />
Dann lautet die Gleichung der 1. Tangente, die in u1 2 5 berührt: y 0,3x <br />
Aus Symmetriegründen lautet die 2. Tangente, die in u2 2 5 berührt: y 0,3x <br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 22<br />
1.5 Gegeben: <br />
2<br />
gpx px p<br />
mit x und p > 0.<br />
Gesucht sind drei Beispielfunktionen mit den Eigenschaften<br />
(a) Die Graphen haben genau zwei Schnittpunkte.<br />
(b) Die Graphen haben genau drei Schnittpunkte.<br />
(c) Die Graphen haben genau vier Schnittpunkte.<br />
Graphische Lösung: (Probierlösungen zur Orientierung)<br />
Zuerst definiere ich die Funktionenschar.<br />
Dann lasse ich das vSchaubild von f zusammen mit drei Schaubildern von g anzeigen:<br />
Beobachtung:<br />
Für p = 0,1 erhält man genau 4 Schnittpunkte.<br />
Für p = 1 erhält man genau 3 Schnittpunkte.<br />
Für p = 1,2 erhält man genau 2 Schnittpunkte.<br />
Das kann man ganz einfach durch Berechnung der<br />
Schnittstellen beweisen: (CAS-Lösung)<br />
Manuelle Beispielrechnung ohne CAS <strong>für</strong> p = 0,1:<br />
2<br />
<br />
2 |x 1<br />
<br />
2<br />
1 0,1x 0,1<br />
2<br />
x 1<br />
2 2 2<br />
2 x 1 0,1x 0,1 x 1<br />
2 4 2 2<br />
2 x1 0,1x 0,1x 0,1x 0,1<br />
4 2<br />
0,1x x0,9 0<br />
4 2<br />
x 10x 9 0<br />
| 10<br />
Biquadratische Gleichung:<br />
Aus<br />
2 10 <br />
x <br />
100 3610 8<br />
<br />
9<br />
2 2 1<br />
2<br />
x 9 folgt x1,2 3 und aus<br />
2<br />
x 1 folgt x3,4 1<br />
Es gibt also 4 Schnittpunkte.<br />
Analog dazu gehen die Rechnungen <strong>für</strong> p = 1 und p = 1,5.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 23<br />
A2 Analytische Geometrie - Lösung<br />
2 In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein ebenflächig begrenzter Körper K mit den<br />
Eckpunkten A2| 4|0,<br />
B0|4| 2,<br />
C0|4|2 und D2| 4|0<br />
gegeben.<br />
Er besitzt die vier Begrenzungsflächen ABC, ACD, ABD und BCD.<br />
2.1<br />
2.2 Der Körper hat 4 Dreiecke als Oberfläche.<br />
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn entsprechende Seiten gleich lang sind („SSS“).<br />
0 2 2 AB 4 4 8 <br />
<br />
2 0 2 <br />
0 2 2 AC 44 8 <br />
<br />
2 0 2 <br />
<br />
2 2 4 AD 44 0 <br />
<br />
0 0 0 <br />
<br />
0 0 0 BC 4 4 0 <br />
2 2 4 <br />
2 0 2 BD 4 4 8 <br />
0 2 2 <br />
<br />
2 0 2 CD 44 8 <br />
0 2 2 <br />
<br />
AB AB 4 644 72 LE<br />
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<br />
<br />
AC AC 4 644 72 LE<br />
<br />
AD AD 4 LE<br />
<br />
<br />
BC BC 4 LE<br />
<br />
<br />
<br />
BD BD 4 644 72 LE<br />
<br />
<br />
CD CD 4 644 72 LE<br />
Dreieck ABC: AB AC 72 LE und BC 4 LE Dreieck ABD: AB BD 72 LE und AD 4 LE Dreieck ACD: AC CD 72 LE und AD 4 LE Dreieck BCD: BD CD 72 LE und BC 4 LE. <br />
Ergebnis: Alle vier Dreiecke sind kongruent und gleichschenklig.
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 24<br />
Wenn ein gleichschenkliges Dreieck rechtwinklig sein soll, kann der rechte Winkel nur an der Spitze,<br />
also gegenüber der 4 LE langen Basis sein.<br />
Überprüfung des Winkels im Dreieck ABC an der Spitze A:<br />
2 2 AB AC 8 8 4 644 0<br />
<br />
2<br />
2 <br />
<br />
Ergebnis: Also ist dieses und somit keines der Dreiecke rechtwinklig.<br />
Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man mit dem Vektorprodukt berechnen:<br />
Manuelle Berechnung des Vektorprodukts mit dem Schema<br />
16 16 32 4 1 1 1 1<br />
A<br />
AB AC 4 4 8 8 1 4 17<br />
2 2 2 2<br />
<br />
16 16<br />
0 0 <br />
Berechnung mit CASIO ClassPad:<br />
O O<br />
Es gibt zwischen zwei Ebenen zwei Schnittwinkel, der zweite ist ' 180 93,37 .<br />
Durch die Verwendung des Betrags im Zähler wurde der kleinere Winkel berechnet.<br />
Und dieser gilt auch <strong>für</strong> den Körper K, weil es dort keine stumpfen Winkel gibt.<br />
Winkel Berechnung mit CAS:<br />
Verwendet man CASIO ClassPad, dann kann man die<br />
einprogrammierte Funktion angle verwenden.<br />
Dazu musste man zuerst den zweiten Normalenvektor verwenden.<br />
2 2<br />
8 8<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
8 8<br />
2<br />
2<br />
Der Neigungswinkel zwischen den Begrenzungsflächen ABC und ACD entspricht dem Winkel<br />
zwischen ihren Normalenvektoren:<br />
2 4<br />
32 <br />
nABC ABAC 8 (s. o.)<br />
<br />
0 <br />
<br />
2 4 0 <br />
<br />
nACD ACAD 8 0 8 <br />
2 0 32 <br />
8<br />
2<br />
2 8<br />
0<br />
0<br />
4<br />
0<br />
Manuelle Berechnung des Winkels zwischen 2 Vektoren:<br />
2 0<br />
<br />
nABC nACD<br />
cos <br />
nABC nACD<br />
32 0 <br />
8 8 <br />
0 32 <br />
<br />
4 0 <br />
8 1 8 1 <br />
0 4 <br />
<br />
<br />
8 64<br />
178 1<br />
<br />
17 17<br />
1<br />
1<br />
O<br />
cos 17 86,63 .<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 25<br />
Verwendet man TI Nspire CAS, muss man den Winkel mit der<br />
Kosinusformel berechnen, denn dort fehlt die angle-Funktion.<br />
Zuerst wurde<br />
16 16 32 4 1 1 1 1<br />
A<br />
AB AC 4 4 8 8 1 4 17<br />
2 2 2 2<br />
<br />
16 16<br />
0 0 <br />
berechnet.<br />
2 4 0 <br />
<br />
Dann der Vektor nACD ACAD 8 0 8 <br />
2 0 32 <br />
Die letzten zwei Berechnungen zeigen die Umsetzung der<br />
Kosinusformel.<br />
Das 1. Ergebnis 1,51.. muss erkennen lassen, dass der Rechner<br />
einen Winkel im Bogenmaß ausgegeben hat.<br />
Nach Änderung der Voreinstellung erhält man den Winkel im<br />
Gradmaß.<br />
Ich zeige noch eine zweite Version <strong>für</strong> diese Lösungen.<br />
Sie wird kürzer, weil ich <strong>für</strong> die Normalenvektoren Definitionen<br />
einführe.<br />
Die Eingaben gehen sind schneller erledigt, wenn man die<br />
Normalenvektoren gleichzeitig mit der Berechnung definiert!<br />
2.3 Die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, DB und DC liegen in einer gemeinsamen Ebene.<br />
Beschreiben Sie die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem.<br />
Lösung: Gegeben A2| 4|0,<br />
B0|4| 2,<br />
C0 | 4 | 2 und D2| 4|0<br />
1<br />
Berechnung der Mittelpunkte durch mAB 2 a b<br />
<br />
Ergebnisse: M 1|0| 1,<br />
M 1|0|1 ,<br />
M 1|0| 1,<br />
M 1|0|1<br />
AB<br />
AC<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
DB<br />
:<br />
DC<br />
.<br />
Hier zeigt es sich wieder einmal, dass man zuerst nachsehen muss, ob einem eine<br />
Besonderheit auffällt, bevor man mit großen Rechnungen beginnt.<br />
Entscheidende Beobachtung:<br />
Die y-Koordinaten aller Punkte dieser Ebene sind 0.<br />
Also hat E die Koordinatengleichung y 0:<br />
E ist also die xz-Ebene.<br />
Durch diese Erkenntnis erspart man sich die unnötige Aufstellung einer Ebenengleichung.
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 26<br />
2.4 Gleichung der Ebene ABD.<br />
Manuelle Lösung:<br />
2 4 0 0 <br />
EABD hat den Normalenvektor nABD ABAD 8 0 8 81 <br />
2<br />
0 32 4 <br />
0 <br />
Für die Normalengleichung verwende ich daher n31 <br />
4<br />
<br />
<br />
n x k 0x 1y4z k<br />
EABD: 3<br />
Einsetzen von A2| 4|0:<br />
k 4<br />
Ergebnis: y 4z 4<br />
bzw. y4z 4 0<br />
| 1<br />
Hinweis: Diese Normalengleichung kann auch in einem Rutsch so berechnen:<br />
<br />
n x n a<br />
3 3<br />
Abstand des Punktes C0 | 4 | 2 von der Ebene ABD.<br />
<br />
Hessesche-Normalform von EABD:<br />
0 x 0 2 <br />
1y 14 y4z 4<br />
<br />
4 <br />
z 4 0 <br />
<br />
y4z 4<br />
0<br />
2 2<br />
1 4<br />
Abstand: dC,E <br />
CAS-Berechnung:<br />
Vorübungen zum Verständnis des Folgenden!<br />
ABD<br />
484 16<br />
<br />
17 17<br />
Zuerst berechne ich den Normalenvektor 3 n der Ebene<br />
und definiere ihn als n3.<br />
<br />
Dann lasse ich die Normalengleichung n3 x n3 a<br />
(s. o.)<br />
anzeigen Man könnte sich noch vereinfachen (:8).<br />
Die HNF entsteht aus dieser Ebenengleichung, indem man<br />
die rechte Seite nach links bringt und noch durch den Betrag<br />
des Normalenvektors dividiert.<br />
Für die gesuchte Abstandsberechnung des Punktes C0|4|2 <br />
x von der Ebene EABD muss man die Koordinaten von C in y einsetzen:<br />
<br />
z Diese einzige Eingabe genügt <strong>für</strong> die<br />
Abstandsberechnung:<br />
Wenn man wie hier keinen Absolutbetrag<br />
verwendet, kann das Ergebnis negativ werden.<br />
(Mehr dazu siehe Text 64201 – Lernblätter<br />
zur Abstandberechnung).<br />
Volumen des Körpers K (Pyramide mit dem Dreieck ABD als Grundfläche).<br />
Da alle Dreiecke kongruent sind, haben sie alle gleich großen Inhalt, nämlich A 4 17 (siehe 2.2).<br />
Volumen: 1 1<br />
V Ad(C,E 3 ABD ) 4 17 <br />
3<br />
16 64<br />
(VE)<br />
17 3<br />
h<br />
2 4<br />
8 0<br />
2<br />
0<br />
2 4<br />
8 0<br />
2<br />
0<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 27<br />
2.5 Gegeben sind Körper Kt durch die Punkte<br />
A2| 4|0,<br />
B 0|t| 2,<br />
C 0|t|2 und D2| 4|0<br />
t<br />
t<br />
.<br />
Prüfen Sie, ob es einen Wert <strong>für</strong> t gibt, sodass die Begrenzungsfläche ABtCt des Körpers Kt<br />
rechtwinklig ist.<br />
2<br />
<br />
ABt t4 <br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
AC t4 <br />
2 <br />
<br />
, t<br />
Liegt bei A ein rechter Winkel?<br />
0 BC 0 <br />
4<br />
<br />
, t t<br />
2 2<br />
<br />
ABt ACt t4t4 4 t4 4 t4 <br />
2<br />
2 <br />
<br />
<br />
2 2<br />
Im Falle eines rechten Winkels muss dieses Produkt Null sein, also muss t = -4 sein.<br />
Dann hat K 4 diese Eckpunkte:<br />
A2| 4|0,<br />
B0| 4| 2,<br />
C0| 4|2und<br />
D2| 4|0<br />
4<br />
4<br />
.<br />
Diese Punkte haben alle die y-Koordinate -4 und liegen daher in der Ebene y = -4.<br />
Somit können sie keinen Körper bilden.<br />
Bei A kann also kein rechter Winkel entstehen.<br />
Kann bei Bt ein rechter Winkel auftreten?<br />
2<br />
0 ABBCt t40 8<br />
Also auch nicht.<br />
<br />
2<br />
4 <br />
Kann bei Ct ein rechter Winkel auftreten?<br />
2<br />
0 ACt BtCt t40 8 Also auch hier nicht.<br />
<br />
2 4 <br />
Ergebnis: Für keinen Wert von t ist das Dreieck ABtCt rechtwinklig.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 28<br />
A3 Analysis und Stochastik - Lösung<br />
3.1 Gegeben sind die Funktionen g, f und h durch:<br />
gx 3,7<br />
<br />
3 2<br />
f x 0,135 x 8,12 x 161,8 x 1065,3<br />
hx 0,0272 x 2,19<br />
mit x . Ihre Graphen heißen G, F und H.<br />
3.1.1 Ableitungen (manuell)<br />
<br />
f''x 0,81x 16,24<br />
Extremwertbedingung: f'x 0:<br />
2<br />
f ' x 0,405x 16,24x 161,8<br />
2<br />
0,405x 16,24x 161,8 0<br />
2<br />
16,24 16,24 40,405 161,8 16,24 1,2734<br />
x<br />
21,62<br />
E <br />
2 0,405 0,81 18,48<br />
y-Koordinaten: f 21, 62 1, 60 und f18,48 3,70<br />
Kontrolle: f ''(21,62) 0 T21,52 | 1,60<br />
f ''18,48 0 H16,48 | 3,70<br />
Hinweis: Im Screenshot habe ich die beiden Ableitungsfunktionen erst am Ende<br />
anzeigen lassen. Man benötigt sie ja zum Aufschreiben im Lösungsblatt.<br />
3.1.2 Krümmungsverhalten von F.<br />
WISSEN: Hat f '' in einem Intervall positive Werte, dann bedeutet dies Zunahme der<br />
f' Werte,<br />
also der Tangentensteigungen, also Linkskrümmung von F.<br />
Nullstellen von f '' :<br />
Hat f '' in einem Intervall negative Werte, dann bedeutet dies Abnahme der<br />
f' Werte<br />
, also der Tangentensteigungen, also Rechtskrümmung von F.<br />
Folglich hat F genau dort Wendepunkte von f '' einen Vorzeichenwechsel hat.<br />
Und das ist in den Nullstellen von f '' , wenn dort f ''' nicht den Wert 0 hat.<br />
16,24<br />
0,81 x 16,24 0 x 20,05<br />
0,81<br />
Da f '' eine monoton wachsende lineare Funktion ist (ihr Schaubild ist eine Gerade mit<br />
positiver Steigung), hat f '' links von ihrer Nullstelle 20,05 negative Werte und rechts davon<br />
positive.<br />
Ergebnis: Für x 20,05 besitzt F Rechtskrümmung, <strong>für</strong> x 20,05 Linkskrümmung.<br />
Bei x = 20,05 hat F ihren einzigen Wendepunkt.<br />
Das zeigt auch der CAS-Rechner:<br />
Die Nullstelle von f '' (vermutliche Wendestelle) ist 20,05.<br />
Positive Krümmungswerte erhält man rechts davon,<br />
das bedeutet Linkskrümmung.<br />
Folgerung: Für x
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 29<br />
3.1.3 Graphen der Funktionen g, f und h:<br />
3.1.4<br />
G: 0 x 18,5<br />
F: 18,5 x 21,6<br />
H: 21,6 x 30,5<br />
<br />
<br />
<br />
gx <strong>für</strong>0 x18,5 <br />
wx f<br />
x <strong>für</strong>18,5 x 21,6<br />
<br />
h<br />
x <strong>für</strong> 21,6 x 30,5<br />
Volumen dieses Rotationskörpers um die x-Achse.<br />
Formel <strong>für</strong> das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse:<br />
b<br />
a<br />
2<br />
<br />
V f x dx<br />
Der linke Teilkörper hat eine horizontale Begrenzungslinie<br />
durch die Funktion g.<br />
Dieser Körper ist daher ein Zylinder und kann auch mit dessen<br />
2<br />
Volumenformel berechnet werden: V r<br />
h<br />
Der Screenshot zeigt zuerst die Berechnung des<br />
linken zylindrischen Teils, einmal berechnet mit der<br />
Integralformel, und dann mit der Zylinderformel.<br />
dabei ist r = 3,7 und h = 18,5.<br />
Dann folgt die Berechnung des gekrümmten schrägen Teils<br />
Und schließlich der Inhalt des Flaschenhalses.<br />
Gesamtinhalt:<br />
1 2 3<br />
3 <br />
V V VV 931 cm (ml = cm 3 )<br />
Dass die Füllmenge mit 700 ml angegeben ist, erklärt sich dadurch, dass erstens nur der<br />
Zylinder befüllt wird und zweitens die Wandstärke das berechnete Volumen verkleinert.<br />
Offenbar stellen die angegebenen Funktionen die Außenmaße dar.<br />
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G<br />
F<br />
H
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 30<br />
Stochastik-Teil<br />
3.2 Flaschen werden in zwei Abfüllanlagen maschinell befüllt. Die Einhaltung der angestrebten<br />
Füllmenge von 700 ml soll überprüft werden, dazu wurden je 7 Flaschen der laufenden<br />
Produktion entnommen und deren Inhalt gemessen.<br />
Anlage A 716 ml 692 ml 712 ml 702 ml 706 ml 701 ml 714 ml<br />
Anlage B 707 ml 695 ml 726 ml 684 ml 688 ml 711 ml 692 ml<br />
3.2.1 Ermitteln Sie <strong>für</strong> beide Abfüllanlagen jeweils das arithmetische Mittel und die<br />
Standardabweichung der Füllmengen.<br />
(1) Berechnung mit diesen Formeln:<br />
Arithmetisches Mittel:<br />
Standardabweichung:<br />
CAS-Rechner CASIO ClassPad:<br />
x ... x<br />
x <br />
7<br />
<br />
1 7<br />
xx ... xx 2 2<br />
1 7<br />
Für die Anlage A folgt (Screenshot: Verbreiterte Ansicht am PC)<br />
Mittelwert: x 706 und Standardabweichung 7,9 .<br />
Für die Anlage B folgt (Screenshot: Verbreiterte Ansicht am PC)<br />
Mittelwert: x 700 und Standardabweichung 13,8 .<br />
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7<br />
Man nennt auch mittlere quadratische Abweichung.<br />
Die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert ist bei der Anlage B größer als bei A,<br />
dennoch zeigt der Mittelwert, dass das Füllziel 700 ml eingehalten wird.<br />
Die Anlage A zeigt keine so großen Abweichungen, allerdings wird im Durchschnitt die angestrebte<br />
Füllmenge leicht überschritten.
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 31<br />
Berechnungen mit dem Statistik-Menü von CASIO ClassPad<br />
1. Schritt: Eingabe der Daten in die Listen la und lb:<br />
2. Schritt: Berechnung der Statistik-Ergebnisse:<br />
Aufrufen: CALC Eindim. Variable<br />
Dann den Namen der verwendeten Liste einstellen:<br />
OK drücken:<br />
Ergebnis: Mittelwert: x 706 und Standardabweichung 6,9 .<br />
Dasselbe <strong>für</strong> die Liste lb:<br />
Ergebnis:<br />
Mittelwert: x 700 und<br />
Standardabweichung 13,8 .<br />
3.2.2 Flaschen, deren Füllmengen um mehr als 20 ml von der angegebenen Füllmenge abweichen,<br />
werden aussortiert. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass dies bei 0,1 % aller<br />
abgefüllten Flaschen der Fall ist.<br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten <strong>für</strong> folgende Ereignisse:<br />
A: Genau 3 von 1 000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.<br />
B: Weniger als 3 von 1000 abgefüllten Flaschen werden deshalb aussortiert.<br />
Lösung:<br />
A: Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> „Flasche wird aussortiert“: pa 0,001 <br />
Zufallsvariable: X sei die Anzahl der aussortierten Flaschen (aus 1000 geprüften).<br />
X ist binomialverteilt.<br />
3 997<br />
PA P 1000<br />
X 3 0,001 0,997<br />
3<br />
Dies kann man direkt so berechnen.<br />
Oder man verwendet die Binomialverteilung<br />
PA binomiaPDf(3,1000,0.001) 0,0613<br />
PB PX 3 PX 2 binomialCDf 0,2,1000,0.001 0,92<br />
In der 1. Zeile wurde P(A) über die Formel<br />
berechnet wobei der Binomialkoeffizient<br />
1000 3 <br />
(„1000 über 3“) durch nCr(1000,3) eingegeben wird.<br />
Hier musste man noch mit simplify vereinfachen.<br />
Zeilen 2 und 3 wurden über das interaktive Menü<br />
Verteilung eingeben (siehe Abbildungen darüber).<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 32<br />
B1 Analysis - Lösung<br />
(Leistungskursniveau)<br />
1.1 Gegeben ist die Funktionenschar fa durch die Gleichung<br />
a<br />
fax 0,5<br />
0,2x<br />
1 30 e <br />
<br />
mit a, x und a > 0,<br />
1.1.1 Untersuchen Sie die Graphen von fa auf gegebenenfalls vorhandene Schnittpunkte mit den<br />
Koordinatenachsen, Extrem-und Wendepunkte. Geben Sie auch jeweils die Koordinaten an.<br />
Geben Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte an.<br />
Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten.<br />
Kurvendiskussion<br />
Schnittpunkte mit der x-Achse gibt es keine,<br />
denn der Bruch wird bei positivem a nie negativ<br />
und somit fa(x) nie Null.<br />
a 1<br />
Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy0| <br />
21 2<br />
,<br />
denn<br />
<br />
a a 1<br />
fa0 0,5 <br />
0<br />
130e 21 2<br />
Hilfen: (1) Es erweist sich in vielen Fällen als sehr günstig, den Parameter a als zweite<br />
Variable in die Definition einzugeben.<br />
Ableitungen:<br />
(2) Die Nullstellengleichung führt zunächst „scheinbar“ zu einer Lösung, wenn man<br />
<strong>für</strong> a nicht die Zusatzbedingung a>0 eingibt.<br />
Für eine manuelle Berechnung schreibt man f um, weil der Bruch<br />
im Zähler kein x hat:<br />
a<br />
f x 0,2x<br />
130e 0,2x<br />
1<br />
0,5 a 130e 0,5<br />
0,2x 2<br />
0,2x<br />
f'x a130e 30e 0,2 <br />
0,2x<br />
6a e<br />
0,2x<br />
130e 2<br />
<br />
Da f ' keine Nullstelle besitzt, gibt es keine Extrempunkte.<br />
Auf eine manuelle 2. Ableitung verzichte ich.<br />
Der Aufwand würde sehr groß werden. (siehe CAS-Ergebnis)<br />
Hinweis: Die erste Ableitung sieht als CAS-Ergebnis völlig<br />
anders aus. Dieses kann man manuell dadurch<br />
berechnen, dass man den Bruch mit 2<br />
<br />
f' x<br />
0,2x<br />
0,4x 0,2x<br />
6a ee 6a e<br />
2 2<br />
<br />
0,<br />
2x 0,2x<br />
2<br />
0,2x<br />
130e e e30 0,2x 0,4x<br />
e e erweitert:<br />
Wendepunkte: Das CAS-Ergebnis liefert als x-Koordinate <strong>für</strong> den Wendepunkt x=17,0059…<br />
Man sollte sich das exakte Ergebnis anzeigen lassen:<br />
Dann erkennt man: x 5 ln30 Dieser Wert ist unabhängig von a,<br />
gilt also <strong>für</strong> alle Scharkurven!<br />
W<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 33<br />
Mit anderen Worten: Alle Wendepunkte der Scharkurven haben die Koordinate xW5 ln30 liegen also auf der Parallelen zur y-Achse mit der Gleichung x 5 ln30. Das ist die Ortskurve aller Wendepunkte.<br />
Es fehlt noch die y-Koordinate und die Kontrolle:<br />
y-Koordinate: 1 1<br />
fa5ln30 a<br />
2 2<br />
Kontrolle: fa'''5ln30 0<br />
Ergebnis: 1 1<br />
Wendepunkte der Scharkurven sind W5ln30 |<br />
a<br />
<br />
2 2<br />
Hinweis: Der Ableitungsbefehl diff von CASIO ClassPad hat die Syntax<br />
diff(Funktion , Variable , Nr. der Ableitung , Einsetzwert)<br />
<br />
f(x,a) x<br />
3<br />
5ln(30) Hiermit wurde also fa '''5ln30 Ein toller Befehl!<br />
berechnet!<br />
,<br />
Asymptoten<br />
(1) Senkrechte Asymptoten gibt es keine, weil der Nenner von f keine Nullstellen besitzt.<br />
(2) Die Schaubilder von fa haben zwei waagrechte Asymptoten.<br />
CAS: Für x :<br />
Für x :<br />
y a<br />
1 y 2<br />
Manuell: x<br />
1<br />
2<br />
a a<br />
a<br />
lim f x lim 0,5 0,5 0,5 a 0,5<br />
1 e 0 0<br />
x a<br />
x1<br />
0,2<br />
30 e 30 lim<br />
x<br />
0,2x<br />
1 3<br />
a<br />
lim f x lim 0,5 0,5<br />
x<br />
1 30 e <br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
x x0,2<br />
Denn<br />
0,2x<br />
lim e<br />
x , also Nenner <br />
1<br />
Ergebnis: Waagrechte Asymptote <strong>für</strong> x : y a<br />
Schaubild:<br />
1<br />
Waagrechte Asymptote <strong>für</strong> x : y 2<br />
Es steht zwar nicht ausführlich in der<br />
Aufgabe, aber dennoch ist ein<br />
Schaubild hilfreich.<br />
Weil in 1.1.2 a = 40 gewählt wird,<br />
lasse ich ClassPad den zugehörigen<br />
Graphen zeichnen.<br />
Um eine günstige Darstellung zu erhalten, muss man wenig<br />
mit den Fenstereinstellungen variieren.<br />
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2
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 34<br />
1.1.2 Für a = 40 schließen der Graph von f40, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der<br />
Gleichung x = 50 eine Fläche F ein.<br />
50 50<br />
40<br />
F f40 xdx 0,5 dx 1338,5<br />
0,2x<br />
1 30 e <br />
<br />
<br />
<br />
0 0<br />
Die manuelle Berechnung des Integrals erfordert eine komplizierte Substitution, die fast<br />
nirgendwo mehr zu den Prüfungsanforderungen gehört. Ich lasse sie daher weg.<br />
Die Punkte A(0 I 0) und P(50 I f40(50)) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten<br />
parallel zu den Koordinatenachsen liegen.<br />
Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der Rechteckfläche auf die Fläche F entfallen.<br />
Rechtecksfläche:<br />
g<br />
<br />
F 50 f50 2022,3<br />
Anteil als Bruch:<br />
Prozentualer Anteil:<br />
F<br />
F<br />
g<br />
F<br />
100% 66,2%<br />
F<br />
g<br />
1.2 Höhenwachstum einer Grassorte.<br />
Durchschnittswerte der Messungen der Höhe des Grases h (in cm) zu ausgewählten<br />
Zeitpunkten t (in h) ab Beginn der Beobachtung:<br />
t in h 0 3 7 10 15 24 36 48<br />
h in cm 1,8 2,8 5,3 8,4 16,5 32,6 39,6 40,4<br />
1.2.1 Stellen Sie die Wertepaare der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar. ·<br />
Lösung:<br />
40<br />
ht 0,5<br />
1 30 e <br />
<br />
Berechnung der Höhe des Grases nach 20 Stunden mit: 0,2t<br />
und der Zeit, nach der h = 20 cm ist:<br />
Ergebnis:<br />
Nach 20 Stunde hat das Gras<br />
durchschnittlich die Höhe 26,3 cm.<br />
Die Höhe 20 cm wird nach 16,8 Std.<br />
erreicht.<br />
1<br />
Da die Funktion streng monoton steigt und lim f x a 40,5 ist,<br />
x 2<br />
gibt es keine größeren Funktionswerte, also auch nicht größer als 45.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 35<br />
1.2.2 Exponentielle Regression mit den Messwerten.<br />
Diese Aufgabenstellung ist vielleicht irreführend, denn man sieht dem Schaubild an dass<br />
es sich nicht um exponentielles sondern um logistisches Wachstum handelt.<br />
Also kann eine exponentielle Regression nicht zu einem brauchbaren Ergebnis führen.<br />
Aber die Aufgabensteller wollten gerade, dass der Abiturient dies erkennt und begründet.<br />
Man öffnet das Statistik-Menü. Die Listen nenne ich z.B. lx und ly (Liste <strong>für</strong> x, Liste <strong>für</strong> y).<br />
Dann wird die Tabelle übertragen.<br />
Das Calc-Menü verlangt, dass eine<br />
exponentielle Regression durchgeführt<br />
wird.<br />
Dann muss man angeben. wen ClassPad<br />
als X-Liste und wen als Y-Liste verwenden<br />
soll.<br />
Formel kopieren ist wichtig <strong>für</strong> das<br />
Schaubild.<br />
Das Ergebnis der Regression liefert<br />
die Koeffizienten <strong>für</strong> die Funktion<br />
<br />
f x a e<br />
bx<br />
Interessant ist nun die graphische<br />
Darstellung der Listenpunkte<br />
(Streuplot oder Punkteplot) und der<br />
Regressionskurve.<br />
Man stellt die Statistik-Grafik ein.<br />
Dann lässt man die Punkte ausgeben<br />
zusammen mit der Funktion, die ich oben<br />
y2 genannt habe.<br />
Eventuell muss man noch das Fenster<br />
anpassen:<br />
Beurteilung bei Verwendung der Exponentiellen Regression:<br />
Die angegebene exponentielle Regression spiegelt nicht das Verhalten<br />
des Wachstums wieder.<br />
Die Anfangswerte bis etwa 10 Stunden entsprechen dem exponentiellen<br />
Wachstum. Die Schlussphase des Wachstums ist jedoch nicht mehr<br />
exponentiell sondern kommt asymptotisch zur Ruhe.<br />
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<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 36<br />
ZUSATZ: Pflanzenwachstum ist sogenanntes logistisches Wachstum, anfänglich exponentiell,<br />
am Ende asymptotisch abklingend.<br />
Führt man also eine logistische Regression durch, erhält man diese Ergebnisse:<br />
Der lange Funktionsterm, der in der Liste als y1<br />
angezeigt wird, passt nicht auf den kleinen Screen<br />
des Handheld. Im PC-Bildschirm kann man mehr<br />
sehen!<br />
c<br />
1 a e <br />
<br />
Die Funktion, die das logistische Wachstum beschreibt, lautet bx<br />
f x<br />
40,58<br />
1 26 e <br />
<br />
Ergebnis der Regression: 0,193x<br />
Diese Funktion beschreibt viel besser das Wachstum. Natürlich streuen die experimentell bestimmten<br />
Messpunkte, denn das Wachstum findet auch nicht gleichmäßig statt, da es natürlich wetterbedingt ist.<br />
Das Schaubild zeigt die exponentielle und die logistische Regressionskurve!<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
f x<br />
.
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 37<br />
B2 Analytische Geometrie und Stochastik - Lösung<br />
2 Carportdach Eckpunkte:<br />
2.1 A (3 I 0 I 2,5), B(3 I 4 I 2,3), C(-3,5 I 4 I 2,3)<br />
und D(-3,5 I 0 I 2,5) .<br />
Die Hauswand befindet sich in der xz-Ebene.<br />
Die Stellfläche <strong>für</strong> das Auto befindet sich in der<br />
xy-Ebene. Eine Längeneinheit ist ein Meter.<br />
Ebene E durch A, B und C:<br />
3 3 0 <br />
Richtungsvektoren: AB 4 0 4 <br />
<br />
2,3 2,5 0,2 <br />
3,5 3 3,7 <br />
und AC 4 0 4 <br />
<br />
2,3 2,5 0,2 <br />
Normalenvektor der Ebene:<br />
0 3,7 0,80,8 0 <br />
<br />
n ABAC 4 4 0,740 0,74 <br />
0,2 0,2 0 14,8<br />
14,8 <br />
<br />
Normalengleichung der Ebene E:<br />
<br />
nx na: 0 x 0 3 <br />
0,74 y 0,74 0 <br />
<br />
14,8 <br />
z 14,8 2,5 <br />
d. h. E: 0,74y 14,8z 37<br />
Punktprobe mit D(-3,5 I 0 I 2,5):<br />
14,8 2,5 37 ist eine wahre Aussage,<br />
also liegt auch D in E.<br />
Neigungswinkel des Daches gegen die xy-Ebene:<br />
Ergebnis:<br />
Die Winkel zwischen 2 Ebenen entsprechen den Winkeln<br />
zwischen ihren Normalenvektoren:<br />
0 <br />
<br />
nDach 0,74 <br />
14,8 <br />
<br />
0 <br />
n 0 <br />
1<br />
<br />
, xy<br />
Kosinusformel <strong>für</strong> den „kleineren“ Schnittwinkel:<br />
<br />
nDach nxy<br />
cos <br />
nDach nxy<br />
<br />
14,8<br />
2<br />
2<br />
0,74 14,8 1<br />
O<br />
2,9<br />
Der Screenshot zeigt drei Berechnungsarten <strong>für</strong> :<br />
Antenne<br />
Manuell:<br />
0 3,7<br />
4 4<br />
0,2 0,2<br />
0 3,7<br />
4 4<br />
0,2 0,2<br />
CASIO ClassPad hat da<strong>für</strong> die Funktion angle.<br />
Andere Rechner müssen mit der Kosinusformel berechnen.<br />
Die dritte Version ist einfach die Fortsetzung der manuellen Berechnung 5 Zeilen höher.<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
A<br />
s <br />
D<br />
B<br />
g<br />
C
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 38<br />
Wenn man die Aufgaben vollständig lösen will, muss man beachten, dass es im Text heißt:<br />
„Damit das Regenwasser auf dem Carportdach von der Hauswand weg geführt werden kann, …“<br />
Das ist schnell geklärt, denn die Dachkante BC liegt 2,30 m über dem Boden, AD aber 2,50 m.<br />
1, 35 <br />
<br />
2.2 Lichtstrahl g durch M0 | 0 | 5 in Richtung s 1 <br />
<br />
1<br />
<br />
0 1,35 <br />
<br />
g: x 0s 1 <br />
<br />
5 <br />
1 <br />
<br />
Schnitt mit E durch koordinatenweises Einsetzen:<br />
0,74 s 14,8 5 s 37<br />
0,74s 7414,8s 37<br />
14,06s 37 s 2,63<br />
Schnittpunkt S:<br />
0 1,35 3,55 <br />
xS 0 2,63 1 2,63 <br />
<br />
5 1<br />
2,37 <br />
<br />
S 3,55 | 2,63 | 2,37<br />
Die x-Koordinaten aller Dachpunkte liegen im Intervall 3; 3,5<br />
Daher liegt S außerhalb des Rechtecks, welches die Dachfläche darstellt.<br />
Ergebnis: Der Schatten der Blitzableiterspitze fällt nicht auf das Dach des Carports.<br />
Stochastik - Teil<br />
2.3 Nullhypothese: Schieferplatten sind mit 5% Wahrscheinlichkeit defekt: pdef 0,05.<br />
Umfang der Stichprobe: n = 200.<br />
Daraus ergibt sich der Erwartungswert <strong>für</strong> die Anzahl X der defekten Platten:<br />
E np 200 0,05 10<br />
Dies ist ein Durchschnittswert, so dass es auch mehr oder weniger defekte geben kann.<br />
Das Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) von 5 % soll dies beinhalten.<br />
Es ist die maximale Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> den Fehler 1. Art, wenn man testet.<br />
Die Ergebnismenge ist S { 0 ; 1; ... ; 10 ; ... ; L | R ; ... ; 200<br />
<br />
<br />
A A<br />
A ist der Annahmebereich <strong>für</strong> HO, A der Ablehnungsbereich.<br />
Die Grenzen L und R sind festzulegen.<br />
Der Fehler 1. Art ist die versehentliche Ablehnung von HO, d.h. ein Textergebnis in A ,<br />
obwohl die Herstellerangabe stimmt.<br />
Die Behauptung des Herstellers (Nullhypothese) HO: p 0,05<br />
Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> den Fehler 1. Art: PX R<br />
Laut Aufgabe soll 0,05 (Signifikanzniveau, Irrtumswahrscheinlichkeit) sein.<br />
Man muss also R so bestimmen, dass PR X 200 0,05ist.<br />
Dies macht man experimentell, indem man einige Werte mit dem CAS-Rechner bestimmt.<br />
Aus diesen Werten erkennt man, dass <strong>für</strong> X=16<br />
der Fehler 1. Art kleiner als 5% ist.<br />
Der Annahmebereich ist also A 0;1;...;15 Findet man also 15 defekte, dann kann man der<br />
Aussage des Herstellers vertrauen.<br />
Schnittgleichung :<br />
Ortsvektor des<br />
Schnittpunkts :<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de
<strong>75112</strong> Abitur 2012 MV 39<br />
Zusatz: Man kann dies etwas einfacher gestalten, indem man die Verteilungsfunktion b(x)<br />
definiert: Dies geht mit der interaktiven „Verteilung“ binomialCDf ganz einfach (CASIO<br />
ClassPad). Man kann dann schnell ein paar Werte anzeigen lassen.<br />
Hier zwei Screenshots <strong>für</strong> TI Nspire CAS:<br />
2.4.1 Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> falsch zugesägt: p10,05 <br />
Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> fehlerhaft gebohrt: p 2 (noch nicht bekannt).<br />
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit dass beide Fehler zugleich auftreten: p3 0,002 .<br />
Da die Fehler laut Aufgabe unabhängig sind, gilt <strong>für</strong> das UND-Ereignis:<br />
p3 p1p2 <br />
p3 0,002 2 4<br />
p2 0,04<br />
p10,05 50 100<br />
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Brett richtig zugesägt aber falsch gebohrt wurde.<br />
Das ist auch ein UND-Ereignis.<br />
p 1p p 0,95 0,04 0,038<br />
<br />
4 1 2<br />
Ergebnis: Ein Brett wird richtig zugesägt, aber falsch gebohrt mit p4 3,8% .<br />
2.4.2 Beim Erstellen des Abstellraumes werden Schrauben zur Befestigung der Bretter benötigt.<br />
Der Anteil fehlerhafter Schrauben ist binomialverteilt mit den Parametern 25 , 4,9371.<br />
Berechnen Sie den Anteil der fehlerhaften Schrauben.<br />
Es gelten diese Formeln:<br />
Arithmetisches Mittel: n p<br />
2<br />
Standardabweichung: np1 p<br />
bzw. np1 p<br />
Daraus folgen die Gleichungen: n p 25<br />
(1)<br />
n p 1p 2<br />
4,9371 (2)<br />
<br />
Manuell: (1) in (2) ergibt: <br />
Eingesetzt in (1):<br />
25 1p 4,9371<br />
2<br />
25 25p 4,9371<br />
2<br />
25p 25 4,9371<br />
2<br />
25 4,9371<br />
p 0,025<br />
25<br />
25<br />
n <br />
1000<br />
0,025<br />
Friedrich Buckel www.mathe-cd.de<br />
2