Terme wie - Internetbibliothek für Schulmathematik

Termumformungen
(ohne binomische Formeln)
Datei Nr. 12101
Friedrich W. Buckel
Stand 24. Mai 2008
Demo: Mathe-CD
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
ALGEBRA
Terme 1

DATEI 12101
Inhalt
1 Was sind und was leisten Terme 1
2 Zusammenfassen und Ordnen von Termen 4
3 Ausmultiplizieren und Ausklammern 8
Vorsicht beim Umgang mit Minuszeichen 11
Vorsicht beim Umgang mit Potenzen 11
4 Multiplizieren von Klammern 15
5 Kompliziertere Aufgaben 18
Produkte mit mehr als 2 Klammern 21
DATEI 12102
6 Binomische Formeln 1
DATEI 12103
6.1 Vorübung 1
6.2 Die 1. Binomische Formel 2
6.3 Die 2. Binomische Formel 4
6.4 Die 3. Binomische Formel 5
6.5 Teuflische Minuszeichen 6
6.6 Vermischte Aufgaben 9
6.7 Noch kompliziertere Terme 18
7 Faktorisieren 1
DATEI 12104
7.1 1. Stufe: Ausklammern 1
7.2 Umkehrung der Binomischen Formeln 3
Trainingsaufgabe 1
7.3 Faktorisieren mit Ausklammern und binomischer
9
Formel 10
Trainingsaufgabe 2 21
7.4 Quadratische Ergänzung 23
Trainingsaufgabe 3 31
8 Faktorisieren mit beliebigen Klammern
DATEI 12105
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9 Berechnung von ( ) n
a+ b / Pascalsches Dreieck 1
10 Berechnung von ( ) 2
a+ b+ c
12

12101 Term-Umformungen 1 1
1. Was sind und was leisten Terme?
Ein Term ist eine Berechnungsvorschrift, die Zahlen, Variable (Platzhalter) und
Rechenzeichen enthält.
2 x−1 Beispiele: 4x + 2,
(x−2) ⋅ x , x − 2x,
2
x + 4
sind Terme.
b
Es gibt auch Terme mit mehr Variablen: ab ( + c)
, a⋅ b+ ac ⋅ oder a + c.
Zu jedem Term gehört eine Menge von Zahlen, sein Definitionsbereich.
Das sind die Zahlen, mit denen man rechnen soll, indem man sie für die Variable
einsetzt.
BEISPIEL 1: Wir arbeiten mit dem Term 4x + 2:
Als Definitionsmenge oder Definitionsbereich geben wir (nur als Beispiel) diese
Zahlen vor: D = { −2 ; −1;
0 ;1; 2 ; 3}
.
Wir setzen diese Zahlen der Reihe nach ein und berechnen die Ergebnisse (Werte):
Für x = - 2 liefert der Term 4⋅ − 2 + 2=− 8+ 2=−6
Für x = - 1 liefert der Term 4⋅ − 1 + 2=− 4+ 2=−2
Für x = 0 liefert der Term 4⋅ 0 + 2= 0+ 2=
2
Für x = 1 liefert der Term 4⋅ 1 + 2= 4+ 2=
6
Für x = 2 liefert der Term 4⋅ 2 + 2= 8+ 2= 10
Für x = 3 liefert der Term 4⋅ 3 + 2= 12+ 2= 14
-2
-1
0
1
2
3
Durch diese Berechnungen wird jeder Zahl des Definitionsbereiches eine Zahl
zugeordnet. Die zugeordneten Zahlen nennt man die Werte des Terms, und sie alle
zusammen bilden die Wertmenge. Die zu diesem Definitionsbereich gehörende
W = −6; −2;2;6;10;14
.
Wertmenge ist also { }
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-6
-2
Demo: Mathe-CD
2
6
10
14

12101 Term-Umformungen 1 2
Meistens gibt man jedem Term die größtmögliche Definitionsmenge, die möglich ist.
Dies hängt wiederum von der Klassenstufe ab, in der man sich mit diesen Termen
beschäftigt.
In der Klasse 8 beispielsweise kennt man die Menge Q aller rationalen Zahlen (dies
sind alle Zahlen, die man als Bruch darstellen kann).
Ab Klasse 9 kommen weitere Zahlen dazu. Dort verwendet man die Menge R aller
reellen Zahlen.
In manchen Bundesländern zeigt man den Schülern, dass es darüber hinaus weitere
Zahlen gibt, sogenannte komplexe Zahlen. Diese benötigen wir hier nicht.
BEISPIEL 2: Wir arbeiten mit dem Term (x−2) ⋅ x:
Die Definitionsmenge sei jetzt Q. Nun können wir natürlich nicht mehr zu jeder Zahl
einen Wert berechnen, denn unendlich viele Berechnungen überfordern uns.
Daher verwenden wir eine kleine Auswahl an Zahlen, die auch Brüche enthalten
sollen.
1
Unsere spezielle kleine eingeschränkte Definitionsmenge sei = { −3; −1;3;
}
D .
1 2
Wichtig ist noch, dass man an allen Stellen, wo x steht, dieselbe Zahl einsetzt !!!
Für x = - 3 liefert der Term ( −3 ) − 3 ( ) ( )
−2 ⋅ = −5 ⋅ − 3 =+ 15
Für x = - 1 liefert der Term ( 1− ) ⋅ − 1 = ( − ) ⋅( −1)
Für x = 3 liefert der Term ( 3 −2) ⋅ 3 = 1⋅ 3= 3
Für x = 1
− 2 3 =+ 3
2 liefert der Term 1
3
( 2)
( )
− ⋅ = − ⋅ =−
1 1 3
2
2 2 2 4
In dieser kleinen „Wertetabelle“ gibt es etwas zu entdecken:
Den Zahlen –1 und 3 wird derselbe Wert zugeordnet.
Dies ist also möglich. Weiter sieht man, dass die Werte positive Zahlen, negative
Zahlen und auch Brüche sein können.
Im Mengendiagramm stellt man diese vier Werteberechnungen so dar:
-3
-1
3
1
2
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15
3
3 − 4
D W

12101 Term-Umformungen 1 3
BEISPIEL 3: Wir arbeiten mit dem Term 2 x − 2x:
1
Und verwenden dieselben Zahlen wie zu vor: = { −3; −1;3;
}
Für x = - 3 liefert der Term
Für x = - 1 liefert der Term
Für x = 3 liefert der Term
Für x = 1
2
liefert der Term
2
D .
1 2
−3 −2⋅ − 3 = 9+ 6= 15
2
− 1 −2⋅ − 1 = 1+ 2= 3
2
3 −2⋅ 3 = 9− 6= 3
2
1 −2⋅ = −2⋅ =−
2
1 1 1 3
2 4 2 4
Vergleicht man die Beispiele 2 und 3, stellt man fest, dass beide Terme dieselben
Werte liefern.
MERKE:
Wenn zwei Terme bei jeder Ersetzung denselben Wert liefern,
heißen sie „gleichwertig“ oder kurz „gleich“.
2
Die Schreibweise (x−2) ⋅ x = x − 2x heißt also nicht, dass es sich um
die gleichen Terme handelt, sondern dass sie die gleichen Werte liefern!
Die Umformung des Terms ( x−2) ⋅ x in
2
x 2x
− nennt man eine Termumformung.
Wir müssen nun lernen, welche Termumformungen zulässig sind. Damit meint man:
Welche Termumformungen erzeugen gleichwertige Terme?
Die einfachsten Umformungen, die wir von jetzt ab untersuchen, sind:
♦ Zusammenfassen und Ordnen
♦ Ausklammern und Ausmultiplizieren
♦ Addieren und Subtrahieren von Klammern
♦ Multiplizieren von Klammern
♦ Die Binomischen Formeln
♦ und vieles andere.
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12101 Term-Umformungen 1 4
2. Zusammenfassen und Ordnen von Termen
1. Zunächst einmal klären wir, dass die Schreibweise 5a eigentlich 5⋅ a
bedeutet, 7x = 7⋅ x usw. Dies ist eine vereinfachende Schreibweise.
Wenn wir solche Terme nun zusammenfassen wollen, dann besinnen wir uns
darauf, wie wir es als Kinder gelernt haben: 2 Äpfel + 3 Äpfel = 5 Äpfel.
Wir rechnen da nur mit den Zahlen: 2 + 3 = 5.
Mathematisch gesehen klammern wir also „Äpfel“ aus und rechnen so:
2 Äpfel + 3 Äpfel = (2 + 3 ) Äpfel = 5 Äpfel.
Verwenden wir die Variable a statt des Wortes Äpfel, dann haben wir diese
Rechnung: 2a + 3a = ( 2 + 3 ) a = 5a.
Dies können wir auf größere Ausdrücke erweitern:
5x + 12x – 7x = ( 5 + 12 – 7 )x = 10x.
Wir wollen hier nochmals kontrollieren, ob beide Terme auch wirklich gleichwertig
sind: Setzen wir beispielsweise x = 3 ein:
Linke Seite: 5⋅ 3 + 12⋅ 3 −7⋅ 3 = 15+ 36− 21= 30
Rechte Seite: 10⋅ 3 = 30
Für x = 3 haben wir also denselben Wert erhalten!
Weitere Beispiele
11x + 4x – 16x + 9x = ( 11 + 4 – 16 + 9 )x = 8x
7ab + 3ab + 6ab = ( 7 + 3 + 6) ab = 16ab
2 2 2 2 2
5x − 20x + 3x = ( 5− 20 + 3) x =− 12x
Dies geht auch bei komplizierteren Ausdrücken wie
3 a+ b + 6 a+ b − 8 a+ b = 3+ 6− 8 a+ b = 1 a+ b = a+ b
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
12(x −2) −8( x − 2) + ( x − 2) = ( 12− 8 + 1)( x − 2) = 5( x − 2)
Achtung: Hier wurde ( x− 2) = 1( x− 2)
verwendet.
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Trainingsaufgabe 1: Fasse auf diese Weise zusammen:
a) 6x + 11x + 7x− 2x
b) 8a + 22a − 16a
c) 14s+ 2s+ s− 7s
d) 3x −5x −19x − x
e)
3 3 3 3
7a + a − 12a + 9a
f) 5xy− 17xy + 12xy
2 2 2 2
g) 3a ( + b) + 7a ( + b)
h) 10x ( − y) + 8x ( −y) −13x ( − y)
2 2 2
2 2 2
i) 4(x + 2) − 6( x + 2) + ( x + 2)
j) 12( a + b) − 38( a + b) + 3( a + b)
k) −3x ( −1) −4x ( − 1) + 2x ( − 1)
l) xa ( + b) + ya ( + b)
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12101 Term-Umformungen 1 5
Lösungen zur Trainingsaufgabe 1
a) 6x + 11x + 7x − 2x = ( 6 + 11+ 7− 2) x = 22x
b) 8a + 22a − 16a = ( 8 + 22 − 16) a = 14a
c) 14s + 2s + s− 7s = ( 14 + 2 + 1− 7) s = 10s
d)
2 2 2 2 2 2
3x −5x −19x− x = ( 3−5−19− 1) x =− 22x
e)
3 3 3 3 3 3
7a + a − 12a + 9a = ( 7 + 1− 12 + 9) a = 5a
f) 5xy− 17xy + 12xy = ( 5− 17+ 12) xy = 0xy = 0
g) 3( a+ b) + 7( a+ b) = ( 3+ 7)( a+ b) = 10( a+ b) = 10a+ 10b
h) 10x ( − y) + 8x ( −y) −13x ( − y) = ( 10+ 8−13)( x− y) = 5x ( − y) = 5x− 5y
i) ( ) ( ) ( )( ) ( )
j) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2
4(x + 2) − 6 x + 2 + x + 2 = 4− 6+ 1 x + 2 =− 1 x + 2 =−x − 2
2 2 2 2 2
12 a + b − 38 a + b + 3 a + b = 12− 38 + 3 a + b =− 23(a + b)
2
=−23a − 23b
−3 x−1 −4 x− 1 + 2 x− 1 = −3− 4+ 2 x− 1 =−5 x− 1 =− 5x+ 5
k) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
l) x( a+ b) + y( a+ b) = ( x+ y)( a+ b)
Vorsicht bei verschiedenen Variablen
Terme wie 2x + 3y bereiten Anfängern oftmals Schwierigkeiten, weil sie versuchen,
auf irgendeine Art zusammen zu fassen.
Falsche Rechnungen sind etwa: 2x + 3y = ( 2+ 3)( x + y) = 5( x + y)
Oder: 2x + 3y = ( 2+ 3) xy = 5xy
Terme wie 2x + 3y kann man nicht zusammenfassen!
Beweis dafür, dass 2x + 3y und 5(x+y) nicht gleichwertig sind:
Bei verschiedenen Variablen kann man für jede Variable eine andere Zahl einsetzen.
Wir wählen z.B. x = 5 und y = 4.
Der Term 2x + 3y ordnet diesen Zahlen den Wert 2⋅ 5 + 3⋅ 4 = 10+ 12= 22
zu.
Der Term 5x ( + y)
ordnet diesen Zahlen den Wert ( 5 ) 9
Also kann die Zusammenfassung 2x + 3y = 5( x + y)
nicht stimmen!
5 + 4 = 5⋅ = 45zu.
Beweis dafür, dass .2x + 3y und 5xy nicht gleichwertig sind:
Wir wählen z.B. x = 5 und y = 4.
Demo: Mathe-CD
Der Term 5xy ordnet diesen Zahlen den Wert 5⋅5⋅ 4=
100 zu. Auch hier erhalten
wir einen anderen Wert als bei 2x + 3y .
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12101 Term-Umformungen 1 6
Beispiele
(a) 6a + 2b −8a − b = ( 6 − 8) a + (2 − 1)b =− 2a + b
Erklärung: Man fasst die beiden a-Terme zusammen und dann die beiden b -Terme.
(b) 14a− 3b+ 4a−5b− 9a= ( 14+ 4−9) a + ( −3− 5)b= 9a− 8b
Achtung: Vor die zu b gehörende Klammer muss ein Pluszeichen gesetzt werden,
weil die Minuszeichen zu den Koeffizienten -3 und -5 gehören !
(c) 3x + 4xy− 5y + 2x− 8y = ( 3+ 2) x + 4xy + ( −5− 8) y = 5x + 4xy− 13y
Der Summand 4xy sollte nicht mit den x-Termen und nicht mit den y-Termen
zusammengefasst werden. Es geht jedoch auf diese zwei Arten:
3x + 4xy− 5y + 2x− 8y = 3+ 4y + 2 x + −5− 8 y = 5+ 4y x− 13y oder
( ) ( ) ( )
3x + 4xy− 5y + 2x− 8y = ( 3+ 2) x + ( 4x−5− 8) y = 5x + ( 4x− 13) y.
Doch diese Umformung wird selten vorgenommen. Wir wollen sie hier außer Acht
lassen.
(d) ( ) ( )
− + − + + = − − + + + =− + +
Auch hier steht vor der ersten Klammer ein „unsichtbares“ Pluszeichen. Es ist
unsichtbar, weil man es am Anfang eines Terms weglassen kann.
2 2 2 2
12x 3x 8x 7x 3 12 8 x 3 7 x 3 20x 10x 3
Fasse auf diese Weise zusammen:
Trainingsaufgabe 2
a) 3x + 2y + 4x + 12y− 6x + 6y
b) 6a + 13b + 5a−16b −11a − 8b
c) 3a − 6b + 9a −5b −6a− 12b
d) − 5a + 6b −7a − 2b + 12a − 4b
e) − 18x + 12y − 3xy + 4x − 8y + 6xy
f) −a−b− c+ 2a+ 3b+ 4c
g) 4a − 3b + 5c − 4a + 3b − 4c
h) 12u − v + 5w − 13u + 2v − 6w
i) 4(a+ b) + 3(x+ y) + 5(a+ b) − 6(x+ y)
Die Lösungen stehen auf der nächsten Seite.
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12101 Term-Umformungen 1 7
Lösungen zur Trainingsaufgabe 2
a) 3x + 2y + 4x + 12y− 6x + 6y = ( 3+ 4− 6) x + ( 2+ 12+ 6) y = 1x + 20y
Weil 1x eigentlich 1⋅ x bedeutet, ist 1⋅ x= x.
Daher lautet das
Ergebnis der Zusammenfassung:
3x + 2y + 4x + 12y− 6x + 6y = x + 20y
b) 6a + 13b + 5a −16b−11a − 8b = ( 6 + 5 − 11) a + ( 13−16− 8) b = 0a + ( − 11) b
Weil 0a = 0⋅ a = 0 ist und +− ( 11b) =− 11b ist, lautet das Ergebnis der
Zusammenfassung:
6a + 13b + 5a −16b −11a − 8b =− 11b
c) 3a − 6b + 9a −5b−6a − 12b = ( 3 + 9 − 6) a + ( −6−5− 12) b = 6a− 23b
d) − 5a+ 6b−7a− 2b+ 12a− 4b= ( −5− 7+ 12) a+ ( 6−2− 4) b= 0a+ 0b= 0
e) − 18x + 12y − 3xy + 4x − 8y + 6xy = ( − 18 + 4) x + ( 12− 8) y + ( − 3 + 6) xy
=− 14x + 4y + 3xy
f) −a−b− c+ 2a+ 3b+ 4c= ( − 1+ 2) a+ ( − 1+ 3) b+ ( − 1+ 4) c= a+ 2b+ 3c
g) 4a − 3b + 5c − 4a + 3b − 4c = ( 4 − 4) a + ( − 3 + 3) b + ( 5 − 4) c = c
h) 12u− v + 5w − 13u + 2v − 6w = ( 12− 13) u + ( − 1+ 2) v + ( 5− 6) w =− u + v − w
Hier wurde immer wieder verwendet, dass 1u = 1⋅ u = u ist usw.
i) 4(a+ b) + 3(x+ y) + 5(a+ b) − 6(x+ y) = ( 4+ 5)( a+ b) + ( 3− 6)( x+ y)
= 9a ( + b) + ( − 3)( x+ y) = 9a ( + b) − 3x ( + y)
Demo: Mathe-CD
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12101 Term-Umformungen 1 8
3. Ausmultiplizieren und Ausklammern
Wir haben zuletzt gelernt, wie man ausklammern kann:
3a + 5a = ( 3 + 5) a = 8a
oder allgemein: r⋅ a+ s⋅ a= ( r+ s) ⋅ a
Vertauscht man die beiden Seiten, dann lautet diese Rechnung so:
Oftmals wird es auch so geschrieben:
( r+ s) ⋅ a= r⋅ a+ s⋅ a
( )
a⋅ b+ c = a⋅ b+ a⋅ c
Man nennt diese Gleichung auch das Distributivgesetz, mit deutschem Namen
Verteilungsgesetz. Es besagt:
Man darf einen vor einer Klammer stehenden Faktor mit jedem Summanden in
der Klammer multiplizieren („eine Klammer ausmultiplizieren“):
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎜⎝ ⎠
⎟
z. B: 3x+ 2= 3x ⋅ + 32 ⋅ = 3x+ 6.
Wendet man das Distributivgesetz von rechts nach links an, spricht man von
„Ausklammern“:
z.B. 4a + 12b = 4⋅ ( a + 3b)
Beide Vorgänge sind sehr wichtig und müssen eingeübt werden. Zunächst einige
a) ( )
b) ( )
Beispiele und Aufgaben zum Ausmultiplizieren:
Bitte genau anschauen, wie hier gerechnet worden ist.
4x+ 5= 4x ⋅ + 45 ⋅ = 4x+ 20
x2x+ 5
2
= x2x ⋅ + x5 ⋅ = 2x+ 5x
c) ( )
ab a b + ab = ab⋅ a b + ab⋅ ab = a b + a b
2 2 2 2 3 2 2 3
d) −2( 3− a) =−2⋅3−2⋅( − a) =− 6+ 2a
e) ( )
− + − =− − +
2 2
2x 4x 1 2x 4x 1
Demo: Mathe-CD
Hier bedeutet das Minus vor der Klammer eigentlich (-1).
−− 1 = −1 ⋅− 1 = 1
Daher kommt diese Rechnung vor: ( ) ( ) ( )
f) a( a + 2b) + b( b − 2a) = a⋅ a + a⋅ 2b + b⋅ b + b⋅( − 2a)
2 2 2 2
= a + 2ab+ b − 2ab= a + b
denn a2b ⋅ = a2b ⋅ ⋅ = 2ab ⋅ ⋅ = 2ab.
Faktoren darf man vertauschen.
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12101 Term-Umformungen 1 9
a) 3x( x− 4)
b)
d) 2x ( y)
Trainingsaufgabe 3
2
4(x − 5) c)
2
a ( 4− a+ b)
− − e) xy( x + y)
f)
Trainingsaufgabe 4
2 2
2ab (a + b − 5)
a) 32a ( + 3b) − 54a ( + 6b)
b)
2
5x( x + 1) − 2( x + 3x)
c) 7b( a −2b) −2b( b − 7a)
d)
2
4x( 2x + 3) − 2( 5x + 8x− 6)
e) x( y+ z) + y( x+ z) + z( x+ y)
f)
2
4x( 2−x) − 3( x + 2x− 1)
g) 1 a4a 2 ( 3b) 3 2
2(
5a 6ab)
2 3
−2x y x − y
3 2
+ 3x y x + y
i)
2
2a ( ab
2
2b ) 2
ba( 3a ab)
2 2
+ + − h) ( ) ( )
+ − − j) uv( v − 2u) + 2u ( 1+ v) − v ( u + 3)
Die Lösungen stehen auf der nächsten Seite
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12101 Term-Umformungen 1 10
a) ( )
b)
Lösungen zur Trainingsaufgabe 3
− = ⋅ − ⋅ = −
2 2
4(x − 5) = 4x − 20
2
a 4− a+ b
2 3 2
= 4a − a + a b
2
3x x 4 3x x 3x 4 3x 12x
c) ( )
d) −2x ( − y) =− 2x+ 2y
e)
2 2
xy( x + y) = x y + xy
f)
2 2 3 2 3 2
2ab (a + b − 5) = 2a b + 2ab − 10ab
Lösungen zur Trainingsaufgabe 4
a) 3( 2a + 3b) − 5( 4a + 6b) = 6a + 9b −20a− 30b =−14a− 21b
b) ( ) ( )
2 2 2 2
5x x + 1 − 2 x + 3x = 5x + 5x−2x− 6x = 3x − x
c) ( ) ( )
7b a −2b−2bb− 7a = 7ab−14b− 2b + 14ab = 21ab− 16b
d) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
4x 2x + 3 − 2 5x + 8x− 6 = 8x + 12x−10x − 16x + 12 =−2x− 4x + 12
Hier muss man bei der 2. Klammer gut aufpassen, denn die Zahl –2 vor der
Klammer wird mit jeder Zahl in der Klammer multipliziert. Dabei kehrt sich
wegen des Minuszeichens jedes Vorzeichen um !!!
x y+ z + y x+ z + z x+ y = xy+ xz+ yx+ yz+ zx+ zy= 2xy+ 2yz+ 2xz
e) ( ) ( ) ( )
f) ( ) ( )
2 2 2 2
4x 2−x− 3 x + 2x− 1 = 8x−4x −3x − 6x + 3 =− 7x + 2x + 3
Auch hier mussten wieder alle Vorzeichen der Klammer umgedreht werden,
weil vor der Klammer die negative Zahl –3 stand, mit der alles in der Klammer
multipliziert worden ist.
1
3 2 2 3 15 2 19 2 15
a 4a + 3b + 5a − 6ab = 2a + ab + a − 9ab = a − ab
g) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 3 3 2 3 3 2 4 4 2 3 3
h) ( ) ( )
−2x y x − y + 3x y x + y =− 2x y + 2x y + 3x y + 3x y
3 3 2 4 4 2
= xy + 2xy + 3xy
2a ab + 2b −ba 3a − ab = 2a b + 4a b − 3a b + a b =− a b + 5a b
i) ( ) ( )
2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
j) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
− + + − + = − + + − − =
uv v 2u 2u 1 v v u 3 uv 2u v 2u 2u v uv 3v
2 2
= 2u − 3v
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12101 Term-Umformungen 1 11
Vorsicht beim Umgang mit Minuszeichen
Wir haben in einigen Aufgaben gesehen, dass man auf die Vorzeichen Acht
geben muss, wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht.
Merke: − ( a+ b) =−a− b
−( a− b) =− a+ b
−− ( a+ b) = a− b
( )
−−a− b = a+ b
Beispiele dazu: − ( x+ 2) =−x− 2
− 2r ( + 2t) =−2r− 4t
2
−5x( 2x− 3) =− 10x + 15x
−6( − 2+ a) = 12− 6a
−12( −3x− 5) = 36x + 60
Man sollte auch dieses wissen:
oder
2 3 5 a a a
Vorsicht beim Umgang mit Potenzen
a ⋅ a = a
3 4 7
aaa ⋅⋅ aaaa ⋅⋅⋅
⋅ = und ( ) ( )
Komme also nie auf diese Idee:
Diese Regel kann man selbst entdecken:
Beispiele
3 3 6
a⋅ a = aaa ⋅ ⋅ ⋅ aaa ⋅ ⋅ = a !!!
2 3 23 ⋅ 6
a ⋅ a = a = a . Es ist falsch!
Multipliziert man zwei Potenzen mit gleicher Basis,
dann muss man die Exponenten addieren.
2 7 9
4a ⋅ 5a = 20a
5a ⋅2a⋅ 9a = 90a = 90a
3 2 3+ 2+ 1 6
4a ( 3a − 8a ) = 12a − 32a
2 3 5 5 7
Demo: Mathe-CD
12x ( − 2x + 3x − 4x + 5) =− 24x + 36x − 48x + 60x
3 3 2 6 5 4 3
Übe diese Zeilen mehrfach!
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12101 Term-Umformungen 1 12
(a)
Beispiele und Aufgaben zum Ausklammern:
Die Aufgabenstellung ist jetzt wieder umgekehrt:
Es soll möglichst viel ausgeklammert werden !
3 2 7 4 2 5
8a b c − 12a b c ist gegeben. Zunächst erkennen wir, dass in den
Zahlen 8 und 12 der größte gemeinsame Teiler 4 ist, also klammern wir 4 aus,
bleiben 2 und – 3 stehen, denn beim Ausklammern wird ja dividiert. Denn es
ist das Gegenteil von Ausmultiplizieren.
Jeder der beiden Summenden hat eine a-Potenz. Die kleinste ist a 3 . Sie ist in
a 3 und in a 4 enthalten. Dann kann man aus beiden Summanden b 2
ausklammern und schließlich noch c 5 , denn dies ist ja auch in c 7 enthalten.
und das schauen wir uns ausführlicher an:
7
c = c ⋅c⋅c⋅c⋅c⋅c⋅c 5 c2
= c =
Demnach sieht die Lösung hier so aus:
3 2 7 4 2 5 3 2 5 2
8abc − 12abc = 4abc( 2c− 3a)
.
Man kann die Probe machen und die rechte Seite wieder ausmultiplizieren,
dann muss sich der links stehende Term ergeben!
2 2
(b) 8a b + 12ab − 6ab = 2ab( 4a + 6 − 3b)
3 2 2 3 2 2
(c) 36x y + 24x y + 60xy = 12xy( 3x + 2xy + 5y )
(d)
2 3 2 2 2 3 4 7
abcd− 8a bc d + 5ab c − 12a b cd
Wir sehen, dass a, b und c in jedem der vier Summanden vorkommt, aber
nur mit der Hochzahl 1 (1. Summand!) also:
2 2 2 3 7
= abc d− 8ac d + 5bc − 12a b d
( )
(e) Die folgende Aufgabe ist ganz wichtig:
2
4x + 8x = 4x( 1+ 2x)
.
Das Besondere daran: Wenn man hier die 4x ausklammert, bleibt eigentlich
„nichts“ mehr stehen. Das ist aber nicht richtig, denn es muss die 1 stehen
bleiben. Man sollte immer daran denken, dass Ausklammern eigentlich
Herausdividieren heißen sollte. Wir klammern 4x aus, also dividieren wir alle
Summanden in der Klammer durch 4x. Dann bleibt übrig: 4x : 4x = 1 und
2
8x : 4x = 2x.
Noch so ein Beispiel:
2 2
(f) 26ab 13ab 39a b 13ab ( ? )
a)
d)
f)
Demo: Mathe-CD
+ − = . Wenn wir jetzt alle 3 Summanden durch
2
13ab dividieren, bleibt übrig: 26ab :13ab = 2b , 13ab :13ab = 1 und
2
− 39a b :13ab =− 3a . Somit lautet die ganze Rechnung:
2 2
26ab + 13ab − 39a b = 13ab 2b + 1− 3a .
( )
Trainingsaufgabe 5
3 2 4
24a + 60a b− 36a
2 4
b) 12x + 4x − 16x
2 2 2 2
c) 3a b + 6ab − 9a b
2 3 4 4 3 2
78a c b − 72a b c
2 2 2 3 2
e) 25xy − 15x y + 20x y
2 3 4
144uv − 216u v
5 3 4 2 2 7
g) 130a b − 65a b + 260a b
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12101 Term-Umformungen 1 13
Lösungen zur Trainingsaufgabe 5
a)
3 2 4 2 2
24a + 60a b− 36a = 12a ( 2a+ 5b− 3a )
b)
2 4 3
12x + 4x− 16x = 4x( 3x + 1− 4x )
2 2 2 2
c) 3a b + 6ab − 9a b = 3ab( a + 2b − 3ab)
d)
2 3 4 4 3 2
78a c b − 72a b c
Hier muss man den ggT aus 78 und 72 bestimmen. Dazu zerlegt man beide
Zahlen in Primfaktoren: 78 = 2⋅ 39 = 2⋅3⋅ 13 , 72= 89 ⋅ = 2343 ⋅ ⋅ ⋅
Jetzt erkennt man, dass beide Zahlen den ggT 23 ⋅ = 6haben:
78 = 6⋅ 13 und 72 = 6⋅ 12 . Also kann man 6 ausklammern !
2 3 4 4 3 2 2 3 2 2
78acb − 72abc = 6abc ( 13bc− 12a)
2 2 2 3 2 2 2
e) 25xy − 15x y + 20x y = 5xy ( 5− 3x + 4x )
f)
2 3 4
144uv − 216u v
4 2
3 3
Zerlegen: 144 = 9⋅ 16 = 2 ⋅ 3 und 216 = 8⋅ 27 = 2 ⋅ 3
3 2
Der größte gemeinsame Teiler besteht somit aus 2 ⋅ 3 = 8⋅ 9= 72
Und da 144 = 2⋅ 72 ist, und 216 = 3⋅ 72 kann man 72 so ausklammern:
2 3 4 2 2 2
144uv − 216u v = 72uv 2− 3u v
( )
5 3 4 2 2 7 2 2 3 2 5
g) 130a b − 65a b + 260a b = 65a b ( 2a b− a + 4b )
Wiederholung: Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
BEISPIELE
(1) ggT(80,200) = ? Zerlegung in Primfaktoren:
80= 810 ⋅ = 22225 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
200= 2⋅ 100= 2⋅4⋅ 25= 2⋅2⋅2⋅ 5⋅5 ggT(80,200) = 2⋅2⋅2⋅ 5 = 40
Es geht natürlich schneller, wenn man so vorgehen kann:
80 = 40⋅2 200 = 40⋅5 also ist 40 der größte gemeinsame Teiler, weil 2 und 5 teilerfremd sind !
(2) ggT(126,60) = ? Zerlegung in Primfaktoren:
126= 263 ⋅ = 297 ⋅ ⋅ = 2⋅ 337 ⋅ ⋅
60 = 6⋅ 10 = 2⋅3⋅2⋅ 5 = 2⋅2⋅3⋅5 ggT(126,60) = 2 ⋅ 3 = 6
Trainingsaufgabe 6 Klammere aus und bestimme zuvor den ggT!
a)
d)
2 2
64x y − 72xy b)
2 3 3 2
50x y − 40x y e)
Demo: Mathe-CD
3 2
56x + 98x c) 48abc + 72abd
2 4 2 3
68ab + 85ab f)
2
54 + 27x − 36x
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12101 Term-Umformungen 1 14
a)
b)
2 2
64x y − 72xy
ggT(64,72) = 8, denn
Lösungen zur Trainingsaufgabe 6
64 = 8⋅8 72 = 8⋅9 2 2
Also kann man 8 ausklammern: 64x y − 72xy = 8xy( 8x − 9y)
3 2
56x + 98x
56 = 8⋅ 7 = 2⋅2⋅2⋅ 7 = 14⋅4
98 = 2⋅ 49 = 2⋅7⋅ 7 = 14⋅7
ggT 56,98 = 2⋅ 7 = 14
( )
3 2 2
Also kann man 14 ausklammern: 56x + 98x = 14x ( 4x + 7)
c) 48abc + 72abd
d)
e)
f)
48 = 16⋅ 3 = 222 ⋅ ⋅ ⋅2⋅ 3 = 24⋅ 2
72= 89 ⋅ = 222 ⋅ ⋅ ⋅3⋅ 3= 243 ⋅
ggT(48,72)
= 222 ⋅ ⋅ ⋅ 3 = 24
Also kann man 24 ausklammern: 48abc + 72abd = 24ab( 2c + 3d)
2 3 3 2
50x y − 40x y
50 = 10⋅5 40 = 10⋅4 Also ist ggT (50,40) = 10.
2 3 3 2 2 2
Und man kann 10 ausklammern: 50xy − 40xy = 10xy( 5y− 4x)
2 4 2 3
68a b + 85a b
68 = 2⋅ 34 = 2⋅2⋅17 85 = 5⋅17 Also ist ggT(68,85) = 17
2 4 2 3 2 3
Und man kann 17 ausklammern: 68a b + 85a b = 17a b ( 4b + 5)
2
54 + 27x − 36x
54 = 2⋅ 27 = 2⋅333
⋅ ⋅
27 = 33 ⋅ ⋅3
36 = 4⋅ 9 = 2⋅2⋅3⋅3 Demo: Mathe-CD
Also ist ggT (54,27,36) = 9
2 2
Daher klammert man 9 aus: 54 + 27x − 36x = 9( 6 + 3x − 4x )
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12101 Term-Umformungen 1 15
4. Multiplizieren von Klammern
HINFÜHRUNG ZU EINER NEUEN RECHENMETHODE
Sehen wir uns diesen Term an: a⋅ ( c+ d) + b⋅ ( c+ d)
.
Wir können ihn auf zwei Arten verwandeln.
1. Wir klammern die Klammer aus:
a ⋅ c+ d + b⋅ c+ d = a+ b ⋅ c+
d
( ) ( ) ( ) ( )
2. Wir multiplizieren beide Klammern aus:
a⋅ ( c + d) + b⋅ ( c + d) = ac + ad+ dc + bd
Wir sehen also, dass dieser Term auf zwei Ergebnisse führt, die gleich sind:
( a + b)( c + d) = ac + ad+ bc + bd
Dies erproben wir an einigen Beispielen:
x+ 2 x+ 3
2 2
= x + 3x + 2x+ 6= x + 5x+ 6
5x
(a) ( )( )
(b) ( 4a + 5b) ⋅ ( 5a + 4b) = 4a⋅ 5a + 4a⋅ 4b + 5b⋅ 5a + 5b⋅ 4b
= 20a +
16ab+ 25ab+ 20b = 20a + 41ab+ 20b
2 2 2 2
41ab
(c) ( 5x− 2y)( 3x + 6y) = 5x⋅ 3x + 5x⋅6y−2y⋅3x−2y⋅ 6y
= 15x + 30xy −6xy− 12y = 15x + 24xy − 12y
2 2 2 2
24xy
Trainingsaufgabe 7
a) ( a+ 4)( b− 2)
b) ( a+ 12)( a− 10)
c) ( a+ b)( a+ b)
d) ( 3a − 4)( 5a + 7)
e) ( 2x −1)( 3x − 1)
f)
2 ( x − 4)( x+ 4)
g) ( 5x−10y)( 5y− 10x)
h) ( rx + st)( rt + sx)
( a + b)( c + d) = ac + ad + bc + bd
Demo: Mathe-CD
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12101 Term-Umformungen 1 16
a) ( a + 4)( b − 2) = ab − 2a + 4b − 8
b) ( )( )
c) ( )( )
d) ( )( )
e) ( )( )
Lösungen zur Trainingsaufgabe7
a + 12 a − 10
2 2
= a − 10a + 12a − 120 = a + 2a − 120
a+ b a+ b
2 2 2 2
= a + ab+ ba+ b = a + 2ab+ b denn ab = ba
3a 4 5a 7
2
15a 21a 20a 28
2
15a a 28
− + = + − − = + − , denn 1a = a
f)
2 2
2x −13x− 1 = 6x −2x− 3x + 1= 6x − 5x + 1
2 3 2
( x − 4)( x+ 4) = x + 4x −4x− 16
g) ( 5x −10y)( 5y − 10x) = 25xy −50x − 50y + 100yx = 125xy −50x − 50y
h)
2 2 2 2
( rx + st)( rt + sx) = r xt + rsx + srt + s tx
Man darf in einem Produkt die Faktoren umordnen, also auch die
alphabetische Reihenfolge benutzen!
2 2 2 2
MAN KANN AUCH GRÖSSERE KLAMMERN VERARBEITEN
(d) ( a+ b)(c+ d+ e) = ac+
ad+ ae+
bc+ bd+
be
(e)
Jeder Summand in der ersten Klammer wird mit jedem in der zweiten
multipliziert. Das ergibt 23 ⋅ = 6 Summanden. Die Reihenfolge der
Summanden darf natürlich umgestellt werden (Kommutativgesetz).
2 3 2 2 3 2
(x + 2)(x + x− 6) = x + x − 6x+ 2x + 2x− 12= x + 3x −4x− 12
(f) ( )( )
a+ 2b−c 2a+ b− 2c = 2a + ab−
2ac+ 4ba+ 2b −4bc− 2ac− cb+
2c
2 2 2
= 2a + 2b + 2c + 5ab −4ac− 5bc
2 2 2
Hier erhält man zunächst 3⋅ 3= 9 Summanden, von denen man einige
zusammenfassen kann. Die Reihenfolge der Faktoren ist dabei egal, also
ist ba = ab usw.
3 2 4 3 2 3 2
x−1 x − 2x + 3x+ 3 = x − 2x + 3x + 3x− x + 2x −3x− 3
(g) ( )( )
4 3 2 4 3 2
= x − 3x + 5x + 0x− 3= x − 3x + 5x − 3
Demo: Mathe-CD
Trainingsaufgabe 8
(a) ( 2a + 3b)( a −ab− b)
(b)
2
( 4− x)( x + 2x+ 1)
(c)
2
( 2x − 5)( x + 2x + 5)
(d)
2 ( y − 3y+ 9)( y+ 3)
(e)
2 2
( x − 2x+ 4)( x + 2x− 4)
(f) ( a+ ab−b)( b− ab+ a)
(g)
2 3 2
( x − 4)( x + 4x −2x− 8)
(h)
2 2 2 2
( a − b )( a+ 2b+ a − 2b )
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12101 Term-Umformungen 1 17
(a) ( )( )
Lösungen zur Trainingsaufgabe 8
2a + 3b a −ab− b = 2a −2a b− 2ab + 3ba −3ab−3b 2 2 2 2
= 2a − 2a b + ab −3ab− 3b
(b) ( )( )
2 2 2 2
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= 1ab
2 2 3 2 3 2
4− x x + 2x+ 1 = 4x + 8x+ 4−x −2x − x=− x + 2x + 7x+ 4
(c) ( )( )
2x − 5 + + = + − 1 − = − −
2 3 2 2 3 2
x 2x 5 2x 4x + 10x 5x − 0x 25 2x x 25
2 3 2 2 3
(d) ( y − 3y+ 9)( y+ 3) = y + 3y −3y − 9y+ 9y+ 27= y + 27
2 = 0y
`= 0y
2 2 4 3 2 3 2 2
x − 2x+ 4 x + 2x− 4 = x + 2x −4x −2x − 4x + 8x+ 4x + 8x− 16
(e) ( )( )
4 2
= x − 4x + 16x− 16
(f) ( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
a+ ab−b b− ab+ a = ab− ab+
a + ab
−a
b + a b−
b + ab −ab
2 2 2 2 2
= a + 2ab −a b − b
(g) ( )( )
2 3 2 5 4 3 2 3 2
x − 4 x + 4x −2x− 8 = x + 4x −2x −8x −4x − 16x + 8x+ 32
5 4 3 2
= x + 4x −6x − 24x + 8x + 32
(h) ( )( ) 2
a − b a+ 2b+ a −2b = a + 2a b+ a − 2a b −ab − 2b
−a
b + 2b
2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 3 2 4
3 2 4 2 2 2 3 4
= a + 2a b + a −3ab−ab− 2b + 2b
Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass man Summanden in der Reihenfolge
umstellen darf, auch wenn ein Minuszeichen zu ihm gehört. Weiter muss man
beachten, dass man nur solche Summanden weiter zusammenfassen kann, welche
genau dieselben Variablen enthalten, wie in (h) die beiden Summanden
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
−2a b − a b = −2−1⋅ a b =−3⋅ a b =− 3a b , denn
( )
Zusammenfassen heißt stets Ausklammern.
Auch wenn wir dies meist gar nicht mehr hinschreiben.
Demo: Mathe-CD
Ferner kommen immer wieder Produkte mit der Zahl 1 vor: 1ab = ab, oder mit der
Zahl 0: 0ab = 0.
Die Gründe: Wenn man eine Zahl mit der 1 multipliziert, ändert sie sich nicht.
(Darum heißt die 1 auch das neutrale Element der Multiplikation – sie mischt sich
nicht ein, sie verhält sich neutral). Und jede Zahl mal 0 ergibt 0.

12101 Term-Umformungen 1 18
BEISPIEL 1
5. Kompliziertere Aufgaben
Wir wollen uns einige umfangreichere Aufgaben ansehen.
( a+ 4)( 3a−5) − ( 2a+ 3)( a− 4) + ( 5a+ 2)( 2a+ 4)
Hier müssen zuerst die 3 Klammerpaare multiplizieren. Dabei tritt jedoch beim
2. Paar eine böse Falle auf: Das Produkt ( 2a + 3)( a − 4)
wird nämlich subtrahiert.
Das bedeutet, dass man das Ergebnis zuerst in Klammern setzen muss, davor ein
Minuszeichen. Dann aber wird dieses Minuszeichen in die Klammer hineingebracht,
was einer Multiplikation mit -1 gleich kommt. Dabei ändern sich alle Vorzeichen!
Hier die Lösung ganz ausführlich:
( a + 4)( 3a −5) − ( 2a + 3)( a − 4) + ( 5a + 2)( 2a + 4)
2 2
2
= 3a − 5a + 12a − 20 −(2a − 8a+
3a−12 + 10a
+ a+
+
) 20
4a 8
7a −5a
24a 2 2
2 2
= 3a + 7a − 20 − 2a + 5a + 12 + 10a + 24a + 8 = 11a + 36a
Man erkennt, dass man zwischendurch schon an drei Stellen zusammenfassen kann,
was die Länge des Terms verkürzt.
BEISPIEL 2
( 3x− 1)( 3x+ 1) − ( 2x+ 5)( 3x−8) −( 5x−1)( 5x− 1)
Jetzt tritt dieser Fall gleich zweimal auf: Das mittlere und das hintere Klammerprodukt
erfordern im nächsten Schritt eine eigene Klammer mit vorgesetztem
Minuszeichen. Danach kehren sich in diesen Klammern die Vorzeichen um:
( 3x− 1)( 3x + 1) − ( 2x + 5)( 3x−8) −( 5x−1)( 5x− 1)
2 2
2
= 9x + 3x−3x−1-(6x − 16x + 15x − 4 0) - (25x − 5x− 5x+
1)
0
−x
2 2
2
2
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−10x
= 9x − 1− 6x + x + 40−
25x + 10x −1=−
22x + 11x + 38
Demo: Mathe-CD
Trainingsaufgabe 9
a) ( x− 1)( x+ 2) + ( x+ 3)( x+ 4) −( x−5)( x− 6)
b) ( 2x + 1)( 2x + 2) + ( x + 5)( 2x −2) −( 3x −2)( 2x − 3)
c)
2 2 2 2
( x + 3)( x+ 2) −( 2x− 7)( x + 3x) − ( x + 2x−1)( x −2x− 3)
d)
2 2 2 2
( 2a −3b)( a − 2b) + ( a −5b )( 3a −7b) − ( a + 2a)( b − b)
e) ( 13x+ 2y)( −4x−2y) −( y−2x)( 6y−12x) − ( 4x+ 2y)( − 3y+ x)
f)
2 2 1 2 2
( x + 5x−2)( 2x −3x−9) − ( x + 3x−5 2
)( x − 4x + 3)
g)
3 2 2 2
( x + 2x + 4x+ 1)( 2x−4) − ( x + 3x+ 12)( − x + 3x− 4)

12101 Term-Umformungen 1 19
Lösungen Trainingsaufgabe 9
a) ( x− 1)( x+ 2) + ( x+ 3)( x+ 4) −( x−5)( x− 6)
2
2 2
= x + 2x −x− 2+ x + 4x + 3x + 12 −(x − 6x− 5x+
30)
x 7x −11x
2 2 2
2
= x + x− 2+ x + 7x+ 12− x + 11x − 30 = x + 19x − 20
b) ( 2x + 1)( 2x + 2) + ( x + 5)( 2x −2) −( 3x −2)( 2x − 3)
2 2
2
= 4x + 4x + 2x + 2+ 2 − + − −(6x −9−
+
x 2x 10x 10 x 4x 6)
+ 6x + 8x −13x
2 2 2
= 4x + 6x + 2+ 2x + 8x−10− 6x
+ 13x−6 2
= 0x + 27x− 14 = 27x− 14
2 2 2 2
c) ( x + 3)( x+ 2) −( 2x− 7)( x + 3x) − ( x + 2x−1)( x −2x− 3)
= + + + + − −
3
x
2
2x 3x 3 2 2
6 −(2x
6x 7x
2 −x
21x)
...
4 3 2 3 2 2
... −(x−2x− 3x + 2x −4x −6x− x + 2x + 3)
= x + 2x x
+
3 2
+ 2x + 3x 6 −
3
+
2
4 2
+ 2 1x −(x −8x−4x 3)
3 2 3 2
4 2
= x + 2x + 3x+ 6 − 2x + x + 21x − x + 8x
+ 4x−3 4 3 2
=−x − x + 11x + 28x+ 3
2 2 2 2
d) ( 2a −3b)( a − 2b) + ( a −5b )( 3a −7b) − ( a + 2a)( b − b)
= − − + + − − + 35b ab)
3
2a 4ab
2
3a b
2
6b
2
3a 7ab
2
15a b
3 2 2 2 2
− (a b + 2ab −ab−2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2
= 2a −11ab− 3a b + 6b + 3a − 15ab + 35b −ab −2ab+
ab+
2ab
= 2a −9ab− 2a b + 6b + 3a −17ab −ab
+ 35b
3 2 2 2 2 2 2 3
e) ( 13x + 2y)( −4x−2y) −( y −2x)( 6y −12x) − ( 4x + 2y)( − 3y + x)
=− − −
2
2 2 2
2 2
52x 26xy −8x y− 4y − (6y −12xy −12xy + 24x ) −(
12xy+ 4x −6y
+ 2xy)
−34xy
−24xy
2 2 2
2
2 2
= −52x −34xy− 4y − 6y + 24xy− 24x
+ 10xy
− 4x + 6y
2 2
=−80x − 4y
Demo: Mathe-CD
2 2 1 2 2
f) ( x + 5x−2)( 2x −3x−9) − ( x + 3x−5 2
)( x − 4x + 3)
4 3 2 3 2 2
= 2x −3x − 9x + 10x −15x −45x− 4x + 6x + 18...
1 4 3 3 2 3 2 2
− x − 2x + x + 3x − 12x + 9x− 5x + 20x− 15
... ( 2 2
)
Hier steht in der 1. Zeile das Ergebnis der ersten Klammermultiplikation,
die 2. Zeile enthält das Ergebnis des zweiten Klammerprodukts. Jetzt fasse
ich beide Produkte zuerst zusammen, dann wird das Minus vor der großen
Klammer umgesetzt:
= 2x + 7x −28x− 39x + 18 − ( x + x + x − 17x + 29x −1
5)
4 3 2 1 4 3 3 2
2 2
−31x2
2
Die kleine Zwischenrechnung ergibt ( )
x − 17x = − x =− x
3 2 2 3 34 2 31 2
2 2 2 2
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2

12101 Term-Umformungen 1 20
= 2x + 7x −28x− 39x + 18 − x − x + x − 29x+
15
4 3 2
1 4 3 31 2
2
2
3 4
x 2
3
6x ( 28 31 2
2)
x 68x 33
Nebenrechnung: 31 2 56 31 2 25 2
( − 28 + 2) x = ( − + 2 2) x =− x 2
3 4
x 2
3
6x 25 2
x 2 68x 33
= + + − + − +
= + − − +
3 2 2 2
g) ( x + 2x + 4x+ 1)( 2x−4) − ( x + 3x+ 12)( − x + 3x− 4)
= − + − + − + −
4 3 3 2 2
2x
4x 4x 8x 8x 16x 2x 4
0 0
−14x
4 3 2 3 2 2
... −( − x + 3x −4x − 3x + 9x −12x− 12x + 36x− 48)
Nun fassen wir wieder das erste Klammerprodukt zusammen und das zweite.
Dabei fällt vieles weg:
4 4 2
= 2x −14x − 4−− x + 7x + 24x−48 ( )
= − − + − − +
= 3x −7x − 38x + 44
BEISPIEL 3
4
2x 14x 4
4
x
2
7x 24x 48
4 2
Wir wollen noch einige Aufgaben mit Brüchen üben:
1 2 3 1 3 2
5 1
( x x 2) ( x 3 4 2 3 ) ( x 2x 2 4)( x 6 2 )
+ − ⋅ − − + − − =
1 1 3 1 2 3 1 2 3
1
3 1 3 3 2 1 2
5 1 5
⋅ ⋅x − ⋅3⋅ x + ⋅ x − ⋅3⋅x−2⋅ x+ 6−(
⋅ ⋅x
− ⋅ 6x + 2⋅ ⋅x −12x− ⋅ ⋅ x+ ⋅6)
4 3 4 2 3 2 3 2 2 2 2 4 2 4
1 3 1 9
2
12 4 2 2
3
Hierin stecken einige Regeln der Bruchrechnung:
oder
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...
a c a⋅c 1 1 1
⋅ = z.B. ⋅ =
b d b⋅d 4 3 12
9 1 3
3 5 5 15
⋅ =
4 8 2 2
a ac ⋅ 3 33 ⋅ 9 5 56 ⋅ 53 ⋅ 15
⋅ c= z.B. ⋅ 3 = = ; und ⋅ 6=
= = mit Kürzen !
b b 2 2 2 4 4 2 2
Wir haben also jetzt
1 3 3 2 1 2 9 2
x − x + x − x− x+ 6− 3 2 2
x + 9x − x + 12x+ x−
12 4 2 2 3
3 5 15
4 8 2
und klammern aus:
1 3 3 3 1 2 9 2
5 15
= ( − )x + ( − + + 8)x + ( − − + 12 + )x + (6 − )
12 4 4 2 2 3 8 2
Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt:
1−93 − 3+ 2+ 32 2 −108− 16+ 288+ 15 12−15 8 3 31 2 179 3
= x + x + x+ =− x + x + x−
12 4 24 2 12 4 24 2
2 3 31 2 179 3
=− x + x + x−
, wobei der erste Bruch gekürzt worden ist.
3 4 24 2
Demo: Mathe-CD
ACHTUNG: Hat der erste Summand, bei dem man ausklammert, ein negatives
Vorzeichen, muss man dieses in die Klammer schreiben und vor die Klammer
ein Pluszeichen setzen, sonst wird die Rechnung meist falsch.

12101 Term-Umformungen 1 21
1 4 3 1
a) x( x+ 2) − x( x− 8)
2 5 4 3
4 2 1 2 2 4 2
b) x( x − x+ 1) + x ( x+
)
5 3 3 5 3
1 1 1
3
c) ( x+ 1)( x− 5) + ( x+ 3)( x− 2)
4 6 9 2
Trainingsaufgabe 10
2 1 3 1 5 1 1 7
d) ( x− )( x− ) − ( x+ )( x+
)
15 3 10 2 12 8 5 3
2 1 3 1 1
e) (x − x + ) ( x−
)
2 4 3 2
10 2 3 1 1 2 1 11
f) ( x − x+ 3 4 2)( − x + x−
4 8 6)
Die Lösungen stehen auf der nächsten Seite.
BEISPIEL 4
( 4x 3)( 2x 5)( 6x 11)
Produkte mit mehr als 2 Klammern
+ − + soll berechnet werden. Dazu berechnet man zuerst das
Ergebnis der beiden ersten Klammern und schreibt dieses in eine neue Klammer.
Man muss aber die noch nicht beachtete 3. Klammer dahinter schreiben ! (Sonst
wäre der Term nicht mehr gleichwertig.) Dann kann man zu Ende rechnen.
Selbstverständlich kann man auch zunächst die erste Klammer stehen lassen und
erst das Produkt der 2. und 3. Klammer berechnen. Wir wollen beides tun und
erkennen, dass man dieselben Ergebnisse erhält.
1. Lösung:
( )( )( )
2
4x 3 2x 5 (8x 20x 6
+ − 6x+ 11 = − + x−15) ⋅ (6x+ 11)
−14x
3 2 2 3 2
= 48x +
88x −84x − 154x−90x− 165 = 48x + 4x −244x−165 2. Lösung:
2
+ 4x
( )( − )( + )
−244x
Demo: Mathe-CD
2
4x + 2x 5 6x 11 = (4x + 3 (12x + 22x −30x −55
3 ) )
3 2 2
−8x
3 2
= 48x −32x− 220x + 36x −24x− 165 = 48x + 4x −244x − 165
Trainingsaufgabe 11
a) (3x − 7)(2x + 1)(4x + 2) b) 1 1 ( x+ 3)( x−4)(2− x)
2 2
c)
2
(x + 2x)(2x + 3)(5x − 3) d)
2
( − x + 2x+ 1)(3x+ 2)(1− x)
e) (x + 1)(x− 1)(x + 2)(x− 2) f) (x + 3)(x + 3)(2x− 1)(3x+ 5)
g)
2
(x + 2)(x − 4)(2x+ 3) − (x+ 2)(2x− 1)(x + 4)(5x+ 7)
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12101 Term-Umformungen 1 22
Lösungen Trainingsaufgabe 10
1 4 3 1 1 4 2 1 3 1 2 3
a) x( x+ 2) − x 2 5 4 ( x− 8 3 ) = ⋅ x + ⋅2x− ⋅ ⋅ x + ⋅8 ⋅ x
2 5 2 4 3 4
1 32 ⋅= 6
2 1
5 4
In jedem der vier Summanden wurde gekürzt.
MERKE: Kürze vor dem Multiplizieren !!!!
= ( − )x + x + 6x = x + 7x = x + 7x
2 1 2 8−5 2 3 2
5 4 20 20
4 2 1 2 2 4 2
b) x( x − x+ 1) + x ( x+
)
5 3 3 5 3
4 = 5
3 4 1 2 4 − ⋅ +
5 3 5
2 4 3 2 2 2
+ ⋅ + ⋅ =
3 5 3 3
4 8 +
5
15
3 4 4 + − + 15 9
2 4 + 5
4
−
15
8
15
4
9
12+ 8 20 4
= =
15 15 3
− 12+ 20 8
=
45 45
x x x x x ( )x ( )x x
= x + x + x
4 3 8 2 4
3 45 5
Hier konnte man zuerst gar nicht kürzen. Dann brauchte man Hauptnenner zur Addition der
Brüche. Der Hauptnenner aus 15 und 9 ist 45, denn 15 = 3 ⋅ 5 und 9 = 3⋅ 3.
Also benötigt
man als Hauptnenner 3⋅3⋅ 5 = 45!!
.Noch etwas ist wichtig, dies trat schon einmal auf Seite
18 auf:
Beim Zusammenfassen der x 2 -Terme stellt man fest, dass der erste Summand
ein negatives Vorzeichen hat, dann muss dieses in die Klammer, und vor die Klammer kommt
ein Pluszeichen.
1 1 1
3
c) ( x+ 1)( x− 5) + ( x+ 3)( x− 2)
4 6 9 2
1 1 2 1 1 1 3 2 1
3
= ⋅ x − ⋅ 5x+ 1⋅ x− 5+ ⋅ x − ⋅ 2x+ 3⋅ x− 6
4 6 4 6 9 2 9 2
1 5 1 1 2
9
24 4 6 6 9
2
1 1 2 5 1 2 9
24 6 4 6 9 2
= ( + )x + ( − + − + )x− 11
Der Hauptnenner in der zweiten Klammer ist 36, darin stecken alle anderen
Nenner als Teiler:
1+ 4 − 5⋅9+ 1⋅6− 2⋅4+ 9⋅185 115
= + − = +
24 36 24 36
2 2
x x 11 x x −11
2 1 3 1 5 1 1 7
d) ( x− )( x− ) − ( x+ )( x+
)
15 3 10 2 12 8 5 3
Demo: Mathe-CD
2 3 2 2 1 1 3 1 1 5 1 2 5 7 1 1 1 7
= ⋅ x − ⋅ x− ⋅ x + ⋅ −( ⋅ x + ⋅ x+ ⋅ x + ⋅ )
15 10 15 2 3 10 3 2 12 5 12 3 8 5 8
3
1 1 1 1 1 35 1 7
25 15 10 6 12 36 40 24
1 2
x 25
1 x 15
1 x 10
1
6
1 2
x 12
35 x 36
1 x 40
7
24
1 ( 25
1 2
)x 12 ( 1
15
1
10
35
36
1 )x 40
1 ( 6
7 ) 24
= − − + − − − −
= − + − − − − + −
Hauptnenner von 25 = 5⋅ 5 und 12 = 3⋅ 4 ist 25⋅ 12 = 300 .
Hauptnenner von 15 = 3⋅ 5, 10 = 2⋅ 5, 36 = 3⋅3⋅2⋅ 2 und 40 = 2⋅2⋅2⋅ 5
ist 222335 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 895 ⋅ ⋅ = 360,
Hauptnenner von 6 und 24 ist 24.
12−25 −24 −36 −35⋅10−94−713 419 1
300 360 24 300 36 8
2 2
= x + x+ =− x − x−
.
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12101 Term-Umformungen 1 23
e) ( )
(x − x + ) x− = x − x − x + x+ x−
2 1 3 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 3
2 4 3 2 3 2 6 4 4 8
1 3 1 1 2 1 1 1 3 2 2 1
= x + ( − − )x + ( + )x− = x − x + x−
3 3
3 2 6 4 4 8 3 3 2 8
3 1 4 2
− − =− =−
6 6 6 3
2 1
= =
4 2
10 2 3 1 1 2 1 11
f) ( x − x+ 3 4 2)( − x + x−
4 8 6)
10 1 4 10 1 3 10 11 2 3 1 3 3 1 2 3 11 1 1 2 1 1 1 11
=− ⋅ x + ⋅ x − ⋅ x + ⋅ x − ⋅ x + ⋅ x−⋅ x + ⋅ x−⋅
3 4 3 8 3 6 4 4 4 8 4 6 2 4 2 8 2
6
5 5 55 3 3 11 1
1 11
6 12 9 16 32 8 8
16 12
=− x + ( + )x + ( − − − )x + ( + )x −
5 4 5 3 3 55 3 1 2 11 1 11
6 12 16 9 32 8 8 16 12
5 20 + 9 55⋅ 32 + 3⋅ 9 + 9⋅ 4 22 + 1 11
6 48 9⋅ 32 16 12
4 3 2
=− x + x − x + x−
5 29 1823 23 11
6 48 288 16 12
4 3 2
=− x + x − x + x−
Demo: Mathe-CD
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12101 Term-Umformungen 1 24
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Lösungen Trainingsaufgabe 11
2
(3x− 7)(2x+ 1)(4x + 2) = (6x + 3x−14x− 7)(4x + 2)
2 3 2 2
= (6x −11x− 7)(4x + 2) = 24x + 12x −44x −22x−28x− 14
3 2
= 24x −32x−50x − 14
( x+ 3)( x−4)(2− x) = ( x − x+ x−12)(2− x)
= ( x − x −12)(2− x) = x − x − x + x − 24 + 12x
1 1 1 2 4 3
2 2 4 2 2
1 2 1 1 2 1 3 1 2
4 2 2 4 2
1 3
x 4
2
x 11x 24
=− + + −
2 3 2 2
(x + 2x)(2x + 3)(5x− 3) = (2x + 3x + 4x + 6x)(5x − 3)
3 2 4 3 3 2 2
= (2x + 7x + 6x)(5x− 3) = 10x − 6x + 35x − 21x + 30x − 18x
4 3 2
= 10x + 29x + 9x − 18x
2 3 2 2
( − x + 2x + 1)(3x + 2)(1− x) = ( −3x − 2x + 6x + 4x + 3x + 2)(1− x)
3 2 3 4 2 3 2
=− ( 3x + 4x + 7x+ 2)(1− x) =− 3x + 3x + 4x − 4x + 7x− 7x + 2− 2x
4 3 2
= 3x −7x − 3x + 5x + 2
(x + 1)(x −1) (x − x + x −
2 2 4 2 2 4 2
= (x −1)(x − 4) = x −4x− x + 4 = x − 5x + 4
2 2
(x + 2)(x− 2) =
1) (x − 2x+ 2x −4)
(x + 3)(x + 3) (x + 3x+ 3x
+ ) )
(2x − 1)(3x + 5) =
2 2
9 (6x + 10x−3x−5 2 2
= (x + 6x+ 9) (6x + 7x −5)
4 3 2 3 2 2
= 6x + 7x − 5x + 36x + 42x − 30x + 54x + 63x− 45
4 3 2
= 6x + 43x + 91x + 33x− 45
2
(x + 2)(x − 4)(2x+ 3) − (x + 2)(2x − (x + 4)(5 +
3 2 2
2
1) x 7)
= (x − 4x+ 2x − 8)(2x+ 3) − (2x − x + 4x−2) (5x + 7x + 20x
+ 28)
+ 3x
+ 27x
4
2x
3
3x
2
8x 12x
3
4x
2
6x 16x 24
4 3 2 3 2 2
= + − − + + − −
− ( 10x + 54x + 56x + 15x + 81x + 84x−10x−54x− 56)
4 3 2 4 3 2
= 2x + 7x −2x−28x −24 − (10x + 69x + 127x + 30x − 56)
4 3 2 4 3 2
= 2x + 7x −2x−28x −24−10x −69x −127x − 30x + 56
4 3 2
=−8x −62x −129x − 58x + 32
Demo: Mathe-CD
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